Este documento presenta un apéndice sobre álgebra lineal con wxMaxima. Cubre temas como definir matrices, operaciones con matrices, transformaciones elementales de matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y más. El objetivo es aplicar estas herramientas matemáticas usando el software wxMaxima.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el procedimiento paso a paso utilizando un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, define las matrices L y U que resultan de la factorización LU del sistema, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado y matrices. Explica que una ecuación de primer grado involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia. Describe también que una matriz es una tabla rectangular de números dispuestos en filas y columnas, e introduce los conceptos de suma, multiplicación y determinante de matrices. Por último, define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas y explica que resolverlo significa hallar todas las soluciones.
Este documento presenta conceptos clave sobre cadenas de Markov, incluyendo definiciones de vectores y matrices, así como sus representaciones en MATLAB. Explica elementos importantes de las cadenas de Markov como vectores de probabilidad, matrices estocásticas y regulares, y cómo calcular el vector de probabilidad fijo y usar la matriz de transición para predecir estados futuros.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y Householder. También describe métodos iterativos como el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi.
Este documento describe cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicados a problemas eléctricos usando las leyes de Kirchhoff. Presenta dos ejemplos numéricos que involucran dos y tres ecuaciones lineales respectivamente, mostrando cómo reducir el sistema a uno de menor tamaño y resolverlo para encontrar valores desconocidos como corrientes y voltajes. También propone cuatro problemas adicionales para que los estudiantes practiquen resolviendo sistemas de ecuaciones en contextos eléctricos.
Este documento presenta una introducción al uso del software MATLAB. Explica conceptos básicos como vectores, matrices, operaciones matemáticas con arrays, gráficas de funciones y programación. Detalla cómo definir y manipular vectores y matrices, y cómo acceder a sus elementos. Además, introduce comandos matemáticos como funciones, determinantes y resolución de sistemas de ecuaciones. El objetivo es proporcionar una primera aproximación al aprendizaje de MATLAB.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
Este documento introduce el uso básico de MATLAB. Explica cómo realizar cálculos matemáticos, definir vectores y matrices, y acceder a sus elementos. También cubre temas como operaciones con arrays, variables lógicas, polinomios, y gráficas de funciones. El objetivo es proporcionar una primera aproximación al aprendizaje de MATLAB.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el procedimiento paso a paso utilizando un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, define las matrices L y U que resultan de la factorización LU del sistema, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado y matrices. Explica que una ecuación de primer grado involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia. Describe también que una matriz es una tabla rectangular de números dispuestos en filas y columnas, e introduce los conceptos de suma, multiplicación y determinante de matrices. Por último, define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas y explica que resolverlo significa hallar todas las soluciones.
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El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y Householder. También describe métodos iterativos como el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi.
Este documento describe cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicados a problemas eléctricos usando las leyes de Kirchhoff. Presenta dos ejemplos numéricos que involucran dos y tres ecuaciones lineales respectivamente, mostrando cómo reducir el sistema a uno de menor tamaño y resolverlo para encontrar valores desconocidos como corrientes y voltajes. También propone cuatro problemas adicionales para que los estudiantes practiquen resolviendo sistemas de ecuaciones en contextos eléctricos.
Este documento presenta una introducción al uso del software MATLAB. Explica conceptos básicos como vectores, matrices, operaciones matemáticas con arrays, gráficas de funciones y programación. Detalla cómo definir y manipular vectores y matrices, y cómo acceder a sus elementos. Además, introduce comandos matemáticos como funciones, determinantes y resolución de sistemas de ecuaciones. El objetivo es proporcionar una primera aproximación al aprendizaje de MATLAB.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
Este documento introduce el uso básico de MATLAB. Explica cómo realizar cálculos matemáticos, definir vectores y matrices, y acceder a sus elementos. También cubre temas como operaciones con arrays, variables lógicas, polinomios, y gráficas de funciones. El objetivo es proporcionar una primera aproximación al aprendizaje de MATLAB.
