1. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 1
Mód. 1 Objetivos de aprendizaje
Conceptuar la construcción de modelos para
interpretar fenómenos de la realidad.
Interpretar la diferencia entre modelos determinísticos
y modelos probabilísticos.
Interpretar los conceptos de experimentos,
magnitudes, instrumentos y unidades de medida.
Revisar los conceptos de probabilidad, estadística,
poblaciones y muestras.
Explicar los conceptos de espacios muestrales y
calcular probabilidades en situaciones simples.
2. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 2
No conocemos la realidad, sólo modelos
que nos ayudan a interpretarla.
Para comprender los fenómenos de la realidad nos
valemos de modelos. los modelos pueden ser
mentales, expresiones verbales o algoritmos
matemáticos.
Conciente o inconscientemente utilizamos los
modelos para la toma de decisiones en presencia de
incertidumbre.
Mód. 1 Experimentos y Modelos
3. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 3
A partir de la experimentación y como resultado de
observaciones, obtenemos datos de la realidad, con los
cuales construimos modelos que nos ayudan a
interpretarla.
Una vez que disponemos de un modelo del sistema bajo
estudio, sólo resta ponerlo a prueba para comprobar que
interpreta correctamente la realidad, y si fuera el caso,
realizar mas experimentación, obtener nuevos datos e
introducir correcciones, volver a poner a prueba el nuevo
modelo, etc. hasta lograr un modelo satisfactorio. La Fig.
1.1 describe este proceso.
Mód. 1 Experimentos y Modelos
4. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 4
Fenómenos
de la
realidad
Modelo
Observación
Experimentos
Mediciones
Datos de la realidad
Resultados del modelo
Fig. 1.1: Interpretación de los fenómenos de la realidad. Construcción y
mejoramiento de modelos
Mód. 1 Experimentos y Modelos
5. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 5
Una vez que se cuenta con un modelo satisfactorio, el
mismo puede ser utilizado para la toma de decisiones o
pronóstico de resultados. Ver Fig. 1.2
Modelo
Información
Resultados
Fig. 1.2: Obtención de resultados a partir de
ingreso de información al modelo.
Modelo
Información
Resultados
Modelo
Información
Resultados
Fig. 1.2: Obtención de resultados a partir de
ingreso de información al modelo.
Mód. 1 Experimentos y Modelos
6. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 6
Los modelos matemáticos son idealizaciones, los
fenómenos de la realidad son siempre mas complejos.
La ciencia no define la verdad, utiliza experimentos para
contestar interrogantes.
Mód. 1 Experimentos y Modelos
7. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 7
Los elementos constituyentes de los modelos
matemáticos son magnitudes (masa, tiempo, densidad,
etc.) y constantes como por ej. π (pi).
Para obtener el valor de una magnitud debemos medirla
y para medirla necesitamos un instrumento y una
unidad de medida.
Mód. 1 Experimentos y Modelos
8. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 8
Instrumentos de medición: Pueden ser analógicos o digitales y de distinta precisión
Mód. Instrumentos y mediciones
9. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 9
La medida de una magnitud se expresa con un número
seguido por la unidad de medida utilizada.
El proceso de medir está inevitablemente asociado a
errores o incertidumbres que surgen como consecuencia
del tipo de instrumento utilizado, variaciones del entorno
y del operador. Por esta razón, a las magnitudes se las
denomina “magnitudes aleatorias” o “variables”.
Mód. Instrumentos y mediciones
10. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 10
Ejemplos de algunas magnitudes básicas y unidades en el
sistema internacional (SI), se muestran en la tabla siguiente:
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Temperatura kelvin K
Cantidad de materia mol mol
Mód. Sistema internacional de medida
11. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 11
h = 1/2 g t2
t = raiz (2h/g)
ó
Experimento 1.1. Caída libre de un cuerpo.
Una naranja y un juego de pesas caen a
la misma velocidad.
Mód. Experimentos y modelos
12. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 12
A partir del experimento de Galileo:
1) Podemos predecir por ej. el tiempo de caída de un cuerpo
cualquiera, conociendo la altura y la aceleración de la gravedad
del lugar.
2) Este modelo sólo funciona en el vacío, para condiciones
diferentes requiere ser modificado.
Mód. Experimentos y modelos
13. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 13
h
h, m t, seg
4.9 1
19.6 2
44.1 3
78.4 4
122.5 5
176.4 6
Caída libre (h= 1/2 x g x t^2)
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7
t, s
h,m
1. Dejo caer una piedra de una altura determinada y deseo saber
cuanto tarda para llegar al suelo.
