Este documento presenta 7 ejercicios de programación lineal resueltos gráficamente. Cada ejercicio consiste en maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a varias restricciones. Se grafican las restricciones y la función objetivo, y se encuentra la solución óptima en la intersección de estas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Facultad de Ingeniería de Minas
CURSO: Investigación de Operaciones
TEMA: Método gráfico de solución de un Programa Lineal
PERTENECE: Condor Araujo Joel Condor
2015 - I
Docente : José AVELLANEDA PURI
avellaneda7@hotmail.com

2. EJERCICIOS
MÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL
1) Maximizar Z = x2 - 0.75x1
s.a.
x1 - x2  0 ….……….. (1)
-0.5x1 + x2  1 ………….. (2)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 – x2  0
m = tg  = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=1
c2 (-1) 1 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10
Función económica o función objetivo
Restricciones estructurales
Restricción de no-negatividad
m = tg  = -c1 = x2
c2 x1
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(-) x1

3. x20
x10
1 2 3 4 5 6-1-2-3
5
4
3
2
1
-1
-2
1
2
Polígono Convexo NO Acotado
(Abierto)
x2
x1
P(x1,x2)
P(x1,x2)=P(2,2)
Maximizar Z = x2 – 0.75x1 =2-0.75(2)=0.5

4. x1-2 x21
Inecuación (2): -0.5x1 + x2  1
Si: x2=0; -0.5x1  1, , Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
X1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = –0.75x1 + x2
m = tg  = -c1 = -(-0.75) = 0.75 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.75*2=-1.5, x1=1*2=2
c2 (1) 1 x1
Resolviendo la intersección de (1) y (2):
x1 – x2 = 0 ………….. (1)
-0.5x1 + x2 = 1 ………….. (2)
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = 2-0.75(2) = 0.5
x10 x20
x2=-1.5 x1=2
x1=2 x2=2

5. 2) Minimizar Z = x1 - 10x2
s.a.
x1 - 0.5x2  0 …….….….. (1)
x1 - 5x2  -5 ………….. (2)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 – 0.5x2  0
m = tg  = -c1 = -(1) = 1 = 2 = x2 ; “m” positivo: x2=-2, x1=1
c2 (-0.5) 0.5 1 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0; o x1x2
Inecuación (2): x1 - 5x2  -5
Si: x2=0; , Si: x1=0; -5x2-5,
x10 x20
x1-5 x21

6. x20
x10
1 2 3 4 5 6-1-2-3
5
4
3
2
1
-1
-2
1
2
Polígono Convexo NO Acotado
(abierto)
x2
x1
Minimizar Z = x1 – 10x2
-4-5
Solución NO FACTIBLE o
Problema NO SOLUBLE

7. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Minimizar Z = x1 - 10x2
m = tg  = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.5, x1=5
c2 (-10) 5 x1
Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polígono Convexo
NO Acotado (abierto).
x10 x20

8. 3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 – x3
s.a.
x1 + 2x2 + x3  10 ……….….. (1)
x1 + x2 + 2x3  9 …………….. (2)
2x1 - x3  12 ……….….. (3)
x1,x2,x3  0
Solución:
x2
x1
x3
Aquí debemos acudir a un espacio tridimensional, y
como se deduce el tratar de resolverlo gráficamente
resulta muy complicado. Por lo que es menester la
solución por otro método y que será uno analítico
como veremos en el próximo capítulo.

9. 4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + x2 = 8 …………….. (1)
2x1 + 3x2 12 ………….. (2)
x1,x2 0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Ecuación (1): x1 + x2 = 8
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): 2x1 + 3x2 12
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
x1=8 x2=8
x16 x24
x10 x20

10. Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2
m = tg  = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3
c2 (3) 3 x1
Del gráfico se deduce: La intersección del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 +
x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solución
óptima.
Resolviendo la intersección de:
x1 + x2 = 8 ………….. (1)
x1 = 0 ………….. (2)
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24
x1=0 x2=8

11. x20
x10
1 2 3 4 5 6-1
5
4
3
2
1
1
2
x2
x1
P(x1,x2)=P(0,8)
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 =2(0)+3(8)=24
7 8
6
7
8

12. 5) Maximizar Z = 3x1 + 2x2
s.a.
x1 + x2  1 …….….. (1)
x2 - 5x1  0 ………... (2)
5x2 – x1  0 …….….. (3)
x1 – x2 -1 ….….…. (4)
x1 + x2  6 …….….. (5)
x1  3 …….….. (6)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 + x2  1
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): -5x1 + x2  0
m = tg  = -c1 = -(-5) = 5 = x2 ; “m” positivo: x2=-5, x1=1
c2 1 1 x1
x11 x21 1 punto
1 punto
Práctica calificada
(23.04.20159

13. Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (3): – x1 + 5x2  0
m = tg  = -c1 = -(-1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=5
c2 5 5 x1
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (4): x1 - x2 -1
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (5): x1 + x2  6
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (6): x1  3
Si: x2=0;
x10 x20
x10 x20
x1-1 x21
x16 x26
x13
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto
1 punto

14. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2
m = tg  = -c1 = -(3) = -3 = x2 ; “m” negativo: x2=3, x1=2
c2 2 2 x1
Resolviendo la intersección de (5) y (6):
x1 + x2 = 6 …….….. (5)
x1 = 3 …….….. (6)
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 = 3(3) + 2(3) = 15
x10
x1=3
x20
x2=3
1 punto
2 puntos
1 punto
1 punto

15. x20
x10
1 2 3 4 5 6-1
5
4
3
2
1
1
2
x2
x1
P(x1,x2)=P(3,3)
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 =3(3)+2(3)=15
7 8
6
3
4
5
-2
6
1 punto
6 puntos

16. 6) Maximizar Z = 8x1 + 5x2
s.a.
2x1 + x2  10 …….….. (1)
x1 + 3x2  18 ………... (2)
5x1 + x2  4 ………….. (3)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): 2x1 + x2  10
Si: x2=0; , Si: x1=0; X210X15

17. Inecuación (2): x1 + 3x2  18
Si: x2=0; Si: x1=0;
Inecuación (3): 5x1 + x2  4
Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
m = tg  = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5
c2 5 5 x1
x1  18 x2 6
x1  0.8 x2  4
x10 x20

18. Resolviendo la intersección de (3) para x2 = 4:
5x1 + x2 = 4 ………….. (3)
x2 = 4
entonces:
x1 = 0
x2 = 4
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(0) + 5(4) = 20

19. x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg  = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(0,4)
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
1614 18
3
Polígono Convexo Acotado
(cerrado)
Z

20. 7) Maximizar Z = 8x1 + 5x2
s.a.
2x1 + x2  10 …….….. (1)
x1 + 3x2  18 ………... (2)
5x1 + x2  4 ………….. (3)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): 2x1 + x2  10
Si: x2=0; , Si: x1=0; X210X15

21. Inecuación (2): x1 + 3x2  18
Si: x2=0; Si: x1=0;
Inecuación (3): 5x1 + x2  4
Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
m = tg  = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5
c2 5 5 x1
x1  18 x2 6
x1  0.8 x2  4
x10 x20

22. Resolviendo la intersección de (1) y (2):
2x1 + x2  10 …….….. (1)
x1 + 3x2  18 …….….. (2)
x2 = 5.2
x1 = 2.4
Se obtiene la siguiente solución óptima única:
Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(2.4) + 5(5.2) = 45.2

23. x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg  = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(2.4,5.2)
Maximizar Z = 8x1 + 5x2
1614 18
3
Polígono Convexo Acotado
(cerrado)
Z

24. 8) Maximizar Z = -5x2
s.a.
x1 + x2  1 …….….. (1)
-0.5x1 - 5x2  -10 ….….. (2)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 + x2  1
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (2): -0.5 x1 - 5 x2  -10
Si: x2=0; , Si: x1=0;
X11 X21
x1  20 x2  2

25. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Maximizar Z = -5x2
m = tg  = -c1 = -(0) = 0; la recta Z es horizontal
c2 -5
No hay una posible intersección de los 4 semiplanos.
x10 x20

26. x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2
-2
-4
2
1
x2
x1
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg  = x2
c2 x1
1614 18 20
Polígono Convexo NO Acotado
(Abierto)
Polígono Convexo Acotado
(cerrado)
Solución NO FACTIBLE o
Problema NO SOLUBLE
Z