Este documento describe el uso de Simulink para modelar sistemas continuos y de control. Explica conceptos como subsistemas, funciones de transferencia y modelado de ecuaciones diferenciales. También cubre temas como modelado de respuestas de sistemas, controladores PID y un ejemplo de modelado de un tanque de agua con control de nivel.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se implementa el algoritmo en un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, se explica que la factorización LU de la matriz de coeficientes A es igual al producto de la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U obtenidas tras aplicar el método de Gauss.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de la matriz inversa, división izquierda de matriz, y los comandos solve y linsolve de MATLAB. Se explican conceptos como sistemas compatibles, determinados e indeterminados. También contiene un ejemplo resuelto de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la matriz inversa y división izquierda.
El documento describe el diseño de un programa para realizar operaciones con matrices como suma, resta y producto por un escalar. El programa permitirá al usuario ingresar los datos de dos matrices, seleccionar una operación y mostrará el resultado. Se utilizará Java con arrays multidimensionales y ciclos para almacenar los datos, realizar los cálculos y mostrar los resultados a través de ventanas.
El documento describe varios métodos para calcular las raíces de ecuaciones, incluyendo el método de bisección, aproximaciones sucesivas, Newton, secante y falsa posición. Luego explica estos métodos con un ejemplo práctico, y también cubre métodos para resolver ecuaciones lineales como eliminación gaussiana, matriz inversa, factorización de Crout y Doolittle, y factorización de Cholesky. Finalmente, introduce brevemente los métodos iterativos para resolver ecuaciones.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, el método de eliminación Gaussiana, la factorización de Cholesky, la descomposición LU, la factorización QR de Householder, y métodos iterativos como el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los principios básicos de cada método y cuándo es más adecuado utilizar cada uno.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. MATLAB es un software para cálculo numérico y simbólico con capacidades gráficas avanzadas. Permite trabajar con variables, números, operadores y funciones matemáticas de manera interactiva. Incluye toolboxes para áreas específicas como estadística, optimización y redes neuronales.
Este documento introduce el concepto de determinantes de matrices cuadradas y describe sus propiedades y aplicaciones. Los determinantes son útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, analizar la independencia lineal de vectores, y calcular áreas y volúmenes. El documento explica cómo calcular determinantes de orden 2 o superior usando métodos como el de adjuntos o el de Sarrus, y cubre propiedades como linealidad y multiplicatividad.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, clasificación, operaciones como suma, resta, multiplicación y propiedades. Explica conceptos como matriz nula, triangular, diagonal, simétrica y anti-simétrica. Además, presenta ejemplos de cómo resolver ecuaciones que contienen matrices.
Este documento resume los principales temas de álgebra que se verán en Matemáticas II, incluyendo: 1) resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través del método de Gauss y regla de Cramer, 2) cálculo y propiedades de determinantes, 3) cálculo de matrices inversas y ecuaciones matriciales, y 4) estudio del rango de matrices y discusión de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta un informe sobre el uso de algoritmos de aprendizaje automático para la toma de decisiones. Explica árboles de decisión, análisis de componentes principales (PCA) y máquinas de vectores de soporte (SVM) y proporciona ejemplos de código en R para implementar cada método. El documento concluye recomendando entender claramente el problema, identificar variables y constantes, y diseñar una solución general y simplificada.
1) Los métodos de eliminación gaussiana, como la descomposición LU y la factorización de Cholesky, se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales al transformar la matriz en una forma triangular. 2) Los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi generan sucesivas aproximaciones a la solución inicializando valores y actualizándolos hasta converger. 3) Estos métodos numéricos son útiles para resolver sistemas de ecuaciones que surgen en problemas de ingeniería.
