Este documento presenta un examen de matemáticas de 2 horas para estudiantes de décimo año. El examen consta de tres secciones (respuesta breve, selección única y desarrollo) y 52 puntos totales. La primera sección contiene preguntas sobre una gráfica de función. La segunda sección presenta enunciados inconclusos con cuatro opciones de respuesta. La tercera sección pide resolver ejercicios matemáticos como ecuaciones y problemas de optimización.

1. Liceo de San José Fecha:14/03/2012
Departamento de Matemática Tiempo: 2 horas
Elaborado por: José Luis Morales Reyes Valor: 52 puntos
Nivel: Décimo año Porcentaje: 35 %
Nombre: Sección: 10-
Puntos obtenidos Nota: Porcentaje obtenido
Intrucciones generales: El examen consta de ocho páginas, las cuales están enumeradas y está
compuesto por tres secciones a saber, respuesta breve, selección única y desarrollo. No se permite
el préstamo de materiales durante la ejecución de la prueba. Utilice bolígrafo de tinta azul o negra,
puede trabajar con lápiz y utilizar corrector, pero, en este caso no tiene derecho a reclamos ni apela-
ciones posteriores a la evaluación de su examen. Se permite el uso de calculadora.
I Parte. Respuesta breve. (Valor 10 puntos. 1 punto c/u)
Considere la gura adjunta; conteste de forma clara y ordenada las preguntas planteadas.
Con base en la gráca anterior para alguna función f , determine
a) Dominio de f f) Una preimagen de 6
b) Ámbito de f g) Un valor de x tal que f (x) = 0
c) Imagen de 7 h) Un intervalo donde la función es negativa
d) Preimagen de 4 i) Un intervalo donde la función es estrictamente creciente
e) Imagen de −1 j) Un intervalo donde la función es constante
1

2. II Parte. Selección única. (Valor 22 puntos. 1 punto c/u)
A continuación se le presentan una serie de enunciados inconclusos; de las cuatro posibilidades de
respuesta A),B),C) y D), que presenta cada ítem, solamente una es correcta. Marque con una (x) la
opción que complete correctamente cada uno de los enunciados.
1. En la factorización completa de 4x2 (2x − 3) − 2x + 3, uno de los factores es
A) 4x2
B) 2x + 1
C) 2x + 3
D) 4x2 + 1
2. En la factorización completa de 4a2 − 4 + 4b − b2 , uno de los factores es
A) a−1
B) 4−b
C) 2a − 2 − b
D) 2a − 2 + b
x2 − x − 12
3. La expresión es equivalente a
18 − 2x2
x−4
A)
2(x − 3)
x−4
B)
2(x + 3)
4−x
C)
2(x − 3)
4−x
D)
2(x + 3)
2x x−1
4. La expresión − es equivalente a
x2 − x 1 − x
3−x
A)
x−1
1+x
B)
1−x
x+1
C)
x−1
2
D)
x−1
2

3. 5. La expresión (x2 − y 2 ) ÷ (x−1 − y −1 ) es equivalente a
−xy
A)
x+y
−(x + y)
B)
xy
C) xy(x + y)
D) −xy(x + y)
6. Una solución de la ecuación 4(x − 1)2 = 7
√
A) 2
√
11
B)
2
√
7
C) 1 −
2
√
7
D) 1 + √
1+ 7
2x − 5
7. La suma de las soluciones de la ecuación (x + 2)2 = + 3 es
3
2
A)
3
B) 8
−10
C)
3
D) 9
8. Sea f la función dada por f (t) = 256t − 8t2 que describe la altura, en centímetros, que alcanza
un objeto que fue lanzado verticalmente hacia arriba, después de t segundos. ¾Cuál es la máxima
altura, en centímetros, que alcanza el objeto?
A) 2048
B) 8192
C) 65536
D) 131072
3

