1. Antenas Lineales
• Radiación de un elemento de Corriente
• Campo Próximo y Lejano
• Dipolos
– Dipolos Eléctricamente Cortos
– Dipolos Rectos.
• Antenas de Cuadro.
• Hélices
• Método de los Momentos.
– Ecuación de Hallen
– Ecuación Integral de Pocklington.
– Ecuación de Shelkunoff
– Point-Matching.
– Método de los Residuos Promediados.
– Método de Galerkin.
– Modelado de la Fuente.
• Yagis
• Antena Logperiódica de Dipolos
Antenas Lineales
Elementos de Corriente y Onda Progresiva
Bajo esta denominación se
estudian las antenas construidas
con hilos conductores
eléctricamente delgados (de
diámetro muy pequeño en
comparación con λ). En estas
condiciones las corrientes fluyen
longitudinalmente sobre la
superficie del hilo.
• Análisis
• Convencional aproximado:
Postulación de corriente y
Potencial Vector Retardado
• Preciso: Método de los
Momentos
1

2. Campo radiado por un elemento de corriente
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado
en el seno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
• Los campos producidos por esta fuente permiten, aplicando superposición,
calcular los campos radiados por fuentes extensas. Introduciendo los
potenciales A y Φ
r r r r
r
r
B= ∇×A
r
⇐ (∇r⋅ B = 0) r z
µ, ε
E = −∇Φ − jωA ⇐
r
(∇ × E = − jωB)
∇ ⋅ A + jωµεΦ = 0 Ec. Lorentz
J z = I dS
+ otras Ec. de Maxwell ⇒
r r r r rr dV = dl ⋅ dS
∆ A ( r ) + k A ( r ) = − µ J ( r ′ )
2
 ( ∆ + k ) A z = − µJ z
2 x y
k 2 = ω 2 µε
0  Idl
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
Campo radiado por un Elemento de Corriente
• Como este problema y su fuente presentan simetría esférica, la anterior ecuación
queda así:
[1]
1 d  2
dA z 2
r  + k A z = −µJ z
r 2 dr  dr 
• Esta es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
e − jkr La solución física de
A z1 ( r ) = C1 Propagación hacia r → ∞
r nuestro problema
e jkr
A z2 ( r ) = C 2 Propagación hacia r → 0
r
Integrando sobre la Ecuación Completa [1] µ µ
C1 = J z dV = Idl
sobre una esfera de r → 0 4π 4π
2

3. Campo radiado por un Elemento de Corriente
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
r 1 r $
z
H = ∇×A Sustituyendo r 6447448
µ µ e − jkr
r 1 r A=
4π r
r ( $
Idl $ cos θ − θ sen θ )
E= ∇×H
jωε
Si kr>>1 (r>>λ) predominan los
términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
r
$ ∂ ∂  $ Idl sen θ 
H = φ  ( rA θ ) − A r  = φ
1 − jkr
 jk +  e r e − jkr $
 ∂r ∂θ  4 πr  r H = jkI dl sen θ φ
4 πr
r jηIdl   jk 1  $ sen θ  k
2
jk 1   r e − jkr
E=  r cos θ 2 + 3  + θ
$ − + 2 + 3  e − jkr E = jηkI dl sen θ $
θ
2 πk  r r  2  r r r  4 πr
Campos de radiación: E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
Campos de Radiación de una Antena
• Una distribución real de corriente se tratará
como formada por elementos de corriente J
situados en r’. z
rr
r r J ( r′)
r r µ e − jk r − r ′
rr j r r P
dA( r ) = r − r′
r r J ( r ′)dV r
4π r − r ′ r′ r
r
• El potencial total radiado será la
superposición.
x y
rr r r r r r r r r r
r r µ J ( r ′)e− jk r − r ′ r r µ J s( r ′)e− jk r − r ′ r r µ I( r ′)e− jk r − r ′ r
4π ∫V ′ 4π ∫S′ 4π ∫L ′ r − r ′
A( r ) = r r dv′ A( r ) = r r dS′ A( r ) = r r dl′
r − r′ r − r′
Volumen Superficie Línea
3