Las matrices son tablas bidimensionales de números que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Tienen una larga historia que se remonta a textos matemáticos chinos del 300 a. C. al 200 a. C. El término "matriz" fue acuñado en 1848 y la notación matricial moderna fue introducida por Cayley en 1858. Las matrices pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas, simétricas u ortogonales, y se representan con letras mayúsculas mientras que sus elementos se representan con min
Solución de sistemas de ecuaciones linealesdalbethlunar
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo eliminación Gaussiana, Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, transformaciones Householder, método de Gauss-Seidel y método de Jacobi. Explica los pasos de cada método y provee un ejemplo numérico del método de Jacobi.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de ecuaciones dependientes. La factorización de Cholesky permite descomponer una matriz simétrica y positiva definida en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. La factorización QR descompone una matriz en el producto de una matriz ortogonal y una triangular superior.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss, Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los procesos involucrados en cada método y cuándo cada uno es más adecuado para usar.
Este documento resume diversos métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica que estos métodos utilizan operaciones matriciales para eliminar variables gradualmente y obtener la solución de sistemas de ecuaciones de manera numérica.
Este documento presenta un manual de introducción a GNU Octave. Explica cómo introducir y operar con matrices y vectores, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y funciones. También cubre temas como tipos de datos, programación básica, gráficos y funciones. El objetivo es proporcionar una guía básica para aprender a utilizar este software de cómputo numérico de código abierto.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Análisis númerico. Métodos de sistemas de ecuacionesFelixve
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordán, la descomposición LU, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica que el método de eliminación de Gauss transforma el sistema en uno triangular superior resolviéndolo luego por sustitución, mientras que Gauss-Jordán lo transforma en uno diagonal y es útil para calcular la inversa de una matriz. También describe los pasos para realizar la descomposición LU y cómo
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Economía
Docente:Ing. Yessenia Chicaiza
Ciclo: Segundo
Bimestre: Segundo
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo Wassily Leontief introdujo tarjetas perforadas con información económica estadounidense en una computadora en 1949. También define conceptos clave como ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones, y muestra ejemplos de cómo resolver sistemas utilizando métodos como la eliminación y notación matricial.
Este documento describe el uso de Simulink para modelar sistemas continuos y de control. Explica conceptos como subsistemas, funciones de transferencia y modelado de ecuaciones diferenciales. También cubre temas como modelado de respuestas de sistemas, controladores PID y un ejemplo de modelado de un tanque de agua con control de nivel.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se implementa el algoritmo en un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, se explica que la factorización LU de la matriz de coeficientes A es igual al producto de la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U obtenidas tras aplicar el método de Gauss.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de la matriz inversa, división izquierda de matriz, y los comandos solve y linsolve de MATLAB. Se explican conceptos como sistemas compatibles, determinados e indeterminados. También contiene un ejemplo resuelto de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la matriz inversa y división izquierda.
El documento describe el diseño de un programa para realizar operaciones con matrices como suma, resta y producto por un escalar. El programa permitirá al usuario ingresar los datos de dos matrices, seleccionar una operación y mostrará el resultado. Se utilizará Java con arrays multidimensionales y ciclos para almacenar los datos, realizar los cálculos y mostrar los resultados a través de ventanas.
El documento describe varios métodos para calcular las raíces de ecuaciones, incluyendo el método de bisección, aproximaciones sucesivas, Newton, secante y falsa posición. Luego explica estos métodos con un ejemplo práctico, y también cubre métodos para resolver ecuaciones lineales como eliminación gaussiana, matriz inversa, factorización de Crout y Doolittle, y factorización de Cholesky. Finalmente, introduce brevemente los métodos iterativos para resolver ecuaciones.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, el método de eliminación Gaussiana, la factorización de Cholesky, la descomposición LU, la factorización QR de Householder, y métodos iterativos como el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los principios básicos de cada método y cuándo es más adecuado utilizar cada uno.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. MATLAB es un software para cálculo numérico y simbólico con capacidades gráficas avanzadas. Permite trabajar con variables, números, operadores y funciones matemáticas de manera interactiva. Incluye toolboxes para áreas específicas como estadística, optimización y redes neuronales.
