1) El documento presenta la resolución de varias integrales a través de métodos como sustitución, fracciones parciales y propiedades trigonométricas. 2) Se explican detalladamente los pasos para resolver cada integral utilizando propiedades matemáticas. 3) El documento provee 5 ejemplos resueltos de integrales utilizando diferentes métodos.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego resuelve un ejemplo a mano y con Derive. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento describe ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. Explica cómo separar las variables en una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, y cómo integrarla para obtener la solución primitiva. Resuelve un ejemplo numérico y muestra cómo usar el software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación diferencial de variable separable.
1. El documento describe diferentes tipos de ecuaciones de ondas lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones de ondas, la ecuación de Korteweg-de Vries, y sus soluciones como solitones. 2. La ecuación de Korteweg-de Vries admite soluciones en forma de solitones, que son ondas que mantienen su forma al propagarse. 3. También se describen métodos para obtener otras soluciones como soluciones elípticas y a través de reducciones de similitud que conducen a las ecuaciones de Pain
1. El documento describe varias funciones especiales matemáticas como la función gamma, función beta y otras.
2. La función gamma Γ(n) está definida como una integral y satisface una fórmula de recurrencia. Puede extenderse a valores negativos de n usando esta fórmula.
3. También se describen la función beta, aproximaciones asintóticas y series asintóticas para calcular estas funciones, y varios resultados relacionados con integrales.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. El primer método implica sustituir y = xv y derivar, resultando en una ecuación separable en v y x. El segundo método implica sustituir y/x = u y derivar, también resultando en una ecuación separable. El documento provee ejemplos resueltos y demostraciones de propiedades de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego resuelve un ejemplo a mano y con Derive. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento describe ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. Explica cómo separar las variables en una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, y cómo integrarla para obtener la solución primitiva. Resuelve un ejemplo numérico y muestra cómo usar el software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación diferencial de variable separable.
1. El documento describe diferentes tipos de ecuaciones de ondas lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones de ondas, la ecuación de Korteweg-de Vries, y sus soluciones como solitones. 2. La ecuación de Korteweg-de Vries admite soluciones en forma de solitones, que son ondas que mantienen su forma al propagarse. 3. También se describen métodos para obtener otras soluciones como soluciones elípticas y a través de reducciones de similitud que conducen a las ecuaciones de Pain
1. El documento describe varias funciones especiales matemáticas como la función gamma, función beta y otras.
2. La función gamma Γ(n) está definida como una integral y satisface una fórmula de recurrencia. Puede extenderse a valores negativos de n usando esta fórmula.
3. También se describen la función beta, aproximaciones asintóticas y series asintóticas para calcular estas funciones, y varios resultados relacionados con integrales.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. El primer método implica sustituir y = xv y derivar, resultando en una ecuación separable en v y x. El segundo método implica sustituir y/x = u y derivar, también resultando en una ecuación separable. El documento provee ejemplos resueltos y demostraciones de propiedades de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento presenta una introducción a las funciones de Bessel. Define la ecuación de Bessel y sus soluciones, las funciones de Bessel de primera y segunda clase Jv(x) y Yv(x). Explica las propiedades de estas funciones como sus fórmulas de recurrencia y representaciones integrales. También introduce las funciones de Bessel modificadas Iv(x) y Kv(x), y analiza el comportamiento de las funciones de Bessel para órdenes y argumentos no negativos.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAJorge Paz
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego, muestra un ejemplo resolviendo la ecuación (y - x^2y^2)dx = xdy con valores iniciales y(3)=1. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento analiza la convergencia o divergencia de varias integrales impropias. Explica que si las funciones integrales tienden a un valor finito en el límite, entonces las integrales convergen. Si las funciones no tienden a un valor finito, como cuando tienden a infinito, entonces las integrales divergen. Proporciona ejemplos de diferentes tipos de funciones y calcula si las integrales asociadas convergen o divergen.
Este documento introduce métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton. Explica cómo extender estos métodos para resolver sistemas con múltiples incógnitas mediante iteraciones sucesivas o simultáneas. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método de punto fijo a un sistema de dos ecuaciones no lineales.
Este documento presenta el método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con coeficientes homogéneos. Introduce el concepto de funciones homogéneas y cómo transformar una EDO con coeficientes homogéneos en una ecuación separable mediante el cambio de variable y=xv. El método consiste en sustituir esta relación en la EDO original para obtener una ecuación separable en x e v que puede resolverse mediante integración.
