Este documento presenta un resumen de los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como la convergencia de métodos iterativos y el criterio del residuo. Explica métodos iterativos estacionarios como Jacobi, Gauss-Seidel y SOR, y condiciones para su convergencia como que la matriz sea estrictamente diagonal dominante o que el parámetro omega esté entre 0 y 2.
Este documento presenta un resumen de los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como métodos iterativos estacionarios como Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. También cubre precondicionadores clásicos como Jacobi, Cholesky incompleta y LU incompleta para mejorar la convergencia de los métodos iterativos. El objetivo es proporcionar una introducción a estas técnicas numéricas para la resolución aproximada de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología. Presenta definiciones de conceptos como punto fronterizo, punto de acumulación, conjunto denso y conjunto compacto. Incluye demostraciones del teorema de Baire, el lema de Lebesgue y el teorema de que si una función es continua en todos sus puntos y su dominio es compacto, entonces su imagen también es compacta.
Este documento describe el movimiento parabólico y cómo realizar un experimento para estudiarlo. Explica las ecuaciones teóricas que describen la trayectoria parabólica y cómo medir el ángulo de lanzamiento y la velocidad inicial mediante regresión lineal y cuadrática de los datos experimentales. También propone un modelo de tabla para registrar los datos del experimento.
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluidas sus definiciones, propiedades y ejemplos. Primero define un espacio vectorial y sus operaciones de suma y producto por escalar. Luego presenta varios ejemplos comunes de espacios vectoriales como Rn, los polinomios y las funciones reales. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, dependencia e independencia lineal de vectores, y concluye con algunas propiedades importantes de los espacios vectoriales.
1. La diagonalización de matrices implica encontrar una base de vectores propios de la matriz que permita expresarla como una matriz diagonal mediante una transformación de coordenadas.
2. Para que una matriz sea diagonalizable, la dimensión de los subespacios propios asociados a cada autovalor debe coincidir con su orden de multiplicidad.
3. Toda matriz real simétrica posee una base de vectores propios ortonormales y por lo tanto es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.
Este documento trata sobre polinomios ortogonales estándar, sus propiedades algebraicas y analíticas. Presenta ejemplos de familias de polinomios ortogonales como los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. También describe la fórmula de recurrencia a tres términos que satisfacen los polinomios ortogonales estándar.
Este documento presenta los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define el método de Jacobi como una adaptación vectorial del método de aproximaciones sucesivas, utilizando una ecuación de recurrencia matricial. Explica que el método de Gauss-Seidel es una versión acelerada de Jacobi que actualiza las aproximaciones con cada cálculo. Finalmente, aplica ambos métodos a un ejemplo numérico de tres ecuaciones para ilustrar los procesos iterativos.
Este documento presenta 23 problemas de lógica resueltos. Los problemas abarcan temas como tablas de verdad, operadores lógicos, equivalencias lógicas y simplificación de fórmulas. Cada problema viene con múltiples opciones de respuesta para que el estudiante elija la correcta.
Este documento presenta un resumen de los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como métodos iterativos estacionarios como Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. También cubre precondicionadores clásicos como Jacobi, Cholesky incompleta y LU incompleta para mejorar la convergencia de los métodos iterativos. El objetivo es proporcionar una introducción a estas técnicas numéricas para la resolución aproximada de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología. Presenta definiciones de conceptos como punto fronterizo, punto de acumulación, conjunto denso y conjunto compacto. Incluye demostraciones del teorema de Baire, el lema de Lebesgue y el teorema de que si una función es continua en todos sus puntos y su dominio es compacto, entonces su imagen también es compacta.
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1. La diagonalización de matrices implica encontrar una base de vectores propios de la matriz que permita expresarla como una matriz diagonal mediante una transformación de coordenadas.
2. Para que una matriz sea diagonalizable, la dimensión de los subespacios propios asociados a cada autovalor debe coincidir con su orden de multiplicidad.
3. Toda matriz real simétrica posee una base de vectores propios ortonormales y por lo tanto es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.
Este documento trata sobre polinomios ortogonales estándar, sus propiedades algebraicas y analíticas. Presenta ejemplos de familias de polinomios ortogonales como los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. También describe la fórmula de recurrencia a tres términos que satisfacen los polinomios ortogonales estándar.