Modelo:
h = 1/2 x g x t2
Mód. Experimentos y modelos
14. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 14
Los modelos pueden perfeccionarse para extender
su utilización.
Mód. Experimentos y modelos
15. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 15
Por ej., un modelo para predecir
el tiempo de caída de un cuerpo
inmerso en un fluido, deberá
incluir factores de corrección que
tengan en cuenta la forma del
objeto, su densidad, las
propiedades del fluido, la
temperatura, turbulencia
generada, etc. etc.
Mód. Experimentos y modelos
16. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 16
P
T
V
Experimento 1.2. Comportamiento de los gases.
PV = nRT
Mód. Experimentos y modelos
17. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 17
Experimento 1.3. Tirar un dado legal y observar el número que aparece
en la cara superior.
Al realizar el experimento se comprueba que se obtienen
aleatoriamente los resultados 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6.
Mód. Experimentos y modelos
18. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 18
V mA
1 0.1
2 0.2
3 0.3
4 0.4
5 0.5
6 0.6
Experimento 1.4. Modifico la tensión en un circuito eléctrico y
deseo conocer como cambia la corriente en el mismo.
+
I
R
V
I = V / R (R= 10000 ohms)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4 5 6 7
V, volt
I,mA
El modelo está dado por la “ley de Ohm”
I = V / R
donde: I = corriente en ampers
V = tensión en volts
R = resistencia en ohms
Mód. Experimentos y modelos
19. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 19
Experimento 1.5. Arrojar una moneda. Predecir el número de
caras o cruces al arrojar la moneda 4 veces.
Al realizar el experimento observamos resultados aleatorios de: 0, 1,
2, 3, ó 4 caras ó 0, 1, 2, 3, o 4 cruces.
Mód. Experimentos y modelos
20. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 20
Los modelos obtenidos en los experimentos de caída libre de
cuerpos, comportamiento de los gases y variación de tensión
en un circuito eléctrico permiten determinar el valor de una
variable a partir del conocimiento de otras. Se llaman:
Modelos
DETERMINÍSTICOS
Aunque los modelos determinísticos permiten hacer
predicciones de resultados, contienen elementos aleatorios,
omnipresentes, provenientes del proceso de medición.
Mód. Experimentos y modelos
21. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 21
Los experimentos de tirar un dado y arrojar
una moneda, son totalmente aleatorios. A
este tipo de modelos se los denomina:
Modelos
PROBABILÍSTICOS
Mód. Experimentos y modelos
22. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 22
Experimento 1.3: Se lanza un dado y se anota el número
que aparece en la cara superior.
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En aquellos experimentos en los cuales el resultado no puede predecirse con
certeza, se define “espacio muestral” al conjunto de todos los resultados
posibles de obtenerse.
Mód. 1 Espacio muestral
23. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 23
1
2
3
4
0
Espacio muestral S
S = {0, 1, 2, 3, 4}
Experimento 1.5:
Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número
total de caras obtenidas.
Mód. 1 Espacio muestral
24. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 24
Experimento 1.6:
Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la
sucesión de caras (C) y cecas (X).
CCXX
XXXC
XXCX
XCXX
CXXX
CXCX
CXXCCCCX
XCCXCCXC
XCXCCXCC
XXXXXXCCXCCCCCCC
S = { }
Mód. 1 Espacio muestral
25. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 25
Experimento 1.7:
Se fabrica polímero en una línea de producción y se desea conocer
el número lotes defectuosos producidos en 24 hs.
El espacio muestral S será:
S = {0, 1, 2,...,N} ,
donde, N es el número de lotes producidos en el día.
Mód. 1 Espacio muestral
26. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 26
Suceso o evento:
Subconjunto de resultados del espacio muestral.
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
Elemental
Mód. 1 Sucesos ó Eventos
27. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 27
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
El conjunto formado por todos
los elementos del espacio
muestral también es un suceso.
Y también lo es el conjunto
vacío.
Mód. 1 Sucesos ó Eventos
28. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 28
¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es
grande o pequeña?
Para ello necesitamos un número asociado con cada suceso, al
cual se lo denomina “probabilidad del suceso”.
La probabilidad p de un suceso es un número entre 0 y 1 que nos
dice en que medida es posible que ocurra el suceso.
Si p= 1 Significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.