4. 
 1
 (3a − 10) = 0,25b
9. El valor de b en el sistema 5
 2a + 4a − 4a = 5 b

2
A) 4
B) 5
17
C)
5
19
D)
4
10. En una granja solo hay gallinas y cerdos. Si el dueño de la granja contó en total 22 cabezas y
68 patas, ¾cuántas gallinas hay en esa granja?
A) 3
B) 10
C) 11
D) 12
11. Si f : R → R es una función dada por f (x) = 3 − x, entonces el ámbito de f es
A) R
B) R+
C) ]−∞, 3[
D) ]3, +∞[
2
12. Si f es la función dada por f (x) = 2 − , entonces 8 es imagen de
x
7
A)
4
B) −3
−1
C)
3
−7
D)
4
13. ¾Cuáles de las siguientes proposiciones que se reeren a la función f : Z → Z, dada por
f (x) = −x2 son verdaderas?
I. El ámbito de f es Z− II. −5 es preimagen de 25
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Sola la II
4

5. 14. Si g es una función dada por g(x) = −3x + 1 y su ámbito es ] − ∞, 4[, entonces el dominio de
g es
A) ] − ∞, −1[
B) ] − 1, +∞[
C) ] − ∞, −11[
D) ] − 11, +∞[
x−5 √
15. Si la función h está dada por h(x) = 2+1
− 3 x + 3, entonces su dominio máximo es
x
A) R
B) R − {1}
C) [−3, +∞[
D) [−3, +∞[−{1}
16. La ecuación de una recta que interseca al punto de coordenadas P (5, −4) y es paralela a la
recta que contiene los puntos de coordenadas A(4, 0) y B(6, 1) es
A) y = 2x − 6
B) y = 6 − 2x
x + 13
C) y =
2
x − 13
D) y =
2
17. La función f , dada por f (x) = −3x2 + 2x + 4 es estrictamente creciente en
1
A) −∞,
3
1
B) , +∞
3
C) ]−∞, 4[
D) ]4, +∞[
18. Si el gráco de una función f es el conjunto Gf = {(−1, 2), (0, −3), (1, −2)} entonces el dominio
de f es
A) [−1, 1]
B) [−2, 2]
C) {−1, 0, 1}
D) {−3, −2, 2}
5

6. 19. Sea f : R → A, dada por f (x) = −3(x − 2)(x + 5). Si f es sobreyectiva, entonces A es igual a
147
A) −∞,
4
−3
B) , +∞
2
−3
C) −∞,
2
147
D) , +∞
4
20. Sea f una función lineal, y f −1 su función inversa. Si f (2) = 0 y f −1 (3) = 12, entonces el
criterio de f −1 está dado por
3
A) f −1 (x) = x+2
10
10
B) f −1 (x) = x + 2
3
C) f (x) = 12x − 24
−1
1 47
D) f −1 (x) = x +
12 4
21. Si f es la función dada por f (x) = a−x y f (−2) = 5, entonces f (2) es igual a
1
A)
5
B) 5
C) −5
1
D) √
5
2 x
22. La función m, dada por m(x) = log , se usa para calcular la magnitud m de un terremoto
3 a
en la escala de Richter, donde x es la energía liberada por el sismo, en joules. Si el terremoto de
Limón en 1991 liberó aproximadamente 6,3 · 1015 joules de energía y a = 104,4 joules, entonces
su magnitud fue aproximadamente de .
A) 3,8
B) 4,2
C) 5,4
D) 7,6
6

7. III Parte. Desarrollo. (Valor 20 puntos)
Resuelva cada uno de los ejercicios que se le presentan a continuación. Trabaje de manera clara y
ordenada, exprese su respuesta de la manera más simple. Recuerde que TODOS los procedimientos
deben aparecer. Suponga que todas las expresiones están bien denidas en el conjunto de los números
reales.
1) Determine el punto de intersección entre las rectas de ecuaciones:
l1 : 2y − 3x + 4 = 0 y l2 : 3y + 1 − 2x = 0 (5 puntos)
2) Resuelva el siguiente problema.
El precio de entrada a un espectáculo privado es de c 1800 y los organizadores deben pagar
/
un 10 % de impuestos sobre el cuadrado del número de entradas vendidas. Si la utilidad U (x)
x2
respecto al número de entradas vendidas está dada por U (x) = 1800x − entonces:
10
a. ¾Cuál es la ganancia máxima que se puede obtener? (3 puntos)
b. ¾Cuántas entradas se deben vender para obtener dichas ganancias? (2 puntos)
7

8. 3) Resuelva las siguientes ecuaciones y dé el conjunto solución.
2
8 · 2x 2x
a) = x−2 x (6 puntos)
32 2 ·4
b) log(5x + 2) = log(x − 3) + 1 (4 puntos)
8