Este documento introduce el concepto de determinantes de matrices cuadradas y describe sus propiedades y aplicaciones. Los determinantes son útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, analizar la independencia lineal de vectores, y calcular áreas y volúmenes. El documento explica cómo calcular determinantes de orden 2 o superior usando métodos como el de adjuntos o el de Sarrus, y cubre propiedades como linealidad y multiplicatividad.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, clasificación, operaciones como suma, resta, multiplicación y propiedades. Explica conceptos como matriz nula, triangular, diagonal, simétrica y anti-simétrica. Además, presenta ejemplos de cómo resolver ecuaciones que contienen matrices.
Este documento resume los principales temas de álgebra que se verán en Matemáticas II, incluyendo: 1) resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través del método de Gauss y regla de Cramer, 2) cálculo y propiedades de determinantes, 3) cálculo de matrices inversas y ecuaciones matriciales, y 4) estudio del rango de matrices y discusión de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta un informe sobre el uso de algoritmos de aprendizaje automático para la toma de decisiones. Explica árboles de decisión, análisis de componentes principales (PCA) y máquinas de vectores de soporte (SVM) y proporciona ejemplos de código en R para implementar cada método. El documento concluye recomendando entender claramente el problema, identificar variables y constantes, y diseñar una solución general y simplificada.
1) Los métodos de eliminación gaussiana, como la descomposición LU y la factorización de Cholesky, se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales al transformar la matriz en una forma triangular. 2) Los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi generan sucesivas aproximaciones a la solución inicializando valores y actualizándolos hasta converger. 3) Estos métodos numéricos son útiles para resolver sistemas de ecuaciones que surgen en problemas de ingeniería.
Las matrices son tablas bidimensionales de números que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Tienen una larga historia que se remonta a textos matemáticos chinos del 300 a. C. al 200 a. C. El término "matriz" fue acuñado en 1848 y la notación matricial moderna fue introducida por Cayley en 1858. Las matrices pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas, simétricas u ortogonales, y se representan con letras mayúsculas mientras que sus elementos se representan con min
Solución de sistemas de ecuaciones linealesdalbethlunar
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo eliminación Gaussiana, Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, transformaciones Householder, método de Gauss-Seidel y método de Jacobi. Explica los pasos de cada método y provee un ejemplo numérico del método de Jacobi.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de ecuaciones dependientes. La factorización de Cholesky permite descomponer una matriz simétrica y positiva definida en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. La factorización QR descompone una matriz en el producto de una matriz ortogonal y una triangular superior.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss, Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los procesos involucrados en cada método y cuándo cada uno es más adecuado para usar.
Este documento resume diversos métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica que estos métodos utilizan operaciones matriciales para eliminar variables gradualmente y obtener la solución de sistemas de ecuaciones de manera numérica.
Este documento presenta un manual de introducción a GNU Octave. Explica cómo introducir y operar con matrices y vectores, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y funciones. También cubre temas como tipos de datos, programación básica, gráficos y funciones. El objetivo es proporcionar una guía básica para aprender a utilizar este software de cómputo numérico de código abierto.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Análisis númerico. Métodos de sistemas de ecuacionesFelixve
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordán, la descomposición LU, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica que el método de eliminación de Gauss transforma el sistema en uno triangular superior resolviéndolo luego por sustitución, mientras que Gauss-Jordán lo transforma en uno diagonal y es útil para calcular la inversa de una matriz. También describe los pasos para realizar la descomposición LU y cómo
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Economía
Docente:Ing. Yessenia Chicaiza
Ciclo: Segundo
Bimestre: Segundo
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo Wassily Leontief introdujo tarjetas perforadas con información económica estadounidense en una computadora en 1949. También define conceptos clave como ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones, y muestra ejemplos de cómo resolver sistemas utilizando métodos como la eliminación y notación matricial.
El documento explica conceptos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sus definiciones, métodos de resolución como el método de Gauss-Jordan, y aplicaciones en diferentes campos como la fabricación, circuitos eléctricos, transmisión de calor y equilibrio de pesos.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
El documento analiza métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, y la descomposición LU. Explica que estos métodos transforman el sistema de ecuaciones en una forma más simple para encontrar la solución de manera directa o aproximada.
Este documento introduce el concepto de combinación lineal entre vectores en álgebra lineal. Explica que resolver un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a determinar los coeficientes que al multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes y sumar los vectores resultantes dan como resultado el vector de constantes del sistema. Además, incluye varios ejemplos para ilustrar cómo determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectores.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como matrices asociadas a sistemas, el teorema de Rouché-Fröbenius para clasificar sistemas, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss, ecuaciones matriciales y la regla de Cramer. También cubre sistemas homogéneos y sistemas dependientes de parámetros.
El documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas de ecuaciones lineales son importantes en matemáticas aplicadas y que se han desarrollado algoritmos sofisticados para resolverlos. Luego introduce conceptos clave como matrices, transformaciones elementales de filas, y teoremas sobre rangos que son útiles para determinar si un sistema es compatible o incompatible. Finalmente, presenta cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento presenta una introducción a las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Explica la notación matricial y los tipos de matrices. Luego describe métodos para multiplicar matrices y calcular determinantes. Finalmente, resume métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños, como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
Este documento presenta una introducción a las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Explica la notación matricial y los tipos de matrices. Luego describe métodos para multiplicar matrices y calcular determinantes. Finalmente, resume métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños, como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
Este documento presenta una introducción a las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Explica la notación matricial y los tipos de matrices. Luego describe métodos para multiplicar matrices y calcular determinantes. Finalmente, resume métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños, como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
Este documento presenta una introducción a las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Explica la notación matricial y los tipos de matrices. Luego describe métodos para multiplicar matrices y calcular determinantes. Finalmente, resume métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños, como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la factorización LU, la descomposición de Cholesky, y el método iterativo de Jacobi. Explica cómo cada método transforma la matriz de coeficientes para simplificar la solución del sistema de ecuaciones.
Este documento presenta la teoría de matrices, incluyendo notación matricial, operaciones elementales, eliminación gaussiana, y operaciones con matrices como suma, multiplicación y propiedades. Explica cómo usar matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, reduciendo las matrices a forma triangular superior mediante eliminación gaussiana.
El documento introduce conceptos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define qué es una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones lineales. Explica cómo la matriz aumentada representa la información del sistema y cómo manipularla equivale a manipular el sistema. También introduce la estrategia de eliminación gaussiana para resolver sistemas.
Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de matrices para resolver problemas de circulación vehicular. Se describen conceptos como sistemas lineales, matriz aumentada, eliminación gaussiana, determinantes y regla de Cramer. Luego, se presentan tres problemas de tráfico vehicular resueltos usando métodos de matrices como matriz aumentada. Finalmente, se concluye que los métodos de matrices son útiles para resolver problemas de tráfico de manera rápida.
El documento define las determinantes como una función matemática que asigna un número único a una matriz. Explica que se usan para resolver ecuaciones lineales y que tienen aplicaciones en campos como física, economía e ingeniería. Finalmente, resume que las determinantes se usan en gráficos por computadora, teoría de la información y criptografía.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
1.
Apéndice
Álgebra lineal con wxMaxima
Objetivos
1. Definir matrices con wxMaxima.
2. Aplicar con wxMaxima operaciones con matrices.
3. Aplicar transformaciones elementales de matrices.
4. Calcular el determinante de una matriz cuadrada.
5. Interpretar las propiedades del determinante de una matriz cuadrada.
6. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales con wxMaxima.
7. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Contenidos
A-1. Matrices. Operaciones con matrices.
A-2 Transformaciones elementales de matrices.
A-3 Rango de una matriz. Inversa de una matriz cuadrada regular. Factorización
LU.
A-4. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades. Cálculo
A-3. Sistemas de ecuaciones lineales.
Referencias
AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P.
(2011)
Cálculo con wxMaxima.
