1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
05 de Marzo a 09 de Marzo
TOPOLOG´ I
IA
MIRIAM J.
Definici´n 1.14 Sean X un espacio m´trico y A ⊂ X
o e
Se dice que A es denso (en X) en cualquier parte, si: A− = X
TAREA 1.6
Teorema Mostrar que Q es denso en (con la m´trica usual)
e
Demostraci´n: o
P.D. Entre dos n´meros reales, existe un racional
u
Sean x, y ∈ , y x < y
1
Como x < y ⇒ y − x > 0. Tomamos y−x
Sabemos que ℵ no est´ acotado, entonces podemos asegurar que:
a
1
∃n ∈ ℵ tal que n > y−x (Propiedad arquimediana); es decir y − x >
1
n
..........(1)
Sea p ∈ Z la parte entera de nx. Entonces:
p ≤ nx < p + 1 ⇒ n ≤ x.....(2) y x < p+1 .....(3)
p
n
De las relaciones (1), (2) y (3) se tiene que:
y = x + (y − x) > n + n = p+1 > x
p 1
n
Es decir:
x < p+1 < y, siendo
n
p+1
n
racional.
Por lo tanto Q es denso en
Observaci´n: Q es numerable
o
1

2. SANDY.
Definici´n 1.15 Sea X un espacio m´trico. Una funci´n
o e o
U : ℵ −→ X se llama sucesi´n en X
o
n −→ xn
Rangn = {x1 , x2 , x3 , ......., xn ....} = {xn }n∈ℵ
Llamamos subsucesi´n de {xn } (U : ℵ −→ X) a una funci´n ϕ : ℵ −→ ℵ
o o
estrictamente creciente tal que U ◦ ϕ es sucesi´n.
o
Ejemplos:
n −→ n Sucesi´n = 1, 1 , 1 , 1 , ..........
1
o 2 3 4
1 1 1 1
n −→ 2n
Subsucesi´n =
o , , , ..........
2 4 6
Definici´n 1.16 Dada una sucesi´n en un espacio m´trico X, un punto
o o e
l ∈ X es l´ ımite de la sucesi´n {xn } si dado > 0 ∃N ∈ ℵ tal que
o
{xn } ∈ B (l) ∀n > N
Decimos que xn − → →
n− −
−∞
ie. {xn } converge a l cuando n crece indefinidamente
TAREA 1.7
Lema Si {xn }n∈ℵ −→ l y {xnk }k∈ℵ es una subsucesi´n de {xn }n∈ℵ , en-
o
tonces {xnk }k∈ℵ −→ l
Demostraci´n:
o
Supongamos que {xn }n∈ℵ es una sucesi´n convergente con l´
o ımite l.
Entonces dado > 0 existe un n´mero natural p tal que si n > p se
u
verifica que |xn − l| <
Sea {xnk }k∈ℵ una subsucesi´n de {xn }n∈ℵ
o
Necesariamente para todo k ∈ ℵ se cumple que k ≤ nk , por tanto, dado
> 0 y si k > p se tiene que |xnk − l| < lo cual significa que {xnk }k∈ℵ −→ l
MIRIAM J.
Definici´n 1.17 Dada una sucesi´n {xn } en un espacio m´trico X, de-
o o e
2

3. cimos que un punto x ∈ X es punto de acumulaci´n de xn si dado
o >0
∃N ∈ ℵ tal que para alg´n n > N , entonces xn ∈ B (x)
u
TAREA 1.8
Lema En un espacio m´trico X, todo punto adherente a la imagen de
e
una sucesi´n es, o un punto de ella o bien un punto de acumulaci´n (de ella).
o ´ o
Demostraci´n:
o
Supongamos que x es un punto adherente de xn
Si x = xm ∀n ∈ ℵ, como x es adherente a {xn }, para V una vecindad de
x, se tiene V ∩ {xn } = φ
Sea Br (x) ⊂ V , si Br (x) ∩ {xn } = {x1 , x2 , x3 , ......, xk } entonces Bs (x)
donde s = inf d(x, xk ), tenemos que Bs (x) ∩ {xn } = φ, esto implica que ∃W
una vecindad de x tal que: W ∩ {xn } = φ.
Por lo tanto x no es adherente a {xn }
Ejemplo:
ℵ −→
n −→ (−1)n
Corolario Si {xn } es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n, entonces {xn }
o o
es cerrada.
SANDY.
Definici´n 1.18 Sean X un espacio m´trico y x ∈ X
o e
Se dice que x es punto de acumulaci´n de {xn } si dado
o > 0, ∀m ∈ ℵ
∃n ∈ ℵ, n > m tal que xn ∈ B (x)
Observaciones:
i) Si x ∈ X es punto de acumulaci´n de la sucesi´n {xn }, entonces ∀N
o o
vecindad de X, N {xn } = ∅
ii) Cada V vecindad de X tiene una infinidad de t´rminos de {xn }.
e
ie. {xn } tiene una subsucesi´n convergente a x
o
iii) Si x es punto de acumulaci´n de {xn }, existe xϕ(n) ⊂ {xn } tal que
o
−→ → x
xϕ(n) n −−
−∞
Observaciones:
i) A− = A ∪ Aa
A = Rangu
ii) Si {xn } es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n, entonces Rangu
o o
3