El documento describe los conceptos fundamentales para resolver la ecuación diferencial de oscilaciones de un sistema con un grado de libertad sujeto a una fuerza externa armónica. Explica que la solución consta de dos partes: la solución complementaria y la solución particular. Luego define los conceptos de frecuencia natural, amortiguamiento crítico y las condiciones de amortiguamiento sobre, crítico y sub para resolver la ecuación diferencial en cada caso.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
He aquí la solución de la ecuación del Movimiento Armónico Simple, resuelta de manera física, usando el sistema Masa-Muelle para pequeñas deformaciones.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVILjosuep30
Este documento presenta tres problemas de ingeniería civil resueltos utilizando ecuaciones diferenciales. El primer problema calcula la línea elástica de una viga sometida a carga mediante la ecuación diferencial aplicable. El segundo problema determina la deflexión de una columna que puede adoptar una configuración distinta a la recta utilizando la ecuación de pandeo. El tercer problema encuentra la deflexión de una viga con carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. El documento demuestra aplicaciones prácticas de las
Este documento describe métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y diagonalizar matrices. Explica que el método de Gauss transforma una matriz en una forma triangular resolviendo el sistema, mientras que la descomposición LU representa una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y superior para resolver sistemas de forma eficiente. También cubre técnicas como el pivoteo para mejorar la estabilidad numérica.
Este documento explica el método de integración por partes. Se presenta la fórmula clave udv = uv - vdu que permite resolver integrales del tipo ∫u'v dx resolviendo primero las integrales ∫udv y ∫vdu. Se ofrecen ejemplos para ilustrar cómo aplicar correctamente el método eligiendo u y v, y resolviendo posibles integrales iteradas.
El documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli. Explica que una ecuación diferencial es exacta si se cumple una condición de derivadas parciales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo resolver ecuaciones exactas y encontrar factores integrantes. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli mediante transformaciones que las convierten en ecuaciones lineales.
1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen cómo cambia una función de una o más variables cuando varía alguna de esas variables. Las parciales dependen de varias variables, mientras que las ordinarias dependen de una sola variable.
2) Existen métodos para resolver ecuaciones diferenciales como las de variables separables, lineales o exactas. El método del factor integrante permite convertir una ecuación no exacta en una exacta multiplicándola por una función adecuada.
3) Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar diversos problemas
En la siguiente presentación desarrollaremos un ejercicio de aplicación de las cadenas de Markov, básicamente aprenderemos a calcular la probabilidades de transición y de estado estable.
!Bienvenidos!
Este documento describe las magnitudes escalares y vectoriales, y explica conceptos clave relacionados con vectores como módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. También cubre temas como la descomposición, proyección y multiplicación de vectores, incluyendo producto escalar y producto vectorial. Finalmente, introduce el concepto de derivada de un vector y cómo puede derivarse componente a componente.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método con ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y su aplicación para integrar funciones cuya integración directa no es posible. 2) La integración por partes se basa en la regla del producto para la derivada y permite convertir el integrando original en uno más fácil de integrar. 3) Se presentan varios ejemplos detallados de cómo aplicar este método para calcular diferentes integrales.
Este documento presenta una introducción a las funciones de Bessel. Define la ecuación de Bessel y sus soluciones, las funciones de Bessel de primera y segunda clase Jv(x) y Yv(x). Explica las propiedades de estas funciones como sus fórmulas de recurrencia y representaciones integrales. También introduce las funciones de Bessel modificadas Iv(x) y Kv(x), y analiza el comportamiento de las funciones de Bessel para órdenes y argumentos no negativos.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAJorge Paz
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego, muestra un ejemplo resolviendo la ecuación (y - x^2y^2)dx = xdy con valores iniciales y(3)=1. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.
Este documento analiza la convergencia o divergencia de varias integrales impropias. Explica que si las funciones integrales tienden a un valor finito en el límite, entonces las integrales convergen. Si las funciones no tienden a un valor finito, como cuando tienden a infinito, entonces las integrales divergen. Proporciona ejemplos de diferentes tipos de funciones y calcula si las integrales asociadas convergen o divergen.
Este documento introduce métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton. Explica cómo extender estos métodos para resolver sistemas con múltiples incógnitas mediante iteraciones sucesivas o simultáneas. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método de punto fijo a un sistema de dos ecuaciones no lineales.