Este documento presenta los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define el método de Jacobi como una adaptación vectorial del método de aproximaciones sucesivas, utilizando una ecuación de recurrencia matricial. Explica que el método de Gauss-Seidel es una versión acelerada de Jacobi que actualiza las aproximaciones con cada cálculo. Finalmente, aplica ambos métodos a un ejemplo numérico de tres ecuaciones para ilustrar los procesos iterativos.
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Este documento presenta la resolución de 5 ejercicios de álgebra lineal. El primero demuestra las propiedades de la norma p y calcula su límite cuando p tiende a infinito. El segundo demuestra que toda matriz cuadrada tiene una forma de Schur. El tercero presenta la descomposición en valores singulares de una matriz.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, donde las soluciones dependen de si la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
La matriz A es diagonalizable para los valores de a iguales a 1. Para a=4, A es diagonalizable y las matrices diagonales semejantes incluyen una con valores propios 2 (doble) y -2 (simple). Para otros valores de a, A puede o no ser diagonalizable dependiendo de si la dimensión de los subespacios espectrales coincide con la multiplicidad de los valores propios.
Este documento describe varios tipos de antenas lineales, incluyendo sus características de radiación y métodos de análisis. Introduce los conceptos básicos como la radiación de un elemento de corriente, el campo lejano y cercano. Luego describe antenas específicas como dipolos eléctricamente cortos y rectos, antenas de cuadro, hélices y más. Finalmente, explica métodos para el análisis de antenas como el método de los momentos.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Se define qué es una sucesión, subsucesión, límite de una sucesión, punto de acumulación y se demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en R tiene al menos un punto de acumulación. También se define qué es una sucesión de Cauchy y se demuestra que Rn es un espacio métrico completo.
Este documento describe conceptos básicos de hidrostática, incluyendo la presión, fuerza sobre puntos en un fluido estático, y la ecuación fundamental de la hidrostática que relaciona la presión y la profundidad. También explica cómo se usan manómetros para medir diferencias de presión aplicando la ecuación de la hidrostática a columnas de fluidos de diferentes densidades en un tubo en U.
Este documento presenta un resumen de los principales conceptos y métodos del análisis multivariante. Introduce el álgebra lineal y las distribuciones normales multivariadas. Explica el análisis de la matriz de covarianzas, incluyendo componentes principales, análisis factorial y correlaciones canónicas. Finalmente, cubre técnicas de clasificación como análisis discriminante y de conglomerados.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el espacio vectorial RN. Introduce RN como un espacio vectorial sobre R, define el producto escalar euclídeo y la norma euclídea, y establece propiedades como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. También cubre nociones métricas como distancia euclídea y conceptos topológicos como conjunto cerrado y convergencia de sucesiones.
El documento introduce conceptos básicos de farmacocinética como la cinética química y enzimática, los procesos ADME y cómo se puede describir matemáticamente la concentración en el sitio de acción y la duración e intensidad de la respuesta farmacológica. Explica el uso de exponentes, logaritmos, cálculo diferencial e integral para analizar cuantitativamente el estado dinámico de un fármaco en el cuerpo, y cómo se pueden construir gráficos y ajustar curvas a los datos para visual
Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis SemiclásicoJuliho Castillo
Este documento presenta los resultados de un artículo sobre la aplicación del control estocástico al análisis semiclásico. Discuten el límite de soluciones diferenciables de la ecuación de Hamilton-Jacobi con viscosidad caracterizadas por la fórmula estocástica de Lax, que convergen a una solución de viscosidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi. También demuestran un teorema sobre el comportamiento del estado base de un operador de Schrödinger en el límite cuando el parámetro tiende a infinito.
1. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que son soluciones transversales de dichas ecuaciones y que se propagan a la velocidad de la luz.
2. Las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, transportando energía a través del espacio descrita por el vector de Poynting.
3. El espectro electromagnético clasifica las ondas según su longitud de onda, abarcando desde on
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal relevantes para el análisis en Rn, incluyendo espacios vectoriales, bases, transformaciones lineales y producto de matrices. Explica que una transformación lineal de Rn en Rm equivale a una matriz de n x m y preserva combinaciones lineales. También define la base canónica en Rn y algunos ejemplos de transformaciones lineales como proyecciones y rotaciones.
1) El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con métodos numéricos para ingenieros. 2) Incluye ejercicios sobre aritmética finita y análisis de error, solución de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. 3) El autor es Pedro Fortuny Ayuso y el documento fue creado para un curso impartido en la Universidad de Oviedad en 2011-2012.
(1) El documento presenta 5 temas sobre conceptos de física como potencial dieléctrico, capacitancia, distribución de carga en capacitores, resistividad y campo eléctrico. (2) Los problemas involucran cálculos matemáticos para determinar cantidades como potencial, capacitancia equivalente, voltaje, corriente y densidad de carga. (3) Se proveen diagramas y fórmulas para guiar la solución de cada problema.
Este documento presenta 36 ejercicios sobre métodos numéricos para ingenieros. Los ejercicios cubren temas como aritmética finita y análisis de error, solución de ecuaciones no lineales, y solución de sistemas de ecuaciones lineales. Los ejercicios incluyen cálculos, comparaciones de algoritmos y explicaciones conceptuales sobre los diferentes métodos numéricos.
Este documento presenta el método de coeficientes indeterminados para hallar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. Explica cómo probar soluciones de diferentes formas dependiendo del segundo miembro de la ecuación, como polinomios, exponenciales, seno y coseno. Proporciona ejemplos y una tabla con las formas de solución particular a probar para diferentes tipos de segundo miembro.
Este documento presenta un resumen del tema 1 del curso de Álgebra 2019-2020. Introduce conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, conectores lógicos, tablas de verdad, cuantificadores y funciones proposicionales. También explica diferentes tipos de razonamientos matemáticos como demostraciones directas, demostraciones por casos y demostraciones por inducción.
Este documento describe ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficiente constante no homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones tienen una solución general que es la suma de una solución complementaria y una solución particular. La solución complementaria satisface la ecuación homogénea asociada, mientras que la solución particular satisface la ecuación no homogénea original. También presenta varios ejemplos para ilustrar cómo encontrar las soluciones complementaria y particular, y así obtener la solución general.
Este documento introduce las fracciones algebraicas. Explica que una fracción algebraica es la expresión del cociente de dos polinomios. Proporciona ejemplos de sumar y restar fracciones algebraicas después de reducirlas a un denominador común. También cubre conceptos como simplificar fracciones algebraicas y encontrar el mínimo denominador común.
Este documento presenta las respuestas modelo a 6 preguntas sobre álgebra lineal y análisis matemático. La primera pregunta resuelve un sistema de ecuaciones lineales. La segunda expresa la sucesión de Fibonacci de forma matricial. La tercera demuestra que los polinomios pares forman un subespacio. La cuarta prueba que una aplicación dada es lineal. La quinta calcula los autovalores de una matriz. Y la sexta aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de polinomios.
Este documento presenta la resolución de 5 ejercicios de álgebra lineal. El primero demuestra las propiedades de la norma p y calcula su límite cuando p tiende a infinito. El segundo demuestra que toda matriz cuadrada tiene una forma de Schur. El tercero presenta la descomposición en valores singulares de una matriz.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, donde las soluciones dependen de si la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este documento presenta la resolución de tres ejercicios del capítulo 1 de Classical Mechanics de H. Goldstein. El primer ejercicio trata sobre una ligadura no-holonómica. El segundo analiza el efecto de cambiar potenciales sobre el lagrangiano y ecuaciones de movimiento. El tercero usa coordenadas esféricas para describir el lagrangiano y ecuaciones de un péndulo.
La matriz A es diagonalizable para los valores de a iguales a 1. Para a=4, A es diagonalizable y las matrices diagonales semejantes incluyen una con valores propios 2 (doble) y -2 (simple). Para otros valores de a, A puede o no ser diagonalizable dependiendo de si la dimensión de los subespacios espectrales coincide con la multiplicidad de los valores propios.
Este documento describe varios tipos de antenas lineales, incluyendo sus características de radiación y métodos de análisis. Introduce los conceptos básicos como la radiación de un elemento de corriente, el campo lejano y cercano. Luego describe antenas específicas como dipolos eléctricamente cortos y rectos, antenas de cuadro, hélices y más. Finalmente, explica métodos para el análisis de antenas como el método de los momentos.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Se define qué es una sucesión, subsucesión, límite de una sucesión, punto de acumulación y se demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en R tiene al menos un punto de acumulación. También se define qué es una sucesión de Cauchy y se demuestra que Rn es un espacio métrico completo.
