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Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
124
6
6.1 INTERVALOS
6.2 VALOR ABSOLUTO
6.3 ECUACIONES EN UNA INCOGNITA
• ECUACIONES LINEALES
• ECUACIONES CUADRÁTICAS
• ECUACIONES CON RADICALES
• ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
• PROBLEMAS.
La solución de ciertas situaciones problémicas conducen a plantear ecuaciones para
resolverlas. Por tanto, es importante que aprendamos a encontrar los conjuntos solución de
diversos tipos de ecuaciones.
En los problemas de cardinalidad de conjuntos ya se empleaban ecuaciones.
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
125
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina diversos tipos de intervalos
 Represente intervalos en la recta real.
 Defina valor absoluto de un número real.
 Aplique las propiedades del valor absoluto.
 Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas, con radicales, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones.
6.1 INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de números reales.
Tenemos los siguientes tipos de intervalos:
6.2 VALOR ABSOLUTO
Si Ra ∈ , entonces el VALOR ABSOLUTO de a
denotado como a , se define como:



<−
≥
=
0
0
asia
asia
a
Es decir, si a es un NÚMERO POSITIVO o CERO su valor absoluto
es el mismo número. Si a ES NEGATIVO su valor absoluto es el número
cambiado de signo (lo hacemos positivo).
INTERVALO CERRADO
[ ] { }RxdondebxaxbaI ∈≤≤== /
INTERVALO ABIERTO
( ) { }RxdondebxaxbaI ∈<<== /,
INTERVALOS SEMIABIERTOS
( ] { }RxdondebxaxbaI ∈≤<== /,[ ) { }RxdondebxaxbaI ∈<≤== /,
OTROS INTERVALOS
( ] { }RxdondeaxxaI ∈≤=∞−= /, [ ) { }RxdondebxxbI ∈≥=∞= /,
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
126
Ejemplo 1
22 =
Ejemplo 2
( ) 222 =−−=−
Ejemplo 3
5
1
5
1
=−
6.2.1 PROPIEDADES
Si Rba ∈∧ , entonces:
1. baba ⋅=⋅
2.
b
a
b
a
= ; 0≠b
3. baba +≤+
4. baba −≥−
No olvide demostrarlas.
Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros
tipos de intervalos.
6.2.2 INTERVALOS SIMÉTRICOS
PREGUNTA: ¿A QUÉ INTERVALO SE REFIERE EL CONJUNTO? { }RxdondeaxxI ∈≥= /
Bien empecemos a tratar a las ecuaciones o igualdades.
6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA
[ ] { } { }axxRxdondeaxaxaaI ≤=∈≤≤−=−= //,
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
127
Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que
tienen una incógnita “ x ”, y usualmente están estructuradas de la
siguiente manera:
6.3.1 LEYES
En una igualdad, sin alterarla, usted puede:
1. Sumar o restar una misma cantidad a
ambos miembros. Es decir:
Si ba = , entonces cbca +=+ ; para todo
Rc ∈
2. Multiplicar una misma cantidad a ambos
miembros. Es decir:
Si ba = entonces cbca ⋅=⋅ ; para
todo Rc ∈
3. Dividir una misma cantidad (diferente
de cero) a ambos miembros. Es decir:
Si ba = entonces
c
b
c
a
= ; para todo
Rc ∈ 0≠∧ c
6.3.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (ECUACIONES LINEALES)
Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya
expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma:
0≠a
Determinemos su
conjunto solución ?)( =xAp
x
a
a
ax
/
/
Expresión
algebraic
a en “ x ”
Expresión
algebraic
a en “ x ”
=
MIEMBROS
0:)( =+ baxxp
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
128
Despejando “ x ” tenemos: entonces






−=
a
b
xAp )(
Prueba: si reemplazamos el valor de “ x ” en la ecuación dada, entonces:
Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo
elemento, es decir existe un sólo valor para x que satisface la
ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa.
Ejercicio resuelto
El valor de " x " que se obtiene al RESOLVER la ecuación :
0
5
3
11
96
225
22
=−
−
−
+−
−
xxxxx
x
es: a) 26− b) 4− c) 4 d) 26 e) 12
SOLUCIÓN:
Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego " x "
4
123
0123
0453053311225
0
)3)(3(
)3(5)3(11225
0
5
)3(
11
)3)(3(
225
0
5
3
11
96
225
22
22
22
−=≡
=−≡
=−−≡
=−+/−+−−/≡
=
−−
−−−−−
≡
=−
−
−
−−
−
≡=−
−
−
+−
−
x
x
x
xxxxx
xxx
xxxx
xxxxx
x
xxxxx
x
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “b”
Ejercicios Propuestos 6.1
1. Si IR=Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) ( )[ ] 2
1
3
2
13
4
11
2
1
−=−+ xx
b) 333
2)1()1( xxx =−−+
2. Un valor de " x " que satisface a la igualdad:
2
4
4
2
86
17
2 −
−
=
−
−
+
+−
+
x
x
x
x
xx
x
, IR=Re ,
es: a) 0 b) 1 c) 1− d) 2 e) 2−
00
0
=
=+





/
−/ b
a
b
a
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
129
FACTORIZANDO tenemos:
6
7
761
07601
0)76)(1(
0
6
)66)(76(
−=
−=∨=
=+∨=−
=+−
=
−+
x
xx
xx
xx
xx
Tiene 2 soluciones reales
3. Sea el predicado
103
10
5
1
2
:)( 2
−+
+
+
−
=
− xxx
x
x
x
xp . ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO
SOLUCIÓN )(xAp es:
a) { }7
8 b) { }8
7 c) { }2
3 d) { }3
2 e) { }3
8
6.3.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (ECUACIONES CUADRÁTICAS)
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado,
que una vez que haya sido simplificado, presenta la forma:
0:)( 2
=++ cbxaxxp , donde 0,, ≠∧∈ aRcba
Su conjunto solución se lo puede determinar por los
siguientes métodos:
1. FACTORIZANDO el trinomio, siempre y cuando sea posible.
Entonces tendríamos: 0)()( 21 =−−

ba
xxxx
Por lo tanto, como 0=ab si y sólo si 00 =∨= ba , entonces:
Ejemplo
Para la ecuación 076 2
=−+ xx
2. Empleando la Fórmula GENERAL. En cualquier caso se podría
completar cuadrados, para de allí encontrar x , entonces
obtendríamos:
a
acbb
xx
2
4
,
2
21
−±−
= ¿Dedúzcala?
Prueba:
1. Con 1=x
( ) 07116 2
=−+
2. Con
6
7−=x
07
6
7
6
49
07
6
7
36
49
6
07
6
7
6
7
6
6
2
=−−
=−





−+





/
=−





−+





−
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
130
Ejemplo
Aplicando la fórmula general, encontremos las raíces de la ecuación cuadrática
del ejemplo anterior: 076 2
=−+ xx
Tenemos que: 716 −=== cba
por lo tanto:
( ) ( )( )
( )






−=
−
=
−−
=
=
+−
=
±−
=
+±−
=
−−±−
=
6
7
12
14
12
131
1
12
131
12
131
,
12
16811
62
76411
,
2
1
21
2
21
x
x
entoncesxx
xx
6.3.3.1 Discriminante
A la expresión dentro del radical de la fórmula general se
la llama DISCRIMINANTE y se la denota con la letra D
Entonces: acbD 42
−=
 CASO I: Si 0>D , entonces las raíces serán reales y
diferentes. Es decir:
a
acbb
x
2
42
1
−+−
= y
a
acbb
x
2
42
2
−−−
=
Observe el ejemplo anterior.
 CASO II: Si 0=D , entonces las raíces serán reales e
iguales. Es decir:
a
b
xx
2
21 −== .
Ejemplo
Encontrando las raíces, aplicando la fórmula general, de la ecuación
cuadrática: 0144 2
=++ xx
Para esta ecuación, tenemos que: 144 === cba
por lo tanto:
( ) ( )( )
( )






−=
−
=
−−
=
−=−=
+−
=
±−
=
−±−
=
−±−
=
2
1
8
4
8
04
2
1
8
4
8
04
8
04
,
8
16164
42
14444
,
2
1
21
2
21
x
x
entoncesxx
xx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
131
 CASO III: Si 0<D , entonces las raíces son complejas
conjugadas. Como nuestro campo será sólo los
números reales, en este caso se dirá que el conjunto
solución de la ecuación cuadrática es vacío. Es decir
no existen valores reales para x que satisfagan la
ecuación.
Ejemplo
Para la ecuación cuadrática: 01362
=++ xx
Tenemos que: 144 === cba
por lo tanto:
( ) ( )( )
( )
i
i
xx
tenemosillamando
xx
xx
23
2
46
,
:1
2
1166
2
)1)(16(6
2
166
,
2
52366
12
131466
,
21
21
2
21
±−=
±−
=
=−
−±−
=
−±−
=
−±−
=
−±−
=
−±−
=
Bien, ahora revisemos el siguiente ejercicio resuelto:
Ejercicio Resuelto
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente ecuación:
1
3
3
23
32
2 +
−
=−
++ x
x
xx
; IR=Re , es:
a) }2,4{ − b) }2,4{ −− c) }2,4{
d) }2,4{− e) }1{−
SOLUCIÓN: Hay que empezar simplificando, todo lo que sea posible, las expresiones algebraicas
presentes en la ecuación dada.
24
0)2)(4(
0)82(4
03284
063269332
0)632(69332
0
)1)(2(
)2)(3()1)(2(332
0
1
3
3
)1)(2(
32
1
3
3
23
32
21
2
2
22
22
2
=∨−=≡
=−+≡
=−+≡
=+−−≡
=++−−−−−≡
=−−+−−−−≡
=
++
+−−++−
≡
=
+
−
−−
++
≡
+
−
=−
++
xx
xx
xx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
xxxx
x
x
xxx
x
xx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
132
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”
Ejercicios Propuestos 6.2
1. La ecuación :
2
2
4
16
2
82
x
xx
xx
=
−
+
−
−+
IRx ∈∧; se satisface con x igual a:
a) 5 b) 1− c) 4− d) 1 e) 5−
2. Para la ecuación:
89
13
43
12
−
−
=
+
+
x
x
x
x
, donde IRx ∈ .
Es CIERTO que:
a) No tiene solución b) Tiene una solución
c) Tiene dos soluciones d) Tiene más de dos soluciones
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
3. Sean las ecuaciones 031110 2
=+− xx y 076 2
=+− kxx
El valor que debe tomar k para que la raíz de menor valor de la primera ecuación sea también raíz
de la segunda ecuación es:
a) 3 b) 3− c) 1 d) 2 e) 2−
6.3.3.2 Propiedades de las raíces de la ecuación
cuadrática
Ya sabemos que la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax
tiene por raices a:
a
acbb
x
a
acbb
x
2
4
2
4 2
2
2
1
−−−
=∧
−+−
= , veamos
ahora ¿qué sucede si las sumamos? y ¿qué sucede si las
multiplicamos?
6.3.3.2.1 Suma de las raíces
a
b
a
acbbacbb
xx
a
acbb
a
acbb
xx
2
2
2
44
2
4
2
4
22
21
22
21
−
=
−−−−+−
=+
−−−
+
−+−
=+
Entonces:
a
b
xx −=+ 21
6.3.3.2.2 Producto de las raíces
( )
( )
221
2
22
21
2
2
22
21
22
21
4
4
4
4
4
4
2
4
2
4
a
ac
xx
a
acbb
xx
a
acbb
xx
a
acbb
a
acbb
xx
=⋅
−−
=⋅





 −−−
=⋅







 −−−







 −+−
=⋅
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
133
Entonces:
a
c
xx =⋅ 21
Ejemplo
La ecuación cuadrática 076 2
=−+ xx , que fue resuelta anteriormente, se obtuvo
como solución a 11 =x y
6
7
2 −=x .
Si las sumamos directamente se obtiene:
6
1
6
7
121 −=





−+=+ xx , que es el mismo valor que se
obtiene aplicando la propiedad
6
1
21 −=−=+
a
b
xx .
Por otro lado, si las multiplicamos directamente se obtiene ( )
6
7
6
7
121 −=





−=⋅ xx , que es el
mismo valor que se obtiene aplicando la propiedad
6
7
21
−
==⋅
a
c
xx
Ahora analicemos lo siguiente
Ejercicio Resuelto 1
En la ecuación: kxxx −=+ 3113 2
, el valor de " k " para el cual la suma de
las soluciones es igual a dos veces su producto, es:
a) 1− b) 2− c) 3− d) 4− e) 5−
SOLUCIÓN: Para la ecuación kxxx −=+ 3113 2
, queremos que sus raíces 1x y 2x cumplan
con: 2121 2 xxxx ⋅=+ .
Agrupando términos tenemos:
083
03113
2
2
=++
=+−+
kxx
kxxx
. Para esta última ecuación simplificada
tenemos kcba === 83
Y empleando la condición dada, obtenemos lo pedido:
4
82
3
2
3
8
2
2 2121
−=
−=






/
=
/
−






=−
⋅=+
k
k
k
a
c
a
b
xxxx
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”
Ejercicio Resuelto 2
El valor positivo de k para el cual, la suma de las raíces de la ecuación:
( ) ( ) 02225 22
=−−+− xkkxk ; es igual a 1; se encuentra en el intervalo:
a) [6, 10] b) [15, 20] c) [0, 6] d) [8,10] e) [−2, 0)
SOLUCIÓN: queremos que las raíces de la ecuación ( ) ( ) 02225 22
=−−+− xkkxk sumen 1,
es decir 121 =+ xx
Entonces, destruyendo paréntesis y agrupando términos para darle la forma cuadrática, nos queda:
( )

( ) 02245 222
=−+−−
 cba
kxkxk
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
134
Aplicando la condición tenemos:
( ) ( )
15
0)1)(5(
054
54
1
5
4
5
4
1
21
2
2
2
221
21
−=∨=≡
=+−≡
=−−≡
−=≡
=
−
−
−⇒−
−
−=+
=+
kk
kk
kk
kk
k
k
k
k
xx
xx
Tomando sólo el valor positivo 5=k , observamos que este valor se encuentra en el intervalo [ ]6,0 ,
por tanto la opción “c” es la RESPUESTA correcta.
Ejercicios Propuestos 6.3
1. La suma y el producto de las raíces de la ecuación: 095
3
2 2
=−+





xx son
respectivamente:
a)
2
25
;
2
15
−− c)
2
27
;
2
15
b)
2
15
;
2
27
− d)
2
27
;
2
15
−− e)
3
18
;
3
10
−−
2. El valor de k para que la ecuación: 0982
=−− kxx tenga raíces cuya suma sea igual a
3
8
es:
a) 3 b)
3
1
− c)
3
1
d) 3− e) 0
3. En la ecuación: 0)7()1(8 2
=−+−− mxmx , encuentre el valor que debe tomar m para que
la suma de las soluciones de la ecuación dada sea igual a
4
3
.
a) 7 b) 7− c)
7
1
d)
7
1
− e)
7
2
4. La ecuación cuadrática cuya suma de raíces sea 7 y cuyo producto sea 10 , es:
a) 01072
=+− xx b) 07102
=−+ xx
c) 01072
=−− xx d) 07102
=+− xx
e) 01072
=−+ xx
5. Encuentre la ecuación de segundo grado que tenga como coeficiente de
2
x la unidad, como
coeficiente de x una de las raíces y por término independiente la raíz restante.
a) 22
++ xx c) 22
+− xx
b) 22
−− xx d) 22
−+ xx e) 12
++ xx
6. Encuentre el valor de k para el cual la suma de las soluciones de la ecuación
065 2
=++ kxx sea dos veces su producto.
a) 3− b) 3 c) 7 d) 7− e) 0
7. Considere la ecuación: 1222 −−=++− xxnxmx . Los VALORES de m y n para que la
suma de sus soluciones sea 2 y su multiplicación sea 6− , son:
a) 10 −== nm b) 0
2
1
== nm c) 1
2
1
=−= nm
d) 0
2
3
=−= nm e) 1
2
3
−== nm
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
135
6.3.4 ECUACIONES CON RADICALES
Otros tipos de ecuaciones son aquellas que en sus expresiones
algebraicas iniciales presentan radicales, entonces el objetivo inicial
debe ser deshacerse de los radicales.
Ejemplo 1
Considere el predicado 2713:)( =−−+ xxxp y IR=Re
Despejando un radical y elevando al cuadrado para destruirlo:
En las ecuaciones con radicales aparecen las llamadas SOLUCIONES EXTRAÑAS.
Para precisar las soluciones se hace imprescindible reemplazar los valores de x obtenidos para ver si en
verdad satisfacen o no el predicado original. Sólo los valores de x que satisfagan el predicado en la
forma inicial dada, serán soluciones de la ecuación.
Entonces para la ecuación anterior:
1. Con 9−=x tenemos:
satisfaceNO22
242
2164
2)9(7139
≠−
=−
=−
=−−+−
2. Con 3=x tenemos:
satisfaceSI22
224
2416
237133
=
=−
=−
=−−+
Por lo tanto { }3)( =xAp
Ejemplo 2
Sea 422:)( −=+ xxxp y R=Re . Entonces el conjunto solución está
contenido en el intervalo:
a) [ ]C
5,0 b) [ ]3,2 c)[ )∞,3 d) [ ]3,0 e) [ ]C
5,2
SOLUCIÓN: Procedemos de forma semejante al ejemplo anterior.
( ) ( )
( ) ( )
39
0)3)(9(
0276
42812
)7(412
721
721
74)1(2
7422
774413
72132713
21
2
2
2
22
22
=∨−=≡
=−+≡
=−+≡
−=++≡
−=++≡
−=+≡
−=+≡
−=+≡
−=+≡
−+−+=+≡
−+=+≡=−−+
/
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxxx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
136
Reemplazando:
Con 4=x tenemos:
satisfaceSI22
44
4822
4)4(224
=
=
−=+
−=+
con
4
9
=x tenemos:
satisfaceNO
2
1
2
7
4
2
9
2
2
3
4
4
9
22
4
9
≠
−=+
−





=+
Entonces { }4)( =xAp . Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”
Ejercicios Propuestos 6.4
1. Sea IR=Re , encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación:
7
6
714
−
=−−+
x
xx
2. La SUMA DE LAS SOLUCIONES reales de la ecuación: x
xxxx
=
−−
+
−+ 22
2
2
2
2
es:
a) 3 b) - 3 c) 2 3 d) − 2 3 e) 0
3. Dada ecuación: 121 +=++ xxx ; Si [ )∞= ,0Re ; entonces el CONJUNTO
SOLUCIÓN es:
a) { }1,0 b) { }1,1 − c) { }1,0 − d) { }0 e) { }1−
4. El valor de la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación: 3625 +=+−− xxx , es:
a)
3
7
b) 2 c) 0 d)
3
1
− e) 2−
Existen ciertos tipos de ecuaciones muy singulares:
( ) ( )
( ) ( )

( )
( )( )
4
9
4
0944
0
4
94164
036254
36244
62
242
422
422
21
4
2
2
22
22
==
=−−
=
/
−








−/
=+−
+−=
−=
−−=
−=+
−=+
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
137
1.
Verdadero
xx
xxxp
00
22
22:)(
=
−=−
+=+
entonces Re)( =xAp
2.
Falso
xx
xxxp
10
12
12:)(
−=
+−=−
+=+
entonces φ=)(xAp
6.3.5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
La definición de valor absoluto para un número real, ya fue
proporcionada. Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que
tienen expresiones algebraicas afectadas por valor absoluto.
En casi todas las situaciones la expresión de la forma ax − es
la que aparecerá en este tipo de ecuaciones. En otras situaciones
será de la forma amx − .
Dediquémonos en primera instancia a la primera forma.
El objetivo estará en destruir el valor absoluto. Se lo podrá
hacer de la siguiente manera:
La expresión
( )


<−−−
≥−−
=−
0
0
axcuandoax
axcuandoax
ax
Lo cual es equivalente a:



<−
≥−
=−
axcuandoxa
axcuandoax
ax
Recuerde que en la recta numérica, los ax > son los que están
a la derecha de a y los ax < son los que están a la izquierda de a .
Entonces, se determina primero dónde se hace cero ax − , esto
será en ax = ; al cual llamaremos punto crítico. A partir de allí,
cuando se reemplaza a la x por un número que esté a la derecha de
a , el valor numérico de la expresión ax − será positivo y al
reemplazar a la x por un número a la izquierda de a ahora el valor
numérico de la expresión ax − será negativo.
Esquemáticamente, tendríamos:
 →
+−
>−→←<−
a
axax
)()(
00
ax >ax <
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
138
( )
 →
−→←−−
2
22 xx
Para el caso de amx − , lo anterior se cumple para
m
a
x = .
Veamos situaciones específicas:
Ejemplo 1
Si quisiéramos destruir 2−x entonces:
Ejemplo 2
Si quisiéramos destruir 2+x entonces:
Ejemplo 3
Si quisiéramos destruir 12 −x entonces:
En todos los ejercicios consideraremos IR=Re , salvo que se diga
lo contrario.
Ejercicio Resuelto 1
Sea 2:)( =xxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la
ecuación son 2 y 2− . Entonces { }2,2)( −=xAp .
Ejercicio Resuelto 2
Sea 21:)( =−xxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la
ecuación son 3 y 1− . Entonces { }1,3)( −=xAp .
Ejercicio Resuelto 3
Sea 321:)( +=− xxxp . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Ahora en cambio, sí necesitamos destruir el valor absoluto (¿POR QUÉ?) y lo vamos a
hacer empleando el método anterior. Para lo cual en una recta numérica, tenemos:
( ) 321321 +=−→←+=−− xxxx
Buscamos 1<x que
1
-2/3
.
( )
 → −
+→←+−
2
22 xx
( )
 →
−→←−−
2
1
2
1
2
1
xx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
139
Observe que 4−=x no es mayor que 1 , por tanto no es solución, en cambio
3
2
−=x sí es
menor que 1 , por tanto sí es solución. Entonces






−=
3
2
)(xAp .
Ejercicio Resuelto 4
Sea 21:)( =−xxxp . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Destruimos el valor absoluto de la misma forma anterior.
Entonces { }2)( =xAp
Ejercicio Resuelto 5
Sea 3412:)( +=− xxxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Debemos destruir ambos valores absolutos simultáneamente. Observe que 12 −x arrojará
valores positivos cuando reemplazamos
2
1>x (a la derecha de
2
1 ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos
2
1<x (a la izquierda de
2
1 ). De manera análoga, observamos que 34 +x arrojará valores positivos cuando
reemplazamos
4
3−>x (a la derecha de
4
3− ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos
4
3−<x (a la
izquierda de
4
3− ). Combinando todo esto, tenemos:
( ) ( ) 2121 =−→←=−− xxxx
real
soluciónhayNO
xx
xx
02
02
2
2
=+−
=−+−
12
0)1)(2(
022
−=∨=
=+−
=−−
xx
xx
xx
1
2.
 →
−−−
++−
+=−→←+=−−→←+−=−−
2
1
3
1
4
3
2
)()()(
34)12(34)12()34()12( xxxxxx
.
( )
SIx
x
xx
xx
2
42
1342
34)12(
−=
−=
−=+−
+−=−−
SIx
x
xx
xx
3
1
26
1342
34)12(
−=
=−
−=−−
+=−−
NOx
xx
xx
2
1342
3412
−=
+=−
+=−
0
012 >−x012 <−x
034 <+x 034 >+x
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
140
Entonces






−−=
3
1
,2)(xAp
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
141
Ejercicio Resuelto 6
Sea :)(xp 1
32
13
=
+
−
x
x
Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Note que es semejante al anterior, una vez que se haga lo siguiente:
2
33213
1
32
13
1
32
13
−≠∧+=−≡
=
+
−
≡=
+
−
xxx
x
x
x
x
por la propiedad
b
a
b
a
=
Entonces { }5
2,4)( −=xAp
Ejercicio Resuelto 7
Sea :)(xp 1
32
13
−=
+
−
x
x
Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Es obvio que su conjunto solución φ=)(xAp ¿POR QUÉ?
Ejercicio Resuelto 8
Sea 1:)( 2
−=− xxxxxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Análogamente, debemos destruimos los valores absolutos presentes:
Entonces { } [ )∞∪= ,10)(xAp
 →
−−
+−+−
+=−→←+=−−→←+−=−−
4
3
1
0
5
2
2
3
32)13(32)13()32()13( xxxxxx
( ) ( )
SIx
xx
xx
xx
5
2
1323
3213
3213
−=
−=−−
+=+−
+=−−( ) ( )
NOx
xx
xx
xx
4
1323
3213
3213
=
−−=+−
−−=+−
+−=−−
SIx
xx
xx
4
1323
3213
=
+=−
+=−
( )
 →
−=−→←−−=−→←−−=−−
10
1))1(())1(()( 222
xxxxxxxxxxxx
. .
[ ]
0
02
)1(
)1()(
2
22
2
2
=
=
−=+
+−=+
−−=−−
x
x
xxxx
xxxx
xxxx [ ]
10
0)1(2
022
)1(
)1(
2
22
2
2
=∨=
=−
=−
−=−
+−=−
−−=−
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
satisfacexTodo
Verdadero
xxxx
1
00
22
>
=
−=−
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
142
Ejercicios Propuestos 6.5
1. Sea IR=Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) 23 =− x
b) xx 23 =−
c) xxx =− 32 2
d) xx 31 =−
e) 2231 ++=− xx
f) 325 −=++− xx
g) 2222
44 aaaxxaxx −=−+−−−
h) 312 −=++ xxx
i) 16 −=−− xxxx
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
143
6.3.6 PROBLEMAS DE PLANTEO DE ECUACIONES
En el proceso de resolución de un problema, en el cual se
requiere plantear ecuaciones para llegar a su solución, usted puede
seguir los siguientes pasos:
PRIMERO: Lea todo el problema. Para familiarizarse con su
contenido y su posible vía de solución.
SEGUNDO: Defina la incógnita. Esta puede ser una INCOGNITA
DIRECTA, que es la que solicita el problema; o INCOGNITAS
INDIRECTAS, que se determinan en primera instancia para luego
determinar la incógnita directa.
TERCERO: Interprete los datos.
CUARTO: Interprete la condición.
QUINTO: De acuerdo al planteamiento de la condición del problema,
realice el desarrollo, en busca de la incógnita.
SEXTO: Proporcione la respuesta respectiva a lo solicitado en el
problema.
Problema Resuelto 1
Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de
la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora el hombre? ¿Cuántos años tiene
ahora la esposa?
SOLUCIÓN:
INCÓGNITA:
DATOS:
CONDICIÓN
DESARROLLO:
RESPUESTA: El hombre tiene 24 años. Entonces la esposa tiene:
años
x
17
7247
=
−=−
≡x Edad ACTUAL del hombre.
La edad ACTUAL de la esposa es 7−x
HACE 10 AÑOS





≡−−
≡−
esposaEdadx
breEdadx
107
hom10
EDAD DEL HOMBRE HACE 10 AÑOS = 2 (EDAD DE LA MUJER HACE 10 AÑOS)
[ ]
24
24
10342
34210
17210
=
−=−
+−=−
−=−
−=−
x
x
xx
xx
xx

Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
144
Problema Resuelto 2
En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores
de edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numerosa. Este
beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños,
medio pasaje cada uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colectivo, en cuyo
caso, cada miembro de la familia paga pasaje entero, pero, a su vez, cada pasaje
cuesta las dos terceras partes del pasaje del tren.
Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea igual a lo
que se paga en colectivo es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
DATOS:
CONDICIÓN:
Problema Resuelto 3
Un pelotón de 180 personas esta dispuesto en filas. El número de personas de cada
fila es 8 más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántos personas en cada
fila?
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
DATOS:
CONDICIÓN:
DESARROLLO:
RESPUESTA:
Por tanto hay 10 filas y
filacadaenpersonas
x
18
8108
=
+=+
=x cantidad de filas
Total de personas = 180
Cantidad de personas por fila = 8+x
(CANT. FILAS).(CANT. DE PERSONAS POR FILA) = TOTAL DE PERSONAS
SIxNOx
xx
xx
xx
xx
1018
0)10)(18(
01808
1808
180)8(
2
2
=−=
=−+
=−+
=+
=+
DESARROLLO:
niñon
nn
nn
nn
nn
nn
n
n
tenemosxparadividiendo
xnxx
x
n
x
x
COLECTIVOTREN
1
9843
4839
)24(2)3(3
3
24
2
3
3
222
2
12
3
2
3
2
3
2
22
1
1
:,
3
2
3
2
3
2
22
=
−=−
+=+
+=+
+
=
+
++
=
++
++=++






++=





++
  
:n # niños
=x Pasaje en tren
=x
3
2
pasaje colectivo
PAGO FAMILIAR EN TREN = PAGO FAMILIAR COLECTIVO
RESPUESTA: Debe haber un niño para cumplir con la condición. Por lo tanto la opción “a” es correcta.
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
145
Problema Resuelto 4
La Sra. Cordero va invertir 70000$ . Ella quiere recibir una utilidad de 5000$ . Puede
invertir sus fondos en bonos del gobierno a un %6 , o con un riesgo mayor, al %5.8
de los bonos hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que
minimice los riesgos y obtenga los 5000$ ?
SOLUCIÓN:
Problema Resuelto 5
Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en 29000$ en
total. Vende el Toyota y obtiene una ganancia del %10 y en el otro pierde el %5 ; y
aún así, obtuvo una ganancia de 1850$ , por la transacción completa. Entonces el
costo inicial del Toyota y del Skoda es:
a) 20000$ y 9000$ b) 22000$ y 7000$ c) 18000$ y 11000$
d) 21500$ y 7500$ e) 22500$ y 6500$
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
=x cantidad invertida al %6
DATOS:
El resto x−70000 es invertido al %5.8
Rentabilidad Total = 5000$
CONDICIÓN:
RENT. DE LA CANT. AL %6 + RENT. DE LA CANT. AL %5.8 = RENT. TOTAL
DESARROLLO:
( )

%638000$
950005.2
5950005000005.86
5000005.85950006
500000)70000(5.86
500070000
100
5.8
100
6
.
%5.8.%6.
alx
x
xx
xx
xx
xx
Totalrent
alrentalrent
=
−=−
−=−
=−+
=−+
=−+
  
RESPUESTA:
La señora Cordero debe invertir 38000$ al %6 y el resto 32000$ al %5.8
INCOGNITA:
=x Precio de compra del Toyota
DATOS:
Precio de compra del Skoda = x−29000
Ganancia total = 1850$
CONDICIÓN:
GANANCIA EN EL TOYOTA – PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA
TOTAL
DESARROLLO:
( )

Toyotaelx
x
xx
xx
xx
TotalGan
SkodaPérdToyGan
22000$
33000015
145000185000510
185000514500010
185029000
100
5
100
10
.
...
=
=
+=+
=+−
=−−
  
RESPUESTA:
El precio de compra del Toyota fue de 22000$ y el del Skoda 7000$ . Por tanto la opción “b” es
t
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
146
Para los siguientes tipos de problemas se emplean las
siguientes definiciones:
INGRESOS POR VENTAS: I = (PRECIO VENTA).(CANTIDAD VENDIDA)
COSTOS FIJOS: CF (Alquiler, personal, luz, teléfono)
COSTOS VARIABLES:CV = (COSTO UNITARIO)(CANTIDAD PRODUCIDA)
COSTOS TOTALES = CVCF +
UTILIDAD: U = INGRESOS – COSTOS
Problema Resuelto 6
José vende pilas de teléfonos celulares a 5$ dólares cada uno. Si los COSTOS FIJOS
de producir las baterías es de 300$ dólares y los COSTOS VARIABLES es de 1$ dólar
por unidades, entonces la cantidad de pilas x que debería de producir y vender para
obtener una UTILIDAD igual a 500$ dólares es:
a) 500 b) 400 c) 600 d) 300 e) 200
SOLUCIÓN:
INCOGNITA
=x cantidad de pilas
DATOS:
Precio venta 5$=p
=CF 300$
=CV /1$ unidad
CONDICIÓN:
OBTENER UNA UTILIDAD DE 500$
DESARROLLO:
[ ]
[ ]
pilasx
x
xx
xx
CVCFpxU
CIU
200
4800
3005500
)(13005500
=
=
−−=
+−=
+−=
−=
RESPUESTA:
José debe vender 200 pilas para obtener las utilidades deseadas. Por tanto la opción “e” es
correcta.
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
147
Problema Resuelto 7
Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El
puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de 180$ al mes, al subir el
alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada
incremento de 5$ , una habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse.
Encuentre el alquiler que debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total
de 11475$ .
SOLUCIÓN:
Problema Resuelto 8
Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede
rentar cada una de ellas en 400$ mensuales. Sin embargo se conoce que por cada
20$ de aumento por mes, dos suites quedarán desocupadas sin posibilidad de
rentarlas. Entonces el precio por cada suite, obteniendo los mismos ingresos pero
quedando algunas suites sin alquilar, es:
a) 400$ b) 480$ c) 520$ d) 460$ e) 500$
SOLUCIÓN:
RESPUESTA:
Esteban debe hacer 15 ó 9 incrementos de 5$ en el precio de alquiler de las habitaciones para así obtener los 11475$ de
ingreso. Es decir que el PRECIO DE ALQUILER de cada habitación podrá ser:



=+=
=+=
⇒+=
225$)9(5180
255$)15(5180
5180
p
p
xp
INCOGNITA:
=x Números de incrementos de 5$ en el precio de alq.
DATOS:
Total de habitaciones = 60
Precio para alquilar todas las habitaciones = 180$
CONDICIÓN:
OBTENER INGRESOS DE 11475$
Donde INGRESO por alquiler = (PRECIO alquiler)(CANT. de habit. alquil
DESARROLLO:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
915
0915
013524
06751205
010800114751205
51201080011475
53001801080011475
60518011475
1605180
2
2
2
2
2
.
=∨=
=−−
=+−
=+−
=−+−
−+=
−+−=
−+=
−+=
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxI
habcantprecio

INCOGNITA:
=x Números de incrementos de 20$ en el precio de
alq.
DATOS:
Total de oficinas = 60
Precio para alquilar todas las oficinas = 400$
CONDICIÓN:
Que los ingresos se mantengan aunque se
incremente el precio de renta de las oficinas, es
decir:
20000$)/400($.)50( == ucofIngresos
DESARROLLO:
( )
50
054
020040
4010008002000020000
)250)(20400(20000
.).)((
2
2
=∨=
=−
=−
−+−=
−+=
=
xx
xx
xx
xxx
xx
CantprecI
RESPUESTA:
La empresa debe hacer 5 5 incrementos de 20$ en el precio de la renta, es decir aumentar en 100$ , lo que
significa que el nuevo precio, para cumplir con la condición debe ser: 500$)5(20400Pr =+=ecio .
Por tanto la opción “e” es correcta.
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
148
Problema Resuelto 9
El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 centavos. El
ingreso del distribuidor es de 24 centavos por copia y por lo que respecta a la
publicidad es del %20 de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. ¿Cuántas
copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades
semanales por 1000$ ?
SOLUCIÓN:
Problema Resuelto 10
Un comerciante vende un par de zapatos en 75$ . Si su utilidad porcentual fue igual al
precio de costo en dólares, entonces el PRECIO DE COSTO del par de zapatos es:
a) 75$ b) 60$ c) 55$ d) 50$ e) 65$
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
=x Cantidad de ejemplares producidos y vendidos
DATOS:
COSTO UNIT. DE LOS EJEMPLARES = 28.0$
PRECIO VENTA DE CADA EJEMPLAR = 24.0$
INGRESOS = INGRESOS VENTAS + INGRESOS PUBLICIDAD
INGRESOS PUBLICIDAD = %20 (Ingresos sobre la venta de
3000 )
DESARROLLO:
( )
( )
ejemplaresx
x
xxx
xxx
xxx
CostosIngresosUtilidad
143000
008.0
1144
008.01144
28.0144048.024.01000
28.072024.0
100
20
24.01000
28.0300024.024.01000 100
20
==
=
−−+=
−−+=
−




















−+=
−=

RESPUESTA:
El distribuidor debe vender 143000 ejemplares.
CONDICIÓN:
OBTENER UTILIDADES DE 1000$
INCOGNITA:
=x Precio de costo de los zapatos
DATOS:
Precio venta = 75$
Utilidad Porcentual:
100
75
%
100
.cos.
%
x
x
U
tprec
Utilidad
U
−
=
=
CONDICIÓN:
UTILIDAD PORCENTUAL = PRECIO DE COSTO
DESARROLLO:
( )( )
50150
050150
07500100
1007500
100
75
cos%
2
2
=∨−=
=−+
=−+
=−
=
−
=
xx
xx
xx
xx
x
x
x
toprecioU
RESPUESTA:
EL precio de costo de los zapatos es de 50$
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
149
Ejercicios Propuestos 6.6
1. Si hace 18 años Pedro era exactamente tres veces más viejo que su hijo y hoy día, él es sólo dos veces
más viejo que su hijo. Entonces la suma de los años que ahora tienen Pedro y su hijo juntos es:
a) mayor que 120 años c) igual a 102 años
b) igual a 108 años d) menor que 100 años e) igual a 114 años
2. En cierta ocasión, Eduardo consiguió un trabajo por 3 días, ganando en total 700$ . Si el segundo día
ganó la mitad de lo que ganó el primer día, y el tercer día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior,
entonces el primer día ganó:
a) 100$ b) 200$ c) 300$ d) 400$ e) 500$
3. El reloj del Congreso da las horas exactas con campanadas y cada media hora da una campanada. Por
ejemplo: a las 8 da 8 campanadas; y a las 30:8 da una campanada. Si a las nueve de la noche
terminó una de las sesiones del congreso, y en el tiempo que duró la sesión el reloj dió 48 campanadas,
entonces la sesión empezó a las :
a) 9 a.m. b) 6 p.m. c) 3 p.m. d) 5 p.m. e) 30:3 p.m.
4. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de 300 dólares en partes iguales. Si hubiera habido 10
miembros más, el costo por cada miembro hubiera sido 1 dólar menos. Determine el número de
miembros.
5. Tres ( 3 ) hermanos participaron en un sorteo, en el cual resultaron ganadores De acuerdo a la
cooperación en la compra del boleto, el premio se repartió de la siguiente manera. El mayor recibió
45000$ ; el menor las tres séptimas partes del premio y el otro recibe una cuarta parte del premio.
Entonces el premio consistió en:
a) 140000$ b) 110000$ c) 150000$ d) 100000$ e) $160.000
6. Susana tiene tres (3) monedas más de cinco centavos (x) que de diez (10) centavos (y) y cinco (5)
monedas más de diez (10) centavos que monedas de veinticinco (25) centavos (z). En total tiene $2,10.
Cuantas monedas de cada una tiene?
a) x=2; y=5; z=6 c) x=4; y=9; z=10
b) x=11; y=8; z=3 d) x=5; y=10; z=12 e) x=6; y=6; z=8
7. Un padre le presta a su hijo $350. Al cabo de una semana el padre le pregunta a su hijo: ¿cuánto
gastaste?, a lo que el hijo le contesta: "las ¾ partes de lo que no gasté". Entonces el hijo GASTÓ:
a) $250 b) $350 c) $262.5 d) $300 e)$150
8. Un colegio dispone de $60.000, y los invertirá a fin de obtener ingresos anuales de $5.000 para becas.
Parte de estos $60.000 se invertirán en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a
un 10,5%. Cuánto deberá invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?
9. Si los miembros de una fundación desean invertir $ 18.000 en dos tipos de seguros A y B que pagan
dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente, entonces para que el ingreso sea equivalente al que
produciría la inversión total al 8%, la inversión en A y en B es respectivamente.
a) $12.000; $6.000 c) $8.000; $10.000
b) $ 6.000; $12.000 d) $10.000; $8.000 e) $11.000; $7.000
10. La cuarta parte de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco A y la restante en el Banco B. Si
el Banco A paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que paga anualmente el Banco B.
Si el rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el depositar la cantidad completa
de dinero a una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL QUE PAGA EL BANCO A y
la que PAGA EL BANCO B son, respectivamente:
a) 3% y 8% b) 12% y 36% c) 8% y 24% d) 7% y 21% e) 6% y 18%
11. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos
de $12.000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. Cuántas unidades debe producir y
vender al mes la compañía para mantener el equilibrio?
12. La compañía Sandalias Cómodas fabrica sandalias, para las cuales el costo del material es de $0.80 por
par y el costo de mano de obra es de $0.90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos
fijos son de $70000. Si cada par se vende a $2.50, entonces el NÚMERO DE PARES QUE DEBE
VENDERSE para que la compañía llegue al EQUILIBRIO es:
a) 140000 b) 35000 c) 70000 d) 90000 e)80000
13. El administrador de cierta empresa tiene como política, no invertir dinero en fabricar un nuevo producto a
menos que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede
vender todo lo que produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
150
$6 y los costos fijos son de $40000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de
modo que obtenga la ganancia requerida, es:
a) 6000 b)7500 c)8500 d)11500 e)12500
14. Un granjero compra 10 vacas pagando en total $ 150.000 y vende las primeras 4 teniendo ganancia del
20% de lo que le costó cada una. Si la utilidad por el lote completo que desea ganar el granjero es de $
75.000, entonces el PRECIO, en dólares, al que debe vender cada una de las 6 vacas restantes es:
a) 3.000 b)18.000 c)25.500 d)63.000 e)72.000
15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B.
Los costos de producción de A y B son $1500 y $1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más de
A que de B. Entonces el número de unidades del producto A que se pueden fabricar , es:
a) 75 ∨ 100 b)100 ∨ 125 c) 125 ∨ 150 d) 150 ∨ 175 e)175
∨ 200
16. Una cantidad de dinero invertida al 15% produce $14,4 más que invertida al 12% . Entonces dicha
CANTIDAD es:
a) $ 480 b)$ 500 c)$ 20 d)$ 75 e)$ 100
17. Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de conjuntos deportivos
con un costo para el distribuidor de $ 80 por conjunto. Por conveniencia del distribuidor la fábrica colocará
la etiqueta con el precio a cada conjunto. ¿QUÉ CANTIDAD DEBE SER MARCADA EN LAS ETIQUETAS
de modo que el distribuidor pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener
una ganancia del 15% sobre el precio de costo?. a) $ 115 b)$ 100 c) $ 105
d) $ 110 e) $ 95
18. Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en
ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió
$8.500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos
porcentajes son:
a) 6% en los primeros $100.000, 4% en el resto.
b) 8% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
c) 4% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
d) 4% en los primeros $100.000, 8% en el resto.
e) 8% en los primeros $100.000, 4% en el resto.
Misceláneos.
1. Un valor de “ k ” para que la SUMA DE LAS RAÍCES de la ecuación
22
42 xkxkx =+− sea 4 , es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. La SUMA de tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo
número, es igual a:
a) 9 b) 10 c) 11 d)12 e) 13
3. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 7
12
=+
x
x , es:
a) 7 b)25 c)16 d)9 e)4
4. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 32 =++ xx , es:
a) { }49 b) { }36 c) { }36,49 d) { }49
36 e) { }36
49
5. Un VALOR de “k” para que la suma de las raíces de la ecuación 22
34 xkxkx =++ sea 10, es:
a)
3
8
b)
5
7
c)
7
5
d)
3
1
e)
8
3
6. Suponga que en una granja se tienen vacas y gallinas solamente. Si en total hay 80 cabezas y 240 patas
entonces la cantidad de VACAS que hay en la granja es:
a) 40 b)60 c)70 d)80 e)90
7. Considerando R=Re , entonces el conjunto solución del predicado 53:)( =−− xxxp está en el
intervalo:
a) ( )0,5− b) ( )8,5 c) ( )5,1 d) ( )∞,8 e) ( ]4,−∞
8. Un valor de "k" para que la ecuación 02
=++ kxkx tenga SOLUCIÓN REAL REPETIDA, es:
a) 0 b)
2
1− c) 1− d)1 e)-2
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
151
9. Un trabajador tiene una tarifa por cada hora regular de trabajo y tarifa y media por cada hora extra que
trabaja después de las 40 horas. Si tuvo un salario total semanal de $442 por 48 horas de trabajo.
Entonces el SALARIO REGULAR POR HORA es:
a) $ 8.50 b)$ 8.00 c)$ 5.00 d)$ 4.50 e)$ 2.50
10. Para que la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 1
23
=−
k
x
x
k
sea igual a -1, entonces el
VALOR de " k " es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5
11. Un trabajador recibió $435 como pago por el trabajo de una semana, laborando en total 52 horas, de las
cuales 40 horas fueron normales y el resto horas extras. El valor de cada hora extra es 2
3
veces el valor
de la hora normal. Entonces el VALOR DE LA HORA NORMAL, es:
a) $2 b)$7.50 c)$4 d)$1 e)$6
12. En la ecuación 012)112(2 2
=++− xkkx , para que la SUMA de sus raíces sea 7, el valor de k es:
a) 2 b) 7 c) 8
1 d) 12
1 e) 2
1
13. Un joven universitario cuenta con cierta cantidad de dinero. Si se comprara 10 lápices le quedará $10, si
se comprara 4 cuadernos le quedará $20; y, si comprara 4 lápices y 3 cuadernos le quedará $10.
Entonces, la CANTIDAD DE DINERO con que cuenta es:
a) 20$ b) 40$ c) 60$ d) 80$ e) 100$
14. Sea IR=Re y 221:)( =++ xxp , entonces su conjunto solución )(xAp es:
a) { }25 b) { }9 c) { }36 d) { }64 e) { }49
15. Sea R=Re y los predicados 023:)( =−− xxp y 032:)( 2
=−− xxxxq . Entonces el
CONJUNTO SOLUCIÓN del predicado )()( xqxAp ∧ , es:
a) { }1− b) { }0,1− c) { }0,2 d) { }1,2 − e) { }2
16. Se han comprado dos tipos de autos: un KIA y un TOYOTA. El KIA cuesta $20000 menos que el doble de
lo que cuesta el TOYOTA. Y el TOYOTA le costó $1000 más de lo que cuesta el KIA. Entonces el VALOR
del auto KIA y el valor del TOYOTA, son respectivamente:
a) $17000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA.
b) $19000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA.
c) $19000 el auto KIA y $20000 el TOYOTA.
d) $18000 el auto KIA y $19000 el TOYOTA.
e) $16000 el auto KIA y $17000 el TOYOTA.
17. Dos NÚMEROS POSITIVOS suman 30 y además su diferencia de cuadrados es igual a 120, entonces
estos números son:
a) 17 y 13 b)15 y 15 c)14 y 16 d)18 y 12 e)19 y 11
18. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 09374 24
=+− xx es:
a) { }9,4
1 b) { }2
1− c) { }2
1,3 − d) { }2
1
2
1 ,,3,3 −− e) { }3,2
1
19. Dos números están en relación de 3 a 4. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9 la
relación es de 4 a 3. Entonces los NÚMEROS son:
a) 3 y 4 b)24 y 18 c)9 y 18 d)3 y 24 e)8 y 4
20. Un reloj da un número de campanadas igual a las horas que marca. Entonces en 24 horas habrá dado un
TOTAL de:
a) 150 campanadas
b) 78 campanadas
c) 156 campanadas
d) 24 campanadas
e) 48 campanadas
21. Sea la ecuación 02
=−− xx , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es:
a) { }0 b) φ c) { }1,0 d) { }1,1,0 − e) { }1,0 −
22. Hace 18 años Roberto era exactamente tres veces más viejo que su hijo. Si en la actualidad Roberto es
dos veces más viejo que su hijo, entonces Roberto y su hijo tienen:
a) Hijo 30 años, Roberto 60 años.
b) Hijo 20 años, Roberto 40 años.
c) Hijo 15 años, Roberto 30 años.
d) Hijo 36 años, Roberto 72 años.
e) Hijo 18 años, Roberto 36 años
Moisés Villena Muñoz Ecuaciones
152
23. El número de soluciones reales de la ecuación:
x
xxxx
=
−−
+
−+ 22
2
2
2
2
, es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5
24. Sea IR=Re y el predicado 13262:)( =+−+ xxxp . Entonces su CONJUNTO
SOLUCIÓN )(xAp es:
a) Φ b) { }1− c) { }5
1 d) { }2
3 e) { }2
1,
5
29
25. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20
miembros más el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Entonces el NÚMERO DE MIEMBROS
del club, es:
a) 100 b)20 c)30 d)40 e)50
26. A un profesor del Prepolitécnico se le preguntó sobre la edad que tiene, y éste respondió diciendo:
"Consideren tres veces los años que tendré dentro de 3 años, réstenle tres veces los años que
tenía hace 3 años y resultará los años que tengo ahora". Entonces la EDAD ACTUAL del profesor es:
a) 17 años b)19 años c)18 años e)21 años
e) Elija esta opción si no se puede determinar la edad del profesor.
27. La SUMA de los valores de "x" que satisfacen la ecuación
x
x
x
x
x
x
−
−
−=
−
−
+
+
3
1
1
93
2
2
2
es:
a)
2
3− b)3 c)
2
3 d)2 e)-6
28. Ignacio compró un juguete. Luego lo vendió en $126. Obteniendo una ganancia igual al 14% del precio de
compra más el 5% del precio de venta. Entonces el PRECIO DE COMPRA del juguete fue de:
a) $105 b)$126 c)$135 d)$145 e)$108
29. Un valor de “ x ” que satisface la ecuación
211111542 222
+=++++++ xxxxxxx
es: a)2 b)5 c)25 d)0 e)15
30. Un vendedor de naranjas en una primera instancia vende la mitad del total de naranjas que tiene más la
mitad de una naranja. Luego vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja. Finalmente
vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja y se da cuenta que ya no le queda
ninguna naranja. Entonces el número de naranjas que TENÍA INICIALMENTE es:
a) 7 b)21 c)31 d)41 e)100

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Cap 6 ecuaciones

  • 1. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 124 6 6.1 INTERVALOS 6.2 VALOR ABSOLUTO 6.3 ECUACIONES EN UNA INCOGNITA • ECUACIONES LINEALES • ECUACIONES CUADRÁTICAS • ECUACIONES CON RADICALES • ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO • PROBLEMAS. La solución de ciertas situaciones problémicas conducen a plantear ecuaciones para resolverlas. Por tanto, es importante que aprendamos a encontrar los conjuntos solución de diversos tipos de ecuaciones. En los problemas de cardinalidad de conjuntos ya se empleaban ecuaciones.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 125 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina diversos tipos de intervalos  Represente intervalos en la recta real.  Defina valor absoluto de un número real.  Aplique las propiedades del valor absoluto.  Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas, con radicales, con valor absoluto.  Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones. 6.1 INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de números reales. Tenemos los siguientes tipos de intervalos: 6.2 VALOR ABSOLUTO Si Ra ∈ , entonces el VALOR ABSOLUTO de a denotado como a , se define como:    <− ≥ = 0 0 asia asia a Es decir, si a es un NÚMERO POSITIVO o CERO su valor absoluto es el mismo número. Si a ES NEGATIVO su valor absoluto es el número cambiado de signo (lo hacemos positivo). INTERVALO CERRADO [ ] { }RxdondebxaxbaI ∈≤≤== / INTERVALO ABIERTO ( ) { }RxdondebxaxbaI ∈<<== /, INTERVALOS SEMIABIERTOS ( ] { }RxdondebxaxbaI ∈≤<== /,[ ) { }RxdondebxaxbaI ∈<≤== /, OTROS INTERVALOS ( ] { }RxdondeaxxaI ∈≤=∞−= /, [ ) { }RxdondebxxbI ∈≥=∞= /,
  • 3. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 126 Ejemplo 1 22 = Ejemplo 2 ( ) 222 =−−=− Ejemplo 3 5 1 5 1 =− 6.2.1 PROPIEDADES Si Rba ∈∧ , entonces: 1. baba ⋅=⋅ 2. b a b a = ; 0≠b 3. baba +≤+ 4. baba −≥− No olvide demostrarlas. Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros tipos de intervalos. 6.2.2 INTERVALOS SIMÉTRICOS PREGUNTA: ¿A QUÉ INTERVALO SE REFIERE EL CONJUNTO? { }RxdondeaxxI ∈≥= / Bien empecemos a tratar a las ecuaciones o igualdades. 6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA [ ] { } { }axxRxdondeaxaxaaI ≤=∈≤≤−=−= //,
  • 4. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 127 Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que tienen una incógnita “ x ”, y usualmente están estructuradas de la siguiente manera: 6.3.1 LEYES En una igualdad, sin alterarla, usted puede: 1. Sumar o restar una misma cantidad a ambos miembros. Es decir: Si ba = , entonces cbca +=+ ; para todo Rc ∈ 2. Multiplicar una misma cantidad a ambos miembros. Es decir: Si ba = entonces cbca ⋅=⋅ ; para todo Rc ∈ 3. Dividir una misma cantidad (diferente de cero) a ambos miembros. Es decir: Si ba = entonces c b c a = ; para todo Rc ∈ 0≠∧ c 6.3.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (ECUACIONES LINEALES) Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma: 0≠a Determinemos su conjunto solución ?)( =xAp x a a ax / / Expresión algebraic a en “ x ” Expresión algebraic a en “ x ” = MIEMBROS 0:)( =+ baxxp
  • 5. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 128 Despejando “ x ” tenemos: entonces       −= a b xAp )( Prueba: si reemplazamos el valor de “ x ” en la ecuación dada, entonces: Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo elemento, es decir existe un sólo valor para x que satisface la ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa. Ejercicio resuelto El valor de " x " que se obtiene al RESOLVER la ecuación : 0 5 3 11 96 225 22 =− − − +− − xxxxx x es: a) 26− b) 4− c) 4 d) 26 e) 12 SOLUCIÓN: Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego " x " 4 123 0123 0453053311225 0 )3)(3( )3(5)3(11225 0 5 )3( 11 )3)(3( 225 0 5 3 11 96 225 22 22 22 −=≡ =−≡ =−−≡ =−+/−+−−/≡ = −− −−−−− ≡ =− − − −− − ≡=− − − +− − x x x xxxxx xxx xxxx xxxxx x xxxxx x Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “b” Ejercicios Propuestos 6.1 1. Si IR=Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) ( )[ ] 2 1 3 2 13 4 11 2 1 −=−+ xx b) 333 2)1()1( xxx =−−+ 2. Un valor de " x " que satisface a la igualdad: 2 4 4 2 86 17 2 − − = − − + +− + x x x x xx x , IR=Re , es: a) 0 b) 1 c) 1− d) 2 e) 2− 00 0 = =+      / −/ b a b a
  • 6. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 129 FACTORIZANDO tenemos: 6 7 761 07601 0)76)(1( 0 6 )66)(76( −= −=∨= =+∨=− =+− = −+ x xx xx xx xx Tiene 2 soluciones reales 3. Sea el predicado 103 10 5 1 2 :)( 2 −+ + + − = − xxx x x x xp . ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es: a) { }7 8 b) { }8 7 c) { }2 3 d) { }3 2 e) { }3 8 6.3.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (ECUACIONES CUADRÁTICAS) Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado, que una vez que haya sido simplificado, presenta la forma: 0:)( 2 =++ cbxaxxp , donde 0,, ≠∧∈ aRcba Su conjunto solución se lo puede determinar por los siguientes métodos: 1. FACTORIZANDO el trinomio, siempre y cuando sea posible. Entonces tendríamos: 0)()( 21 =−−  ba xxxx Por lo tanto, como 0=ab si y sólo si 00 =∨= ba , entonces: Ejemplo Para la ecuación 076 2 =−+ xx 2. Empleando la Fórmula GENERAL. En cualquier caso se podría completar cuadrados, para de allí encontrar x , entonces obtendríamos: a acbb xx 2 4 , 2 21 −±− = ¿Dedúzcala? Prueba: 1. Con 1=x ( ) 07116 2 =−+ 2. Con 6 7−=x 07 6 7 6 49 07 6 7 36 49 6 07 6 7 6 7 6 6 2 =−− =−      −+      / =−      −+      −
  • 7. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 130 Ejemplo Aplicando la fórmula general, encontremos las raíces de la ecuación cuadrática del ejemplo anterior: 076 2 =−+ xx Tenemos que: 716 −=== cba por lo tanto: ( ) ( )( ) ( )       −= − = −− = = +− = ±− = +±− = −−±− = 6 7 12 14 12 131 1 12 131 12 131 , 12 16811 62 76411 , 2 1 21 2 21 x x entoncesxx xx 6.3.3.1 Discriminante A la expresión dentro del radical de la fórmula general se la llama DISCRIMINANTE y se la denota con la letra D Entonces: acbD 42 −=  CASO I: Si 0>D , entonces las raíces serán reales y diferentes. Es decir: a acbb x 2 42 1 −+− = y a acbb x 2 42 2 −−− = Observe el ejemplo anterior.  CASO II: Si 0=D , entonces las raíces serán reales e iguales. Es decir: a b xx 2 21 −== . Ejemplo Encontrando las raíces, aplicando la fórmula general, de la ecuación cuadrática: 0144 2 =++ xx Para esta ecuación, tenemos que: 144 === cba por lo tanto: ( ) ( )( ) ( )       −= − = −− = −=−= +− = ±− = −±− = −±− = 2 1 8 4 8 04 2 1 8 4 8 04 8 04 , 8 16164 42 14444 , 2 1 21 2 21 x x entoncesxx xx
  • 8. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 131  CASO III: Si 0<D , entonces las raíces son complejas conjugadas. Como nuestro campo será sólo los números reales, en este caso se dirá que el conjunto solución de la ecuación cuadrática es vacío. Es decir no existen valores reales para x que satisfagan la ecuación. Ejemplo Para la ecuación cuadrática: 01362 =++ xx Tenemos que: 144 === cba por lo tanto: ( ) ( )( ) ( ) i i xx tenemosillamando xx xx 23 2 46 , :1 2 1166 2 )1)(16(6 2 166 , 2 52366 12 131466 , 21 21 2 21 ±−= ±− = =− −±− = −±− = −±− = −±− = −±− = Bien, ahora revisemos el siguiente ejercicio resuelto: Ejercicio Resuelto El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente ecuación: 1 3 3 23 32 2 + − =− ++ x x xx ; IR=Re , es: a) }2,4{ − b) }2,4{ −− c) }2,4{ d) }2,4{− e) }1{− SOLUCIÓN: Hay que empezar simplificando, todo lo que sea posible, las expresiones algebraicas presentes en la ecuación dada. 24 0)2)(4( 0)82(4 03284 063269332 0)632(69332 0 )1)(2( )2)(3()1)(2(332 0 1 3 3 )1)(2( 32 1 3 3 23 32 21 2 2 22 22 2 =∨−=≡ =−+≡ =−+≡ =+−−≡ =++−−−−−≡ =−−+−−−−≡ = ++ +−−++− ≡ = + − −− ++ ≡ + − =− ++ xx xx xx xx xxxxx xxxxx xx xxxx x x xxx x xx
  • 9. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 132 Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d” Ejercicios Propuestos 6.2 1. La ecuación : 2 2 4 16 2 82 x xx xx = − + − −+ IRx ∈∧; se satisface con x igual a: a) 5 b) 1− c) 4− d) 1 e) 5− 2. Para la ecuación: 89 13 43 12 − − = + + x x x x , donde IRx ∈ . Es CIERTO que: a) No tiene solución b) Tiene una solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene más de dos soluciones e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas. 3. Sean las ecuaciones 031110 2 =+− xx y 076 2 =+− kxx El valor que debe tomar k para que la raíz de menor valor de la primera ecuación sea también raíz de la segunda ecuación es: a) 3 b) 3− c) 1 d) 2 e) 2− 6.3.3.2 Propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática Ya sabemos que la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax tiene por raices a: a acbb x a acbb x 2 4 2 4 2 2 2 1 −−− =∧ −+− = , veamos ahora ¿qué sucede si las sumamos? y ¿qué sucede si las multiplicamos? 6.3.3.2.1 Suma de las raíces a b a acbbacbb xx a acbb a acbb xx 2 2 2 44 2 4 2 4 22 21 22 21 − = −−−−+− =+ −−− + −+− =+ Entonces: a b xx −=+ 21 6.3.3.2.2 Producto de las raíces ( ) ( ) 221 2 22 21 2 2 22 21 22 21 4 4 4 4 4 4 2 4 2 4 a ac xx a acbb xx a acbb xx a acbb a acbb xx =⋅ −− =⋅       −−− =⋅         −−−         −+− =⋅
  • 10. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 133 Entonces: a c xx =⋅ 21 Ejemplo La ecuación cuadrática 076 2 =−+ xx , que fue resuelta anteriormente, se obtuvo como solución a 11 =x y 6 7 2 −=x . Si las sumamos directamente se obtiene: 6 1 6 7 121 −=      −+=+ xx , que es el mismo valor que se obtiene aplicando la propiedad 6 1 21 −=−=+ a b xx . Por otro lado, si las multiplicamos directamente se obtiene ( ) 6 7 6 7 121 −=      −=⋅ xx , que es el mismo valor que se obtiene aplicando la propiedad 6 7 21 − ==⋅ a c xx Ahora analicemos lo siguiente Ejercicio Resuelto 1 En la ecuación: kxxx −=+ 3113 2 , el valor de " k " para el cual la suma de las soluciones es igual a dos veces su producto, es: a) 1− b) 2− c) 3− d) 4− e) 5− SOLUCIÓN: Para la ecuación kxxx −=+ 3113 2 , queremos que sus raíces 1x y 2x cumplan con: 2121 2 xxxx ⋅=+ . Agrupando términos tenemos: 083 03113 2 2 =++ =+−+ kxx kxxx . Para esta última ecuación simplificada tenemos kcba === 83 Y empleando la condición dada, obtenemos lo pedido: 4 82 3 2 3 8 2 2 2121 −= −=       / = / −       =− ⋅=+ k k k a c a b xxxx Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d” Ejercicio Resuelto 2 El valor positivo de k para el cual, la suma de las raíces de la ecuación: ( ) ( ) 02225 22 =−−+− xkkxk ; es igual a 1; se encuentra en el intervalo: a) [6, 10] b) [15, 20] c) [0, 6] d) [8,10] e) [−2, 0) SOLUCIÓN: queremos que las raíces de la ecuación ( ) ( ) 02225 22 =−−+− xkkxk sumen 1, es decir 121 =+ xx Entonces, destruyendo paréntesis y agrupando términos para darle la forma cuadrática, nos queda: ( )  ( ) 02245 222 =−+−−  cba kxkxk
  • 11. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 134 Aplicando la condición tenemos: ( ) ( ) 15 0)1)(5( 054 54 1 5 4 5 4 1 21 2 2 2 221 21 −=∨=≡ =+−≡ =−−≡ −=≡ = − − −⇒− − −=+ =+ kk kk kk kk k k k k xx xx Tomando sólo el valor positivo 5=k , observamos que este valor se encuentra en el intervalo [ ]6,0 , por tanto la opción “c” es la RESPUESTA correcta. Ejercicios Propuestos 6.3 1. La suma y el producto de las raíces de la ecuación: 095 3 2 2 =−+      xx son respectivamente: a) 2 25 ; 2 15 −− c) 2 27 ; 2 15 b) 2 15 ; 2 27 − d) 2 27 ; 2 15 −− e) 3 18 ; 3 10 −− 2. El valor de k para que la ecuación: 0982 =−− kxx tenga raíces cuya suma sea igual a 3 8 es: a) 3 b) 3 1 − c) 3 1 d) 3− e) 0 3. En la ecuación: 0)7()1(8 2 =−+−− mxmx , encuentre el valor que debe tomar m para que la suma de las soluciones de la ecuación dada sea igual a 4 3 . a) 7 b) 7− c) 7 1 d) 7 1 − e) 7 2 4. La ecuación cuadrática cuya suma de raíces sea 7 y cuyo producto sea 10 , es: a) 01072 =+− xx b) 07102 =−+ xx c) 01072 =−− xx d) 07102 =+− xx e) 01072 =−+ xx 5. Encuentre la ecuación de segundo grado que tenga como coeficiente de 2 x la unidad, como coeficiente de x una de las raíces y por término independiente la raíz restante. a) 22 ++ xx c) 22 +− xx b) 22 −− xx d) 22 −+ xx e) 12 ++ xx 6. Encuentre el valor de k para el cual la suma de las soluciones de la ecuación 065 2 =++ kxx sea dos veces su producto. a) 3− b) 3 c) 7 d) 7− e) 0 7. Considere la ecuación: 1222 −−=++− xxnxmx . Los VALORES de m y n para que la suma de sus soluciones sea 2 y su multiplicación sea 6− , son: a) 10 −== nm b) 0 2 1 == nm c) 1 2 1 =−= nm d) 0 2 3 =−= nm e) 1 2 3 −== nm
  • 12. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 135 6.3.4 ECUACIONES CON RADICALES Otros tipos de ecuaciones son aquellas que en sus expresiones algebraicas iniciales presentan radicales, entonces el objetivo inicial debe ser deshacerse de los radicales. Ejemplo 1 Considere el predicado 2713:)( =−−+ xxxp y IR=Re Despejando un radical y elevando al cuadrado para destruirlo: En las ecuaciones con radicales aparecen las llamadas SOLUCIONES EXTRAÑAS. Para precisar las soluciones se hace imprescindible reemplazar los valores de x obtenidos para ver si en verdad satisfacen o no el predicado original. Sólo los valores de x que satisfagan el predicado en la forma inicial dada, serán soluciones de la ecuación. Entonces para la ecuación anterior: 1. Con 9−=x tenemos: satisfaceNO22 242 2164 2)9(7139 ≠− =− =− =−−+− 2. Con 3=x tenemos: satisfaceSI22 224 2416 237133 = =− =− =−−+ Por lo tanto { }3)( =xAp Ejemplo 2 Sea 422:)( −=+ xxxp y R=Re . Entonces el conjunto solución está contenido en el intervalo: a) [ ]C 5,0 b) [ ]3,2 c)[ )∞,3 d) [ ]3,0 e) [ ]C 5,2 SOLUCIÓN: Procedemos de forma semejante al ejemplo anterior. ( ) ( ) ( ) ( ) 39 0)3)(9( 0276 42812 )7(412 721 721 74)1(2 7422 774413 72132713 21 2 2 2 22 22 =∨−=≡ =−+≡ =−+≡ −=++≡ −=++≡ −=+≡ −=+≡ −=+≡ −=+≡ −+−+=+≡ −+=+≡=−−+ / xx xx xx xxx xxx xx xx xx xx xxx xxxx
  • 13. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 136 Reemplazando: Con 4=x tenemos: satisfaceSI22 44 4822 4)4(224 = = −=+ −=+ con 4 9 =x tenemos: satisfaceNO 2 1 2 7 4 2 9 2 2 3 4 4 9 22 4 9 ≠ −=+ −      =+ Entonces { }4)( =xAp . Por tanto la RESPUESTA es la opción “c” Ejercicios Propuestos 6.4 1. Sea IR=Re , encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación: 7 6 714 − =−−+ x xx 2. La SUMA DE LAS SOLUCIONES reales de la ecuación: x xxxx = −− + −+ 22 2 2 2 2 es: a) 3 b) - 3 c) 2 3 d) − 2 3 e) 0 3. Dada ecuación: 121 +=++ xxx ; Si [ )∞= ,0Re ; entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es: a) { }1,0 b) { }1,1 − c) { }1,0 − d) { }0 e) { }1− 4. El valor de la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación: 3625 +=+−− xxx , es: a) 3 7 b) 2 c) 0 d) 3 1 − e) 2− Existen ciertos tipos de ecuaciones muy singulares: ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )( ) 4 9 4 0944 0 4 94164 036254 36244 62 242 422 422 21 4 2 2 22 22 == =−− = / −         −/ =+− +−= −= −−= −=+ −=+ xx xx xx xx xxx xx xx xx xx
  • 14. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 137 1. Verdadero xx xxxp 00 22 22:)( = −=− +=+ entonces Re)( =xAp 2. Falso xx xxxp 10 12 12:)( −= +−=− +=+ entonces φ=)(xAp 6.3.5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La definición de valor absoluto para un número real, ya fue proporcionada. Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que tienen expresiones algebraicas afectadas por valor absoluto. En casi todas las situaciones la expresión de la forma ax − es la que aparecerá en este tipo de ecuaciones. En otras situaciones será de la forma amx − . Dediquémonos en primera instancia a la primera forma. El objetivo estará en destruir el valor absoluto. Se lo podrá hacer de la siguiente manera: La expresión ( )   <−−− ≥−− =− 0 0 axcuandoax axcuandoax ax Lo cual es equivalente a:    <− ≥− =− axcuandoxa axcuandoax ax Recuerde que en la recta numérica, los ax > son los que están a la derecha de a y los ax < son los que están a la izquierda de a . Entonces, se determina primero dónde se hace cero ax − , esto será en ax = ; al cual llamaremos punto crítico. A partir de allí, cuando se reemplaza a la x por un número que esté a la derecha de a , el valor numérico de la expresión ax − será positivo y al reemplazar a la x por un número a la izquierda de a ahora el valor numérico de la expresión ax − será negativo. Esquemáticamente, tendríamos:  → +− >−→←<− a axax )()( 00 ax >ax <
  • 15. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 138 ( )  → −→←−− 2 22 xx Para el caso de amx − , lo anterior se cumple para m a x = . Veamos situaciones específicas: Ejemplo 1 Si quisiéramos destruir 2−x entonces: Ejemplo 2 Si quisiéramos destruir 2+x entonces: Ejemplo 3 Si quisiéramos destruir 12 −x entonces: En todos los ejercicios consideraremos IR=Re , salvo que se diga lo contrario. Ejercicio Resuelto 1 Sea 2:)( =xxp Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la ecuación son 2 y 2− . Entonces { }2,2)( −=xAp . Ejercicio Resuelto 2 Sea 21:)( =−xxp Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la ecuación son 3 y 1− . Entonces { }1,3)( −=xAp . Ejercicio Resuelto 3 Sea 321:)( +=− xxxp . Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Ahora en cambio, sí necesitamos destruir el valor absoluto (¿POR QUÉ?) y lo vamos a hacer empleando el método anterior. Para lo cual en una recta numérica, tenemos: ( ) 321321 +=−→←+=−− xxxx Buscamos 1<x que 1 -2/3 . ( )  → − +→←+− 2 22 xx ( )  → −→←−− 2 1 2 1 2 1 xx
  • 16. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 139 Observe que 4−=x no es mayor que 1 , por tanto no es solución, en cambio 3 2 −=x sí es menor que 1 , por tanto sí es solución. Entonces       −= 3 2 )(xAp . Ejercicio Resuelto 4 Sea 21:)( =−xxxp . Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Destruimos el valor absoluto de la misma forma anterior. Entonces { }2)( =xAp Ejercicio Resuelto 5 Sea 3412:)( +=− xxxp Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Debemos destruir ambos valores absolutos simultáneamente. Observe que 12 −x arrojará valores positivos cuando reemplazamos 2 1>x (a la derecha de 2 1 ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos 2 1<x (a la izquierda de 2 1 ). De manera análoga, observamos que 34 +x arrojará valores positivos cuando reemplazamos 4 3−>x (a la derecha de 4 3− ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos 4 3−<x (a la izquierda de 4 3− ). Combinando todo esto, tenemos: ( ) ( ) 2121 =−→←=−− xxxx real soluciónhayNO xx xx 02 02 2 2 =+− =−+− 12 0)1)(2( 022 −=∨= =+− =−− xx xx xx 1 2.  → −−− ++− +=−→←+=−−→←+−=−− 2 1 3 1 4 3 2 )()()( 34)12(34)12()34()12( xxxxxx . ( ) SIx x xx xx 2 42 1342 34)12( −= −= −=+− +−=−− SIx x xx xx 3 1 26 1342 34)12( −= =− −=−− +=−− NOx xx xx 2 1342 3412 −= +=− +=− 0 012 >−x012 <−x 034 <+x 034 >+x
  • 17. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 140 Entonces       −−= 3 1 ,2)(xAp
  • 18. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 141 Ejercicio Resuelto 6 Sea :)(xp 1 32 13 = + − x x Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Note que es semejante al anterior, una vez que se haga lo siguiente: 2 33213 1 32 13 1 32 13 −≠∧+=−≡ = + − ≡= + − xxx x x x x por la propiedad b a b a = Entonces { }5 2,4)( −=xAp Ejercicio Resuelto 7 Sea :)(xp 1 32 13 −= + − x x Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Es obvio que su conjunto solución φ=)(xAp ¿POR QUÉ? Ejercicio Resuelto 8 Sea 1:)( 2 −=− xxxxxp Determine su conjunto solución. SOLUCIÓN: Análogamente, debemos destruimos los valores absolutos presentes: Entonces { } [ )∞∪= ,10)(xAp  → −− +−+− +=−→←+=−−→←+−=−− 4 3 1 0 5 2 2 3 32)13(32)13()32()13( xxxxxx ( ) ( ) SIx xx xx xx 5 2 1323 3213 3213 −= −=−− +=+− +=−−( ) ( ) NOx xx xx xx 4 1323 3213 3213 = −−=+− −−=+− +−=−− SIx xx xx 4 1323 3213 = +=− +=− ( )  → −=−→←−−=−→←−−=−− 10 1))1(())1(()( 222 xxxxxxxxxxxx . . [ ] 0 02 )1( )1()( 2 22 2 2 = = −=+ +−=+ −−=−− x x xxxx xxxx xxxx [ ] 10 0)1(2 022 )1( )1( 2 22 2 2 =∨= =− =− −=− +−=− −−=− xx xx xx xxxx xxxx xxxx satisfacexTodo Verdadero xxxx 1 00 22 > = −=−
  • 19. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 142 Ejercicios Propuestos 6.5 1. Sea IR=Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 23 =− x b) xx 23 =− c) xxx =− 32 2 d) xx 31 =− e) 2231 ++=− xx f) 325 −=++− xx g) 2222 44 aaaxxaxx −=−+−−− h) 312 −=++ xxx i) 16 −=−− xxxx
  • 20. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 143 6.3.6 PROBLEMAS DE PLANTEO DE ECUACIONES En el proceso de resolución de un problema, en el cual se requiere plantear ecuaciones para llegar a su solución, usted puede seguir los siguientes pasos: PRIMERO: Lea todo el problema. Para familiarizarse con su contenido y su posible vía de solución. SEGUNDO: Defina la incógnita. Esta puede ser una INCOGNITA DIRECTA, que es la que solicita el problema; o INCOGNITAS INDIRECTAS, que se determinan en primera instancia para luego determinar la incógnita directa. TERCERO: Interprete los datos. CUARTO: Interprete la condición. QUINTO: De acuerdo al planteamiento de la condición del problema, realice el desarrollo, en busca de la incógnita. SEXTO: Proporcione la respuesta respectiva a lo solicitado en el problema. Problema Resuelto 1 Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora el hombre? ¿Cuántos años tiene ahora la esposa? SOLUCIÓN: INCÓGNITA: DATOS: CONDICIÓN DESARROLLO: RESPUESTA: El hombre tiene 24 años. Entonces la esposa tiene: años x 17 7247 = −=− ≡x Edad ACTUAL del hombre. La edad ACTUAL de la esposa es 7−x HACE 10 AÑOS      ≡−− ≡− esposaEdadx breEdadx 107 hom10 EDAD DEL HOMBRE HACE 10 AÑOS = 2 (EDAD DE LA MUJER HACE 10 AÑOS) [ ] 24 24 10342 34210 17210 = −=− +−=− −=− −=− x x xx xx xx 
  • 21. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 144 Problema Resuelto 2 En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores de edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numerosa. Este beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños, medio pasaje cada uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colectivo, en cuyo caso, cada miembro de la familia paga pasaje entero, pero, a su vez, cada pasaje cuesta las dos terceras partes del pasaje del tren. Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea igual a lo que se paga en colectivo es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 SOLUCIÓN: INCOGNITA: DATOS: CONDICIÓN: Problema Resuelto 3 Un pelotón de 180 personas esta dispuesto en filas. El número de personas de cada fila es 8 más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántos personas en cada fila? SOLUCIÓN: INCOGNITA: DATOS: CONDICIÓN: DESARROLLO: RESPUESTA: Por tanto hay 10 filas y filacadaenpersonas x 18 8108 = +=+ =x cantidad de filas Total de personas = 180 Cantidad de personas por fila = 8+x (CANT. FILAS).(CANT. DE PERSONAS POR FILA) = TOTAL DE PERSONAS SIxNOx xx xx xx xx 1018 0)10)(18( 01808 1808 180)8( 2 2 =−= =−+ =−+ =+ =+ DESARROLLO: niñon nn nn nn nn nn n n tenemosxparadividiendo xnxx x n x x COLECTIVOTREN 1 9843 4839 )24(2)3(3 3 24 2 3 3 222 2 12 3 2 3 2 3 2 22 1 1 :, 3 2 3 2 3 2 22 = −=− +=+ +=+ + = + ++ = ++ ++=++       ++=      ++    :n # niños =x Pasaje en tren =x 3 2 pasaje colectivo PAGO FAMILIAR EN TREN = PAGO FAMILIAR COLECTIVO RESPUESTA: Debe haber un niño para cumplir con la condición. Por lo tanto la opción “a” es correcta.
  • 22. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 145 Problema Resuelto 4 La Sra. Cordero va invertir 70000$ . Ella quiere recibir una utilidad de 5000$ . Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un %6 , o con un riesgo mayor, al %5.8 de los bonos hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga los 5000$ ? SOLUCIÓN: Problema Resuelto 5 Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en 29000$ en total. Vende el Toyota y obtiene una ganancia del %10 y en el otro pierde el %5 ; y aún así, obtuvo una ganancia de 1850$ , por la transacción completa. Entonces el costo inicial del Toyota y del Skoda es: a) 20000$ y 9000$ b) 22000$ y 7000$ c) 18000$ y 11000$ d) 21500$ y 7500$ e) 22500$ y 6500$ SOLUCIÓN: INCOGNITA: =x cantidad invertida al %6 DATOS: El resto x−70000 es invertido al %5.8 Rentabilidad Total = 5000$ CONDICIÓN: RENT. DE LA CANT. AL %6 + RENT. DE LA CANT. AL %5.8 = RENT. TOTAL DESARROLLO: ( )  %638000$ 950005.2 5950005000005.86 5000005.85950006 500000)70000(5.86 500070000 100 5.8 100 6 . %5.8.%6. alx x xx xx xx xx Totalrent alrentalrent = −=− −=− =−+ =−+ =−+    RESPUESTA: La señora Cordero debe invertir 38000$ al %6 y el resto 32000$ al %5.8 INCOGNITA: =x Precio de compra del Toyota DATOS: Precio de compra del Skoda = x−29000 Ganancia total = 1850$ CONDICIÓN: GANANCIA EN EL TOYOTA – PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA TOTAL DESARROLLO: ( )  Toyotaelx x xx xx xx TotalGan SkodaPérdToyGan 22000$ 33000015 145000185000510 185000514500010 185029000 100 5 100 10 . ... = = +=+ =+− =−−    RESPUESTA: El precio de compra del Toyota fue de 22000$ y el del Skoda 7000$ . Por tanto la opción “b” es t
  • 23. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 146 Para los siguientes tipos de problemas se emplean las siguientes definiciones: INGRESOS POR VENTAS: I = (PRECIO VENTA).(CANTIDAD VENDIDA) COSTOS FIJOS: CF (Alquiler, personal, luz, teléfono) COSTOS VARIABLES:CV = (COSTO UNITARIO)(CANTIDAD PRODUCIDA) COSTOS TOTALES = CVCF + UTILIDAD: U = INGRESOS – COSTOS Problema Resuelto 6 José vende pilas de teléfonos celulares a 5$ dólares cada uno. Si los COSTOS FIJOS de producir las baterías es de 300$ dólares y los COSTOS VARIABLES es de 1$ dólar por unidades, entonces la cantidad de pilas x que debería de producir y vender para obtener una UTILIDAD igual a 500$ dólares es: a) 500 b) 400 c) 600 d) 300 e) 200 SOLUCIÓN: INCOGNITA =x cantidad de pilas DATOS: Precio venta 5$=p =CF 300$ =CV /1$ unidad CONDICIÓN: OBTENER UNA UTILIDAD DE 500$ DESARROLLO: [ ] [ ] pilasx x xx xx CVCFpxU CIU 200 4800 3005500 )(13005500 = = −−= +−= +−= −= RESPUESTA: José debe vender 200 pilas para obtener las utilidades deseadas. Por tanto la opción “e” es correcta.
  • 24. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 147 Problema Resuelto 7 Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de 180$ al mes, al subir el alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de 5$ , una habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total de 11475$ . SOLUCIÓN: Problema Resuelto 8 Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de ellas en 400$ mensuales. Sin embargo se conoce que por cada 20$ de aumento por mes, dos suites quedarán desocupadas sin posibilidad de rentarlas. Entonces el precio por cada suite, obteniendo los mismos ingresos pero quedando algunas suites sin alquilar, es: a) 400$ b) 480$ c) 520$ d) 460$ e) 500$ SOLUCIÓN: RESPUESTA: Esteban debe hacer 15 ó 9 incrementos de 5$ en el precio de alquiler de las habitaciones para así obtener los 11475$ de ingreso. Es decir que el PRECIO DE ALQUILER de cada habitación podrá ser:    =+= =+= ⇒+= 225$)9(5180 255$)15(5180 5180 p p xp INCOGNITA: =x Números de incrementos de 5$ en el precio de alq. DATOS: Total de habitaciones = 60 Precio para alquilar todas las habitaciones = 180$ CONDICIÓN: OBTENER INGRESOS DE 11475$ Donde INGRESO por alquiler = (PRECIO alquiler)(CANT. de habit. alquil DESARROLLO: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 915 0915 013524 06751205 010800114751205 51201080011475 53001801080011475 60518011475 1605180 2 2 2 2 2 . =∨= =−− =+− =+− =−+− −+= −+−= −+= −+= xx xx xx xx xx xx xxx xx xxI habcantprecio  INCOGNITA: =x Números de incrementos de 20$ en el precio de alq. DATOS: Total de oficinas = 60 Precio para alquilar todas las oficinas = 400$ CONDICIÓN: Que los ingresos se mantengan aunque se incremente el precio de renta de las oficinas, es decir: 20000$)/400($.)50( == ucofIngresos DESARROLLO: ( ) 50 054 020040 4010008002000020000 )250)(20400(20000 .).)(( 2 2 =∨= =− =− −+−= −+= = xx xx xx xxx xx CantprecI RESPUESTA: La empresa debe hacer 5 5 incrementos de 20$ en el precio de la renta, es decir aumentar en 100$ , lo que significa que el nuevo precio, para cumplir con la condición debe ser: 500$)5(20400Pr =+=ecio . Por tanto la opción “e” es correcta.
  • 25. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 148 Problema Resuelto 9 El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 centavos. El ingreso del distribuidor es de 24 centavos por copia y por lo que respecta a la publicidad es del %20 de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por 1000$ ? SOLUCIÓN: Problema Resuelto 10 Un comerciante vende un par de zapatos en 75$ . Si su utilidad porcentual fue igual al precio de costo en dólares, entonces el PRECIO DE COSTO del par de zapatos es: a) 75$ b) 60$ c) 55$ d) 50$ e) 65$ SOLUCIÓN: INCOGNITA: =x Cantidad de ejemplares producidos y vendidos DATOS: COSTO UNIT. DE LOS EJEMPLARES = 28.0$ PRECIO VENTA DE CADA EJEMPLAR = 24.0$ INGRESOS = INGRESOS VENTAS + INGRESOS PUBLICIDAD INGRESOS PUBLICIDAD = %20 (Ingresos sobre la venta de 3000 ) DESARROLLO: ( ) ( ) ejemplaresx x xxx xxx xxx CostosIngresosUtilidad 143000 008.0 1144 008.01144 28.0144048.024.01000 28.072024.0 100 20 24.01000 28.0300024.024.01000 100 20 == = −−+= −−+= −                     −+= −=  RESPUESTA: El distribuidor debe vender 143000 ejemplares. CONDICIÓN: OBTENER UTILIDADES DE 1000$ INCOGNITA: =x Precio de costo de los zapatos DATOS: Precio venta = 75$ Utilidad Porcentual: 100 75 % 100 .cos. % x x U tprec Utilidad U − = = CONDICIÓN: UTILIDAD PORCENTUAL = PRECIO DE COSTO DESARROLLO: ( )( ) 50150 050150 07500100 1007500 100 75 cos% 2 2 =∨−= =−+ =−+ =− = − = xx xx xx xx x x x toprecioU RESPUESTA: EL precio de costo de los zapatos es de 50$
  • 26. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 149 Ejercicios Propuestos 6.6 1. Si hace 18 años Pedro era exactamente tres veces más viejo que su hijo y hoy día, él es sólo dos veces más viejo que su hijo. Entonces la suma de los años que ahora tienen Pedro y su hijo juntos es: a) mayor que 120 años c) igual a 102 años b) igual a 108 años d) menor que 100 años e) igual a 114 años 2. En cierta ocasión, Eduardo consiguió un trabajo por 3 días, ganando en total 700$ . Si el segundo día ganó la mitad de lo que ganó el primer día, y el tercer día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, entonces el primer día ganó: a) 100$ b) 200$ c) 300$ d) 400$ e) 500$ 3. El reloj del Congreso da las horas exactas con campanadas y cada media hora da una campanada. Por ejemplo: a las 8 da 8 campanadas; y a las 30:8 da una campanada. Si a las nueve de la noche terminó una de las sesiones del congreso, y en el tiempo que duró la sesión el reloj dió 48 campanadas, entonces la sesión empezó a las : a) 9 a.m. b) 6 p.m. c) 3 p.m. d) 5 p.m. e) 30:3 p.m. 4. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de 300 dólares en partes iguales. Si hubiera habido 10 miembros más, el costo por cada miembro hubiera sido 1 dólar menos. Determine el número de miembros. 5. Tres ( 3 ) hermanos participaron en un sorteo, en el cual resultaron ganadores De acuerdo a la cooperación en la compra del boleto, el premio se repartió de la siguiente manera. El mayor recibió 45000$ ; el menor las tres séptimas partes del premio y el otro recibe una cuarta parte del premio. Entonces el premio consistió en: a) 140000$ b) 110000$ c) 150000$ d) 100000$ e) $160.000 6. Susana tiene tres (3) monedas más de cinco centavos (x) que de diez (10) centavos (y) y cinco (5) monedas más de diez (10) centavos que monedas de veinticinco (25) centavos (z). En total tiene $2,10. Cuantas monedas de cada una tiene? a) x=2; y=5; z=6 c) x=4; y=9; z=10 b) x=11; y=8; z=3 d) x=5; y=10; z=12 e) x=6; y=6; z=8 7. Un padre le presta a su hijo $350. Al cabo de una semana el padre le pregunta a su hijo: ¿cuánto gastaste?, a lo que el hijo le contesta: "las ¾ partes de lo que no gasté". Entonces el hijo GASTÓ: a) $250 b) $350 c) $262.5 d) $300 e)$150 8. Un colegio dispone de $60.000, y los invertirá a fin de obtener ingresos anuales de $5.000 para becas. Parte de estos $60.000 se invertirán en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10,5%. Cuánto deberá invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 9. Si los miembros de una fundación desean invertir $ 18.000 en dos tipos de seguros A y B que pagan dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente, entonces para que el ingreso sea equivalente al que produciría la inversión total al 8%, la inversión en A y en B es respectivamente. a) $12.000; $6.000 c) $8.000; $10.000 b) $ 6.000; $12.000 d) $10.000; $8.000 e) $11.000; $7.000 10. La cuarta parte de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco A y la restante en el Banco B. Si el Banco A paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que paga anualmente el Banco B. Si el rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el depositar la cantidad completa de dinero a una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL QUE PAGA EL BANCO A y la que PAGA EL BANCO B son, respectivamente: a) 3% y 8% b) 12% y 36% c) 8% y 24% d) 7% y 21% e) 6% y 18% 11. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12.000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para mantener el equilibrio? 12. La compañía Sandalias Cómodas fabrica sandalias, para las cuales el costo del material es de $0.80 por par y el costo de mano de obra es de $0.90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $70000. Si cada par se vende a $2.50, entonces el NÚMERO DE PARES QUE DEBE VENDERSE para que la compañía llegue al EQUILIBRIO es: a) 140000 b) 35000 c) 70000 d) 90000 e)80000 13. El administrador de cierta empresa tiene como política, no invertir dinero en fabricar un nuevo producto a menos que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede vender todo lo que produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de
  • 27. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 150 $6 y los costos fijos son de $40000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de modo que obtenga la ganancia requerida, es: a) 6000 b)7500 c)8500 d)11500 e)12500 14. Un granjero compra 10 vacas pagando en total $ 150.000 y vende las primeras 4 teniendo ganancia del 20% de lo que le costó cada una. Si la utilidad por el lote completo que desea ganar el granjero es de $ 75.000, entonces el PRECIO, en dólares, al que debe vender cada una de las 6 vacas restantes es: a) 3.000 b)18.000 c)25.500 d)63.000 e)72.000 15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son $1500 y $1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más de A que de B. Entonces el número de unidades del producto A que se pueden fabricar , es: a) 75 ∨ 100 b)100 ∨ 125 c) 125 ∨ 150 d) 150 ∨ 175 e)175 ∨ 200 16. Una cantidad de dinero invertida al 15% produce $14,4 más que invertida al 12% . Entonces dicha CANTIDAD es: a) $ 480 b)$ 500 c)$ 20 d)$ 75 e)$ 100 17. Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de conjuntos deportivos con un costo para el distribuidor de $ 80 por conjunto. Por conveniencia del distribuidor la fábrica colocará la etiqueta con el precio a cada conjunto. ¿QUÉ CANTIDAD DEBE SER MARCADA EN LAS ETIQUETAS de modo que el distribuidor pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener una ganancia del 15% sobre el precio de costo?. a) $ 115 b)$ 100 c) $ 105 d) $ 110 e) $ 95 18. Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió $8.500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos porcentajes son: a) 6% en los primeros $100.000, 4% en el resto. b) 8% en los primeros $100.000, 6% en el resto. c) 4% en los primeros $100.000, 6% en el resto. d) 4% en los primeros $100.000, 8% en el resto. e) 8% en los primeros $100.000, 4% en el resto. Misceláneos. 1. Un valor de “ k ” para que la SUMA DE LAS RAÍCES de la ecuación 22 42 xkxkx =+− sea 4 , es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. La SUMA de tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo número, es igual a: a) 9 b) 10 c) 11 d)12 e) 13 3. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 7 12 =+ x x , es: a) 7 b)25 c)16 d)9 e)4 4. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 32 =++ xx , es: a) { }49 b) { }36 c) { }36,49 d) { }49 36 e) { }36 49 5. Un VALOR de “k” para que la suma de las raíces de la ecuación 22 34 xkxkx =++ sea 10, es: a) 3 8 b) 5 7 c) 7 5 d) 3 1 e) 8 3 6. Suponga que en una granja se tienen vacas y gallinas solamente. Si en total hay 80 cabezas y 240 patas entonces la cantidad de VACAS que hay en la granja es: a) 40 b)60 c)70 d)80 e)90 7. Considerando R=Re , entonces el conjunto solución del predicado 53:)( =−− xxxp está en el intervalo: a) ( )0,5− b) ( )8,5 c) ( )5,1 d) ( )∞,8 e) ( ]4,−∞ 8. Un valor de "k" para que la ecuación 02 =++ kxkx tenga SOLUCIÓN REAL REPETIDA, es: a) 0 b) 2 1− c) 1− d)1 e)-2
  • 28. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 151 9. Un trabajador tiene una tarifa por cada hora regular de trabajo y tarifa y media por cada hora extra que trabaja después de las 40 horas. Si tuvo un salario total semanal de $442 por 48 horas de trabajo. Entonces el SALARIO REGULAR POR HORA es: a) $ 8.50 b)$ 8.00 c)$ 5.00 d)$ 4.50 e)$ 2.50 10. Para que la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 1 23 =− k x x k sea igual a -1, entonces el VALOR de " k " es: a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 11. Un trabajador recibió $435 como pago por el trabajo de una semana, laborando en total 52 horas, de las cuales 40 horas fueron normales y el resto horas extras. El valor de cada hora extra es 2 3 veces el valor de la hora normal. Entonces el VALOR DE LA HORA NORMAL, es: a) $2 b)$7.50 c)$4 d)$1 e)$6 12. En la ecuación 012)112(2 2 =++− xkkx , para que la SUMA de sus raíces sea 7, el valor de k es: a) 2 b) 7 c) 8 1 d) 12 1 e) 2 1 13. Un joven universitario cuenta con cierta cantidad de dinero. Si se comprara 10 lápices le quedará $10, si se comprara 4 cuadernos le quedará $20; y, si comprara 4 lápices y 3 cuadernos le quedará $10. Entonces, la CANTIDAD DE DINERO con que cuenta es: a) 20$ b) 40$ c) 60$ d) 80$ e) 100$ 14. Sea IR=Re y 221:)( =++ xxp , entonces su conjunto solución )(xAp es: a) { }25 b) { }9 c) { }36 d) { }64 e) { }49 15. Sea R=Re y los predicados 023:)( =−− xxp y 032:)( 2 =−− xxxxq . Entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN del predicado )()( xqxAp ∧ , es: a) { }1− b) { }0,1− c) { }0,2 d) { }1,2 − e) { }2 16. Se han comprado dos tipos de autos: un KIA y un TOYOTA. El KIA cuesta $20000 menos que el doble de lo que cuesta el TOYOTA. Y el TOYOTA le costó $1000 más de lo que cuesta el KIA. Entonces el VALOR del auto KIA y el valor del TOYOTA, son respectivamente: a) $17000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA. b) $19000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA. c) $19000 el auto KIA y $20000 el TOYOTA. d) $18000 el auto KIA y $19000 el TOYOTA. e) $16000 el auto KIA y $17000 el TOYOTA. 17. Dos NÚMEROS POSITIVOS suman 30 y además su diferencia de cuadrados es igual a 120, entonces estos números son: a) 17 y 13 b)15 y 15 c)14 y 16 d)18 y 12 e)19 y 11 18. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 09374 24 =+− xx es: a) { }9,4 1 b) { }2 1− c) { }2 1,3 − d) { }2 1 2 1 ,,3,3 −− e) { }3,2 1 19. Dos números están en relación de 3 a 4. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9 la relación es de 4 a 3. Entonces los NÚMEROS son: a) 3 y 4 b)24 y 18 c)9 y 18 d)3 y 24 e)8 y 4 20. Un reloj da un número de campanadas igual a las horas que marca. Entonces en 24 horas habrá dado un TOTAL de: a) 150 campanadas b) 78 campanadas c) 156 campanadas d) 24 campanadas e) 48 campanadas 21. Sea la ecuación 02 =−− xx , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es: a) { }0 b) φ c) { }1,0 d) { }1,1,0 − e) { }1,0 − 22. Hace 18 años Roberto era exactamente tres veces más viejo que su hijo. Si en la actualidad Roberto es dos veces más viejo que su hijo, entonces Roberto y su hijo tienen: a) Hijo 30 años, Roberto 60 años. b) Hijo 20 años, Roberto 40 años. c) Hijo 15 años, Roberto 30 años. d) Hijo 36 años, Roberto 72 años. e) Hijo 18 años, Roberto 36 años
  • 29. Moisés Villena Muñoz Ecuaciones 152 23. El número de soluciones reales de la ecuación: x xxxx = −− + −+ 22 2 2 2 2 , es: a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 24. Sea IR=Re y el predicado 13262:)( =+−+ xxxp . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es: a) Φ b) { }1− c) { }5 1 d) { }2 3 e) { }2 1, 5 29 25. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20 miembros más el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Entonces el NÚMERO DE MIEMBROS del club, es: a) 100 b)20 c)30 d)40 e)50 26. A un profesor del Prepolitécnico se le preguntó sobre la edad que tiene, y éste respondió diciendo: "Consideren tres veces los años que tendré dentro de 3 años, réstenle tres veces los años que tenía hace 3 años y resultará los años que tengo ahora". Entonces la EDAD ACTUAL del profesor es: a) 17 años b)19 años c)18 años e)21 años e) Elija esta opción si no se puede determinar la edad del profesor. 27. La SUMA de los valores de "x" que satisfacen la ecuación x x x x x x − − −= − − + + 3 1 1 93 2 2 2 es: a) 2 3− b)3 c) 2 3 d)2 e)-6 28. Ignacio compró un juguete. Luego lo vendió en $126. Obteniendo una ganancia igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. Entonces el PRECIO DE COMPRA del juguete fue de: a) $105 b)$126 c)$135 d)$145 e)$108 29. Un valor de “ x ” que satisface la ecuación 211111542 222 +=++++++ xxxxxxx es: a)2 b)5 c)25 d)0 e)15 30. Un vendedor de naranjas en una primera instancia vende la mitad del total de naranjas que tiene más la mitad de una naranja. Luego vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja. Finalmente vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja y se da cuenta que ya no le queda ninguna naranja. Entonces el número de naranjas que TENÍA INICIALMENTE es: a) 7 b)21 c)31 d)41 e)100