ARBOL DE EXPANSIÓN MINIMA POR EL ALGORITMO DE PRIM

1. ARBOL DE EXPANSIÓN MINIMA
ALGORITMO DE PRIM
TEORIA DE REDES
INV. DE OPERACIONES II
MATERIAL PREPARADO POR:
MC ADRIANA NIETO CASTELLANOS
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN
20/10/2011

2. 5.3 ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA
El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales
la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se
considera instantáneo.
El problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectarse
entre ellos sin formar un ciclo.
La aplicación de estos problemas de optimización se ubica en las redes
de comunicación eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea,
marítima, hidráulica o de gas, etc. donde los nodos representan puntos
de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras y los arcos
podrían ser de alta tensión, cable de fibra óptica, rutas aéreas, agua, gas
etc..
También se le conoce como árbol generador mínimo, es una red conexa
y ponderada que se refiere a utilizar los arcos de la red para llegar a
todos los nodos de esta, de manera tal que se minimiza la longitud total.
Para su solución se emplean los algoritmos de PRIM y Kruskal

3. ALGORITMO DE PRIM
1. Seleccionar inicialmente cualquier nodo y conectarlo con
el más próximo que contenga el arco de menor costo ó
distancia. A esta rama se le acepta como parte de la red
final
2. Completar la red interactivamente, identificando el nodo
no conectado que está más cerca o menos costoso de
alguno de los nodos conectados, se consideran todas las
ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos.
3. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado. En
caso de empate este se rompe en forma arbitraria.
4. En cada etapa del proceso iterativo la atención se centra
en aquellos nodos que ya se han eslabonados Repetir
este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.

4. ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN
MÉTODO DE PRIM
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
Seleccionar inicialmente cualquier nodo (G)
y conectarlo con el más próximo (H) que contenga el arco de menor costo ó distancia

5. ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN
MÉTODO DE PRIM
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
Seleccionar inicialmente cualquier nodo (G)
y conectarlo con el más próximo (H) que contenga el arco de menor costo ó distancia

6. ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN
MÉTODO DE PRIM
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
A esta rama hg se le acepta como parte de la red final

7. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los
nodos conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

8. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los
nodos conectados (red).
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos.
b
a 11 i
7 6
8
h 1 g 2 f

9. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los
nodos conectados (red).
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos.
b
a 11 i
7 6
8
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria.

10. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los
nodos conectados (red).
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos.
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria.

11. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

12. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

13. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos
b c d
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

14. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos
c
4
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

15. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

16. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f

17. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos
7
b c d
2
a 11 i 4 14 e
7 6
8 10
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

18. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman
c
2
i 4
h 1 g 2 f

19. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman
c
2
i 4
h 1 g 2 f

20. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
8 10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

21. 8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 14 e
8 10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

22. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman
8 7
b c d
2
a 11 i 4 14 e
8 10
h 1 g 2 f

23. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria
7
c d
2 eliminar ciclos
si se forman
i 4
h 1 g 2 f

24. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

25. Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos
8 7
b c d
9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

26. 8 7
b c d
eliminar ciclos
si se forman 2
i 4
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

27. Primera solución por rompimiento de empare
8 7
b c d
2
i 4
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

28. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

29. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman
8 7
b c d
4
2
a i 4
8
h 1 g 2 f

30. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

31. 8 7
b c d
4 9
2
a i 4 e
h 1 g 2 f
ELIMINAR EL CICLO Y TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS

32. CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR LOSARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4

33. CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8

34. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7

35. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9

36. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2

37. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2 4

38. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__=
4 8 7 9 2 4 2

39. TERMINAR LA RED CUANDO TODOS LOS NODOS YA ESTAN INCLUIDOS Y SUMAR ARCOS
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__= 37
4 8 7 9 2 4 2 1

40. PRIMERA SOLUCIÓN
8 7
b c d
4
2 9
a i 4 e
h 1
g 2
f
Solución: __+__+__+__+__+__+__+__= 37
4 8 7 9 2 4 2 1

41. SEGUNDA SOLUCIÓN POR ROMPER EMPATES
8 7
b c d
9
2
a i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

42. SEGUNDA SOLUCIÓN POR ROMPER EMPATES
8 7
b c d
9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman

43. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
En caso de empate este se rompe en forma arbitraria, eliminar ciclos si se forman
7
c d
2
a i 4
8
h 1 g 2 f
Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.

44. Repetir este paso hasta que se hayan conectado todos los nodos.
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f
Identificar el nodo no conectado que está más cerca o menos costoso de alguno de los nodos
conectados.
se consideran todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos inconexos

45. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.
eliminar ciclos si se forman
8 7
b c d
4 9
2
a 11 i 4 e
8 10
h 1 g 2 f

46. AGREGAR NODO FINAL
7
b c d
4 9
2
a i 4 e
8 10
h 1 g 2 f

47. AGREGAR NODO FINAL
7
b c d
4 9
2
a i 4 e
8
h 1 g 2 f
Solución: 4+8+1+2+4+2+7+9= 37