Este documento presenta las respuestas modelo a 6 preguntas sobre álgebra lineal y análisis matemático. La primera pregunta resuelve un sistema de ecuaciones lineales. La segunda expresa la sucesión de Fibonacci de forma matricial. La tercera demuestra que los polinomios pares forman un subespacio. La cuarta prueba que una aplicación dada es lineal. La quinta calcula los autovalores de una matriz. Y la sexta aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de polinomios.

1. PRIMERA INTEGRAL LAPSO 2007-2 753-1/3
Área de Matemática
Universidad Nacional Abierta ALGEBRA II(753)
Vicerrectorado Académico Fecha: 20-10-2007
Área de Matemática Licenciatura en
Educación Matemática
MODELO DE RESPUESTAS
PREGUNTAS y RESPUESTAS
OBJ 1 PTA 1
Determine, si es posible, el valor de k para que el sistema
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
x k y z
x y k z
k x y z
+ + + =

+ + + =
 + + + =
tenga soluciones distinta de la trivial.
Solución
El sistema tiene solución distinta de la trivial si una ecuación del mismo es combinación
lineal de las restantes. Esto equivale a que el determinante del sistema sea 0.
3
1 1 1
1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0
1 1 1
k
k k k k k
k
+
+ = + + + − + − + − + =
+
. El estudiante UNA debe
discutir las soluciones de la ecuación anterior.
OBJ 2 PTA 2
Los números de Fibonacci se generan mediante la formula de recurrencia
0 1
1 2
1, 1
n n n
a a
a a a− −
= =
= +
Por ejemplo los siguientes números de Fibonacci son 2,3,5,8,13….
Escriba la fórmula de recurrencia de manera matricial, es decir encuentre una matriz que
actuando sobre el vector 1
2
n
n
a
a
−
−
 
 
 
nos de el siguiente término de la sucesión.
Solución:
Observamos que la acción de la matriz
1 1 1 1
sobre el vector es ,
1 0 1 0
x x x y
y y x
+         
=         
         
luego
1 1 2
2 1 1
1 1
1 0
n n n n
n n n
a a a a
a a a
− − −
− − −
+      
= =      
       
.
Esta observación sencilla se puede aplicar para estudiar muchas propiedades de la serie de
Fibonacci.

2. PRIMERA INTEGRAL 753
2
OBJ 3 PTA 3
Demuestre que los polinomios pares son un subespacio del espacio de polinomios con
coeficientes reales.
Nota: Recuerde que un polinomio p es par si y solo si p(x)=p(-x) para todo x. No tiene que
mostrar que el espacio de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio
vectorial.
Solución:
Suponga que los polinomios p y q son pares. Entonces
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q x p x q x p x q x+ − = − + − = +
Luego p+q es un polinomio par.
Similarmente si p es par entonces ( ) ( ) luegop x p x pα α α− = es par.
Hemos demostrado que
OBJ 4 PTA 4
Demuestre que la aplicación que a cada polinomio con coeficientes reales le asocia su valor
en 0 es lineal.
Solución:
Tenemos la función T definida como
[ ]:
( ) (0)
T x
T p p
→
=
Verifica
( ) ( )(0) (0) (0) ( ) ( ), conT p q p q p q T p T q+ = + = + = + p,q polinomios reales cualesquiera.
y
( ) (0) ( ) dondeT p p T pα α α α= = ∈
Luego la aplicación T es lineal.
OBJ 5 PTA 5
Calcule los valores propios de la matriz
1 1 0
1 1 2
0 2 1
 
 − 
  
Solución:
Para resolver el problema de los autovalores basta considerar la ecuación
2 2
1 1 0
1 2 1 0
1 1 2 (1 ) (1 )((1 ) 4) (1 ) (1 )((1 ) 3) 0
2 1 2 1
0 2 1
λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ
−
−
− − = − + = − − − + − = − − − =
− −
−
Esta ecuación se puede resolver de manera sencilla ya que el polinomio está factorizado.
OBJ 6 PTA 6
Consideremos el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales en el
intervalo [0,1]. Dotemos al mismo del siguiente producto interno

3. PRIMERA INTEGRAL 753
3
1
0
, ( ) ( )f g f x g x dx= ∫ (no tiene que demostrar que esto es un producto interno). Aplique el
proceso de Gram-Schmidt a los vectores 1,x, x2
para obtener una familia ortonormal a partir
de ellos.
Solución:
El vector 1 está normalizado ya que
1
0
1*1 1dx =∫
luego tomamos 1 1v = . Calculamos el vector 2v
El dibujo arriba indica como debemos proceder para hallar el siguiente vector ortonormal.
Calculamos la proyección de x en el espacio generado por 1 usando el producto escalar
1
0
1
1*
2
xdx =∫ luego
1
2
x − debe ser ortogonal a 1. Veamos esto
1
0
1 1 1
1( ) 0
2 2 2
x dx− = − =∫ .
Pero quizás
1
2
x − no sea de norma 1, calculemos la norma de este vector
21 1
2
0 0
1 1 1 1 1 4 6 3 1
2 4 3 2 4 12 12
x dx x x dx
− +   
− = − + = − + = =   
   
∫ ∫ luego la norma del vector es
1 1
3
12 6
= luego 2
1
2
3
6
x
v
−
= es ortogonal a 1 y de norma 1. Dejamos al estudiante UNA
que complete el proceso de hallar 3v .
Nota: Estamos construyendo una familia de polinomios ortonormales en el intervalo
[0,1]. Los polinomios ortonormales tienen aplicación en Ecuaciones Diferenciales,
Probabilidades, Fracciones Continuas etc.
Fin del modelo