G07 GLASNER, MOSES (2007)
A Maxima Guide for Calculus Students
RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J.
RAFAEL (2005)
Introducción a Maxima
RG07 RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2007)
Maxima con wxMaxima: software libre en el aula de matemáticas
2. 2 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
RR08 RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008)
Primeros pasos en Maxima
RV09 RODRÍGUEZ, MARIO; VILLATE, JAIME (2009)
Manual de Maxima.
VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009)
Cálculo diferencial con Maxima
3. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 3
A-1.- Matrices. Operaciones con matrices
Los contenidos de este apartado se desarrollan en el archivo Apendice-1.wxm.
En este apartado se verá la definición de matrices con wxMaxima y las diferentes
operaciones con matrices.
A.1.1. Definición de matrices submatrices.
Definición de matrices:
Explicitar una fila o una columna de una matriz:
Obtención de submatrices por eliminación de una fila:
4. 4 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Obtención de submatrices por eliminación de una columna:
Obtención de submatrices por eliminación de una fila y una columna:
Obtención de submatrices por eliminación de más de una fila y una columna:
Definición de un vector columna (obsérvese que previamente se ha de cargar el paquete
“eigen”):
Definición de una matriz por una función de los índices de fila y de columna:
6. 6 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Cálculo de la traza de una matriz cuadrada:
A.1.2 Operaciones algebraicas con matrices.
Suma de matrices de la misma estructura:
Producto de una matriz por un escalar:
Combinación lineal de matrices:
Para el producto de matrices hay que observar que en algunos programas el símbolo es
el asterisco (*). Veamos que pasa con wxMaxima:
7. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 7
Obviamente esta operación no es el producto de matrices, para las que hace falta que el
número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. Veamos
la sintaxis con wxMaxima:
Sirva esto para recordar que el producto de matrices no es conmutativo.
Producto de una matriz por un vector columna:
Transposición de matrices:
8. 8 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
A.1.3 Concatenación de matrices.
A partir de unas matrices iniciales se pueden construir nuevas matrices por
concatenación de filas, es decir, escribir a continuación de cada fila de una matriz las
filas de la segunda:
También se pueden construir nuevas matrices por concatenación de columnas, es decir,
escribir a continuación de cada columna de una matriz las columnas de la segunda:
A.1.4 Matrices por bloques.
A partir de matrices cuadradas se pueden construir nuevas matrices con la estructura
llamada “diagonal por bloques” o “bloque-diagonal”:
10. 10 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
A-2.- Transformaciones elementales de matrices
Los contenidos de este apartado se desarrollan en el archivo Apendice-2.wxm.
A.2.1. Transformaciones elementales de filas y columnas
Se llaman transformaciones elementales de matrices las siguientes:
1. Intercambio de dos filas o dos columnas.
2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar no nulo.
3. Sumar a una fila o columna un múltiple escalar (no nulo) de otra fila o columna.
Veamos la sintaxis con wxMaxima.
1. Intercambio de dos filas o dos columnas:
Cabe decir que esta transformación se obtiene premultiplicando la matriz por la matriz
unidad del mismo número de filas en la que se haya aplicado la transformación que se
quiere aplicar en la matriz. En efecto:
11. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 11
Intercambio de columnas:
Esta transformación se obtiene postmultiplicando la matriz por la matriz unidad del
mismo número de columnas en la que se haya aplicado la transformación que se quiere
aplicar en la matriz. En efecto:
2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar no nulo.
No hay una instrucción de wxMaxima que realice esta transformación. Para esto se ha
de recurrir a la metodología de premultiplicación (filas) o postmultiplicación (columnas)
comentada en el caso anterior:
12. 12 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
3. Sumar a una fila o columna un múltiple escalar (no nulo) de otra fila o columna.
Veamos también su implementación con la premultiplicación por la transformación
hecha en la matriz unidad:
Y ahora con una columna:
13. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 13
A.2.2. Obtención de matrices escalonadas y matrices escalonadas reducidas.