Este documento describe conceptos básicos de hidrostática, incluyendo la presión, fuerza sobre puntos en un fluido estático, y la ecuación fundamental de la hidrostática que relaciona la presión y la profundidad. También explica cómo se usan manómetros para medir diferencias de presión aplicando la ecuación de la hidrostática a columnas de fluidos de diferentes densidades en un tubo en U.
Este documento presenta un resumen de los principales conceptos y métodos del análisis multivariante. Introduce el álgebra lineal y las distribuciones normales multivariadas. Explica el análisis de la matriz de covarianzas, incluyendo componentes principales, análisis factorial y correlaciones canónicas. Finalmente, cubre técnicas de clasificación como análisis discriminante y de conglomerados.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el espacio vectorial RN. Introduce RN como un espacio vectorial sobre R, define el producto escalar euclídeo y la norma euclídea, y establece propiedades como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. También cubre nociones métricas como distancia euclídea y conceptos topológicos como conjunto cerrado y convergencia de sucesiones.
El documento introduce conceptos básicos de farmacocinética como la cinética química y enzimática, los procesos ADME y cómo se puede describir matemáticamente la concentración en el sitio de acción y la duración e intensidad de la respuesta farmacológica. Explica el uso de exponentes, logaritmos, cálculo diferencial e integral para analizar cuantitativamente el estado dinámico de un fármaco en el cuerpo, y cómo se pueden construir gráficos y ajustar curvas a los datos para visual
Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis SemiclásicoJuliho Castillo
Este documento presenta los resultados de un artículo sobre la aplicación del control estocástico al análisis semiclásico. Discuten el límite de soluciones diferenciables de la ecuación de Hamilton-Jacobi con viscosidad caracterizadas por la fórmula estocástica de Lax, que convergen a una solución de viscosidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi. También demuestran un teorema sobre el comportamiento del estado base de un operador de Schrödinger en el límite cuando el parámetro tiende a infinito.
1. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que son soluciones transversales de dichas ecuaciones y que se propagan a la velocidad de la luz.
2. Las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, transportando energía a través del espacio descrita por el vector de Poynting.
3. El espectro electromagnético clasifica las ondas según su longitud de onda, abarcando desde on
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal relevantes para el análisis en Rn, incluyendo espacios vectoriales, bases, transformaciones lineales y producto de matrices. Explica que una transformación lineal de Rn en Rm equivale a una matriz de n x m y preserva combinaciones lineales. También define la base canónica en Rn y algunos ejemplos de transformaciones lineales como proyecciones y rotaciones.
1) El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con métodos numéricos para ingenieros. 2) Incluye ejercicios sobre aritmética finita y análisis de error, solución de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. 3) El autor es Pedro Fortuny Ayuso y el documento fue creado para un curso impartido en la Universidad de Oviedad en 2011-2012.
(1) El documento presenta 5 temas sobre conceptos de física como potencial dieléctrico, capacitancia, distribución de carga en capacitores, resistividad y campo eléctrico. (2) Los problemas involucran cálculos matemáticos para determinar cantidades como potencial, capacitancia equivalente, voltaje, corriente y densidad de carga. (3) Se proveen diagramas y fórmulas para guiar la solución de cada problema.
Este documento presenta 36 ejercicios sobre métodos numéricos para ingenieros. Los ejercicios cubren temas como aritmética finita y análisis de error, solución de ecuaciones no lineales, y solución de sistemas de ecuaciones lineales. Los ejercicios incluyen cálculos, comparaciones de algoritmos y explicaciones conceptuales sobre los diferentes métodos numéricos.
Este documento presenta el método de coeficientes indeterminados para hallar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. Explica cómo probar soluciones de diferentes formas dependiendo del segundo miembro de la ecuación, como polinomios, exponenciales, seno y coseno. Proporciona ejemplos y una tabla con las formas de solución particular a probar para diferentes tipos de segundo miembro.
Este documento presenta un resumen del tema 1 del curso de Álgebra 2019-2020. Introduce conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, conectores lógicos, tablas de verdad, cuantificadores y funciones proposicionales. También explica diferentes tipos de razonamientos matemáticos como demostraciones directas, demostraciones por casos y demostraciones por inducción.
