Este documento presenta una introducción a las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Explica la notación matricial y los tipos de matrices. Luego describe métodos para multiplicar matrices y calcular determinantes. Finalmente, resume métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños, como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.

1. matricesOrlando Miguel Ospino Ospino Cod 2073782Diego Leonardo Ferreira Ortiz Cod 2073477Nafis Badrán Lizarazo Cod 2072339Erika Johana Villarreal Villarreal Cod 2073468Francy Guerrero Zabala Cod 2080751Diego Fernando Gómez Páez Cod 2072320

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUnsistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. De la siguiente forma:--ason los coeficientes constantes-- b son los términos independientes constantes --nes el número de ecuaciones

3. NOTACIÓN MATRICIALUna matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. Como se muestra en la figura, [A] es la notación breve para la matriz y aij designa un elemento individual de la matriz.Un conjunto horizontal de elementos se llama renglón (o fila); y uno vertical, columna. El primer subíndice i designa el número de renglón en el cual está el elemento. El subíndice j indica la columna. Por ejemplo, el elemento a23está en el renglón 2 y la columna 3.

4. TIPOS DE MATRICES

5. TIPOS DE MATRICES

6. TIPOS DE MATRICES

7. TIPOS DE MATRICES

8. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES La primera fila de A por todas las columnas de B, generara la primera fila de la matriz producto AB.

9. La segunda fila de A por todas las columnas de B, generara la segunda fila de la matriz producto AB.

10. La tercera fila de A por todas las columnas de B, generara la tercera fila de la matriz producto AB, y así sucesivamente.Para multiplicar 2 matrices será necesario cumplir el siguiente requisito:El número de columnas de la primera matriz deberá ser igual al número de filas de la segunda.Este requisito en termino de orden será: (m,p)x(p,n)=(m,n). Donde el orden de la primera matriz es (m,p), y de la segunda matriz es (p,n), por tanto el orden de la matriz resultante sera (m,n).

11. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Ejemplo: hallar el producto de ABEl orden de A es (5,3) y el de B es (3,2), luego el orden de la matriz producto será (5,2)

12. DETERMINANTE DE UNA MATRIZEl determinante de una matriz es un concepto fundamental del algebra lineal con el cual se determina la existencia y la unidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar el determinante de una matriz A usaremos det A, aunque también se acostumbra utilizar la notación |A|.El determinante está asociado a cualquier matriz cuadrada

13. DETERMINANTE DE UNA MATRIZEsta formula se denomina expiación del det A por medio de cofactores de renglón i. La ventaja de esta fórmula es que disminuye el cálculo del det A para una matriz de mxm cálculos que requieren solo matrices (m – 1)x(m – 1). Se aplica la formula hasta que det A pueda ser expresado en términos de matrices de 2x2. Después se encuentran los determinantes de las matrices 2x2 pertinentes. Forma 2: si A es una matriz de mxm entonces para cualquier valor i y j, el ij-esimo menor de A (Aij) es la sub matriz (m – 1)x(m – 1) de A obtenida luego de eliminar el renglon i y la columna j de A.

14. NOTACIÓN MATRICIALEjemplo : determinar el determinante de la matriz ASe expande det A por medio de cofactores del renglón 1. Observe que a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3.

15. SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONESAntes de analizar los métodos computacionales, describiremos algunos métodos que son apropiados en la solución de pequeños sistemas de ecuaciones simultaneas que no requieren de una computadora, Estos son:Método grafico

16. Regla de cramer

17. Eliminación de incógnitasMÉTODO GRAFICOa11 x1 + a12x2 = b1a21 x1 + a22x2 = b2despejando x2. Para dos ecuaciones se pueden obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro x2. Debido a que en estos sistemas lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cual se ilustra fácilmente mediantes las ecuaciones generales.

18. MÉTODO GRAFICOCon el método grafico resuelva:

19. MÉTODO GRAFICOPor ejemplo, la figura 2 muestra tres casos que pueden ocasionar problemas al resolver sistemas de ecuaciones lineales. La figura 2a presenta el caso en que las dos ecuaciones representan líneas paralelas. En estos casos no existe solución, ya que las dos líneas jamás se cruzan. La figura 2b representa el caso en que las dos líneas coinciden. En este existe un número infinito de soluciones. Se dice que ambos tipos de sistemas son singulares. Además, los sistemas muy próximos a ser singulares (figura 2c) también pueden causar problemas; a estos sistemas se les llama mal condicionados.Para tres ecuaciones simultaneas, cada ecuación se representa como un plano en un sistema de coordenadas tridimensional. El punto en donde se intersecan los tres planos representa la solución. Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y por consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas. No obstante, resultan útiles para visualizar propiedades de las soluciones

20. REGLA DE CRAMERLa regla de Cramer establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b1, b2,…….bn. Para más de tres ecuaciones, la regla de Cramerno resulta práctica, ya que conforme aumenta el número de ecuaciones, los determinantes consumen tiempo al evaluarlos manualmente (o por computadora). Por eso se utilizan otras alternativas más eficientes.

21. ELIMINACION DE INCÓGNITASLa eliminación de incógnitas mediantes la combinación de ecuaciones es un método algebraico que se ilustra con un sistema de dos ecuaciones simultáneas:La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las dos ecuaciones. El resultado es una sola ecuación en las que se pueden despejar la incógnita restante. Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable. Observe que las ecuaciones 6 y 7 se relacionan directamente con la regla de Cramer, que establece.ELIMINACION DE INCÓGNITASLa eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más de tres ecuaciones. Sin embargo, los múltiples cálculos que se requieren para sistemas más grandes hacen que el método sea extremadamente tedioso para realizarse a mano. No obstante, la técnica llega a formalizarse y programarse fácilmente en la computadora.