Si p= 0 Significa que el suceso no ocurrirá, es un suceso imposible.
Mód. 1 Probabilidad
29. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 29
¿Cómo podemos calcular la probabilidad de ocurrencia de un
determinado suceso?
Si El espacio muestral es finito.
Si Todos los sucesos elementales tienen la misma
probabilidad de ocurrencia.
El cálculo es sencillo:
p = Nro. de sucesos favorables / Nro. total de sucesos
Mód. 1 Probabilidad
30. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 30
Ej. 1.1 ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apostamos, al tirar un
dado, que saldrá un número menor o igual a 4?
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 4/6= 0.666
Mód. 1 Probabilidad
31. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 31
Ej. 1.2 ¿Cuál es la probabilidad de ganar si apostamos, al tirar un
dado, que saldrá un número 3 ó un número 4?
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 2/6 = 1/3 = 0,333
1
2
3
4
6
5
Espacio muestral S
Suceso
p= 2/6 = 1/3 = 0,333p = 2/6 = 1/3 = 0,333
Mód. 1 Probabilidad
32. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 32
La probabilidad de que ocurra uno u otro de dos sucesos
excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de esos
sucesos:
p(A + B) = p(A) + p(B) ec. 1.1
En general para mas de dos sucesos excluyentes la ec. 1.1
puede generalizarse como :
p(A + B +...+J) = p(A) + p(B) + ... + p(J)
Mód. 1 Probabilidad
33. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 33
Ej. 1.3. Ahora deseamos calcular cual es la probabilidad de acertar
que saldrá un 3 en el dado de color verde y un 4 en el dado de color
azul, al tirar ambos dados una vez. 4?
Mód. 1 Probabilidad
34. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 34
En este caso, el espacio muestral tiene 36 sucesos posibles
de los cuales sólo uno es favorable como se muestra en la
tabla siguiente (en color amarillo):
Sucesos al arrojar dos dados.
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
Mód. 1 Probabilidad
35. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 35
Por lo tanto, si A = 3 en el dado verde y B = 4 en el dado azul:
p(A y B) = p(A) x p(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
La probabilidad de que aparezcan simultáneamente dos sucesos
independientes es igual al producto de las probabilidades de estos
sucesos:
p(AB) = p(A) x p(B) ec. 1.2
En general para mas de dos sucesos independientes la ec. 1.2
puede generalizarse como :
p(AB...J) = p(A) x p(B) x ... x p(J).
Mód. 1 Probabilidad
36. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 36
En cualquier caso se cumplirá que:
La probabilidad de un suceso cierto es igual a 1.
La probabilidad de un suceso imposible es igual a 0.
La probabilidad de un suceso posible queda expresada por
un número entre 0 y 1.
La suma de las probabilidades de todos los sucesos
posibles es igual a 1 (Σpi = 1).
Σpi = 1 ec. 1.3
Mód. 1 Probabilidad
37. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 37
En muchos casos, nuestros experimentos pueden generar un número
muy grande de datos o resultados. El espacio muestral tendrá así un
número muy grande o infinito de elementos.
A estos conjuntos con un número muy grande se datos los
conceptuamos como Universo o Población de observaciones.
Universo o Población
Cada dato numérico es un
elemento de la población.
Una muestra es un
subconjunto pequeño de
observaciones extraídas de
una población.
Mód. 1 Población y Muestra
38. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 38
La muestra es una porción de la población a la que tenemos acceso.
Los resultados analíticos sobre una muestra no es el objetivo final.
El proceso estadístico está dirigido a conocer aspectos de la población
a partir de los resultados obtenidos sobre muestras de ella.
Ej: Si tomamos 5 muestras de 100 g c/u de un lote de 100 tn y la
sometemos a análisis. Disponemos de cinco resultados analíticos.
Nuestra muestra estadística es de cinco resultados o datos. Nuestra
población, sin embargo, es de infinitos resultados que podrían ser
obtenidos tomando infinitas muestras de 100 g y sometiéndolas a
análisis. Lo que nos proponemos es saber como es la población a
partir de los datos obtenidos con una muestra. Este es el propósito de
la estadística.
Mód. 1 Estadística y Probabilidad
39. Autor: Antonio Pérez Estadística Experimental 39
Población o Universo
Muestra
Estadística
Evaluar la población a partir de los datos obtenidos de una muestra de ella.
Probabilidad
Evaluar la muestra a partir del conocimiento de la población de la cual
proviene.
Mód. 1 Estadística y Probabilidad