Este documento describe ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficiente constante no homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones tienen una solución general que es la suma de una solución complementaria y una solución particular. La solución complementaria satisface la ecuación homogénea asociada, mientras que la solución particular satisface la ecuación no homogénea original. También presenta varios ejemplos para ilustrar cómo encontrar las soluciones complementaria y particular, y así obtener la solución general.
Este documento introduce las fracciones algebraicas. Explica que una fracción algebraica es la expresión del cociente de dos polinomios. Proporciona ejemplos de sumar y restar fracciones algebraicas después de reducirlas a un denominador común. También cubre conceptos como simplificar fracciones algebraicas y encontrar el mínimo denominador común.
Este documento presenta las respuestas modelo a 6 preguntas sobre álgebra lineal y análisis matemático. La primera pregunta resuelve un sistema de ecuaciones lineales. La segunda expresa la sucesión de Fibonacci de forma matricial. La tercera demuestra que los polinomios pares forman un subespacio. La cuarta prueba que una aplicación dada es lineal. La quinta calcula los autovalores de una matriz. Y la sexta aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de polinomios.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 8 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas incluyen álgebra, geometría, probabilidad y lógica. Las soluciones muestran los pasos de razonamiento matemático para llegar a la respuesta correcta de cada problema.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
El documento describe la prueba de White para detectar heterocedasticidad en un modelo de regresión. Se estima inicialmente el modelo de regresión y luego un modelo auxiliar con los residuos al cuadrado como variable dependiente. El estadístico de contraste nR2 se compara con los valores críticos de la distribución chi-cuadrado para determinar si los residuos son homocedásticos u heterocedásticos. Como ejemplo, se presenta un modelo de demanda de energía donde inicialmente los residuos son heterocedásticos, pero aplicando transformaciones
Este documento presenta ecuaciones de equilibrio. Explica la ecuación de Laplace y sus propiedades básicas. Luego, aplica estas ecuaciones a problemas como el potencial de condensadores y la mecánica de fluidos.
Este documento describe la superposición de ondas y la formación de paquetes de ondas. Explica que al superponer ondas armónicas de diferentes frecuencias se forma una onda portadora modulada por una función de envuelta. Cuanto mayor sea el número de ondas superpuestas, más estrecho será el paquete de ondas resultante. También analiza cómo varía la amplitud de la onda resultante cuando se superponen N ondas con diferencias de fase constantes.
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación. Explica cómo generar las matrices asociadas a problemas como la ecuación del calor y cómo implementar los métodos iterativos utilizando MATLAB. Además, discute las condiciones necesarias para la convergencia de cada método.
funciones cuadraticas y raiz cuadrada.pdfmartinmaltez
Este documento provee una guía sobre funciones cuadráticas y raíz cuadrada. Explica que una función cuadrática toma la forma f(x) = ax^2 + bx + c y describe sus características como parábolas simétricas y puntos de intersección con los ejes. También cubre la función raíz cuadrada f(x) = √x, describiendo su gráfica y cómo afectan los coeficientes a y c. Proporciona ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Gauss-Seidel, Jacobi y gradiente conjugado. Explica las generalidades de cada método, sus criterios de convergencia y provee algoritmos en MATLAB/Octave para implementarlos. Además, introduce conceptos clave como la teoría del punto fijo y la descomposición de matrices.
El documento resume diferentes técnicas de transformación de variables en modelos de regresión para mejorar el ajuste de los modelos. Estas incluyen transformaciones de las variables predictoras y/o de respuesta para linealizar modelos no lineales, así como transformaciones para estabilizar la varianza de los errores o mejorar la normalidad de los residuos. El autor también discute el uso de mínimos cuadrados ponderados y generalizados.
Este documento presenta 6 ejercicios de ecuaciones diferenciales para ser resueltos. Los ejercicios incluyen encontrar la ecuación diferencial de circunferencias tangentes a una recta, resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos como factores integrantes e isoclinas, y transformar una ecuación diferencial mediante cambios de variable a una forma de Bernoulli.