27. 9) Minimizar Z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + x2  13 …….….. (1)
2x1 + x2  18 ………... (2)
x1 + 3x2  21 …….….. (3)
x1 + 2x2  18 …….….. (4)
x1,x2  0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): x1 + x2  13
Si: x2=0; , Si: x1=0; X213X113

28. Inecuación (2): 2x1 + x2  18
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (3): x1 + 3x2  21
Si: x2=0; , Si: x1=0;
Inecuación (4): x1 + 2x2  18
Si: x2=0; , Si: x1=0;
x1  9 x2  18
x1  21 x2 7
X1 18 X2  9

29. Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
x1, x20; y
Gráfico de la función objetivo:
Minimizar Z = 2x1 + 3x2
m = tg  = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3
c2 3 3 x1
x10 x20

30. • Resolviendo la intersección de (1) y (4):
• x1 + x2 = 13 …….….. (1)
x1 + 2x2 = 18 …….….. (4)
x2 = 5
x1 = 8
• Se obtiene la siguiente solución óptima única:
• Minimizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(8) + 3(5) = 31

31. x20
x10
2 4 6 8 10 12-2-4-6
10
8
6
4
2 1
2
x2
x1
P(x1,x2)
Si “m”:
Positivo (-) x2
(+) x1
Negativo (+) x2
(+) x1
m = -c1 = tg  = x2
c2 x1
P(x1,x2)=P(8,5)
Minimizar Z = 2x1 + 3x2
1614 18
3
12
14
16
18
20 21
4
Polígono Convexo NO Acotado
(Abierto)
Z

32. 10) Una compañía posee dos minas: la Mina A produce cada día 1 tonelada de hierro
de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B
produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía
necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de
calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación
es de 2.000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que
el costo sea mínimo?
Solución mediante el método gráfico:

33. PRODUCCION (ton/dia)
mina Calidad
ALTA
ton/dia
Calidad
MEDIA
ton/dia
Calidad
BAJA
ton/dia
DIAS COSTO
$/DIA
A 1 3 5 X1 2.000
B 2 2 2 X2 2.000
Cuadro de resumen de datos:
Planta concentradora: 80 ton 160 ton 200 ton
capacidad

34. COSTO A = 2.000 $/DIA
COSTO B = 2.000 $/DIA
Restricciones estructurales:
(1ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 80
(3ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 160
(5ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 200
X1; X2 >= 0
Minimizar costos=(2.000$/día)x(X1dias) + (2.000$/día)x(X2dias)

35. Resumiendo se tiene:
MIN Z =2.000X1 + 2.000X2
COSTO A = 2.000 $/DIA
COSTO B = 2.000 $/DIA
s.a.
1X1 + 2X2 >= 80……(1)
3X1 + 2X2 >= 160 ……(2)
5X1 + 2X2 >= 200 ……(3)
X1; X2 >= 0
Solución:
Gráfico de las restricciones estructurales:
Inecuación (1): 1X1 + 2X2 >= 80
Si: x2=0; , Si: x1=0;X1 80 X2  40

36. • Inecuación (2): 3X1 + 2X2 >= 160
• Si: x2=0; Si: x1=0;
• Inecuación (3): 5X1 + 2X2 >= 200
• Si: x2=0; Si: x1=0;
Gráfico de las restricciones de no-negatividad:
• x1, x20; y
X1 40 X2 100
X1 53.33 X2  80
x10 x20

37. Gráfico de la función objetivo
minimizar 2.000X1 + 2.000X2
m = tg  = -c1 = -(2) = -2= x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=2
c2 2 2 x1

38. • Resolviendo la intersección de (1) y (2):
• 1X1 + 2X2 = 80 …….….. (1)
3X1 + 2X2 = 160 …….….. (4)
x1 = 40
x2 = 20
• Se obtiene la siguiente solución óptima única:
• Minimizar Z = 2.000x1 + 2.000x2 = 2.000(40) + 2.000(20) = 120.000

39. x10
x20
2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
X2x(10)
P(x1,x2)=P(40,20)
X1x(10)
1
2
3
Z
P(x1,x2)
Polígono Convexo NO Acotado
(Abierto)