Programa PSU UDP. Clase de Matemáticas.

1. Aritmética I ConjuntosNuméricos Sebastián Lavanderos B.

3. Números Cardinales

4. NúmerosEnteros

5. NúmerosRacionales

6. NúmerosIrracionales

7. NúmerosReales

8. Propiedades

9. Desafíos y ProblemasNuméricos2

10. NúmerosNaturales

12. Pares e Impares Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 2n Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n-1 5

13. Pares e Impares Par + Par = Par Par + Impar = Impar Impar + Impar = Par 6

14. NúmerosPrimos Todos son númerosimpares (menos el 2). Sólo se puedendescomponer en 1 y ellosmismos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… 7

15. Divisibilidad Para saber si un número “x” es divisible por un número “y” aplicamos las siguientes reglas: 8

16. Divisibilidad 2 - Su última cifra es un número par o el cero. Ejemplo: 48 8 es par 90 termina en 0 54 4 es par 9

17. Divisibilidad 3 – La suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 42 4+2=6, y 6 es múltiplo de 3 10

18. Divisibilidad 4 – Las 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4, o sus 2 últimas cifras son 0. Ejemplo: 708 8 es múltiplo de 4. 11

19. Divisibilidad 5 – Termina en 5 ó 0. Ejemplo: 80 termina en 0. 105 termina en 5. 12

20. Divisibilidad 6 – El número es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplo: 42 es divisible por 2 (21) y por 3 (14). 13

21. Divisibilidad 9 – La suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 3.699 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (3+6+9+9=27, es múltiplo de 9). 14

22. Divisibilidad 10 – Termina en 0. Ejemplo: 3.840 500 30 15

23. Mínimo Común Múltiplo Descomposición prima de todos los números. Multiplicación de todos los factores. El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. 16

24. Máximo Común Divisor Se calcula entre 2 números. Calculamos el M.C.M. y multiplicamos los factores que dividen a ambos números. Corresponde al mayor nº. Que los divide sin dejar resto. 17 Sólo el 2 multiplica a ambos números, por lo tanto el M.C.D es 2.

25. Operaciones en Naturales Adición (a+b) Clausura: a+b siempre pertenece a N. Conmutativa: a+b = b+a Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c No hay elemento neutro. 18

26. Operaciones en Naturales Sustracción (a-b) a > b 19

27. Operaciones en Naturales Multiplicación (a * b) Clausura Conmutativa Asociativa Elemento Neutro: 1 20

28. Operaciones en Naturales División (a / b) Sólo si a es divisible por b (no existen los decimales, por lo tanto el resto debe ser 0). 21

29. Números Cardinales

30. Números Cardinales IN + 0. Adición con elemento neutro. Multiplicación absorbente (cualquier cosa multiplicada por 0 es 0). División: a/b b ≠ 0. 23

31. NúmerosEnteros

32. Números Enteros 25

33. Operaciones en Enteros Adición (a+b) Igual Signo: Se suman valores absolutos y se mantiene el signo. Propiedades Clausura, Conmutativa, Asociativa Elemento Neutro: 0 Inverso Aditivo: El número a que sumado al número b da 0. Es el número con signo cambiado. Ejemplo: Inverso aditivo de 3 = -3 26

34. Operaciones en Enteros Sustracción (a-b) Concepto del Tengo(+) y Debo(-). No es asociativa ni conmutativa. Suma Ordenada. Ejemplos: 7-4=3 4-7=-3 27

35. Operaciones en Enteros Sustracción (a-b) Método Analítico Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar. Si los dos signos son positivos, el resultado será positivo.Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20 Si los dos signos son negativos, el resultado será negativo.Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20 Si los signos son distintos resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. El signo será el signo del entero que produjo el valor absoluto mayor. Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8 Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8 28

36. Operaciones en Enteros Multiplicación (a*b) 29

37. Operaciones en Enteros División (a:b) 30

38. Prioridades Paréntesis (del más interior, al más exterior). Potencias Multiplicaciones/Divisiones Sumas/Restas 31 SIEMPRE de Izquierda a Derecha

39. NúmerosRacionales

40. Números Racionales (Q) Se pueden escribir como fracción: 33 𝑎𝑏 numerador (dividendo) denominador (divisor)

41. Números Racionales (Q) Ejemplos: −0,25 ; −34 ; −11,5 ; −827 ; −9 ; 0,66666… 34

42. Propiedades de las Fracciones Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor 𝑎𝑏×𝑐𝑐 Simplificación: División del numerador y denominador por el mismo factor 𝑎𝑏÷𝑐𝑐 35 Estos procedimientos NO CAMBIAN el valor de una fracción

43. Operatoria de Fracciones Suma: 𝑎𝑏+𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑 Producto: 𝑎𝑏×𝑐𝑑=𝑎𝑐𝑏𝑑 División: 𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏×𝑑𝑐=𝑎𝑑𝑏𝑐 36

44. Número Mixto Forma simplificada de escribir fracciones con numeradores muy grandes. 𝐴𝑏𝑐=𝐴𝑐+𝑏 𝑐 37 7∙23=143 No Confundir:

45. Transformaciones de Racionales De Fracción a Decimal: Se divide el numerador por el denominador. Ejemplo: 12=0,5 38

46. Transformaciones de Racionales De Decimal Finito a Fracción: Se cuentan los decimales, el denominador de la fracción corresponde a tantos 0 como decimales tenga la fracción, con un 1 al principio. El numerador es el número entero sin coma. 0,125=1251000 1,125=11251000 ó 11251000 39

47. Transformaciones de Racionales De Decimal Periódico a Fracción: El numerador es el periodo. El denominador son tantos 9 como cifras tenga el periodo. Los números detrás de la coma se le suman a la fracción. 1,45=1+0,45=1+4599=14499 40

48. Transformaciones de Racionales De Decimal Semiperiódico a Fracción: El Numerador es el número sin la coma menos lo que está antes del periodo. El denominador es un número con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo. 0,527=527−5990=522990=2955 41

49. Comparación de Fracciones Multiplicación Cruzada de las fracciones. Se deja el resultado de la multiplicación en la fracción de la cual sacamos el numerador. La fracción con número más grande es mayor que la otra. 211 𝑦317 ->2×17 ∧ 3×11 ->34∧33 42

50. NúmerosIrracionales

51. Números Irracionales Decimales que no pueden ser expresados como una fracción. Tienen infinitas cifras decimales, pero sin un periodo. Ejemplos: 8125, 𝜋 44

52. NúmerosReales

53. Definición Unión de los conjuntos Racional e Irracional. Recta numérica en su máxima expresión de infinidad. 46

54. Diagrama de Conjuntos 47

55. Desafíos y ProblemasNuméricos

56. Cuadrados Mágicos Cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5… n x n. Todas las sumas de sus números (verticales, horizontales o diagonales) tienen el mismo resultado: La Constante Mágica (K). 49

57. Regularidades Numéricas Secuencias numéricas que cumplen un patrón. 12,23,34,45,56,… Numerador y Denominador: Aumenta de 1 en 1. 𝑛𝑛+1 Donde n va a ser el número del término en la secuencia. 50

58. Ejercicios

59. Ejercicios El valor de la siguiente expresión corresponde a: 13+3615+615 56 915 52 2518 6554 8063

60. Ejercicios Si –P es un entero negativo: P es un entero positivo. P ∈ IN P < -P Sólo I Sólo II Sólo III I y II I, II y III 53

61. Ejercicios De la siguientes aseveraciones: 24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el MCM. El que un número sea natural nos asegura totalmente que también es entero, sin embargo, lo inverso no es siempre cierto. El MCD entre 6, 9, 12 y 15 es 3. Sólo II I y II I y III II y III I, II y III 54

62. Ejercicios ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre 13 𝑦12? 0,4 0,2 1327 Sólo I Sólo II Sólo III I y III II y III 55

63. ¿Dudas?