Este documento describe las matrices inversas y los espacios vectoriales. Explica que la matriz inversa de una matriz A es igual a su matriz adjunta dividida por su determinante, siempre que el determinante de A sea distinto de cero. También define un espacio vectorial como un conjunto con dos operaciones, suma y producto, que cumplen propiedades como asociatividad, distributividad e identidad. Finalmente, enumera algunos ejemplos de conjuntos que son espacios vectoriales, como Rn y las funciones continuas sobre un intervalo.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el Método de Jacobi, el Método de Gauss-Seidel y el Método de Gauss-Jordan. Explica que los métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel son útiles cuando hay un gran número de variables, y describe los pasos matemáticos involucrados en cada método. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del Método de Gauss-Seidel.
Este documento presenta 6 ejercicios de ecuaciones diferenciales para un curso de Matemática IV. Los ejercicios incluyen encontrar ecuaciones diferenciales de circunferencias tangentes a una recta, analizar soluciones de valor inicial, graficar curvas integrales usando isoclinas, y resolver ecuaciones diferenciales mediante factores integrantes y cambios de variables para llevar ecuaciones a formas estándar como ecuaciones de Bernoulli.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos iterativos para ecuaciones lineales. El primer ejercicio analiza un método iterativo para la inversión de matrices y establece las condiciones para su convergencia. El segundo ejercicio determina los valores de α para los que converge una sucesión iterativa dada. El tercer ejercicio resuelve un sistema de ecuaciones lineales mediante los métodos de Gauss-Jacobi y Gauss-Seidel y compara sus tasas de convergencia.
Este documento describe la dualidad en programación lineal. 1) Para cada problema lineal existe un problema dual asociado que tiene importantes propiedades y relaciones con el problema original. 2) Las soluciones óptimas de un problema primal y su problema dual son iguales si ambos problemas son factibles. 3) Las condiciones de Kuhn-Tucker son las mismas para un problema primal y su problema dual asociado.
3. Introducción
Dada una matriz invertible de tamaño n × n y un vector b ∈ Rn la única
solución del sistema
Ax = b
es
x = A−1 b
Nosotros trabajaremos con matrices vacías (sparse) es decir
matrices con un número de elementos no nulos (nz(A)) del orden
nz(A) = c · n
con c independiente de n.
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 3 / 17
4. Introducción
No se puede hacer la inversión de A ya que:
1 A−1 puede dejar de ser vacía, es decir se llena, =⇒ no se puede
almacenar.
2 Cálculo de A−1 puede costar O(n3 ) operaciones (tiempo de CPU:
años).
Buscaremos métodos aproximados para la resolución del sistema
que se basan esencialmente en el producto matriz-vector.
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 4 / 17
5. Conceptos básicos
Un método iterativo obtiene una solución aproximada de Ax = b
construyendo una sucesión de vectores:
x1 , x2 , . . . , xk
desde un vector inicial arbitrario x0 .
Un método iterativo se dice convergente si
lim xk = x .
k →∞
El vector error, en cada iteración, se define como
ek = x − xk .
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 5 / 17
6. Conceptos básicos
El vector residuo, en cada iteración, se define como
rk = b − Axk .
Se puede probar
lim xk = x ⇐⇒ lim ek = 0 ⇐⇒ lim rk = 0
k →∞ k →∞ k →∞
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 6 / 17
7. Conceptos básicos
Un método iterativo nunca da la solución exacta incluso en
precisión infinita.
Los métodos directos teóricamente producen la solución exacta;
pero en un ordenador dan errores numéricos.
Se da a priori una precisión para nuestra solución. Sea TOL el
error máximo permitido.
ek
ek < TOL, (error absoluto) o < TOL (error relativo)
x
Pero x, y ek no son conocidos el criterio de parada no es útil.
Se utiliza el criterio del residuo
rk
rk < TOL (absoluto) o < TOL (relativo)
b
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 7 / 17
8. Conceptos básicos
La relación entre el error y el residuo es
rk = b − Axk = Ax − Axk = Aek .
Usando normas matriciales:
rk ≤ A ek (1a); ek ≤ A−1 rk (1b)
Notar además
x ≤ A−1 b (2a); b ≤ A A−1 b = A x (2b)
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 8 / 17
9. Conceptos básicos
Combinando (1a) con (2a) y (1b) con (2b) obtenemos
1 rk ek rk
≤ ≤ A A−1
A A−1 b x b
Finalmente, recordando que κ(A) = A A−1 :
1 rk ek rk
≤ ≤ κ(A)
κ(A) b x b
Conclusión: Test del residuo es fiable si κ(A) no es muy grande.
