Estructuras hiperestaticas

1. Conceptos Prácticos de
Estructuras.
Estructuras
Hiperestáticas.
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RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación
Técnica, S.L. está protegida por la Ley de Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y
o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No se permite un uso
comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del
mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización
escrita a ZIGURAT.

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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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ANTES DE EMPEZAR…
El presente libro digital multimedia es una pequeña muestra del contenido que
aparece en el Máster. La lectura y visualización del siguiente libro no es
equiparable a la impartición académica del Máster, que requiere de una
dedicación constante y continua hacia el alumno por parte de los profesores y
tutores.
La formación que ofrece Zigurat consiste en una experiencia completa cuyo valor
reside en el seguimiento pedagógico y en el contacto personal. Existe una
colaboración constante entre profesores y alumnos, los cuales también aprenden
compartiendo sus respectivas experiencias profesionales y personales. Por medio
del networking, se generan sinergias y contactos profesionales de enorme utilidad
para los alumnos.
Además, en el Máster de Zigurat los contenidos son más extensos, profundizan en
la materia y aportan abundantes ejemplos y proyectos basados en casos reales.
Se trata de una formación con un enfoque práctico y profesionalizante, para que el
alumno pueda afrontar sus proyectos con seguridad.
Tanto la metodología como el entorno formativo han sido diseñados teniendo en
cuenta las necesidades del alumno. Si bien los contenidos están estructurados de
forma secuencial, los alumnos pueden navegar libremente a cualquier módulo y/o
unidad didáctica o recurso pedagógico.
Los contenidos están diseñados con un formato audiovisual multimedia que
facilita su seguimiento. Los Másteres cuentan con ejercicios, demostraciones y
casos prácticos, así como ejemplos con imágenes, fotografías, y vídeos
comentados por su autor que permiten asimilar de forma ágil los aspectos más
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Nuestra plataforma de servicios de e-learning le ayudará a potenciar la utilidad de
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aportaciones para el análisis de conceptos, resolver dudas de otros
compañeros y contribuir con la participación activa a que el foro del curso
sea un espacio para un aprendizaje enriquecedor para todos.
Videoconferencias en Directo: Según la acción formativa se realizan
ponencias, tutorías técnicas, demostraciones mediante sesiones de
Videoconferencias.
Descargas: El núcleo de la aplicación lo forma el Campus virtual, accesible
a todos los alumnos, desde donde pueden visualizar el temario del curso.
Tiene a su disposición la posibilidad de descargar el temario en formato

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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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relacionados con el curso o material de apoyo para la resolución de las
prácticas con CYPE.
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alumno, de forma que note que 'está acompañado' en todo su proceso de
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a los alumnos y de dar solución a dudas con respecto a la planificación, las
herramientas online, licencias temporales de CYPE.
• Agenda: permite al alumno consultar las distintas tareas a realizar para
asegurar un correcto seguimiento de la formación.

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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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ÍNDICE DE CONTENIDOS
Estructuras Hiperestáticas.
1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad .................................................5
1.1 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme.............................................. 6
1.2 Viga biempotrada con carga uniforme........................................................ 10
1.3 Viga continua de dos tramos iguales con carga uniforme .......................... 14
1.4 Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme ....................... 16
2. Esfuerzos isostáticos y esfuerzos hiperestáticos ........................................................20
3. Conceptos de cálculo matricial....................................................................................22
3.1 Definición de rigidez ................................................................................... 23
3.2 Rigidez a esfuerzo axil ............................................................................... 24
3.3 Rigidez a momento flector.......................................................................... 27

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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad
En las estructuras isostáticas las ecuaciones de equilibrio nos permiten calcular las reacciones y
los esfuerzos. Ocurre, por ejemplo, en el caso de una viga con un apoyo fijo y un apoyo
deslizante.
Figura 1.1 Viga apoyada-deslizante
Si las cargas son únicamente verticales también es el caso de una viga biapoyada, ya que las
fuerzas horizontales no intervienen, es decir, las dos vigas de la figura son equivalentes.
Figura 1.2 Equivalencia de viga apoyada deslizante y viga biapoyada sin cargas horizontales
En las estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio no son suficientes y hay que analizar
la deformabilidad de las barras. En el caso de las vigas con carga vertical, esto ocurre en cuanto
tenemos algo más que una simple viga apoyada, es decir, en vigas de un tramo con uno o dos
empotramientos y en vigas continuas. Para analizarlas, haremos que los giros en los
empotramientos sean nulos y los giros en los apoyos continuos sean iguales en las dos barras
que acometen al nudo.
Figura 1.3 Giros conocidos

6. zigurat
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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1.1 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme
La viga empotrada-apoyada es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos
conocer la reacción vertical en ambos apoyos y el momento en el empotramiento, es decir,
tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo nos ofrece 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de
fuerzas horizontales no interviene).
Figura 1.4 Cargas y reacciones
La tercera pista nos la da la deformación: El giro en el empotramiento es nulo:
0=Aϕ
Figura 1.5 Giro nulo en el empotramiento
Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga
como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento.
Figura 1.6 Superposición de cargas
La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las
dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento –que
sabemos que tiene que ser nulo por definición de empotramiento- será igual a la suma del giro en
el ambas vigas ficticias.

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comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT.
Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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2,1,0 AAA ϕϕϕ +==
Figura 1.7 Superposición de giros
El giro en el apoyo A de la viga con carga permanente es:
y
A
IE
Lq
··24
· 3
1, −=ϕ
El giro en el apoyo A de la viga con momento en dicho apoyo es:
y
A
A
IE
LM
··3
·
2, =ϕ
Superponemos ambos e igualamos a cero.
y
A
y
AAA
IE
LM
IE
Lq
··3
·
··24
·
0
3
2,1, +−=+== ϕϕϕ
Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo.
8
²·Lq
M A =
Una vez conocido MA, la viga inicial es equivalente a esta otra, cuya resolución es inmediata con
las ecuaciones de equilibrio.
Figura 1.8 Viga isostática equivalente

8. zigurat
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zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
8
Ejemplo
Tenemos una viga IPE 300 de 7,00 m empotrada en un extremo en un muro de hormigón y
apoyada en el extremo contrario en un muro de fábrica, con una carga uniforme de 30 kN/m.
¿Cuál es la reacción en cada extremo?
Solución
El momento de inercia de un IPE 300 es 8356 cm4
=83560000 mm4
El giro en el apoyo A de la viga con carga permanente es:
024434,0
8356000021000024
³700030
··24
· 3
1, −=
××
×
−=−=
y
A
IE
Lq
ϕ
El giro en el apoyo A de la viga con momento en dicho apoyo es:
10330,1
83560002100003
7000
·
··3
·
2, −×=
××
== EMM
IE
LM
AA
y
A
Aϕ
Superponemos ambos e igualamos a cero.
10330,1·024434,00 2,1, −+−=+== EM AAAA ϕϕϕ
Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo.
kNmNmm
E
M A ·05,183·183046536
10330,1
024434,0
==
−
=
Podemos comprobar que coincide –salvando redondeos- con el valor que nos habría ofrecido la
fórmula obtenida para el momento en el empotramiento:
mkNmmN
Lq
M A 75.183183750000
8
²700030
8
²·
==
×
==
Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema
inicial.

9. zigurat
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zigurat
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zigurat
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
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Para calcular RB, anulamos momentos respecto al extremo izquierdo
kNRRM BB 74,78005,300,73078,1830 =⇒=××−×+⇒=∑
Por equilibrio de fuerzas verticales podemos obtener RA
kNRRRRFz AABA 26,13100,73074,780 =⇒×=+=+⇒=∑
Es interesante observar que la reacción vertical en el empotramiento es sensiblemente mayor que
la reacción vertical en el apoyo simple.

10. zigurat
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zigurat
zigurat
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zigurat
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zigurat
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Estructuras Hiperestáticas.
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1.2 Viga biempotrada con carga uniforme
La viga empotrada es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer
la reacción vertical y el empotramiento en ambos apoyos, es decir, tenemos 4 incógnitas y el
equilibrio nos da sólo 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no
interviene).
Figura 1.9 Cargas y reacciones
Para completar el análisis necesitamos las condiciones de compatibilidad de deformaciones.
Sabemos que el giro en el empotramiento es nulo.
0=Aϕ y
0=Bϕ
Figura 1.10 Condición de momento nulo en los empotramientos
Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos:
1. La viga con la carga repartida pero sin momentos en los extremos
2. La viga con el momento en el extremo izquierdo
3. La viga con el momento en el extremo derecho
Figura 1.11 Superposición de cargas
La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las
dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento –que
sabemos que tiene que ser nulo por definición de empotramiento- será igual a la suma del giro en
el ambas vigas ficticias.

11. zigurat
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zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
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zigurat
zigurat
zigurat
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2,1,0 AAA ϕϕϕ +==
Figura 1.12 Superposición de giros
El giro en el extremo A de la viga con carga permanente es:
y
A
IE
Lq
··24
· 3
1, −=ϕ
El giro en el extremo A de la viga con momento en dicho extremo es:
y
A
A
IE
LM
··3
·
2, =ϕ
El giro en el extremo A de la viga con momento en el extremo B es:
y
B
A
IE
LM
··6
·
3, −=ϕ
Superponemos e igualamos a cero.
y
B
y
A
y
AAAA
IE
LM
IE
LM
IE
Lq
··6
·
··3
·
··24
·
0
3
3,2,1, −+−=++== ϕϕϕϕ
Obviamente, no es suficiente, tenemos dos incógnitas. La manera más genérica de resolverlo
sería anular el giro en el extremo derecho, que sería:
y
B
y
A
y
BBBB
IE
LM
IE
LM
IE
Lq
··3
·
··6
·
··24
·
0
3
3,2,1, +−=++== ϕϕϕϕ
De este modo, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
No obstante, en este caso particular tenemos un atajo: la viga es simétrica y los momentos serán
iguales (aunque de sentido contrario): MB=-MA
Por lo tanto, la condición de giro nulo en el extremo izquierdo se puede poner:
y
A
y
A
y
AAAA
IE
LM
IE
LM
IE
Lq
··6
·
··3
·
··24
·
0
3
3,2,1, ++−=++== ϕϕϕϕ
Simplificando:

12. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
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12
0
28
·
·
··3
2
=





++− A
A
y
M
M
Lq
IE
L
Despejando MA
12
· 2
Lq
M A =
Por lo tanto
12
· 2
Lq
M B −=
Es decir, MA tiene sentido antihorario y MB tiene sentido horario.
Una vez conocidos los momentos en los extremos, la viga inicial es equivalente a esta otra, cuya
resolución es inmediata con las ecuaciones de equilibrio.
Figura 1.13 Viga isostática equivente
Ejemplo
Tenemos una viga IPE 300 de 7 m empotrada en ambos extremos en un muro de hormigón, con
una carga uniforme de 30 kN/m. ¿Cuál es la flecha en el punto central?
Solución
El momento de inercia de un IPE 300 es 8356 cm ⁴.
El momento en los extremos es:

13. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
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zigurat
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zigurat
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13
mkNmmN
Lq
M A 50,122122500000
12
²700030
12
²·
==
×
==
Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema
inicial.
Calculamos la flecha para cada una de las acciones y superponemos.
La flecha debida a la carga es de 53.45 mm hacia abajo.La flecha debida a cada uno de los
momentos –por simetría es igual para ambos- es ascendente y de valor 21,38 mm. En total:
53,45-21,38-21,38=10,69 mm hacia abajo.

14. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
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se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos
comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT.
Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
14
1.3 Viga continua de dos tramos iguales con carga uniforme
Si la luz es igual en ambos tramos, por simetría resulta que el giro en el apoyo central es nulo, por
lo que cada una de las vigas se comportará como una viga apoyada empotrada.
Figura 1.14 Vigas apoyadas-empotradas equivalentes
Por analogía con la viga apoyada-empotrada, el momento flector en el apoyo vale
8
²·Lq
M =
Figura 1.15 Descomposición de la viga en dos tramos
A partir de ahí, cada tramo se trata como una viga isostática con la carga lineal y un momento en
un extremo.
Ejemplo
Una viga de madera de sección constante está apoyada en tres muros de fábrica, con luces de
4,00 m en cada tramo. Si la carga lineal es de 15 kN/m ¿Cuánto vale la reacción vertical en el
apoyo central?

15. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
–
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
15
Solución
En primer lugar calculamos el momento flector en el apoyo:
mkN
Lq
M 30
8
²415
8
²·
=
×
==
A partir de ahí, cada tramo de la viga es asimilable a una viga isostática sobre la que actúa la
carga lineal y el momento antes calculado.
Equilibramos momentos del tramo izquierdo respecto al apoyo central:
030
2
00,4
00,41500,4
2
··· =+××−×=+− AA RM
L
LqLR
Por lo tanto: RA=22,50 kN
Por simetría: RC=22,50 kN
Y por equilibrio de fuerzas verticales RB=q·L+q·L-RA-RC=15×4,00+15×4,00-22,5-22,5=75 kN.
Si ambas vigas fuesen biapoyadas, habríamos obtenido RA=RC=30 kN y RB=60 kN.
Concluimos entonces que la carga del apoyo central se incrementa por los efectos hiperestáticos
de la continuidad y, consecuentemente, la carga de los apoyos extremos disminuye.

16. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
16
1.4 Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme
La viga continua es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la
reacción vertical en los 3 apoyos, es decir, tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo 2 ecuaciones:
SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene).
Figura 1.16 Reacciones verticales
La condición que nos falta la obtenemos de la compatibilidad de deformaciones. La viga es
continua, por lo que el giro a ambos lados del apoyo central debe ser igual
dBiB ,, ϕϕ =
Figura 1.17 Compatibilidad de giros
Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga
como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento.
Figura 1.18 Superposición de acciones
La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las
dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento –que
sabemos que tiene que igual en ambos tramos- será igual a la suma del giro en el ambas vigas
ficticias.
2,,1,,,,2,,1,, dBdBdBiBiBiB ϕϕϕϕϕϕ +===+
Calculamos primero el giro de apoyo B por la izquierda:
Por la carga permanente:

17. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
17
y
i
iB
IE
Lq
··24
· 3
1,, =ϕ
Por el momento:
y
iB
iB
IE
LM
··3
·
2,, −=ϕ
Calculamos ahora el giro del apoyo B por la derecha:
Por la carga permanente:
y
d
dB
IE
Lq
··24
· 3
1,, −=ϕ
Por el momento:
y
dB
dB
IE
LM
··3
·
2,, =ϕ
Superponemos ambos estados e igualamos los momentos a derecha e izquierda.
2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+
y
dB
y
d
y
iB
y
i
IE
LM
IE
Lq
IE
LM
IE
Lq
··3
·
··24
·
··3
·
··24
· 33
+−=−
Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo:
dB
d
iB
i
LM
Lq
LM
Lq
·
8
·
·
8
· 33
+−=−
iBdB
di
LMLM
LqLq
··
8
·
8
· 33
+=+
( )33
·
8
)( diidB LL
q
LLM +=+
( )
)(
·
8
33
id
di
B
LL
LLq
M
+
+
=
Conocido MB, cada uno de los tramos se trata como una viga isostática, el cálculo de las
reacciones verticales se obtiene por equilibrio y los diagramas de esfuerzos y las flechas se
obtienen con la formulación habitual.

18. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
18
Figura 1.19 Vigas isostáticas equivalentes
Ejemplo
Tenemos una viga IPE 200 de 8,00 m apoyada en tres muros separados 5,00 m y 3,00 m entre sí
y con una carga uniforme de 20 kN/m ¿Cuál es el momento flector sobre el apoyo central?
Solución
Igualamos los giros a ambos lados del apoyo central.
2,,1,,,,2,,1,, dBdBdBiBiBiB ϕϕϕϕϕϕ +===+
Para simplificar los cálculos y visualizar mejor los giros, aprovecharemos que al ser la viga del
mismo material y sección, el producto E·Iy es constante y por lo tanto, al efectuar las operaciones,
desaparece, de modo que da igual el valor que tomemo. Supondremos que E·Iy=1. Además,
operaremos en m y kN, con lo que los números resultan mucho más legibles.

19. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
19
Calculamos primero el giro de apoyo B por la izquierda:
Por la carga permanente:
17,104
24
³520
··24
· 3
1,, −=
×
−=−=
y
i
iB
IE
Lq
ϕ
Por el momento:
B
B
y
iB
iB M
M
IE
LM
3
5
3
5
··3
·
2,, =
×
==ϕ
Calculamos ahora el giro del apoyo B por la derecha:
Por la carga permanente:
5,22
24
³320
··24
· 3
1,, =
×
==
y
d
dB
IE
Lq
ϕ
Por el momento:
B
B
y
dB
dB M
M
IE
LM
−=
×
−=−=
3
3
··3
·
2,,ϕ
Superponemos ambos estados e igualamos los momentos a derecha e izquierda.
2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+
BB MM −=+− 5,22
3
5
17,104
Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo apoyo central.
mkNMM BB 5,47
8
3
67,12667,1265,227,104
3
8
=×=⇒=+=
A partir de ahí, el cálculo de las reacciones y los diagramas de esfuerzos se completa
simplemente por equilibrio.
El resultado obtenido con NM3D difiere muy ligeramente porque el programa considera la
deformación por cortante, que por su escasa incidencia se obvia en cálculos manuales.
Vídeo 1.1 Viga continua con dos vanos diferentes

20. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
20
2. Esfuerzos isostáticos y esfuerzos hiperestáticos
Se llaman esfuerzos isostáticos a los correspondientes a las barras supuestas biapoyadas y
esfuerzos hiperestáticos a los obtenidos a mayores con las condiciones de compatibilidad.
Vídeo 2.1 Superposición de esfuerzos
Por ejemplo, en una viga continua de dos vanos, los cortantes y flectores isostáticos serán:
Figura 2.1 Esfuerzos isostáticos en una viga continua

21. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
21
Los esfuerzos hiperestáticos son los originados por el momento flector en el apoyo.
Figura 2.2 Esfuerzos hiperestáticos en una viga continua
La dirección de las reacciones evidencia que el efecto hiperestático aumenta la reacción en el
apoyo central y la disminuye en los apoyos extremos, como ya sabíamos.
Cuando hay momentos en los extremos (por ejemplo, por la presencia de voladizos) y en vigas de
más de dos vanos, como regla pnemotécnica es útil pensar que el valor de las reacciones
hiperestáticas de cada vano es el cociente entre la diferencia de momentos en los extremos del
vano y la luz del propio vano R=(Mizda-Mdcha)/L y –este es el punto que suele provocar mayores
dificultades- este valor se suma en el extremo cuyo momento es más negativo, es decir, más alto
en la gráfica, y se le resta al otro extremo.
Vídeo 2.2 Esfuerzos isostáticos e hiperestáticos

22. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
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zigurat
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zigurat
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zigurat
zigurat
zigurat
zigur
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
22
3. Conceptos de cálculo matricial
El análisis de estructuras hiperestáticas se basa en la compatibilidad de deformaciones entre los
elementos. Estudiar la compatibilidad de un par de nudos es sencillo, pero según se incrementa el
grado de hiperestaticidad se incrementan igualmente las ecuaciones de compatibilidad, lo que las
hace inabordables manualmente. En cierto modo, las bases teóricas del cálculo matricial estaban
sentadas en el siglo XIX, pero en la práctica no era posible aplicarlas, por lo a principios del siglo
XX aparecieron métodos, como los iterativos de Cross y Kani, que permitían el cálculo manual y
que se usaron durante décadas. A mediados del siglo XX aparecieron los ordenadores y
paralelamente se desarrollaron los métodos del cálculo matricial, pero no fue hasta los ochenta
que empezaron a entrar los ordenadores en los estudios.
El cálculo matricial consiste en plantear todas las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de
manera sistemática, en forma de matrices. De este modo, el cálculo de la estructura consiste en
resolver una ecuación matricial cuya analogía con la ley de Hooke es evidente:
[F]=[K]×[d],
Donde
[F] es la matriz de cargas aplicadas en los nudos
[K] es la matriz de rigidez, que contiene las rigideces de todos los elementos de la estructura
[d] es la matriz de desplazamientos y giros en los nudos.
Nuevo Metal 3D y Cypecad calculan aplicando el método matricial en tres dimensiones.
En Nuevo Metal 3D es modelo de cálculo es directamente visible, los nudos y barras de la
estructura son los que vemos.
En Cypecad introducimos elementos estructurales –vigas, pilares, forjados, etc.- y el programa
crea el modelo, que además añade matices propios de las estructuras de pisos, como la rigidez de
los forjados en su plano.

23. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
23
3.1 Definición de rigidez
La rigidez de un cuerpo es la capacidad de oponerse a las deformaciones causadas por los
esfuerzos.
δ
F
K =
Donde
K es la rigidez.
F es la fuerza aplicada.
d es la deformación producida por la fuerza aplicada.
En otras palabras, la rigidez de un cuerpo es la fuerza que hemos de aplicar para conseguir un
desplazamiento unidad.
En resistencia de materiales consideramos la resistencia de las barras a los diferentes esfuerzos
internos: rigidez a axil, rigidez a flexión, rigidez a cortante y rigidez a torsión.

24. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
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zi
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
24
3.2 Rigidez a esfuerzo axil
La rigidez a esfuerzo axil es la relación entre el esfuerzo axil de una barra y el alargamiento
producido por dicho esfuerzo.
L
N
K
∆
=
Su unidad debería ser N/m, pero en cualquier elemento constructivo el valor sería enorme, de
modo que es más manejable usar N/mm o, mejor aún, kN/mm.
Dicho de otra manera, es el axil que hemos de aplicar a la barra para conseguir un alargamiento
unidad. Por ejemplo, una rigidez de 1800 kN/mm significa que para conseguir un alargamiento de
1 mm necesitamos una fuerza de 1800 kN.
Por definición de tensión bajo esfuerzo axil:
AN
A
N
·σσ =⇒=
Por definición de alargamiento unitario
LL
L
L
·εε =∆⇒
∆
=
Por lo tanto
L
A
K
·
·
ε
σ
=
El cociente s/e es el módulo de elasticidad longitudinal E, de modo que
L
AE
K
·
=
Se adjunta en el campus una hoja de cálculo que facilita la obtencion de las deformaciones y la
rigidez por esfuezo axil.

25. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
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Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
25
Ejemplo
¿Cuál es el acortamietno de un soporte de acero HEB 320 de 3 m de altura sometido a los
esfuerzos axiles siguientes?
Carga permanente: NG=1200 kN
Sobrecarga de uso: NQ=500 kN
Viento norte: NVN=200 kN
Viento sur: NVS=220 kN
Viento este: NVE=100 kN
Viento oeste: NVW=92 kN
Solución
El área de un perfil HEB 320 es 16135 mm². Calculamos la rigidez a esfuerzo axil.
mm
kN
mm
N
L
AE
K 11291129450
3000
16135210000·
==
×
==
El alargamiento de cada barra se obtiene a partir de la definición de rigidez a esfuerzo axil:
K
N
L
L
N
K =∆⇒
∆
=
Tenemos un acortamiento de 1,063+0,443+0,177+0,194+0,089+0,081=2,047 mm
Carga permanente: mm
K
N
L 063,1
1129
1200
===∆
Sobrecarga de uso: mm
K
N
L 443,0
1129
500
===∆
Viento norte: mm
K
N
L 177,0
1129
200
===∆
Viento sur: mm
K
N
L 194,0
1129
220
===∆
Viento este: mm
K
N
L 089,0
1129
100
===∆
Viento oeste: mm
K
N
L 081,0
1129
92
===∆

26. zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
zigurat
t
zigurat
zigurat
zigurat
zigur
zigurat
zigurat
zi
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Estructuras Hiperestáticas.
26
Podríamos haber calculado la tensión en cada barra, luego haber el acortamiento (o alargamiento
negativo) unitario a partir de la tensión y finalmente calcular el acortamiento total a partir del
acortamiento unitario, pero el concepto de rigidez nos permite sistematizar la operación, algo
fundamental si pensamos que las estructuras de edificación suelen tener muchas barras y muchas
hipótesis.
Ejemplo
En un soporte HEB 120 de 4,00 m de altura medimos un acortamiento de 1 mm ¿A qué esfuerzo
axil [kN] está sometido?
Solución
El área de un HEB 120 es 3400 mm². La rigidez del soporte es
mm
kN
mm
N
L
AE
K 50,178178500
4000
3400210000·
==
×
==
Por lo tanto, un acortamiento de 1 mm supone un esfuerzo de 178,50 kN.

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RESPONSABILIDADES: El contenido de esta obra elaborada por ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica, S.L. está protegida por la Ley de
Propiedad Intelectual Española que establece, penas de prisión y o multas además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios. No
se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos
comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita a ZIGURAT.
Conceptos Prácticos de Estructuras.
Estructuras Hiperestáticas.
27
3.3 Rigidez a momento flector
La rigidez a esfuerzo axil es la relación entre el momento flector aplicado en un extremo de una
barra y el giro producido.
θ
M
K =
Para una barra de sección constante articulada en el extremo opuesto al de aplicación del
momento es:
L
IE
K
··3
=
Para una barra de sección constante empotrada en el extremo opuesto al de aplicación del
momento es:
L
IE
K
··4
=
Estos coeficientes son los que se introducen posteriormente en la matriz de rigidez de la
estructura, de modo que la deformación de cada barra depende de su rigidez.
Vemos que la barra empotrada es más rígida.
La rigidez es proporcional al módulo de elasticidad del material y al momento de inercia de la
sección, es decir, al cubo del canto . Esto implica que aumentar un 25% el canto supone duplicar
la rigidez.
La rigidez es inversamente proporcional a la longitud de la barra. Esto explica, por ejemplo, por
qué los soportes cortos reciben esfuerzos enormes en relación a los de longitud normal, causa
frecuente de fallos en caso de sismo.
Ejemplo
Tenemos una viga 30×30 de hormigón armado de 5.00 m de luz, empotrada en un muro de
hormigón (al que supondremos rigidez infinita) y apoyada en la coronación de un muro de fábrica,
con un voladizo tras este apoyo de 1.50 m.
Sobre el extremo del vuelo tenemos una carga de 10 kN. ¿Qué giro produce esta carga sobre el
apoyo de la viga?
Asumimos un comportamiento elástico del hormigón con E=27 MN/mm².

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Solución
El momento de inercia de la sección es 67500E4 mm4
.
El axil de 10 kN a 1.50 m del apoyo equivale a un flector de 15 mkN y una fuerza vertical de 10 kN
sobre el propio apoyo.
La fuerza vertical sobre el apoyo no supone giro de este, por lo que podemos obtener dicho giro
simplemente calculando el giro que produce el momento. Para ello, usamos el concepto de rigidez
a momento flector. Si
θ
M
K =
Entonces nos basta calcular K para obtener directamente el giro:
K
M
=θ
La rigidez K del soporte de sección constante empotrado en el extremo opuesto al de aplicaicón
del momento es:
rad
mkN
rad
mmN
E
EE
L
IE
K 14580614580
5000
4675003274··4
==
××
==
Por lo tanto, el giro de la sección será:
º0589.0001088.0
14580
15
==== rad
K
M
θ
Podemos comprobarlo en NM3D. Para evitar la influencia del peso propio (que con esta carga
puntual tan baja es importante) introducimos la carga en otra hipótesis de carga, por ejemplo, en
sobrecarga de uso. El valor puede diferir ligeramente por el efecto de la deformación por cortante
y por el redondeo del valor del módulo de elasticidad.

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