4. es un conjunto cerrado
Demostraci´n: o
Sea {xn } ={x}
{1, 2, 3, ..., n, n + 1, ...}
como x ∈{xn } ∃BEx tal que BEx ⊂{xn }c
⇒ {xn }c es abierto
⇒ {xn } es cerrado.
MIRIAM J. Y SANDY
TAREA 1.9
Teorema (Bolzano-Wiesstras)
En el espacio m´trico n . Toda sucesi´n acotada tiene, al menos, un pun-
e o
to de acumulaci´n.
o
Demostraci´n:
o
Primero lo demostraremos para . Sean {xn } una sucesi´n acotada y M
o
la cota.
Sea Ak = {xn : n > k} la cola k
Ak = φ, ∀y ∈ Ak , |y| < M
Sea Ck = supAk como Ak+1 ⊂ Ak , entonces {Ck } es una sucesi´n decre-
o
ciente, pero tambi´n est´ acotada inferiormente, lo cual implica que existe la
e a
m´xima cota inferior, es decir inf {Ck } = γ.
a
Dado > 0, {Ck } ∈ B (γ), para k suficientemente grande.
Por lo tanto x es punto de acumulaci´n de xk
o
Ahora demostremos para n
Sea {xn }n∈ℵ una sucesi´n acotada
o
Supongamos que {xn }n∈ℵ
Definici´n 1.19: Sea X un espacio m´trico. Una sucesi´n {xn }n∈ℵ en X
o e o
es una sucesi´n de Cauchy si dado > 0, ∃N ∈ ℵ tal que d(xn , xm ) <
o
para n, m > ℵ .
Observaci´n: Toda subsucesi´n de una sucesi´n de Cauchy es de Cauchy.
o o o
Sea {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy
o
Definici´n 1.20 Sea X un espacio m´trico, X se llama completo si toda
o e
sucesi´n de Cauchy es convergente.
o
4

5. Observaciones:
i) La propiedad de ser completo se llama plenitud.
ii) es completo, Q no es completo
iii) La propoiedad de ser de Cauchy es un criterio de convergencia.
Lema: En un espacio m´trico toda sucesi´n de Cauchy que tiene una sub-
e o
sucesi´n convergente es convergente.
o
Demostraci´n:
o
Como xϕ(u) −→ , dado > 0 ∃N ∈ ℵ tal que
n−→∞
d(xϕn , ) < /2 para n > ℵ.
d(xn , ) ≤ d(xn , xϕn ) + d(xϕn , )
d(xn , ) < /2 + /2
d(xn , ) <
ie: xn→
Por lo tanto se prob´ que es convergente.
o
Lema: n con la m´trica euclidiana es completo.
e
Demostraci´n:
o
n n
Q.P.Q Dada una sucesi´n de Cauchy {xn } en
o existe x ∈ tal que
−→ → x
xn n−−
−∞
Como {xn } es de Cauchy, para = 1 ∃N1 ∈ ℵ tal que
|xn − xm | < 1 n, m > N1
K = max {|xi |, 1} donde 1 ≤ i ≤ N1
|xr | = |xr − xN1 + xN1 |
|xr | ≤ |xr − xN1 | + |xN1 |
|xr | ≤ 1 + K
Por lo tanto est´ acotada.
a
Por el T. de BW como est´ acotada, tiene un punto de acumulaci´n, co-
a o
mo tiene punto de acumulaci´n, tiene una subsucesi´n que converge (por un
o o
corolario anterior)
Y como toda sucesi´n de Cauchy que tiene una subsucesi´n es convergen-
o o
te, hemos probado que converge.
n
Por lo tanto es completo.
5