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 9 / 17
10. Métodos iterativos estacionarios
Sea A la matriz del sistema Ax = b. Podemos considerar la partición
(splitting)
A=M −N
donde M = A es una matriz invertible.
Se construye el sistema iterativo
xk +1 = M −1 Nxk + M −1 b = Hxk + q, k = 0, 1, . . .
donde H es la matriz de iteración y x0 el vector inicial.
Definición
Se dice que un método iterativo es estacionario si la matriz de
iteración H es constante en todo el proceso.
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 10 / 17
11. Métodos iterativos estacionarios
Sea A tal que aii = 0 y consideremos la partición
A=L+D+U
L es la parte estrictamente triangular superior de A,
D es la parte diagonal de A,
U es la parte estrictamente triangular superior de A.
1 Método de Jacobi: M = D y N = − (L + D)
xk +1 = −D −1 (L + U)xk + D −1 b, k = 0, 1, . . .
2 Método de Gauss-Seidel: M = D + L y N = −U
xk +1 = −(D + L)−1 Uxk + (D + L)−1 b, k = 0, 1, . . .
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 11 / 17
12. Métodos iterativos estacionarios
Una iteración de Jacobi es muy barata. Sólo hay que hacer
multiplicación matriz-vector “vacía”. El número de multiplicaciones
es del orden nz(A)) además de invertir los elementos diagonales
de A.
k 1 k k k
x1 +1 = −a12 x2 − a13 x3 − · · · − a1n xn + b1
a11
k 1 k k k
x2 +1 = −a21 x1 − a23 x3 − · · · − a2n xn + b2
a22
.
.
.
k 1 k k k
xn +1 = −an1 x1 − an3 x3 − · · · − an,n−1 xn−1 + bn
ann
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 12 / 17
13. Métodos iterativos estacionarios
Una iteración Gauss-Seidel es barata. Además tiene que resolver
un sistema triangular inferior (D + L)xk +1 = b − Uxk “vacío”.
Recordar que hay que evitar invertir matrices.
En el método de Gauss-Seidel las componentes de xk +1 que ya
conocemos se utilizan en la propia iteración k + 1.
(UPV) Métodos iterativos Curso 2009-2010 13 / 17
14. Métodos iterativos estacionarios
Teorema
Sea A invertible. Un método iterativo estacionario converge, para
cualquier vector inicial x0 ∈ Rn , a la solución exacta del sistema lineal,
si y sólo si,
ρ(H) < 1
es decir, el mayor valor propio en valor absoluto de la matriz de
iteración es menor que uno.
Definición
Una matriz A = [aij ] de tamaño n × n se dice que es estrictamente
diagonal dominante si
n
|aii | > j=1, j=i |aij |, para todo i = 1, 2, . . . , n.
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15. Métodos iterativos estacionarios
Teorema
Si la matriz A es estrictamente diagonal dominante entonces el
método de Jacobi y de Gauss-Seidel son convergentes.
Se llama radio de convergencia a R = − log10 (ρ(H)). Cuanto más
pequeño sea ρ(H) mayor será la convergencia.
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16. Métodos iterativos estacionarios
Podemos definir otra descomposición de la matriz A de la forma
ωA = (D + ωL) − (−ωU + (1 − ω)D) ,
que da lugar al método ietrativo conocido como el método SOR
(successive over relaxation)
(D + ωL)x k +1 = (−ωU + (1 − ω)D)x k + ωb ,
Análogamente, se puede definir otro método SOR de la forma
(D + ωU)x k +1 = (−ωL + (1 − ω)D)x k + ωb .
Un método SOR simétrico, SSOR, viene definido por las ecuaciones
(D + ωL)x k +1/2 = (−ωU + (1 − ω)D)x k + ωb ,
(D + ωU)x k +1 = (−ωL + (1 − ω)D)x k +1/2 + ωb .
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17. Métodos iterativos estacionarios
Lema de Kahan
Sea A ∈ Cn×n con elementos diagonales no nulos. Entonces el
método SOR converge solamente si
0<ω<2
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