Este documento presenta el método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con coeficientes homogéneos. Introduce el concepto de funciones homogéneas y cómo transformar una EDO con coeficientes homogéneos en una ecuación separable mediante el cambio de variable y=xv. El método consiste en sustituir esta relación en la EDO original para obtener una ecuación separable en x e v que puede resolverse mediante integración.
El documento describe los conceptos fundamentales para resolver la ecuación diferencial de oscilaciones de un sistema con un grado de libertad sujeto a una fuerza externa armónica. Explica que la solución consta de dos partes: la solución complementaria y la solución particular. Luego define los conceptos de frecuencia natural, amortiguamiento crítico y las condiciones de amortiguamiento sobre, crítico y sub para resolver la ecuación diferencial en cada caso.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
He aquí la solución de la ecuación del Movimiento Armónico Simple, resuelta de manera física, usando el sistema Masa-Muelle para pequeñas deformaciones.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVILjosuep30
Este documento presenta tres problemas de ingeniería civil resueltos utilizando ecuaciones diferenciales. El primer problema calcula la línea elástica de una viga sometida a carga mediante la ecuación diferencial aplicable. El segundo problema determina la deflexión de una columna que puede adoptar una configuración distinta a la recta utilizando la ecuación de pandeo. El tercer problema encuentra la deflexión de una viga con carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. El documento demuestra aplicaciones prácticas de las
Este documento describe métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y diagonalizar matrices. Explica que el método de Gauss transforma una matriz en una forma triangular resolviendo el sistema, mientras que la descomposición LU representa una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y superior para resolver sistemas de forma eficiente. También cubre técnicas como el pivoteo para mejorar la estabilidad numérica.
Este documento explica el método de integración por partes. Se presenta la fórmula clave udv = uv - vdu que permite resolver integrales del tipo ∫u'v dx resolviendo primero las integrales ∫udv y ∫vdu. Se ofrecen ejemplos para ilustrar cómo aplicar correctamente el método eligiendo u y v, y resolviendo posibles integrales iteradas.
El documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli. Explica que una ecuación diferencial es exacta si se cumple una condición de derivadas parciales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo resolver ecuaciones exactas y encontrar factores integrantes. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli mediante transformaciones que las convierten en ecuaciones lineales.
1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen cómo cambia una función de una o más variables cuando varía alguna de esas variables. Las parciales dependen de varias variables, mientras que las ordinarias dependen de una sola variable.
2) Existen métodos para resolver ecuaciones diferenciales como las de variables separables, lineales o exactas. El método del factor integrante permite convertir una ecuación no exacta en una exacta multiplicándola por una función adecuada.
3) Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar diversos problemas
En la siguiente presentación desarrollaremos un ejercicio de aplicación de las cadenas de Markov, básicamente aprenderemos a calcular la probabilidades de transición y de estado estable.
!Bienvenidos!
Este documento describe las magnitudes escalares y vectoriales, y explica conceptos clave relacionados con vectores como módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. También cubre temas como la descomposición, proyección y multiplicación de vectores, incluyendo producto escalar y producto vectorial. Finalmente, introduce el concepto de derivada de un vector y cómo puede derivarse componente a componente.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método con ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y su aplicación para integrar funciones cuya integración directa no es posible. 2) La integración por partes se basa en la regla del producto para la derivada y permite convertir el integrando original en uno más fácil de integrar. 3) Se presentan varios ejemplos detallados de cómo aplicar este método para calcular diferentes integrales.
1) El documento presenta el método de integración por partes y explica cómo se puede utilizar cuando la integración de una función no es posible mediante otras fórmulas. 2) La integración por partes se basa en la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. 3) El documento provee un acrónimo LIATE y varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método de integración por partes.
El documento presenta el método de integración por partes. (1) La integración por partes permite integrar funciones cuyas integrales no se pueden encontrar por otros métodos. (2) Se basa en la regla del producto para derivadas y consiste en separar el integrando en dos funciones y aplicar la fórmula. (3) Se proveen ejemplos detallados de cómo aplicar el método.
1. La integración por partes es un método para integrar funciones que involucran el producto de dos funciones, al aplicar la regla del producto de la derivada pero en sentido inverso.
2. El procedimiento implica separar la función integranda en dos partes, una igual a u y la otra junto con dx igual a dv, luego usar la fórmula de integración por partes.
3. Los ejemplos muestran cómo aplicar el método para diferentes funciones integrandas, reduciendo en cada paso la complejidad hasta lograr integrar.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraJoe Arroyo Suárez
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Inicia definiendo ecuaciones diferenciales de variables separables y cómo resolverlas mediante integración. Luego presenta ejemplos ilustrativos. También define ecuaciones diferenciales reductibles a variables separables, y propone ejercicios de aplicación.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera Joe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la fronteraJoe Arroyo Suárez
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Presenta definiciones y ejemplos de ecuaciones diferenciales de variables separables y reductibles a variables separables. Incluye problemas resueltos como ejercicio para comprender estos conceptos.
El documento describe diferentes técnicas para integrar funciones. Presenta la integración directa, la integración por sustitución, la integración por partes y la sustitución trigonométrica. Incluye ejemplos resueltos de cada técnica y propiedades fundamentales de la integración.
Este documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables. Explica que estas ecuaciones pueden resolverse directamente mediante integración luego de separar las variables. Detalla los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen factorizar la ecuación, separar las variables, integrar e identificar la solución. También aborda cómo resolver problemas con condiciones iniciales utilizando la solución general y los valores iniciales dados.
Este documento presenta métodos para resolver integrales mediante la integración por partes y las identidades trigonométricas. Explica que la integración por partes permite resolver integrales no inmediatas identificando una parte de la integral y dv con el resto. También describe cómo resolver integrales trigonométricas usando identidades como sen2x = 1 - cos(2x)/2 y cambios de variable. Proporciona ejemplos resueltos aplicando estos métodos.
Este documento presenta varios temas relacionados con la resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como el de los coeficientes indeterminados y la variación de parámetros para resolver ecuaciones homogéneas y no homogéneas. También cubre temas como ecuaciones diferenciales separables, lineales y alrededor de puntos ordinarios.
El documento describe diferentes técnicas para integrar funciones trigonométricas. Explica la integración por partes y cómo usar identidades trigonométricas para integrar expresiones de la forma sin(mx)cos(nx)dx, sin(mx)sin(nx)dx y cos(mx)cos(nx)dx. También cubre estrategias para evaluar integrales de tan(mx)sec(nx)dx usando sustituciones trigonométricas. Un ejemplo ilustra cada método.
Este documento describe la técnica de integración por sustitución o cambio de variable. Explica que cuando una integral no es inmediata, es necesario transformarla en otra integral conocida mediante un cambio de variable. Presenta nueve ejemplos resueltos que ilustran cómo realizar este tipo de cambios para simplificar la integral original.
Este documento presenta los conceptos y métodos de integración indefinida y definida. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como integración inmediata, sustitución o cambio de variables e integración por partes. También incluye aplicaciones como cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden y segundo orden. Está dividido en cinco unidades que cubren temas como definiciones básicas de ecuaciones diferenciales, clasificación, resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante métodos de variables separables y ecuaciones diferenciales exactas, y resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden. La unidad final cubre la resolución de ecuaciones diferenciales en series de potencias.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se definen conceptos como orden, grado, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. También explica cómo pueden originarse ecuaciones diferenciales a partir de problemas geométricos o de otras ciencias. Finalmente, describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 1 sobre la integral indefinida. Introduce la definición de antiderivada o integral indefinida y explica cómo encontrar antiderivadas algebraicamente mediante fórmulas estándares, propiedades y diferentes técnicas como la integración directa y la integración por sustitución o cambio de variable. El objetivo es enseñar a calcular antiderivadas de funciones algebraicamente.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y resuelve varios ejercicios relacionados. Explica conceptos básicos como ecuaciones diferenciales de primer orden, lineales y no lineales. Luego, resuelve ejercicios aplicando métodos como variables separables y determinando si una ecuación es exacta. Finalmente, modela una situación de contaminación de un lago usando una ecuación diferencial.
2. SOLUCION INTEGRALES
1)
∫ X√1 − X2
dx
U= 1-X^2
DU=-2X dx
-DU/2 =x dx
∫ ((−
du
2
) ×
√u )dx
(−1/2)∫ (u
1
2) dx
(−1/
2)∫ (
u(
1
2
+1)
1
2
+1
)dx
(−
1
2
) × (
u
3
2
3
2
) + c
MIRAMOS Y ANALIZAMOS LA INTEGRAL. EN ESTE CASO COMO PODEMOS
OBSERVAR PODEMOS RESOLVERLA A TRAVES DEL METODO DE SUSTITUCION
DEBIDOS A QUE UNA ES DERIVADA DE LA OTRA POR LO QUE PROCEDEMOS A
HACER EL CAMBIO DE VARIABLE.
GENERAMOS UNA VARIABLE
PARA HACEL EL CAMBIO Y
SUSTITUCION
PROCEDEMOS HA HACER LA DERIVADA IMPLICIDA DE LA VARIABLE QUE
GENERAMOS DEACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA DERIVACION DONDE
SE ESTABLECE QUE LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO Y EN EL
EXPONENCIACION SE BAJA EL EXPONENTE Y SE RESTA UNO. PROCEDEMOS
A DESPEJAR X DX
REEMPLAZAMOS EN LA ECUACION LAS VARIABLES QUE GENERAMOS ES
DECIR REEEMPLAZOMOS DU/2 Y U EN LAS VARIABLES
CORRESPONDIENTES
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA DERIVACION LA CONSTANTE
SALE DE LA INTEGRAL
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION PARA INTEGRAR
UN EXPONENCIAL SE SUMA UNO AL EXPONENTE Y SE DIVIDE POR EL
EXPONTENTE MAS UNO
OBTENEMOS LA INTEGRAL Y SUMAMOS UNA CONSTANTE CARACTERISTICA
DE LA INTEGRACION ESTA ES LA RESPUESTA DE LA INTEGRAL DADA EN EL
PRINCIPIO LO QUE RESTA ES SIMPLIFICAR
3. (−
1
2
) × (
2u
3
2
3
) +
c
(−
2
6
) u
3
2 + c
((−
1
3
) ((1 − x2)
3
2)) +
c
2)
∫ (sin ^3x)(cos ^2x)dx
u= cosx
u^2=cos^2
cos^2x+ sin^2x=1
u^2= 1-sin^2x
sin^2x=1-u^2
du=-sinx dx
-du=sinx
SIMPLIFICAMOS LA EXPRESION. LAS PROPIEDADES DE LAS FRACCION
ESTABLECEN ALGO DENOMINADO COMUNMENTE COMO ‘LEY DE LA
OREJA’ OBTENIENDO (
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
) = (
𝐴∗𝐷
𝐵∗𝐶
)
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LAS PROPIEDADES DE LAS
FRACCIONES SE MULTIPLICA EN LINEA. POR LO QUE EN ESTE CASO SE
MULTIPLICARIA CON LA CON LA CONSTANTE
DESPUES DE SIMPLIFICAR PROCEDEMOS A SUSTITUIR LAS
VARIABLES ANTES GENERADAS POR LOS TERMINOS
INICIALES DE LA INTEGRAL
MIRAMOS Y ANALIZAMOS LA INTEGRAL. EN ESTE CASO COMO
PODEMOS OBSERVAR PODEMOS RESOLVERLA A TRAVES DEL
METODO DE SUSTITUCION DEBIDOS A QUE UNA ES DERIVADA DE LA
OTRA POR LO QUE PROCEDEMOS A HACER EL CAMBIO DE VARIABLE.
GENERAMOS UNA VARIABLE PARA HACEL EL CAMBIO Y SUSTITUCION DONDE
U=COSX. ESTE CASO ES ESPECIAL DEBIDO A QUE DEBEMOS DESCOMPONER
LOS FACTORES ES DECIR DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA
EXPONENCIACION (sin ^3𝑥) = (sin ^2𝑥)(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥, POR LO QUE LA
VARIABLE GENERADA DEBE IR EN TERMINO CUADRATICO. EN ESTE CASO
COMO TENEMOS SENO Y COSENO UNO ES DERIVADA DE LA OTRA
OBTENEMOS DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES TRIGONOMETRICAS QUE
cos^2x+ sin^2x=1 CON ESTO PODEMOS DESPEJAR SIN^2X PARA PODER
REEMPLAZAR EN LA INTEGRAL Y OBTENER TODOS LOS TERMINOS EN
RELACION A UNA VARIABLE QUE EN ESTE CASO ES U POR ULTIMO
PROCEDEMOS A DERIVAR IMPLICITAMENTE PARA OBTENER DU
4. ∫ (cos ^2x)(sin ^2x)(sinx)dx
∫ (u2)(1 − u2)du
∫ (u2
− u4
)du
∫ (u^2 du − ∫ u^4 )du
(
u3
3
) − (
u5
5
) + c
(
cos3
3
) − (
cos5
5
) +
c
3. Tenemos la integral
∫
cosx + sinx
sinx
dx
Aplicamos la identidad: sin (2x)=2cos(x).sin(x)
= ∫
cosx + sinx
2cosx. sinx
dx
PROCEDEMOS A REEMPLAZAR LA VARIABLE QUE GENERAMOS Y LA
DEJAMOS EN TERMINOS DE UN
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICASION REALIZAMOS LA
MULTIPLICASION DISTRIBUTIVA OBTENIENDO UNAS INTEGRAL MAS SIMPLE
ANALIZAMOS LA INTEGRAL DEBIDO QUE ESTA SEPARADA POR UN
MENOS DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION
PODEMOS SEPARARLAS Y OBTENER DOS INTEGRALES MAS SENCILLAS
OPARA DESARROLLAR
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION PARA INTEGRAR UN
EXPONENCIAL SE SUMA UNO AL EXPONENTE Y SE DIVIDE POR EL EXPONTENTE
MAS UNO, OBTENIENDO EL RESULTADO DE LA INTEGRAL Y SUMANDOLE UNA
CONSTANTE.
PROCEDEMOS A REEMPLZAR LAS VARIABLES Y DEJAR EN LOS TERMINOS
INICIALES.
5. Tomamos la constante: ∫a.f(x).dx= a.∫f(x).dx
1
2
∫
cosx + sinx
cosx. sinx
dx
Aplicamos regla de la suma:
∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
=
1
2
∫
cosx
cosx. sinx
dx + ∫
sinx
cosx. sin
dx
Entonces se integra a cada una de las integrales:
Para la primera se aplica las fórmulas de sustitución universal:
U=tan (
x
2
); dx=
2
1+u2 du; sinx=
2u
1+u2; cosx=
1−u2
1+u2
= ∫
cosx
2cosx. sinx
dx = ∫
1 − u2
1 + u2
1 − u2
1 + u2 .
2u
1 + u2
.
2
1 + u2
du
Se aplica la integral común:
= ∫
1
u
du= ln (u)
Sustituimos: u=tan (
x
2
):
=ln (tan (
x
2
))
Entonces para la segunda primero se aplica la identidad trigonométrica:
1
cosx
= secx
= ∫ secx. dx
Se utiliza la integral: ∫ secx. dx=ln (tan(x))+sec(x))
= ln (tan(x))+sec(x))
Se simplifica:
= ln ((
1
cosx
)+ (tanx))
Finalmente se une las dos respuestas no olvidando la constante que Salió de la
integral:
1
2
Ln (tan (
x
2
))+ln ((
1
cosx
)+ (tanx))+c
Se simplifica y se encuentra el resultado:
6. =
ln (tan (
x
2
)) + ln( (
1
cosx
) + (tanx)
2
+ c
4. se Tiene la integral
∫
cosx
sinx2x + sinx
dx
Primeramente se utiliza las fórmulas de sustitución universal:
U=tan (
x
2
); dx=
2
1+u2 du; sinx=
2u
1+u2; cosx=
1−u2
1+u2
Se remplaza en la integral:
= ∫
1 − u2
1 + u2
(
2u
1 + u2)
2+
2u
1+u2
.
2
1 + u2
du
= ∫
1
u
−
2
u + 1
du
Se aplica la regla de la suma:
∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
= ∫
1
u
du − ∫
2
u + 1
du
Se integra a cada una de las integrales:
Para la primera se aplica la integral común:
= ∫
1
u
du = ln(u)
Para la segunda se primeramente sale la constante fuera de la integral:
−2 ∫
1
u + 1
du
Se aplica el método de sustitución normal:
7. ∫ f(g(x)). g(x)dx = ∫ f(u)du : u=g(x)
Entonces: v=u+1; dv=dx; du=dv.
Se sustituye:
−2 ∫
1
v
dv
Se aplicamos la integral común:= ∫
1
v
dv = ln(v)
−2ln(v)
Se sustituye a v:
−2ln(u + 1)
Finalmente se une las respuestas de las integrales respectivamente:
ln(u) −2ln(u + 1)
Y sustituimos a u: u = tan(
x
2
)
Y se encuentra el resultado:
ln (tan(
x
2
)) −2ln (tan(
x
2
) + 1) + c
5. ∫
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥 + 3𝑒 𝑥 + 2
𝑑𝑥
Primero el 𝑒2𝑥
por ley de exponentes es lo mismo que poner (e^x)² reemplazando
así en la integral
∫
(𝑒 𝑥
)2
(𝑒 𝑥)2 + 3(𝑒 𝑥) + 2
𝑑𝑥
Ahora se aplica el método de la sustitución
u= 𝑒 𝑥
du=𝑒 𝑥
Sustituyendo en la integral quedaría
8. ∫
𝑢2
𝑢2 + 3𝑢 + 2
𝑑𝑢
Aplicando la simplificación
∫
𝑢
𝑢2 + 3𝑢 + 2
𝑑𝑢
Ahora esto se resuelve por fracciones parciales o por sustitución sumando y
restando 3 pero mejor se lo puede realizar por fracciones parciales.
∫
𝑢
( 𝑢 + 1)( 𝑢 + 2)
𝑑𝑢
Se tiene en cuenta, para sacar factores lineales.
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
𝑢 + 2
Se desarrolla en cruz multiplicando los extremos sumando los medios dividiéndolos
entre la multiplicación de sus denominadores
( 𝑢 + 1) 𝐴 + (𝑢 + 2)𝐵
( 𝑢 + 1)(𝑢 + 2)
Se entiende que el denominador es el mismo de la ecuación principal por lo tanto
esto se cancela. Por lo tanto
𝑢 = (𝑢 + 1)𝐴 + (𝑢 + 2)𝐵
Aplicamos la ley distributiva y agrupamos los términos comunes.
𝑢 = 𝐴𝑢 + 𝐴 + 𝐵𝑢 + 2𝐵
𝑢 = 𝐴𝑢 + 𝐵𝑢 + 𝐴 + 2𝐵
Debemos sacar el valor de B y el valor de A
𝑢 = 𝑢(𝐴 + 𝐵) + 𝐴 + 2𝐵
9. Se debe sacar el termino u a dividir y como resultado obtendríamos 1
1 = (𝐴 + 𝐵) + 𝐴 + 2𝐵
Entonces lo que se hace es juntar términos semejantes
Ecuación 1 = 1 = 2𝐴 + 3𝐵
El paso siguiente lo que se realiza es despejar una de las incógnitas y hallar el valor
de A y B.
1 − 2𝐴
3
= 𝐵
Reemplazo en la ecuación 1
1 = 2𝐴 + 3 (
1 − 2𝐴
3
)
Se debe cancelar lo que se pueda y se continúa con operaciones matemáticas
1 = 2𝐴(1 − 2𝐴)
Por tanto, se obtiene esta ecuación
2 ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 2
− ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 1
Esas integrales ya se las puede realizar directamente teniendo en cuenta tablas de
integración
2𝑙𝑛( 𝑢 + 2) + 𝑙𝑛( 𝑢 + 1)
Se sabe que
𝑢 = 𝑒 𝑥
2𝑙𝑛( 𝑒 𝑥) + 2 + 𝑙𝑛( 𝑒 𝑥) + 1 + 𝑐
6. ∫ √
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑑𝑥
10. el primer paso es empezar multiplicando el numerador y el denominador de modo
que el numerador es un cuadrado perfecto.
∫ √(
𝑥 + 1
𝑥 − 1
) ∗ (
𝑥 + 1
𝑥 + 1
) 𝑑𝑥
Esto simplifica de la siguiente manera
∫ √
( 𝑥 + 1)2
𝑥 − 12
𝑑𝑥
Se usa la propiedad de los radicales
√
𝑝
𝑞
𝑎
= √ 𝑝𝑎
√ 𝑞𝑎
Podemos dividir esta raíz cuadrada de una fracción en una fracción de raíces
cuadradas
∫
√( 𝑥 + 1)2
√𝑥 − 12
𝑑𝑥
En este caso se puede simplificar el numerador
∫
𝑥 + 1
√𝑥 − 12
𝑑𝑥
A partir de la función original sabemos que 1 + x debe ser positivo
Ahora podemos dividir esto en fracciones separadas.
∫
1
√1 − 𝑥2
+
𝑥
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
Ahora podemos usar una propiedad de integrales para dividir esto en dos:9
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
𝑥
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
De esta manera obtenemos dos integrales en una forma que se debe resolver. El
primero es de la forma
∫
1
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢
Con u = x y a = 1. Y el segundo es de la forma de
∫
𝑢
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢
11. Con u = x y a = 1. se debe encontrar ambos en esta tabla para que pueda ver que
la solución.
𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
1
) + 𝑐1 + (−√12 − 𝑥2) + 𝑐2
Simplificar y la combinación de las dos constantes de integración en una sola
obtenemos
𝑠𝑖𝑛−1( 𝑥) + (−√1 − 𝑥2) + 𝑐
7.
∫ tan5 (x)sec7(x). dx
Se aplica la siguiente propiedad algebraica para así poder descomponer la función
xa
= xa−1
. x
∫ tan4
x, tanx. sec7
x . dx
Se aplica la propiedad algebraica que dice xa
= (x2
)
a
2. a > 2, a si es par
tan4
x = (tan2
x)2
∫(tan2
x)2
. tanx, sec7
x . dx
Aplicamos la identidad pitagórica tan2
x = 1 − sec2
x
∫(1 − sec2
x)2
. tanx. sec7
. dx
Se aplica la integración por sustitución dándole una variable auxiliar a uno de los
términos
u = secx du = secx. tanx. dx
dx =
du
secx. tanx
∫(1 − u2
)2
. tanx. u7
du
tanx. u
Aquí Se realiza la simplificación donde se cancela la u del denominador
quedando así u6
y se cancela tan x
∫ u6
(u2
− 1)2
du
12. Se desarrolla la multiplicación de los términos
∫( u10
− 2u8
+ u6
)du
Se aplica la regla de suma o resta ∫ f (x) ± g(x)dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x) ± dx
=∫ u
10
du − ∫ 2 u8
du + ∫ u6
du
Se aplica la fórmula de integración ∫ xa
dx =
xa+1
a+1
, ≠ 1 y la que dice
∫ a. f(x). dx = a. ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
=
u11
11
−
2u9
9
+
u7
7
+ c
Se remplaza los términos
=
sec11
x
11
−
sec9
x
9
+
sec7
x
7
+ c
1
11
. sec11
x −
1
9
. sec9
x +
1
7
sec7
x + c
8)
∫ 𝑥3√1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥
Se aplica el método de integración por sustitución ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 , 𝑢 =
𝑔(𝑥)
U=𝑥2 du= 2xdx
Se despeja dx
dx =
𝑑𝑢
2𝑥
=∫ 𝑥3
√1 + 𝑢
𝑑𝑢
2𝑥
=∫
𝑥2
√1+𝑢
2
. 𝑑𝑢
U=𝑥2
=∫
𝑢√1+𝑢
2
. 𝑑𝑢
Se saca la constante por la propiedad que dice ∫ a. f(x). dx = a. ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
13. 1
2
∫ 𝑢√1 + 𝑢. 𝑑𝑢
Después de esto se vuelve aplicar el método de sustitución
m= u+1 dm=du du=dm
1
2
∫ 𝑢√ 𝑚. 𝑑𝑚
Se despeja u=m-1
1
2
∫(𝑚 − 1)√ 𝑚. 𝑑𝑚
Ampliamos la integral aplicando la ley distributiva
1
2
∫(𝑚
3
2 − √ 𝑚). 𝑑𝑚
Aplicamos la regla de la suma repartiendo los factores y las constantes para cada término
∫ f (x) ± g(x)dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x) ± dx
1
2
∫(𝑚
3
2. 𝑑𝑚 −
1
2
∫ √ 𝑚) . 𝑑𝑚
Aquí ya realizamos las integrales donde para el primer factor se aplica la propiedad que
dice ∫ xa
dx =
xa+1
a+1
, ≠ 1
1
2
∫ 𝑚
3
2. 𝑑𝑚 =
2𝑚
5
2⁄
5
Para la otra integral aplicamos la propiedad de las raíces √ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛
1
2
∫ √ 𝑚) = ∫ 𝑚
1
2
Y aquí ya aplicamos la anterior propiedad
∫ 𝑚
1
2 =
2𝑚
3
2⁄
3
=
1
2
.
2𝑚
5
2⁄
5
−
1
2
.
2𝑚
3
2⁄
3
+ 𝑐
Aquí ya simplificamos lo que más se puede restando los
1
2
y el 2
𝑚
5
2⁄
5
−
𝑚
3
2⁄
3
+ 𝑐
14. Aquí ya remplazamos por quien era la variable m donde m= u+1
1
5
(𝑢 + 1)
5
2⁄
−
1
3
(𝑢 + 1)
3
2⁄
+ 𝑐
Aquí remplazamos a u que la utilizamos como una variable auxiliar donde u=𝑥2
𝑅 =
1
5
(𝑥2
+ 1)
5
2⁄
−
1
3
(𝑥2
+ 1)
3
2⁄
+ 𝑐