MATEMATICAS PARA CIENCIAS BIOLOGICAS (I Bimestre Abril Agosto 2011) Videoconferencias UTPL
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. José Miguel Fernández
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
MATEMATICAS PARA CIENCIAS BIOLOGICAS (I Bimestre Abril Agosto 2011) Videoconferencias UTPL
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. José Miguel Fernández
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Documento que desarrolla una fórmula inspirada en el método de coeficientes indeterminados para el cálculo de soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. De la misma manera en que se trabajan con derivadas en las ecuaciones diferenciales lineales y se asumen supuestos razonables, los sumatorios lo abordaremos de igual manera, pero aplicando el concepto de derivada sin el límite, es decir, con el principio de inducción, y plantenado supuestos razonables. Con esta fórmula se podrán calcular sumatorios para una pequeña familia de funciones cuyas identidades algebraicas tienen ciertas propiedades de linealidad.
esta presentación es realizada en cumplimiento con la actividad prevista en la materia de optimización de sistemas y funciones muestra 4 tipos de métodos de optimizacion con su ejemplo correspondiente
Documento que desarrolla una fórmula inspirada en el método de coeficientes indeterminados para el cálculo de soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. De la misma manera en que se trabajan con derivadas en las ecuaciones diferenciales lineales y se asumen supuestos razonables, los sumatorios lo abordaremos de igual manera, pero aplicando el concepto de derivada sin el límite, es decir, con el principio de inducción, y plantenado supuestos razonables. Con esta fórmula se podrán calcular sumatorios para una pequeña familia de funciones cuyas identidades algebraicas tienen ciertas propiedades de linealidad.
esta presentación es realizada en cumplimiento con la actividad prevista en la materia de optimización de sistemas y funciones muestra 4 tipos de métodos de optimizacion con su ejemplo correspondiente
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
productos notables, factoreo, ecuaciones, inecuaciones, ecuaciones de segundo grado.
teoría de conjuntos y operaciones básicas de aritmética y algebra.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
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Fase 1, Lenguaje algebraico y pensamiento funcional
072 076-fracciones algebraicas unidad 6
1.
2. Fracciones Algebraicas
73
Como el tiempo que tarda en recorrerlo
es
3
2
+ resulta
v - 2
v
3
2
+ = 1.
v - 2
v
A cada una de las expresiones
2
v - 2
y
3
v
las llamaremos
fracciones algebraicas.
Liliana camina todas las mañanas 5Km
en una hora.
Los primeros 3Km los recorre a una
velocidad constante v pero, ya cansada,
recorre los últimos 2 Km a una velocidad
de v-2 Km por hora.
¿Con qué velocidad camina en cada
tramo?
Recordemos que, en esta situación, el
espacio recorrido se relaciona con la
velocidad y el tiempo por la fórmula:
e = v.t
Espacio
recorrido
Velocidad
con que
recorre el
tramo
Tiempo que
tarda en
recorrerlo
Primer
tramo
3 v
3
v
Segundo
tramo
2 v - 2
2
v - 2
DEFINICIÓN
Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) ¹Op(x)
llamaremos fracción algebraica a toda
P(x)
expresión de la forma
Q(x)
.
La indeterminada x podrá tomar
aquí cualquier valor real siempre
que dicho valor no anule al
denominador.
Como puedes observar toda
expresión algebraica racional
puede expresarse como
cociente de polinomios.
EJEMPLOS
a)
3
+
+
2x 1
2
x 2
- x
b) ; x 3
x -3
¹
3. Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones
algebraicas y números fraccionarios.
Simplificación de fracciones algebraicas
Recordemos que: si a, b y r son
números reales b ¹ 0 y r ¹ 0 entonces:
74
a .r
EJEMPLO
Si x ¹ 0
2
+
a
x 3 x
3 2
A las fracciones
15
;
10
EJEMPLO
a
y
; (x -1)
+
x 3
a .r
x3 - 2x2 + x 2
(x -1)
;
(x -1)
x (x -1)
x ¹ 0 ; x ¹ 1
b
b . r
las
llamamos fracciones equivalentes.
Ejs:
25
3
6
;
5
son fracciones
equivalentes.
x 2
x 2x
+
=
+
b
b . r
=
En este caso decíamos que habíamos
simplificado los factores comunes de la
fracción.
DEFINICIÓN
Dada la fracción algebraica
P(x)
Q(x)
; Q(x) ¹ Op(x).
Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio
d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales
que:
P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) ¹ Op(x).
Luego se verifica que:
M(x)
N(x)
M(x).d(x)
N(x).d(x)
P(x)
Q(x)
= =
En este caso diremos que
M(x)
N(x)
es una simplificación de
la fracción algebraica
P(x)
Q(x)
DEFINICIÓN
Dos fracciones algebraicas
P(x)
Q(x)
M(x)
y
N(x)
son equivalentes si una de ellas es la
simplificación de la otra.
4. OBSERVACIÓN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fracción
equivalente a
75
P(x)
a.d
a
=
EJEMPLO
Dadas las fracciones:
c
=
x 3 2
+ +
c.b
x 1
;
x -1
x
2
c
y
b
; x¹0; x¹1
Para escribirlas con igual denominador
buscamos fracciones equivalentes a las dadas
con esa propiedad
x 2x - 3
x x
4 2
3 2
(x 3) (x - 1)
(x 1) x
(x 3 )
x 1
2 2 2
2
3 2
2
2 2
x - x
(x - 1) x
x -1
x - x
x (x -1)
x
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
x ¹ 0 ; x ¹ 1
Q(x)
multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio
H(x) ¹ Op(x). Me parece que son las
mismas operaciones de
números reales aplicadas a
polinomios.
Sí, deberíamos repasar
el módulo I
Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numéricas y
algebraicas.
Recordemos:
Si a, b, c y d son números reales, b ¹0,
d ¹ 0 y b ¹ d ; las fracciones
d
a
se
podían reducir a común denominador
considerando dos fracciones
equivalentes con igual denominador.
b.d
b
d.b
d
Reducción a común denominador
de fracciones algebraicas
DEFINICIÓN
Dadas las fracciones
P(x)
Q(x)
M(x)
y
N(x)
con Q(x) ¹ Op(x), N(x) ¹ Op(x)
Las expresiones:
P(x). N(x)
Q(x).N(x)
y
M(x).Q(x)
N(x).Q(x)
son
fracciones algebraicas
equivalentes a las dadas con igual
denominador.
A Q(x) . N(x) se lo llama
denominador común.
Las fracciones algebraicas
dadas fueron reducidas a
común denominador.
5. Observación: Aunque cualquier denominador común es válido, las operaciones
resultarán más sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores
comunes el de menor grado.
A este denominador se lo llama mínimo común denominador.
Regla práctica para hallar el mínimo
común denominador.
· Se factorizan los polinomios de los
3 x
;
x - 2
x +1
Suma y resta de fracciones algebraicas
P(x).N(x)
M(x)
P(x)
P(x)N(x) M(x)Q(x)
76
denominadores.
· Se multiplican todos los factores
diferentes.
· Si existen dos factores con la misma base
y distinto exponente es suficiente tomar
como factor aquel que tiene mayor
exponente.
EJEMPLO
Si debemos hallar el mínimo
común denominador de las
fracciones algebraicas:
2
2
2 x 3 ( x -1)
(x -1 )
;
x
debemos tener en cuenta los
factores x3 y (x – 1)2
El mínimo común denominador
es:
x3 (x – 1)2
Recordemos:
Dadas las fracciones numéricas
a
c
y
b
b
quedó definida:
a c
a ±
c
± =
b
b
b
Si las fracciones tienen distinto
denominador, se deben escribir
primero las fracciones con común
denominador y luego operar.
a ± = ± = ±
a.d cb
b.d
c.b
d.b
a.d
b.d
c
d
b
DEFINICIÓN
Para sumar o restar dos o más fracciones
algebraicas se deben reducir todas a
denominador común y luego sumar o restar
los polinomios de los numeradores.
Dadas
M(x)
y
N(x)
P(x)
Q(x)
;Q(x)¹Op(x); N(x)¹ Op(x)
Q(x)N(x)
M(x).Q(x)
N(x).Q(x)
Q(x).N(x)
N(x)
Q(x)
±
=
± = ± =
EJEMPLO:
29
40
24 5
40
1.5
8.5
3.8
5.8
1
8
3
5
=
+
+ = + =
EJEMPLO:
Sea x ¹ 0 y x ¹ 1
2 2 2
x 1
x 3
4 2
(x 3)(x -1) x (x 1)
x 2 x 2x -3
3 2
2
2
x - x
x (x -1)
x -1
x
+ +
=
=
+ + +
=
+
+
+