Una presentación que explica la estimación de la recta de regresión por el método conocido como mínimos cuadrados

1. 1
TEORÍA DE LA
REGRESION
Dr. Salvador Martín Medina Torres
Profesor - Investigador
Postgrado en Desarrollo Sustentable de Recursos naturales
ÁREA DE GESTIÓN DE VIDA SILVESTRE
Universidad Autónoma Indígena de México -Unidad Mochicahui
Juárez 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa. C.P. 81890.
Tel. y Fax: (698) 892-06-54 y 892-00-42

2. EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS
CUADRADOS
2

3. ¿Qué productos buscamos en
la regresión?
 Parámetros
– o, 1
 Predicción
– Crear una función lineal que permita describir
el comportamiento de una variable dependiente
Y en función de una o mas variables
independientes X
3

4. Procedimientos para estimar
los parámetros
 Estimación por mínimos cuadrados
 Estimación por máxima verosimilitud
 Método del estimador insesgado de varianza
mínima
4

5. Estimación por mínimos
cuadrados
 Es el mas utilizado
 Fue desarrollado por Karl Gauss
(1777-1855)
 La idea es producir estimadores de
los parámetros ( o, 1) que hagan
mínima la suma de cuadrados de
las distancias entre los valores
observados Yi, y los valores
estimados Ŷi
5

6. Supuestos del método de
mínimos cuadrados
1. El modelo de regresión es lineal en los parámetros y .
2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido.
3. El valor medio de la perturbación i es igual a cero.
4. Homocedasticidad o igual variancia de i.
5. No autocorrelación entre las perturbaciones i.
6. La covariancia entre i y Xi es cero.
7. El número de observaciones n debe ser mayor que el número
de parámetros a estimar.
8. Variabilidad en los valores de X.
9. El modelo de regresión está correctamente especificado.
10. No hay relaciones lineales perfectas entre las variables
explicativas Xi.
6

7. Método de los Mínimos
Cuadrados
n
(Xi X i )(Yi Y i )
i 1
1 n
(Xi X i )2
i 1
0 Y 1 X
Error = Y observada o real – Ŷ estimada
El método minimiza la suma de estos errores elevada al
cuadrado, para evitar el valor cero que ocurre cuando se
suman los errores.
7

8. Para simplificar lo anterior…
n n
(Xi X i )(Yi Y i ) (Xi X i )(Yi Y i ) SPXY Covarianza XY
i 1 i 1
1 n
(Xi X i )2 n
i 1 (Xi X i )2 SPXX Varianza X
i 1
SPXY n
(Yi Y i ) 2 SPYY Varianza Y
1
SPXX i 1
Se guarda para
después…
8

9. Ejemplo práctico:
 Suponer que se toma una muestra aleatoria de 10
personas de una población cualquiera, y se registran sus
pesos y medidas.
 Se busca crear una función matemática que permita
predecir el peso (kg), en función de la estatura (cm).
– Peso = f(Estatura)
 Por tanto, la variable dependiente será el peso, y la
variable independiente será la estatura.
– Y = peso (kg); X = estatura (cm)
9

10. Elaborar una memoria de calculo
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2 i XiYi
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568
Elementos que
necesitamos
Xi Yi X i2 Yi 2 X iYi
Medias 161.30 61.40
Datos de Infante, S. y G. Zárate. 1991. Métodos estadísticos, un enfoque interdisciplinario. Ejemplo 12.1. 465 p.
10

11. Para simplificar la estimación
de
n
Xi Yi Covarianza XY
(Xi X i )(Yi Y i ) SPXY SPXY X iYi
i 1 n
n
(Xi X i )2 SPXX Varianza X
i 1
n
(Yi Y i ) 2 SPYY Varianza Y
i 1
SPXY Se guarda para
después…
1
SPXX 11

12. Estimando parámetros
Xi Yi (1,613)(614 )
SPXY X iYi 99,568 529 .8
n 10
SPXY 529 .8
1 1.0187
SPXX 520 .1
0 Y 1 X 61.4 (1.0187 )161.3 102.91
12

13. Obteniendo la ecuación de
regresión
Yi 0 1 Xi 102.91 1.0187 X i
13

14. Obteniendo los valores
estimados de Yi
 En cada fila (observación), se calculan los
valores estimados para Yi (denotados por
Ŷi), mediante la ecuación de regresión
obtenida, sustituyendo los valores de Xi :
Y1 0 1 X1 102 .91 1.0187 162 62.11
Y2 0 2 X2 102 .91 1.0187 158 58.04

Y10 0 10 X 10 102 .91 1.0187 173 73.32
14

15. En la memoria de cálculo…
Se calcula con la ecuación de regresión obtenida
para cada valor de X
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2i XiYi Yi estimada
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206 62.11
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216 58.04
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026 67.21
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399 50.91
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502 62.11
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416 68.22
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356 67.21
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344 52.95
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512 51.93
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591 73.32
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568
Elementos que
necesitamos
Xi Yi X i2 Yi 2 X iYi
Medias 161.30 61.40
15

16. El gráfico muestra así los valores
reales y los estimados…
90.00
80.00 y = -102.91+1.0187x
70.00
60.00
Y = Peso (kg)
50.00
valores reales
peso (kg) Yi
40.00 valores estimados
Lineal (peso (kg) Yi)
30.00
20.00
10.00
-
145.00 150.00 155.00 160.00 165.00 170.00 175.00
X = Estatura (cm)
16

17. ¿Qué logramos con este
método?
 Del número infinito de rectas de regresión
que se pueden generar, hemos generado
aquella cuya suma de cuadrados de las
distancias entre los valores reales y
estimados (Yi - Ŷi), sea la menor de todas…
17

18. ei e2i
observaciones estatura (cm) Xi peso (kg) Yi X2i Y2i XiYi Yi estimada
(residuales) (residuales)
1 162.00 63.00 26,244 3,969 10,206 62.11 0.89 0.79
2 158.00 52.00 24,964 2,704 8,216 58.04 - 6.04 36.46
3 167.00 78.00 27,889 6,084 13,026 67.21 10.79 116.50
4 151.00 49.00 22,801 2,401 7,399 50.91 - 1.91 3.64
5 162.00 71.00 26,244 5,041 11,502 62.11 8.89 78.98
6 168.00 62.00 28,224 3,844 10,416 68.22 - 6.22 38.75
7 167.00 68.00 27,889 4,624 11,356 67.21 0.79 0.63
8 153.00 48.00 23,409 2,304 7,344 52.95 - 4.95 24.46
9 152.00 56.00 23,104 3,136 8,512 51.93 4.07 16.59
10 173.00 67.00 29,929 4,489 11,591 73.32 - 6.32 39.92
1,613.00 614.00 260,697 38,596 99,568 0.00 356.72
Hemos conseguido hacer mínima esta suma…
18

19. EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
INTERPRETACION DE LA
ECUACION DE REGRESION
19

20. Interpretación de la ecuación
de regresión estimada
 Una vez obtenida la recta estimada el
investigador puede necesitar interpretar los
componentes de la ecuación.
 Es frecuente cometer algunos errores.
– Estos son los mas comunes…
20

21. Interpretación de la estimación
de la ordenada al origen 0
 0:se interpreta matemáticamente como el valor que
tomará una Ŷi cuando X = 0
 Este parámetro no tiene interpretación práctica en
muchos problemas.
– En nuestro ejemplo: una persona de 0 cm, no puede
pesar -102.91 kg de estatura.
– Sin embargo, este valor es necesario para representar la
tendencia que muestran los datos en el espacio de
valores observados para la variable independiente.
21

22. ¿Bajo que condiciones es posible
una interpretación práctica de 0?
 Debe ser físicamente posible que X tome el
valor de 0.
 Deben tenerse suficientes datos alrededor
del valor X = 0.
– Podemos concluir que es poco razonable tratar
de predecir el comportamiento de Y para
valores imposibles de X.
22

23. Interpretación del estimador
de la pendiente 1
 1,
también llamado Coeficiente de Regresión, es de
mayor importancia que 0 , ya que ya que nos indica la
forma en que están relacionadas X y Y.
 Mide cuanto y en que dirección (positiva o negativa) se
modifican los valores de Y cuando cambia X.
– Ejemplo: en el caso anterior, se dice que por cada 1.0187 kg
de incremento en el peso, se incrementará 1.0 cm de
estatura.
– Precaución: una vez mas, esta afirmación solo opera para un
cierto intervalo de valores.
• Suponer que el valor mínimo de estatura sea de 1 metro: le
correspondería un peso estimado de -1.04 kg, situación
naturalmente imposible.
• Para una mejor interpretación de 1, debemos estimar su
varianza…
23

24. Conclusiones
 Recordar: un supuesto básico del modelo de
regresión, es que para cada valor posible de X, Y es
una variable aleatoria con distribución normal cuya
media es Y/X
 Lo correcto es decir que las medias poblacionales de
Y se incrementan (o disminuyen) al aumentar X
 Recordar que en realidad trabajamos con
estimadores de parámetros desconocidos, y son por
tanto, variables aleatorias sobre las que deben
hacerse afirmaciones probabilísticas.
24

25. EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE UNIVARIANTE
PROPIEDADES DE LOS
ESTIMADORES DE MINIMOS
CUADRADOS
25

26. Propiedades de los estimadores
de mínimos cuadrados
 Los estimadores de la ordenada al origen 0, la
pendiente 1 y la recta de regresión ( Y/X)
tienen las siguientes distribuciones:
2 2 2
X i
0 ~N 0; 1 ~N 1 ;
n( SPXX ) SPXX
2 )
Y X0 Y / X0
~ N(
Y / X0 0 1 X 0;
YX 0
2 2 1 ( X 0 X )2
Donde…
YX 0 n SPXX
26

27.  Como estimador de 2, se utiliza S2e, que se
expresa:
2 S .C.ERROR SPYY SPXY
1
S e
n 2 n 2
 El estimador S2e es insesgado, siempre y cuando el
modelo de línea recta adoptado sea correcto; es
decir, que en esas condiciones:
2 2
E (S )
e
27

28.  Sustituyendo 2 por
S2e, obtenemos
estimadores para las varianzas de 0, 1 y ŶXo:
2
X i2 2 S e2 X i2
0 ~N 0; S
n( SPXX ) 0
n( SPXX )
2
S e2
1 ~ N 1; S 21
SPXX SPXX
1 ( X 0 X )2 1 ( X 0 X )2
2
S2
2 2
S e
YX 0 n SPXX YX 0 n SPXX
28

29. Ejemplo: estimar varianzas de los
datos analizados
 Del caso de las estaturas y pesos:
– Se tenían: SPXY=529.8; SPXX=520.1;
SPYY=896.4; X2i=260,697; X= 161.30
2
X i2 2
X i2 2
260697
0 ~N 0;
2
50.124 ( 2
)
n( SPXX ) 0
n( SPXX ) 10(520 .1)
2 2 2
1 ~N 1 ; 2
0.0019 ( 2
)
SPXX 1
SPXX 520 .1
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30.  Para obtener estimadores de estas varianzas
requerimos estimar a través de S2e:
– Recordar que 1 = 1.0187
2 SPYY 1SPXY 896 .4 (1.0187 )529 .8
S e 44.587
n 2 10 2
30

31.  Ya con el valor de… Se2 44.587
 Se procede a calcular las varianzas
estimadas de 0 y 1:
2 2
2 Se X i 2
S 50.124( ) 50.124(44.587 ) 2234 .879
0
n( SPXX )
2
2 S e
S 0.0019 ( 2
) 0.0019 (44.587 ) 0.0847
1
SPXX
31

32.  Finalmente, si se desea estimar la recta para un valor
X0 de un valor arbitrario elegido por nosotros
(digamos, 100 cm – o 1 metro- ):
– Recordar que 0 = -102.91
YX 0 120 0 1 ( X 0 ) ( 102 .91) 1.0187 (100 ) 1.04 kg
 … la varianza asociada con la estimación anterior
es:
2 2 1 ( X 0 X )2 2 1 (100 161 .3) 2 2
7.325
YX 0 120 n SPXX 10 520 .1
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33.  En tanto que su varianza estimada es:
2 2 1 ( X 0 X )2
S Se 7.325 (44.587 ) 326 .62 kg 2
YX 0 n SPXX
– Donde: Se2 44.587 2
33

34. Conclusión:
 Para un valor hipotético X0 = 100 cm de estatura, el valor
estimado de Ŷxo deberá ser de -1.04 kg, con una varianza
estimada de 326.62 kg2, o una desviación estándar de ±18.07 kg
(-19.12 a 17.03 kg).
– Es decir, el peso estimado a 100 cm de estatura, deberá estar entre
ese intervalo de valores.
 De acuerdo a actuales estándares en pediatría, a estaturas
aproximadas a 100 cm, se corresponden pesos aproximados a
los 17 Kg.
– Para comprobarlo, ver enlace en:
http://www.guiainfantil.com/salud/embarazo/tabla_pesos.htm
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