El documento explica el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Introduce las reglas de decisión para determinar la variable que entra y sale en cada iteración y cómo identificar la solución óptima. Presenta varios ejemplos resueltos usando el método simplex. Concluye que este método es más práctico que el algebraico pero se vuelve dispendioso para problemas grandes, siendo necesario el uso de software especializado.

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MÉTODO ALGEBRAICO
Introducción
El método algebraico es muy dispendioso, en razón a que trabaja con todos los datos de
las ecuaciones, para mejorar éste aspecto se creó el método simplex cuya gran virtud es
su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función
objetivo y de las restricciones. Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero
previamente mostraremos las reglas de decisión para determinar la variable que entra, la
que sale, la gran M, y cómo determinar que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de
decisión fueron deducidas del método algebraico, solamente que aquí se han acomodado
para ser usadas en el tipo de tablero simplex que se usará.
Criterio de decisión Maximizar Minimizar
Gran M en la función objetivo - MXj +MXj
Variable que entra La más negativa de los Zj - Cj La más positiva de los Zj - Cj
Variable que sale
La menos positiva de los b/a ,
Siendo a > 0 , de lo contrario
no restringe
La menos positiva de los b/a ,
Siendo a > 0 , de lo contrario
no restringe a la variable que
entra
Solución óptima Cuando todos los Zj – Cj > 0 Cuando todos los Zj – Cj < 0
Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuanta:
• Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de Súper avit
o artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0, el problema no tiene
solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo
tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución, en éste caso se
debe revisar la formulación del problema.
• Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el
crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución
indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que
no se tuvo en cuenta en la formulación inicial.
• Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene
coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene
múltiples soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.
Ejemplo 1 Maximizar Z = X1
+ X2
C.S.R.
5X1
+ 3X2
< 15
3X1 + 5X2 < 15
Xj > 0 ; j = 1, 2
Todo problema de programación
lineal que se formule de la forma
Maximice, con todas sus
restricciones < y con la condición
de no negatividad, se le llama
Forma Estándar ó Forma Normal
Aquí, al igual que en el método algebraico, debemos conseguir una solución básica
factible, empleando las variables de holgura y/o artificiales, quedando el sistema de
ecuaciones así:

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Maximizar Z = X1 + X2
C.S.R.
5X1 + 3X2 + X3 = 15
3X1 + 5X2 + X4 = 15
Xj > 0 ; j = 1,2,3,4
Las variables básicas son X3 y X4 y
por su puesto en la función objetivo
Z.
.
A continuación construimos la siguiente tabla:
C
j
→
1 1 0 0
b/
a
↓
V.
B.
b X1 X2 X3 X4
0 X3 15 5 3 1 0
0 X4 15 3 5 0 1
Zj - Cj 0 -1 -1 0 0
El valor de la función objetiva Z, se encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste caso
vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en la tabla es la columna
inmediatamente anterior a la de las variables básica V.B.) que contiene los coeficientes de
las variables básicas en la función objetiva original por el vector columna de los términos
independientes b
CXB = Vector fila de los coeficientes en la función objetivo original de las variables
básicas actuales, sus valores se encuentran en la primera columna del tablero.
b = Vector columna de los términos independientes de las restricciones, que al mismo
tiempo son los valores de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran bajo
la columna denominada

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El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el vector fila CxB por el vector apuntador aj
de la columna de la variable j-ésima, menos el Cj, esto es:
Recuerde que la columna de b/a se calcula, siempre y cuando el denominador sea a > 0 ;
de lo contrario la variable básica respectiva no restringe el valor de la variable escogida
para entrar, los valores de a, están en el respectivo vector apuntador de la variable j-
ésima escogida para entrar, en ésta iteración son 5 y 3 y el cálculo respectivo 15/5 = 3 y
15/3 = 5; Lo que significa que la variable básica X3 restringe el crecimiento de la variable
que entra X1 hasta 3 (no la deja tomar valores superiores a 3) y la variable básica X4
restringe el crecimiento de la variable que entra X1 hasta 5 (no la deja tomar valores
superiores a 5). Por supuesto la variable básica que restringe más el crecimiento de la

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variable que entra X1 es X3 por lo tanto es la variable básica escogida para salir.
La fila de la variable básica escogida para salir se divide por el elemento que se encuentra
en la intersección de dicha fila con la columna de la variable que entra, la fila resultante es
la fila pivote y se coloca en un nuevo tablero, desde el que se suman múltiplos de la fila
pivote a las demás filas del tablero anterior de tal forma que se eliminen de cada una de
ellas la variable escogida para entrar, en nuestro caso X1 , este procedimiento se
denomina, hacer un uno (1) en la intersección y el resto de la columna ceros (0), por lo
tanto en dicha columna aparecerá un vector unitario, el procedimiento se repite en cada
iteración, hasta que todos los Zj – Cj sean mayores o iguales a cero en el caso de
maximizar o menores o iguales a cero en el caso de minimizar.
A continuación se muestran todas las iteraciones y en cada fila los valores por los cuales
fueron multiplicadas para ser sumadas a otras filas, ello se expresa como sumar múltiplos
de una fila a otra.
Fíjese que se suman múltiplos de las restricciones a la función objetivo para eliminar las
variables básicas de ella.
Conclusiones:
• La solución es única: X1
*
= 15/8 ; X2
*
= 15/8 ; Z* = 14/4
• El método simplex es más práctico que el método algebraico
Ejemplo 2
Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3
C.S.R.
6X1 + 2X2 + 6X3 > 6
6X1 + 4X2 = 12
2X1 - 2X2 < 2

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Ejemplo 3
Aquí, se muestra el método simplex aplicado al ejemplo 3 del capítulo de método
algebraico.
Minimizar Z = 10X2 + 30X3 + 40X4 + 10X5 + 20X7
C.S.R. = Con las siguientes restricciones:
3X1 + 2X2 + X6 + X7 = 5.000
2X4 + X5 + X6 = 15.000
X2 +3X3 + 2X5 + X6 + 2X7 = 5.000
Xj > 0 ; j = 1,2,3,4,5,6,7
Adicionando las variables artificiales necesarias para obtener una solución básica factible,
el problema queda expresado de la siguiente forma:
Min Z = 10X2 + 30X3 + 40X4 + 10X5 + 20X7 + MX8 + MX9 + MX10
C.S.R.
3X1 + 2X2 + X6 + X7 + X8 = 5.000
2X4 + X5 + X6 + X9 = 15.000
X2 + 3X3 + 2X5 + X6 + 2X7 + X10 = 5.000
Xj > 0 ; j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Variables básicas X8, X9 y X10

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Solución:
Variables de Decisión: X1* = X2* = X3* = X5* = X7* = 0 ; X4* = X6* = 5.000 ; Z* =
200.000
Variables Artificiales: X8* = X9* = X10* = 0
Interpretación: Para que haya un mínimo de desperdicio de 200.000 cm de lámina y
cumplir exactamente con los pedidos, hay que cortar 5.000 láminas de la forma 4 y 5.000
láminas de la forma 6

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Ejemplo 4
En este ejemplo se muestra cómo resolver un problema en donde no todas las variables
deben cumplir la condición de no negatividad, dicho de otra manera, con variables
irrestrictas. Aquí el secreto consiste en reemplazar cada una de las variables irrestrictas
por la diferencia de dos variables que si deban cumplir la condición de no negatividad.
Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2X3 – X4
C.S.R.
X1 + X2 + 2X3 – X4 > 1
2X1 + 2X2 - 3X3 + X4 < 3
X1 + 4X2 + 3X3 + 2X4 < 5
Xj > 0 ; j = 1, 2, 4
Aquí X3 tiene libertad en el signo, esto es puede tomar valores positivos o negativos.
Hacemos X3 = K – W, en donde K y W deben ser positivas, K > 0 y W > 0
Fíjese que si K > W => X3 será positiva, si K = W => X3 será igual a cero (0) y si K < W
=> X3 será negativa.
Lo que hemos conseguido es convertir un problema que es irrestricto en su variable X3 en
uno que es restringido en todas sus variables, el problema queda así:
Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2K – 2W – X4
C.S.R.
X1 + X2 + 2K –2W – X4 > 1
2X1 + 2X2 - 3K + 3W + X4 < 3
X1 + 4X2 + 3K – 3W + 2X4 < 5
Xj > 0 ; j = 1, 2, 4 ; K > 0 ; W > 0
Fíjese que este problema, es uno clásico de
programación lineal y procedemos a
resolverlo empleando el método simplex,
para lo que adicionamos las variables de
holgura y artificiales que sean necesarias
para conseguir la solución básica factible.
Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2K – 2W – X4
– MX6
C.S.R.
X1 + X2 + 2K – 2W – X4 – X5 + X6 = 1
2X1 + 2X2 - 3K + 3W + X4 X7 = 3
X1 + 4X2 + 3K – 3W + 2X4 +X8 < 5
Xj > 0 ; j = 1, 2, 4 ; K > 0 ; W > 0
Aquí las variables básicas son:
X6, X7, y X8

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Aquí todos los Zj – Cj son > 0 , entonces estamos en la solución óptima.
La solución, mostrando las variables clasificadas es:

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Ejemplo 6
Solución al problema número 4) El problema de los paquetes de tuercas, del capítulo 2,
formulación.

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Conclusión
El método simplex es más práctico que el método algebraico, pero para problemas de un
gran número de variables y restricciones, fácilmente se vuelve dispendioso por el número
de iteraciones y por supuesto demorado para obtener la solución óptima, es aquí donde el
uso del computador se hace indispensable y útil en términos de eficiencia, para ello existe
el software adecuado, los más conocidos son:
• Winqsb de Yih-Long Chang, distribuido por John Wiley & Sons. Inc N.Y.
• Solver de Frontline Systems Inc., que viene integrado con el Excel de Microsoft.
• Lindo de Lindo Systems Inc. Que viene integrado con Visicalc.
• El AD, Ayuda a la decisión de la Universidad Cienfuegos de Cubai
.
i
Tomado de
http://ganimides.ucm.cl/haraya/doc/m_simplex.pdf