examen

1. PRIMERA INTEGRAL LAPSO 2007-2 753-1/3
Área de Matemática
Universidad Nacional Abierta ALGEBRA II(753)
Vicerrectorado Académico Fecha: 20-10-2007
Área de Matemática Licenciatura en
Educación Matemática
MODELO DE RESPUESTAS
PREGUNTAS y RESPUESTAS
OBJ 1 PTA 1
Determine, si es posible, el valor de k para que el sistema
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
x k y z
x y k z
k x y z
+ + + =

+ + + =
 + + + =
tenga soluciones distinta de la trivial.
Solución
El sistema tiene solución distinta de la trivial si una ecuación del mismo es combinación
lineal de las restantes. Esto equivale a que el determinante del sistema sea 0.
3
1 1 1
1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0
1 1 1
k
k k k k k
k
+
+ = + + + − + − + − + =
+
. El estudiante UNA debe
discutir las soluciones de la ecuación anterior.
OBJ 2 PTA 2
Los números de Fibonacci se generan mediante la formula de recurrencia
0 1
1 2
1, 1
n n n
a a
a a a− −
= =
= +
Por ejemplo los siguientes números de Fibonacci son 2,3,5,8,13….
Escriba la fórmula de recurrencia de manera matricial, es decir encuentre una matriz que
actuando sobre el vector 1
2
n
n
a
a
−
−
 
 
 
nos de el siguiente término de la sucesión.
Solución:
Observamos que la acción de la matriz
1 1 1 1
sobre el vector es ,
1 0 1 0
x x x y
y y x
+         
=         
         
luego
1 1 2
2 1 1
1 1
1 0
n n n n
n n n
a a a a
a a a
− − −
− − −
+      
= =      
       
.
Esta observación sencilla se puede aplicar para estudiar muchas propiedades de la serie de
Fibonacci.

2. PRIMERA INTEGRAL 753
2
OBJ 3 PTA 3
Demuestre que los polinomios pares son un subespacio del espacio de polinomios con
coeficientes reales.
Nota: Recuerde que un polinomio p es par si y solo si p(x)=p(-x) para todo x. No tiene que
mostrar que el espacio de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio
vectorial.
Solución:
Suponga que los polinomios p y q son pares. Entonces
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q x p x q x p x q x+ − = − + − = +
Luego p+q es un polinomio par.
Similarmente si p es par entonces ( ) ( ) luegop x p x pα α α− = es par.
Hemos demostrado que
OBJ 4 PTA 4
Demuestre que la aplicación que a cada polinomio con coeficientes reales le asocia su valor
en 0 es lineal.
Solución:
Tenemos la función T definida como
[ ]:
( ) (0)
T x
T p p
→
=
Verifica
( ) ( )(0) (0) (0) ( ) ( ), conT p q p q p q T p T q+ = + = + = + p,q polinomios reales cualesquiera.
y
( ) (0) ( ) dondeT p p T pα α α α= = ∈
Luego la aplicación T es lineal.
OBJ 5 PTA 5
Calcule los valores propios de la matriz
1 1 0
1 1 2
0 2 1
 
 − 
  
Solución:
Para resolver el problema de los autovalores basta considerar la ecuación
2 2
1 1 0
1 2 1 0
1 1 2 (1 ) (1 )((1 ) 4) (1 ) (1 )((1 ) 3) 0
2 1 2 1
0 2 1
λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ
−
−
− − = − + = − − − + − = − − − =
− −
−
Esta ecuación se puede resolver de manera sencilla ya que el polinomio está factorizado.
OBJ 6 PTA 6
Consideremos el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales en el
intervalo [0,1]. Dotemos al mismo del siguiente producto interno

3. PRIMERA INTEGRAL 753
3
1
0
, ( ) ( )f g f x g x dx= ∫ (no tiene que demostrar que esto es un producto interno). Aplique el
proceso de Gram-Schmidt a los vectores 1,x, x2
para obtener una familia ortonormal a partir
de ellos.
Solución:
El vector 1 está normalizado ya que
1
0
1*1 1dx =∫
luego tomamos 1 1v = . Calculamos el vector 2v
El dibujo arriba indica como debemos proceder para hallar el siguiente vector ortonormal.
Calculamos la proyección de x en el espacio generado por 1 usando el producto escalar
1
0
1
1*
2
xdx =∫ luego
1
2
x − debe ser ortogonal a 1. Veamos esto
1
0
1 1 1
1( ) 0
2 2 2
x dx− = − =∫ .
Pero quizás
1
2
x − no sea de norma 1, calculemos la norma de este vector
21 1
2
0 0
1 1 1 1 1 4 6 3 1
2 4 3 2 4 12 12
x dx x x dx
− +   
− = − + = − + = =   
   
∫ ∫ luego la norma del vector es
1 1
3
12 6
= luego 2
1
2
3
6
x
v
−
= es ortogonal a 1 y de norma 1. Dejamos al estudiante UNA
que complete el proceso de hallar 3v .
Nota: Estamos construyendo una familia de polinomios ortonormales en el intervalo
[0,1]. Los polinomios ortonormales tienen aplicación en Ecuaciones Diferenciales,
Probabilidades, Fracciones Continuas etc.
Fin del modelo