4. Campos de Radiación de una Antena
Aproximaciones de Campo Lejano
• Cuando k r-r’ >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
rr r r
  r ′  2 2$ ⋅ r′ 
12
r r µ J ( r ′)e− jk r − r ′ r r r r 12 r r
A( r ) =
4π ∫V ′
r r
r − r′
dv′ [ ]
R = r − r ′ = r 2 + r ′2 − 2 r ⋅ r ′ = r 1 +   −
  r r 

 
r r
r >> rmax
′
r r r
µ e − jkr r r jkr$⋅r ′  1  2r ⋅ r′  
$ r
A( r ) =
4π r ∫∫∫ V′
J ( r ′) e r dV ′ R ≈ r 1 − 
 2  r 
  = r − r ⋅ r′
$
• Los campos de Radiación cuando k r-r’ >>1 valen:
r r r
r jω r r r×E
$ E⊥H
H=−
η
$(
r×A ) H=
η
r
E⊥$r
r r r r r
((
E = − jω $ × A × $
r r ) ) E = η H×$(r ) H ⊥r
$
Condición de Campo Lejano
• El máximo error de fase cometido permite definir un criterio de distancia mínima.
r El máximo error de fase es:
r − r ⋅ r′ = r
$ P
D r  
r′ D2 D2
2
k r 2 +
 − r = k

D  4  8r
R = r2 +
4
• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario aplicarlo a la hora de realizar medidas de
antenas, si bien a veces es insuficiente para medidas de lóbulos secundarios muy
bajos.
Dando un valor de π/8 (=22,5º), que introduce 2 D2
rMinima ≈
poco error en los cálculos: λ
4

5. Campos de Radiación de una Antena
Propiedades
• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:
– La dependencia de E y H con r es la de una onda esférica e-jkr/r.
– Los campos E y H dependen de θ y φ puesto que la onda esférica es no homogénea.
– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:
r
E⊥r r
$ r
E = ηH
H⊥ r
$
– Los campos E y H no poseen componente radiales:
r r Er = 0 Hr = 0
A( r ) = A r r + A θ θ + A φ φ 
$ $ $

r r  E θ = − jωA θ Eθ Hφ = η
((
E = − jω $ × A × $ 
r r
 ) ) E φ = − jωA φ − Eφ Hθ = η
Dipolos Eléctricamente Pequeños
Dipolos Ideales
r µ e − jkr r e − jkr $ E( θ )
z I( z ) = I 0 A= $
I 0 lz E = jηkI 0 l sen θ θ = sen θ
4π r 4 πr E MAX
a << λ z
2
I0 l << λ π
= ∫ U(θ, φ)dΩ = Z 0 I 0  
2 l
l Prad   D0 = 3 2
4π 3  λ
x y 2
= 80 π 2  
2 PR l
2a Resistencia de R rad =   l =0,1λ Rrad=8Ω
Radiación I0
2
 λ
Resistencia de Pérdidas
dV E dz Rs E z (ρ = a ) ωµ
dR perd = = z = dz Rs = = a >> δ
I 2 πaH φ 2 πa H φ (ρ = a ) 2σ
ρ= a
2 Pperd 2 1 RS l
∫ 2 2 πa I ( z )
2
R perd = 2 = 2 dz = RS Látigo de 1 m (1 MHz) formado por una
I0 I0 l 2 πa varilla de cobre 8 mm
Rrad=0,0088Ω
R rad Rperd=0,0103Ω
Rendimiento =
R perds + R rad Rend ≈ 46%
5

6. Dipolos Cortos Reales
r
Sin Carga Capacitiva (corriente triangular) l<0,3λ ⇒ e − jkr$ ⋅r ′ ≈ 1
r 1r r 1r E ∆ (θ)
z A∆ = AΠ E∆ = EΠ = sen θ
2 2 E ∆MAX
I0 1
Prad∆ = PradΠ D0 ∆ = D0Π = 3 2
l 4
2
R radΠ = 20 π 2  
x y 1 l
Resistencia de R rad∆ =  
2a 4  λ
Radiación
1 l
Resistencia de R perd∆ = R perdΠ = RS
3 6 πa
z Pérdidas
I0 • Eficiencia menor que en el caso ideal (corriente uniforme).
• Rin= Rrad+ Rperd casi 4 veces menor.
I(z) • Zin= Rin + j Xc , Xc=-1/ ωC >> Rin
• Difícil de adaptar. Bandas estrechas.
Monopolos Cortos Reales
Con Carga Capacitiva (corriente uniformizada)
L Modelo de
Radiación
Sombrilla Capacitiva
l I(z) Antena en L Aisladores
≈ 2l
Imagen Monopolo con riostras
•La capacidad terminal permite corrientes más uniformes en la zona activa
•Se obtienen valores de Rrad más próximas al dipolo ideal.
•Se reduce la reactancia de entrada, facilitando la adaptación.
6

7. Dipolos Rectos
• Para dipolos como los de la figura de longitud L y alimentados en el centro la
distribución aproximada de corriente es:
 L  L
I(z) = Imsin k − z   z<
z  2  2
L/2
I(z) La distribución de corriente se supone como la de la línea
IIN θ de transmisión en circuito abierto aún después de haberla
L rectificado.
z
I(z)
z
z
 L Im Im Im
I IN = I msin  k  I(z) I(z) I(z)
 2
L<λ/2 L=λ/2 L=λ
Dipolos Rectos
Comparación del modelo de corriente sinusoidal con la del Método de los Momentos
2 2
El modelo sinusoidal permite obtener expresiones cerradas para el diagrama de
radiación suficientemente exactas y de fácil interpretación. Deja, sin embargo,
bastante que desear a la hora de calcular la impedancia de entrada, sobre todo
para dipolos antiresonantes (L=2l del orden de λ)
7

8. Dipolos Rectos
Diagrama de Radiación:
r µ e − jkr r r r
∫ I( r ′ )e
jkr ⋅ r ′
$
Potencial: A= dl ′ =
4π r C′
z µ e − jkr L/2  L 
=
4π r ∫ − L/ 2
I m sen k  − z   e jkz′ cosθ zdz′ =
 2 
$
r
z’ I(z’)  kL   kL 
cos cos θ − cos   
θ µ e − jkr 2I m  2   2 
= cos θr 2sen θθ
14$ − 44 
$
L 4π r k 2
sen θ  4 3
 $
z 
r
r ⋅ r ′ = ( sen θ cos φ x + sen θ sen φ y + cos θz) ⋅ ( z′ z) = z′ cos θ
$ $ $ $ $
cos cos θ − cos 
kL kL
   
r − jkr
$ + A φ = jη e I  2   2 $
Campo: E = − jω A θ θ (φ
$
2 πr
m )
sen θ
θ
Eφ = 0 Polarización Lineal
Dipolos Rectos
 kL   kL 
cos cos θ − cos 
e− jkr  2   2
Diagrama de Radiación: E θ = jη Im
2 πr sen θ
90 90 90
1 1 1
120 60 120 60 120 60
0.8 0.8 0.8
0.6 0.6 0.6
150 30 150 30 150 30
0.4 0.4 0.4
E 0.2 E 0.2 E 0.2
i
max ( E )
180
z 0
i
max( E )
180
z 0
i
max( E )
180
z 0
210 330 210 330 210 330
240 300 240 300 240 300
270 270 270
BW-3dB=78º θi
BW-3dB=47º θi θi
L=0.5λ L=λ L=1.5λ
π 
cos cos θ Diagrama multilobulado
Diagrama 2  1 + cos( π cos θ)
normalizado
cosθ 2 sen θ carente de interés
de campo:
8

9. Dipolos Rectos
1 r2 2
Potencia Radiada Prad = ∫ U(θ, φ)dΩ = ∫4 π E r dΩ =
4π 2η
2
 kL 
cos cos θ − cos  
kL
   
2π π η 2  2   2 
=∫ ∫ Im   r 2 sen θdθdφ =
φ = 0 θ = 0 8π 2 r 2
 sen θ 
 
 
2
  kL  kL 
 cos τ − cos  
 
η 2 1  2   2 
2 π ∫0
τ = cos θ = Im dτ
1 − τ2
2 Prad
Resistencia de Radiación Prad = I 2 R rad I 2 = I 2 sen 2  k 
1 L R rad =
 
I sen 2  k 
in in m
2  2 2 L
m  2
 
Dipolos Rectos
Resistencia de Entrada ≈ Rrad: Valor Aproximado Rain:
  L
2
λ
  kL  kL 
2
 20 π 
 λ
0<L<
 cos τ − cos  
   4
1 η 1  2   2  
2.4
λ λ
Ra in ≈  24.7 π 
L
R in = ∫0 dτ 
 λ
 <L<
sen 2  k  π 1 − τ2
L 4 2

 2
  1114 π L 
4 .17
λ
 .  λ
  2
< L < 0.637λ

3000 250
2500
200
2000
R in( L ) R in( L ) 150
1500
R rad( L ) Ra in( L )
100
1000
a →0
50
500 L=λ/2
0
0 0.5 1 1.5 2
Rrad=73 Ω 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
L /λ L /λ
9

10. Dipolos Rectos
Directividad:
6
dB
U(θ, φ) max 5
D0 = 4π =
Prad
4
r2 2
E D( L )
2 η θ max
= 4π 2
3
  kL  kL 
 cos τ − cos  
 
η 2 1  2   2 
Im ∫ 2
d 2
2π 0 1− τ
1
0.5 1 1.5 2
L /λ
D0(L=λ/2)=1.64 ⇒ 2.16 dB
Dipolos Rectos
Autoimpedancia (ZIN=Re+jXe) Fórmula de Tai (validez 2,6<kL<3,4)
(
Z IN = 122,65 − 102 kL + 27,5(kL ) −
2
)
L/2a
   L    kL  2
− j120 ⋅  ln  − 1 cot   − 162,5 + 70kL − 10(kL ) 
   
  a   2  
ZIN(λ/2)=73+j42,5 Ω cuando a → 0
a=radio del dipolo
L/λ
Condición de Resonancia
L/2a
Resonancia
λ % 
L= 1−
2  100 
 
L/λ
L/2a
10

11. Dipolos Rectos
Cuando es necesario trabajar en bandas muy anchas se utilizan dipolos gruesos
construidos con varillas cortocircuitadas. En las fotos se pueden ver monopolos de
onda corta utilizados sobre buques.
Rotaciones de Antenas
La Rotación conlleva un giro de los vectores de Campo radiado.
Las etapas necesarias son:
• Se parte de la expresión del potencial en componentes cartesianas.
• Los ángulos se definen en el nuevo sistema de coordenadas.
Como ejemplo:
π
Dipolo sobre cos cos α
 
(θd,φd)
r µ 2 I m e − jkr 2 
A = rd
$
π
z cos cos θ
2
z $d
r 4π k r sen α
  r
r e − jkr 2 $ A = rd A rd = xA x + yA y + zA z
$ $ $ $
E = jη Im θ
2 πr sen θ θd
α A x = A rd sen θ d cos φ d  r
θ  A = A ⋅θ$
r A y = A rd sen θ d sen φ d  ⇒ θ r
λ/2 r $
 Aφ = A ⋅ φ
x A z = A rd cos θ d 
π
cos cos θ
  E θ = − jωA θ
r µ 2I m e − jkr 2  y
A=z
$ φd E φ = − j ωA φ
4π k r sen 2 θ
cos α = rd ⋅ r = sen θ d sen θ cos(φ − φ d ) + cos θ d cos θ
$ $
sen 2 α = 1 − cos 2 α
11

12. Rotaciones de Dipolos λ/2
Dipolo según x (θd=π/2 ,φd=0) Dipolo según y (θd=π/2 ,φd=π/2)
cos α = sen θ cos φ cos α = sen θ sen φ
sen 2 α = 1 − sen 2 θ cos 2 φ sen 2 α = 1 − sen 2 θ sen 2 φ
r
A = xA x
$


( )
A θ = A x x ⋅ θ = A x cos θ cos φ
$ $ r
A = yA y
$


( )
A θ = A y y ⋅ θ = A y cos θ sen φ
$ $
( ) $ $
A φ = A x x ⋅ φ = − A x sen φ
 ( ) $ $
A φ = A y y ⋅ φ = A y cos φ

r r
E = E θ + E φ = − jω( A θ + A φ)
$
θ
$
φ
$ $
θ φ E = E θ + E φ = − jω( A θ + A φ)
$
θ
$
φ
$
θ
$
φ
π π
cos sen θ cos φ
  cos sen θ sen φ
 
e − jkr 2  e − jkr 2 
E θ = − jη Im 2 2
cos θ cos φ E θ = − jη Im 2 2
cos θ sen φ
2 πr 1 − sen θ cos φ 2 πr 1 − sen θ sen φ
π π
cos sen θ cos φ
  cos sen θ sen φ
 
e − jkr 2  e − jkr 2 
E φ = jη Im sen φ E φ = − jη Im cos φ
2 πr 1 − sen 2 θ cos 2 φ 2 πr 1 − sen 2 θ sen 2 φ
Traslaciones de Antenas
La expresión de los campos de una antena trasladada se relacionan con los que
crea la misma antena centrada en el origen de coordenadas a través del fasor que
tiene en cuenta el adelanto o retraso de fase de la onda radiada según la dirección
considerada.
^
r(θ,φ)
z θ
z
_ ^
r(θ,φ)
^
r(θ,φ) r1
θ θ r
$ ⋅ r1
r
r x Traslación r1
E 0 (θ, φ) r r r
E1 (θ, φ) = E 0 (θ, φ) ⋅ e jkr ⋅r1
$
y
12

13. Teorema de Imágenes en Electrodinámica
r r
J J
ρ ρ
$
z dV dV
r h r
E t ( z = 0) = 0 E t ( z = 0) = 0
>
<
Conductor Eléctrico h
Perfecto, Plano e Indefinido dV
ρi = −ρ r
Ji
Cargas y Corrientes Imágenes
r Resultados
 ρ  J = Jxx + Jyy + Jzz
 $ $ $
  r válidos sólo para z ≥0
ρi = −ρ Ji = − J x x − J y y + J z z
 $ $ $
Monopolo Vertical sobre Plano de Conductor
z z
h
I I
>
< 2h
2V
V I
Um
Dm = 4 π  U m = U d ( 0 ≤ θ ≤ π 2)
Pm  2V
 2π π 2 1 ZINdipolo = = 2 ZINMonopolo
Pm = ∫φ = 0 ∫θ =0 U m (θ, φ) sen θdθdφ = 2 Pd
Ud I
Dd = 4π 
Pd
1
ZINmonopolo = Z INdipolo
Dmonopolo = 2 Ddipolo 2
13

14. Ejemplos de Monopolos Verticales
Monopolos de radiodifusión de Onda Monopolo sobre plano conductor
Media sobre tierra simulado con varillas
Carga Capacitiva
Varillas radiales para
Diagrama
reducir pérdidas Típico
ohmicas
Dipolos paralelos a un plano conductor
z z
h I h I
>
< h I
• Si h<<λ el campo radiado es pequeño (Rin muy pequeña).
• Si h=λ/4 el campo se refuerza en dirección del eje z.
• Con planos conductores finitos la aproximación no es mala si las dimensiones
del plano son superiores a λ (dipolos λ/2). Afecta poco al diagrama frontal,
pero aparece algo de radiación posterior a causa de la difracción en el borde
del plano. Afecta algo más a Zin.
14

15. Dipolo Doblado
• Construido con dos dipolos paralelos conectados por sus extremos formando
una espira alargada y alimentado en el centro de uno de los dipolos.
• Se analiza superponiendo dos modos de corriente:
– Modo de Línea de Transmisión (no produce campo radiado d<<λ)
– Modo de Antena.
Modo de Línea Modo de
de Transmisión + Antena
s
It It Ia/2 Ia/2
IIN + + +
L = V/2 V/2 V/2 V/2
V +
Zc V2  L
Zt = = jZ C tan k 
It  2
 s
ZC = 120 ln  si s >> a
 a
Dipolo Doblado
Impedancia de Entrada
• Para el modo antena la configuración se comporta como un dipolo normal de
radio equivalente ae
ae = s⋅ a a= radio de la varilla del dipolo plegado
Ia/2 Ia/2 V2
Za = Z dipolo ( L ,a e ) =
+ + Ia + Ia
V/2 V/2 = V/2
V 2
It =
2ae Zt  I V 4 Z t Za
I = It + a
V 2  IN
Zin = =
Ia =  2 I Z t + 2 Za
s Za 
Cuando el dipolo es resonante,L ≈ λ/2 Zin = 4 Z a ≈ 4 ⋅ 73 = 292 Ω
Ventajas: Aumenta la impedancia de entrada y la anchura de banda, puesto
que cuando Zt se hace inductiva (L/2<λ/4) Za es capacitiva y viceversa.
15

16. Antenas de Cuadro
Distribuciones de Corriente Aproximadas
Espira eléctricamente pequeña: Espira eléctricamente grande:
l=λ/2
Línea larga
Aproximación l<<λ
en c.c. Nulo
de línea corta en
c.c. Máximo
Máximo
Nulo
•Corriente uniforme •Corriente no uniforme
•Diagrama útil •Diagrama multilobulado poco útil
•Rendimiento bajo •Rendimiento alto
Antenas de cuadro con corriente uniforme
Potencial:
z r r
µ e − jkr r r
∫ I ( r ′ )e
jkr ⋅ r ′
$
θ A= dl ′ =
4π r C′
I(φ ′ ) = I 0 r
µ e − jkr 2π
= ∫ I 0 ( − x sen φ ′ + y cos φ ′ )e jkb sen θ cos( φ −φ ′ ) bdφ ′
$ $
r’ b 4π r −0 144 2444 4 3
$
φ′
φ’ r
r ⋅ r ′ = ( sen θ cos φ x + sen θ sen φ y + cos θz) ⋅ ( b cos φ ′x + b sen φ′y) =
$ $ $ $ $ $
x φ y = b cos θ cos( φ − φ′ )
µ e − jkr 2π jkb sen θ cos ( φ − φ ′ ) 2π jkb sen θ cos( φ − φ′ )
Aθ = I 0 b cos θ[cos φ ∫ − sen φ ′e dφ ′ + sen φ ∫ cos φ′e dφ ′ ]
4π r −0
14444244443 −0
1444 24444 4 3
− jkr
Ix Iy
µ e 2π 2π
Aφ = I 0 b[− sen φ ∫ − sen φ ′e jkb sen θ cos( φ −φ ′ ) dφ′ + cos φ ∫ cos φ ′e jkb sen θ cos( φ − φ ′ ) dφ ′]
4π r −0
14444244443 −0
1444 244444 3
Ix Iy
− jkr
µ e 2π
Aθ = I 0 b cos θ ∫ sen( φ − φ ′ )e jkb sen θ cos( φ − φ ′ ) dφ ′
4π r −0
µ e − jkr 2π
Aφ = I 0 b ∫ cos( φ − φ ′ )e jkb sen θ cos( φ − φ ′ )dφ ′
4π r −0
16

17. Análisis de las Antenas de Cuadro
m
∫
m− 2 π
sen x e jB cos x = 0 Aθ = 0
µ e − jkr
I 0 b J 1 ( kb sen θ)
m
∫
m− 2 π
cos x e jB cos x = j2 πJ 1 ( B) Aφ = j
2 r
Función de Bessel
1
J1(x)
0.5
xmax 1.841 5.333 8.536 11.702
J1(xmax) 0.582 -0.346 0.273 -0.233
0 Ceros 3.833 7.016 10.175 13.324
0.5
Pendiente en el origen: 0,5
0 5 10 15 20
x
Análisis de Antenas de Cuadro
r η e − jkr
Campo: $ ( $
E = − jω A θ θ + A φ φ = π
λ r
) $
I 0 b J 1 ( kb sen θ)φ
Eθ = 0 Polarización Lineal Diagrama multilobulado
carente de interés
90 90 90
1 1 1
120 60 120 60 120 60
0.8 0.8 0.8
0.6 0.6 0.6
150 30 150 30 150 30
0.4 0.4 0.4
E 0.2 E 0.2 E 0.2
i
max( E )
180
z 0
i
max( E )
180
z 0
i
max( E )
180
z 0
210 330 210 330 210 330
240 300 240 300 240 300
270 270 270
2πb=0,1λ 2πb=λ 2πb=4λ
r ηπ e − jkr
Aproximación de kb << 1 1 $
J 1 ( kb sen θ) ≈ kb sen θ E= 2 I 0 A sen θ φ
cuadro pequeño 2 λ r
!Expresión válida para cualquier forma de espira de area A! A = πb 2
17

18. Cuadro Electricamente Pequeño
Cuadros Simples
r ηπ e − jkr E( θ )
E= 2 $
I 0 A sen θ φ A = πb 2 = sen θ
z λ r E MAX
Z0 2
b Prad = ∫ U(θ, φ)dΩ =
4π 12 π
2
(
I0 k 2A ) D0 = 3 2
I0
a 2
Resistencia de R rad = R = 20( k 2 A ) = 31200 2  que la del dipolo
x y 2P 2 A Mucho menor
I( z ) = I 0  
I0
2
λ 
a << λ radiación de longitud 2πb
b << λ 2P 2 1 R 2 2 πb b
= 2∫ I( l) dl =
perd S
z Resistencia de R perd = 2
RS = RS
I0 I 0 l 2 2 πa 2 πa a
Pérdidas
E z (ρ = a ) ωµ
Rs = =
H z (ρ = a ) 2σ
R rad Valores típicos del orden de 10-4
Rendimiento = restringen su uso a aplicaciones de
R perds + R rad
recepción en baja frecuencia
Cuadros Pequeños Reales
Se obtiene una mayor Rin arrollando n espiras juntas. Para corriente uniforme (n2πb<<λ) vale:
2
R rad = 31200 n 2  2 
A
E ∝ nI 0 Prad ∝ n 2 I 2  
0
λ 
Se aumenta también la Rin arrollando las espiras sobre un nucleos de ferrita ya que el valor de
k aumenta ( k = ω µ 0 ε 0 µ eff ). Utilizando la Ley de Faraday, la tensión en bornas de la antena
2
vale:
R rad = 31200 nµ eff 2 
d r r A
V = − ∫∫ nB ⋅ dS = − jωµ 0 µ eff nHA  
dt S  λ 
La permeabilidad efectiva del material depende de
la permeabilidad intrínseca y de su geometría. En la
figura se relaciona el factor D de demagnetización
con la forma del núcleo.
µ int
µ eff = µ eff ≈ 10 2 a 10 3
1 + D( µ int − 1)
La impedancia de entrada de estos cuadros es
siempre inductiva: Zin=Rin+jωL
  16b  
L = µ eff µ 0 nb ln  − 175
.
  2a  
18

19. Cuadro de Alford
Es un cuadro especial de longitud de circunferencia del orden de λ recorrido por
una corriente prácticamente constante. Su génesis y distribución de corriente son los
de la figura. El rendimiento es próximo a 1, lo que permite utilizarla en transmisión
(Rin ≈ 50 Ω).
I(x)
∆ 2l x
I
I
∆
Iin=2I - + - +
I
L > λ/2
Hélices
• La geometría de la hélice se caracteriza por:
– D= Diámetro de la hélice (diámetro del cilindro sobre el que se arrolla)
– C= Perímetro del cilindro= πD
– S= Paso (Espaciado entre vueltas)= πD tanα d
– α= Angulo de Inclinación= atan(S/C)
– L= Longitud de una vuelta D
– N= Número de vueltas
– A= Longitud Axial= NS
– d= Diámetro del conductor de la hélice S
A
• Opera en dos modos de radiación:
– Modo Normal α
– Modo Axial C=πD L
S
19

20. Hélices
Modo Normal de Radiación
• En este modo la hélice es eléctricamente
pequeña (NL<<λ) y se caracteriza por:
– La corriente se puede considerar
z
aproximadamente constante en toda la hélice. I
– El campo radiado por la hélice es la suma del de: S
• N cuadros pequeños situados en el plano XY. I
• N dipolos cortos según z. D/2
r  e − jkr ˆ D 2 e − jkr ˆ
E = N jωµIS
 sen θθ + ηk 2 I sen θφ 

 4 πr 4 4r  x y
– El diagrama (senθ) es así independiente del
número de vueltas (N). Modelo de Radiación
– Directividad=1,5 de 1 vuelta
– La polarización es elíptica de relación axial:
Eθ 2Sλ
AR = = Si 2Sλ=π2D2 ⇒ Polarización Circular
Eφ π 2 D2
Hélices
Modo Axial de Radiación
• Este modo de radiación se da para hélices
eléctricamente grandes, de dimensiones
3/4<C/λ<4/3 y α ≈ 12º-15º, y se caracteriza por:
– La corriente es una onda progresiva sobre la
hélice: I(l)=I0exp(-jkl)
– Funciona en banda ancha: fsup/finf=1,78
– La impedancia de entrada es aproximadamente
real, de valor: C
R in ≈ 140 ≈ 140 Ω
λ
– La polarización nominal es circular del mismo
sentido de giro que el arrollamiento.
– Diagrama directivo tipo array endfire de Hansen-
Woodyard, con un nivel de lóbulo secundario de
-9 dB. 2
 C  NS A
– Directividad: D ≈ 15  ≈ 15
λ λ λ
I(l)
52 52
– Anchura de Haz: BW−3dB ≈ ≈ grados
Cλ Aλ Aλ
20

21. Ejemplos de Hélices Reales
Alimentación de Dipolos
• El objetivo es conseguir que la potencia disponible en el transmisor se
entregue integra a la antena de forma equilibrada sobre sus dos brazos.
• Hay dos consideraciones:
– La adaptación a la línea de transmisión (Zin=ZC)
Transmisor Red
ZC
o Receptor Adaptadora
Zin Zant
– La distribución de la corriente de excitación sobre la antena
I(z) I(z)
I2
I1=I2
I2 I1 ≠ I2
z I1 z I1
Equilibrada No Equilibrada
21

22. Técnicas de Adaptación
• Stubs. • Transformadores de λ/4
– Hasta 3 stubs – Simples:
– Multiples :Binómial,Chebychef
Z stub = Z in Z linea
Z n +1 − Z n
N
ρn =
Z n +1 + Z n
Γin = ∑ ρ n exp(− j2nθ)
n =0
θ = k∆l
s d
Z0 ZL Z0 1 2 N ZL
l Z L −Z 0 N
N!
Binomial: Γin = 2
−N
ZL +Z0
∑ (N − n )!n! exp(− j2nθ)
n =0
Z L − Z 0 TN (sec θ m cos θ)
Chebichef: Γin = exp(− jNθ)
Z L + Z 0 TN (sec θ m )
Técnicas de Adaptación
• Adaptador en T (T-Match) • Adaptador en Γ (Gamma Match)
l l
2a 2a’ s 2a 2a’ s
l’/2 l’/2 C l’/2
C C
C (1+α):1 C (1+α):1
Rin 2Zt Za Rin 2Zt Za
C
22

23. Alimentación de Dipolos
Balunes (Simetrizadores)
• Transforman una línea balanceada a no balanceada:
“balun” = balanced to unbalanced.
• Alimentan de forma equilibrada estructuras I2-I3 I1
simétricas, como el dipolo, con líneas de
transmisión asimétricas, como los cables coaxiales.
I3
– En la figura el dipolo conectado directamente al I2
coaxial no se excita de forma equilibrada a causa de I1
la corriente I3 que circula por el exterior del coaxial Línea
hacia tierra.
Coaxial
• El diseño fundamental de un balun trata de obtener I1=I2
un desfase de 180º, con pérdidas mínimas e
impedancias iguales y balanceadas Alimentación no equilibrada
– El diseño básico consiste en dos líneas de 90º de
desfase que proporcionan un desfase de 180º, por lo
que implica el uso de líneas de λ/4 y λ/2.
• Físicamente consiste también en cancelar la que
hemos llamado corriente I3.
Balun LC
A la frecuencia de trabajo
23

24. Balunes de Baja Frecuencia
Bálunes de alta impedancia
Balun de elementos concentrados
Balunes tipo transformador
Balun en Línea Coaxial
λ/4
24

25. Ejemplos prácticos de balunes
Balun “Sleeve”
Balun Partido
o “Bazooka”
L L
I2 I1 I2 I1
I3=0
Sección λ/4 SecciónI3=0 h≈λ/4
Coaxial bifilar
Cortocircuito Cortocircuito
I2
I1
Por el exterior del conductor, si
existen, las corrientes son iguales y
se cancelan
Balun utilizado en paneles de dipolos
L
a b a
I3=0
Zb Zc ZIN Z BALUN = jZ b tg kh
Soporte
h=λ/4
b Circuito Equivalente
Plano Reflector
Línea Para h=λ/4 => ZBALUM= ∞
Coaxial
Zc
Aproximación de ZIN aplicando imágenes:
I1
V1 = Z11I1 + Z12 I 2 = Z11I1 − Z12 I1
V1
I2=-I1 ZIN = = Z11 − Z12
I1
Para frecuencias h ≠λ/4, este balum continua simetrizando las corrientes, aunque I3 ≠0
25

26. Balun en Línea Coaxial
Balun en Microtira
Estructura de línea de longitud de λ/4 con anchos de banda de una octava
siempre y cuando el acoplamiento entre las líneas sea suficiente alta
(problema grave en la figura 7)
26

27. Balun Impreso de Marchand
Balun de Marchand (descrito por Nathan Marchand en 1944) es más tolerante al
modo par (de acoplamiento bajo) y tiene una banda ligeramente mayor
Método de los Momentos
Planteamiento de la Ecuación
• Se plantea la ecuación que cumple las condiciones de contorno
sobre los hilos:
r r
(
n × E fuera − E dentro = 0
ˆ )
r r r
r E fuera = E impreso + E dispersado
ˆ
l E impreso r r r µ r exp(− jkR )
E s = − jω A s − ∇ Φ s As =
4π ∫∫S′ J s (l′) R ds′
ε exp(− jkR )
∫∫S′ q(s′) R ds′
s
ˆ
n r Φ =
E =Z I 4π
r dentro ω
Zω E dispersado
Conductor Perfecto:
r r r
E tangencial = Eimpreso + Edispersado = 0
tangencial tangencial
sup erficie conductor
27

28. Modelado por Hilos
• Cualquier estructura se puede modelar como un volumen
delimitado por hilos, donde prioritariamente deban circular las
corrientes.
La separación entre los hilos es tal que con el grosor de los hilos dado se
“recubra” toda la superficie del cuerpo.
Ejemplo: “modelado por hilos” de un F4.
Simplificación 1: Ecuación de Hallen
• Ecuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ) y muy largas
(2a<<l).
r
J s = J sz (z ′)z
$ E z = −E iz
z
1  ∂ 2Az  ∂ 2Az
Js Js Ez = 
 ∂z 2 + k A z 
2
 Ez = 0 ⇒ + k 2A z = 0
jωµ 0 ε 0   ∂z 2
r
r’ J z (z ′) = J z (− z ′) ⇒ A z (z ′)A z (− z ′) ⇒ A z (z ′) = B1 cos(kz ′) + C1sin (kz ′)
σ= ∞ ρ
jωε z i
k ∫0
E z = −E iz ⇒ Ez = − E z (z ′) sen (k (z − z ′))dz ′
l2 exp(− jkR ) jωε z i
(µ0,ε0) ∫−l 2
I z (z ′)
4πR
dz ′ = B1 cos(kz ) + C1sin (kz ) −
k ∫0
E z (z ′) sen(k (z − z ′))dz ′
R= (z − z ′)2 + a 2 Por simetría respecto z=0 ⇒ C1=0
Condiciones de frontera I| z=±l/2 =0 ⇒ B1
28

29. Discretización de la Ecuación de Hallen
Modelo de Excitación
N
exp (− jkR ) ωε V
∫ ∑I sin (k z )
l 2
dz ′ − B1 cos (kz ) =
m
m z′
−l 2
m =0 4πR jk 2
l2
z=n N+1 puntos
N
N
 l 2 kV  l 2
∑I m L nm + B1 cos  kn
′

=
N  2 jωµ

sin  k n 
N 
m=0  
N
∑ I (l 2)
m
m =0
m =0
l 2 exp (− jkR )
L nm = ∫
m
z′ dz′
−l 2 4πR
Discretización de la Ecuación de Hallen
Sistema de Ecuaciones
V
E i (z′) = δ (z′) − ε ≤ z′ ≤ ε
2
 −ε V
z ∫0 δ (z′)sen (k (z − z′))dz′ z < 0 V
∫0 E iz (z′)sen (k (z − z′))dz′ =  ε 2 = sin (k z )
V
 ∫ δ (z′)sen (k (z − z′))dz′ z < 0 2
 0 2
Distribución de Corrientes
N
I(z ) = ∑ I m z
m
m =0
29