Estas matrices se obtienen con las instrucciones “triangularize”, resultando una matriz
triangular superior, y “echelon” que da una matriz triangular superior reducida. Veamos
la sintaxis mediante unos ejemplos.
15. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 15
A-3.- Rango de una matriz. Inversa de una matriz. Factorización LU.
Los contenidos de este apartado se desarrollan en el archivo Apendice-3.wxm.
A.3.1. Rango de una matriz
Para calcular el rango de una matriz hay que aplicar la instrucción “rank”:
A.3.2. Inversa de una matriz
Para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular hay que verificar primero que su
rango es el adecuado y aplicar después la instrucción “invert”:
Como se puede ver a continuación el cálculo mediante los métodos “manuales”
tradicionales puede resultar complicado:
16. 16 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
A.3.3. Factorización LU
Para calcular la descomposición LU de una matriz cuadrada regular, es decir, dos
matrices la primera de les cuales (L) es triangular inferior y la segunda de las cuales (U)
es triangular superior, que multiplicadas en este orden dan la matriz A, hay
implementada en wxMaxima una instrucción que da el resultado correspondiente.
Veamos un ejemplo.
Veamos que la matriz es regular:
Y ahora apliquemos la instrucción que calcula estos factores:
18. 18 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
A-4.- Determinante de una matriz cuadrada.
Los contenidos de este apartado se desarrollan en el archivo Apendice-4.wxm.
Veamos el desarrollo del cálculo del determinante de una matriz cuadrada de orden n,
en los casos n = 2 y n = 3:
Como es sabido, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los
elementos de la diagonal. En efecto:
19. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 19
Veamos ahora un ejemplo numérico:
Como es conocido, la inversa de una matriz cuadrada se puede calcular aplicando el
concepto de determinante, mediante la matriz de adjuntos o cofactores transpuesta
multiplicada por el inverso del determinante de la matriz. Así, por ejemplo:
21. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 21
A-5.- Sistemas de ecuaciones lineales.
Los contenidos de este apartado se desarrollan en el archivo Apendice -5.wxm.
A.5.1. Discusión y resolución de sistemas lineales.
La mecánica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales sencillas con wxMaxima
ya es conocida. Recordémosla con un ejemplo.
Ejemplo A.5.1. Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
2 4 2
3 5 1
x y
x y
ì - =-ïïí
ï- + =ïî
Introducimos las ecuaciones y asignemos a cada ecuación una referencia:
Para resolver el sistema aplicamos la instrucción “linsolve” indicando las ecuaciones y
las variables:
Interesa ahora ilustrar el procedimiento de discusión y resolución de sistemas de
ecuaciones lineales aplicando el teorema de Rouché-Frobenius. Lo hacemos con dos
ejemplos.
Ejemplo A.5.2. Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:
2 3 1
2 1
3 2 2
x y z
x y z
x y z
ì + + =ïïïï - + = -í
ïï- + - =ïïî
Como se ha dicho antes, hay que introducir las ecuaciones y asignar a cada ecuación
una referencia:
22. 22 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Ahora calcularemos con wxMaxima las dos matrices asociadas al sistema lineal: la
matriz del sistema formada por los coeficientes de las incógnitas o variables y a
continuación la matriz ampliada, resultante de concatenar la matriz del sistema con la
columna de los términos independientes. Matriz del sistema:
Matriz ampliada: hay una instrucción de wxMaxima que da esta matriz, pero en una
forma ligeramente diferente ya que lo hace pasando al primer miembro los términos
independientes y, por lo tanto, cambiando su signo. En efecto:
Para calcular la matriz ampliada en la forma estándar, hay que definir el vector de
términos independientes y hacer la concatenación con la matriz del sistema. Por lo
tanto:
Ahora se ha de calcular el rango de cada una de estas matrices:
Por lo tanto el sistema es compatible determinado. Para resolverlo por la metodología
clásica se calcula la matriz escalonada reducida de la matriz ampliada:
23. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 23
De aquí se puede obtener la solución, así como con la instrucción de wxMaxima a estos
efectos:
Ejemplo A.5.3. Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:
2 3 1
2 1
x y z
x y z
ì + + =ïïí
ï - + =-ïî
Introducimos las ecuaciones y asignamos a cada ecuación una referencia:
Ahora calcularemos con wxMaxima las dos matrices asociadas al sistema lineal. Matriz
del sistema:
Matriz ampliada:
Ahora calculemos el rango de cada una de estas matrices:
24. 24 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Por lo tanto el sistema es compatible y simplemente indeterminado. Para resolverlo
aplicamos la instrucción de wxMaxima:
Es decir la solución es:
5 1
5
3 5
5
(parametro)
z
x
z
y
z z
ì +ïï =-ïïïïï -ïï =í
ïïïï = Îïïïïïî
Ejemplo A.5.4. Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:
2 3 1
2 4 6 1
x y z
x y z
ì + + =ïïí
ï + + =-ïî
Introducimos las ecuaciones y asignamos a cada ecuación una referencia:
Ahora calcularemos con wxMaxima las dos matrices asociadas al sistema lineal. Matriz
del sistema:
Matriz ampliada:
25. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 25
Ahora calculemos el rango de cada una de estas matrices:
Por lo tanto el sistema es incompatible. Veamos qué sucede si se quiere resolver con
wxMaxima:
A.5.2. Sistemas lineales con parámetros.
La discusión de un sistema de ecuaciones lineales a menudo involucra la existencia de
uno o más parámetros en las ecuaciones; la tipología y la solución del sistema depende
del valor de estos parámetros y hay que hacer la discusión correspondiente. Ilustraremos
el procedimiento con un par de ejemplos.
Ejemplo A.5.5. Discutir y resolver en función del parámetro a Î el sistema de
ecuaciones lineales:
3 2 1
4 2 2
2 5 3
x y z
x y z
x y az
ì - + =ïïïï + - =í
ïï - - =ïïî
Introducimos las ecuaciones y asignamos a cada ecuación una referencia:
Matriz del sistema y matriz ampliada:
26. 26 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Triangularizamos la matriz ampliada:
Ahora tenemos dos situaciones:
1) Si 11 44 0a- - = , es decir, si 4a = - , entonces 0( ) 2; ( ) 3rang A rang A= = y
por lo tanto el sistema es incompatible.
2) Si 11 44 0a- - ¹ , es decir, si 4a ¹ - , entonces 0( ) ( ) 3rang A rang A= = y
por lo tanto el sistema es compatible determinado.
En efecto:
Solución del sistema en el segundo caso ( 4a ¹ - ):
27. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 27
Ejemplo A.5.6. Discutir y resolver en función de los parámetros ,a b Î el sistema de
ecuaciones lineales:
ax y z b
x ay z b
x y az b
ì + + =ïïïï + + =í
ïï + + =ïïî
Introducimos las ecuaciones y asignamos a cada ecuación una referencia:
Matriz del sistema y matriz ampliada:
Discutiremos el rango de la matriz del sistema ya que sólo depende de un parámetro y lo
haremos con su determinante, ya que es cuadrada:
Ahora tenemos tres situaciones:
1) 1a = ;
2) 2a = - ;
3) 1a ¹ y 2a ¹ - .
Primer caso. La matriz del sistema y la matriz ampliada son:
28. 28 Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima
Rango de estas matrices:
Por lo tanto el sistema es compatible doblemente indeterminado. Solución del sistema:
Segundo caso. La matriz del sistema y su rango son:
Matriz ampliada:
Triangularizamos la matriz:
29. Apéndice: Álgebra lineal con wxMaxima 29
Por lo tanto si b≠0, el sistema es incompatible y si b=0, el sistema es compatible
simplemente indeterminado. Solución del sistema:
Tercer caso. Se sabe que el sistema es compatible determinado y entonces se puede
calcular ya la solución: