Este documento describe los conceptos de movimiento en el plano y movimiento parabólico. Explica que el movimiento en el plano implica dos movimientos simultáneos en las direcciones x e y, y que cada movimiento es independiente. Luego presenta las ecuaciones para calcular la velocidad resultante, tiempo, distancia y otros parámetros del movimiento en el plano. También explica el movimiento parabólico, que involucra un movimiento horizontal y uno vertical, y presenta las ecuaciones correspondientes para analizar este tipo de movimiento.

1. MOVIMIENTOS EN EL PLANO
DIEGO RINCON MARTINEZ
JOHANNA MUTIS MÁRQUEZ
MARÍA ALEJANDRA RODELO
ILUMINADA MACHADO
ESTIVEN SÁNCHEZ MOLINA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA LICEO MODERNO
MAGANGUÉ

2. MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Se dice que un movimiento es en el plano o bidimensional, cuando un
cuerpo está sometido a dos movimientos simultáneamente, uno
horizontal o en dirección x y otro vertical o en dirección y.
El movimiento en el plano, cumple un principio físico llamado PRINCIPIO
DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS, formulado por el científico
italiano Galileo Galilei, y que se enuncia así:

3. • Si un cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos o mas
movimientos, cada uno de ellos se cumple de forma independiente como si los
demás no existieran”
• Por ejemplo, en la figura se puede observar un nadador que atraviesa un río, el
nadador para cruzar el río está sometido a la velocidad del agua, en el sentido
horizontal y también a la velocidad de sus brazos, en el sentido vertical. Si
quisiéramos determinar el tiempo que el nadador requiere para atravesar el río,
solo utilizaríamos la velocidad que le imprimen sus brazos, independientemente de
la velocidad de la corriente.

4. Al combinar estas dos velocidades, resulta una velocidad de carácter vectorial,
llamada velocidad resultante (VR), la cual se calcula de la siguiente manera:
y el ängulo teta, se calcula así:

5. • Si del movimiento se conoce la velocidad resultante, y el ángulo que forma esta,
respecto de la horizontal, las componentes horizontales y verticales de dicha
velocidad, se determinaran así:
• Donde:
• Vx = Es la velocidad de la corriente
• Vy = Es la velocidad del cuerpo
• VR = Es la velocidad resultante del movimiento
• Θ = Es el ángulo (Teta) que forma la velocidad resultante respecto de la horizontal.
• Sen = Razón trigonométrica seno, e igual al cociente entre el lado opuesto al ángulo
y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
• Cos = Razón trigonométrica Coseno, e igual al cociente entre el lado adyacente al
ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
• Tan = Razón trigonométrica Tangente, e igual al cociente entre el lado opuesto y el
lado adyacente al ángulo, en un triángulo rectángulo.

6. • En el caso de que el nadador se dirija en el sentido de la corriente o en contra de
ella, la velocidad resultante, será:

7. • EJEMPLO 1: Un nadador que en aguas tranquilas nada con una velocidad de 3m/s,
desea atravesar un rió de 20m de ancho y cuyas aguas se mueven con velocidad de
1.5m/s. calcule:
• A).La velocidad resultante del nadador, medida por un observador situado en tierra
• B).El tiempo que gasta el nadador en atravesar el río
• C).La distancia que separa el lugar de llegada al punto exacto opuesto al sitio de la
salida del nadador

8. a. La velocidad resultante del nadador (VR) es :
b. Como el movimiento es en el plano, las velocidades son independientes, luego el tiempo
que gasta el nadador depende exclusivamente de la velocidad Vy.
Despejando a t, obtenemos:
c. Se observa que la distancia en el que se desvia el nadador, depende exclusivamente de
la velocidad de la corriente y del tiempo que dura atravesando el río, luego:

9. Lanzamiento horizontal
El lanzamiento horizontal consiste en lanzar un cuerpo
horizontalmente desde cierta altura. En la siguiente
Figura puedes ver una representación de la situación:

11. • Ecuaciones
• Las ecuaciones del lanzamiento horizontal son:
• Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x
• x=x0+vx⋅t
• Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y
• vy=v0y+ay⋅t
• y=y0+v0y⋅t+12⋅ay⋅t2
• Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la
horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones
trigonométricas más habituales:

13. • Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g
, podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente
tabla. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes
cinemáticas en el lanzamiento horizontal:

14. Ecuación de posición y de trayectoria en el lanzamiento horizontal
• La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en
qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso
de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda
que, de forma genérica, viene descrita por:
• Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición en el eje
horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a. ) en la
ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión
de la ecuación de posición para el lanzamiento horizontal.

15. La ecuación de posición del lanzamiento horizontal viene dada por:
Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el
cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria, podemos
combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t,
quedando:
Donde k=12⋅v02⋅g es una constante a lo largo de la
trayectoria.

16. • Ejemplo
• Una pelota de tenis situada a 2 metros de altura es golpeada por un
jugador con su raqueta. La pelota sale despedida horizontalmente con una
velocidad de 30 m/s. Responde a las siguientes preguntas:
• a) ¿Cuanto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?
b) ¿Qué ángulo forma el vector velocidad con el eje X en el momento que
alcanza el suelo?
c) Si, antes del golpe, la pelota se encuentra a 5 metros de la red ¿A qué
altura pasa la pelota sobre la red?

17. • Cuestión a)
• La pelota llegará al suelo cuando su posición Y sea 0 (y=0). Según las
ecuaciones del lanzamiento horizontal:
• Cuestión b)
• Para calcular el ángulo que forma el vector velocidad con el eje X,
utilizaremos la siguiente expresión:

18. • Para resolverlo calcularemos vx e vy:
• Una vez que ya tenemos los datos de la velocidad, podemos obtener el
ángulo:

19. • Cuestión c)
• Para calcular la altura a la que pasa la pelota sobre la red, en primer lugar
deberemos saber en que instante de tiempo pasa por encima de ella. Para
ello, sabiendo que la pelota se encuentra a 5 m y que avanza con un m.r.u.
a 30m/s:

20. • En ese instante de tiempo la pelota se encuentra justo sobre la red, basta
con calcular su posición y habremos resuelto el problema:

21. Concepto y Representación
• MOVIMIENTO PARABÓLICO
El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en
lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la
horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la
situación.

23. • El movimiento parabólico o tiro oblicuo resulta de la composición de un
movimiento rectilíneo uniforme (mru horizontal) y un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia abajo (mrua
vertical).
Ecuaciones
• Las ecuaciones del movimiento parabólico son:
• Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

24. • Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y
• Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la
horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones
trigonométricas más habituales:

26. • Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g
, podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista.
Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en
el movimiento parabólico o tiro oblicuo:
• Posición (m)
• Eje horizontal
• Eje vertical

27. • Velocidad (m/s)
• Eje horizontal
• Eje vertical
• Aceleración (m/s2)

28. Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento
parabólico
• La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en
qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso
de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda
que, de forma genérica, viene descrita por:

29. • Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición en el eje
horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a. ) en la
ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión
de la ecuación de posición para el movimiento parabólico.
• La ecuación de posición del movimiento parabólico viene
dada por:

30. • Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de
trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t,
quedando:
• Como cabía esperar, se trata de la ecuación de una parábola.
• Por otro lado, será frecuente que en los ejercicios te pidan alguno de los siguientes
valores.

31. Altura máxima
• Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y, vy , vale 0.
A partir de la ecuación de velocidad en el eje vertical, e
imponiendo vy = 0, obtenemos el tiempo t que tarda el cuerpo
en llegar a dicha altura. A partir de ese tiempo, y de las
ecuaciones de posición, se puede calcular la distancia al origen
en el eje x y en el eje y.
Tiempo de vuelo
• Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la posición.
Es decir, el tiempo de vuelo es aquel para el cual la altura es 0
(se llega al suelo).

32. ALCANCE
• Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto
de inicio del movimiento al punto en el que el cuerpo impacta
el suelo. Una vez obtenido el tiempo de vuelo, simplemente
sustituye en la ecuación de la componente horizontal de la
posición.
• Ángulo de la trayectoria
EL ÁNGULO DE LA TRAYECTORIA
• en un determinado punto coincide con el ángulo que el
vector velocidad forma con la horizontal en ese punto.
Para su cálculo obtenemos las componentes vx y vy y
gracias a la definición trigonométrica de tangente de un
ángulo, calculamos α:

33. Ejemplo:
• Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40
metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón
describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y
¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70
metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las
siguientes preguntas?
a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y a qué
velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

34. • Cuestión a)
• El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7
m. Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del
movimiento parabólico:
• Cuestión b)
• Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0 entonces
quiere decir que estaremos en el punto más alto de la
parábola. Recuerda que comienza a ascender y su velocidad
en el eje y va disminuyendo hasta que se anula y comienza a
ser negativa para descender.

35. Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de posición en
el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos obtenido, de
determinar la altura máxima alcanzada:
Cuestión c)
Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se
obtiene: