Este documento trata sobre la cinemática, que es el estudio del movimiento. Explica conceptos como el vector posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y diferentes tipos de movimiento como el rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado y circular uniforme. Incluye ecuaciones y ejemplos para calcular estas cantidades en diferentes situaciones de movimiento.

1. CINEMÁTICA

2. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO
• El movimiento es el cambio que experimenta
la posición de un cuerpo respecto a otro, que
se toma como referencia.
• Un cuerpo se mueve cuando cambia la
posición que ocupa respecto a un sistema de
referencia a medida que transcurre el
tiempo.

3. Vector posición
• El vector posición, r de un punto P es aquel
que tiene por origen el del sistema de
referencia y por extremo la posición que
ocupa el punto en ese instante.
A esta ecuación se la denomina ecuación del
movimiento.

4. Vector desplazamiento y trayectoria
• El vector desplazamiento, Δr es la variación
que experimenta el vector posición en cierto
tiempo, Δt = t − t0. Su módulo mide la
distancia que separa dos posiciones, P0 y P.
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) son las
ecuaciones paramétricas del
movimiento. Si eliminamos la variable
tiempo entre ellas, se obtiene una ecuación de la
forma f (x, y, z) = 0, que se corresponde
con la línea que describe el punto en su
desplazamiento y que denominamos trayectoria.
La trayectoria es la línea que describe el extremo
del vector posición a medida que transcurre el
tiempo.

5. VELOCIDAD
• La rapidez o celeridad es
directamente proporcional a la
distancia recorrida e
inversamente proporcional al
tiempo empleado en recorrerla
Si recogemos en una única magnitud la
rapidez con que realizamos
el movimiento, la dirección en que nos 
movemos y el sentido en que lo
hacemos.
v
Esa magnitud, vectorial, recibe el nombre
de velocidad

6. La velocidad media
Es la relación que existe entre el cambio de
posición de un cuerpo, caracterizado por el
vector desplazamiento, y el tiempo que
transcurre hasta que se produce dicho
cambio:

7. Velocidad instantánea
• La velocidad media no permite conocer la
velocidad del móvil en cada instante. La
velocidad instantánea es el vector al que
tiende el vector velocidad media cuando el
intervalo de tiempo transcurrido, Δt, tiende a
cero (Δt → 0). Se calcula derivando el vector
posición respecto al tiempo:

8. Velocidad instantánea (2)
La expresión de la velocidad instantánea
en coordenadas cartesianas es:
su módulo se calcula a partir de la expresión:

9. Velocidad instantánea (3)
• La velocidad la podemos expresar como producto del
módulo, v, por el vector unitario, uT , en la dirección
de la velocidad (tangente a la trayectoria) y sentido,
el de avance del movimiento

10. VELOCIDAD Y GRÁFICOS POSICIÓN-
TIEMPO EN MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS
• Caso 1:La velocidad es constante.
• Un movimiento rectilíneo cuya velocidad es constante
viene representado por una recta en el diagrama
posición-tiempo. La pendiente de esa recta coincide
con el valor de la velocidad en dicho movimiento.

11. VELOCIDAD Y GRÁFICOS POSICIÓN-
TIEMPO EN MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS
• Caso 2: La velocidad es variable
• Supongamos ahora que el movimiento que realiza el móvil es de tal
naturaleza, que, al medir las distancias recorridas desde el origen,
se obtiene la siguiente tabla de valores, con la que construimos el
gráfico posición-tiempo de la derecha:

12. Determinación gráfica de la velocidad
• Para calcular sobre dicha gráfica la velocidad del móvil en cualquier
instante, debemos tener en cuenta tres consideraciones:
1. Estamos suponiendo que el movimiento es rectilíneo.
2. La velocidad instantánea se define como la derivada de la posición, r
(t), respecto al tiempo.
3. Desde un punto de vista geométrico, la velocidad instantánea en
cada instante coincide con la pendiente de la recta tangente a la
curva en dicho punto. En el gráfico posición-tiempo anterior hemos
representado la tangente a la curva en el instante t = 3 s.
Al considerar simultáneamente las tres afirmaciones
anteriores, obtenemos la relación:
v = tgα
• La pendiente de la recta tangente al gráfico posición-tiempo se
corresponde, en instante, con la velocidad instantánea.

13. ACELERACIÓN
• La aceleración media, am, es la relación que
existe entre la variación de velocidad que se
produce en el movimiento y el intervalo de
tiempo en que se produce dicho cambio:

14. ACELERACIÓN
• La aceleración es un vector, ya que se define como
cociente entre un vector, la variación de velocidad
(Δv), y un escalar, el tiempo (Δt) durante el cual se
produce dicha variación.
• Al tomar intervalos de tiempo cada vez más
pequeños, haciendo que Δt tienda a cero (Δt → 0),
el vector aceleración media se aproxima al vector
aceleración en un instante t0. A dicho vector se lo
denomina aceleración instantánea, a, y se calcula
derivando el vector velocidad respecto al tiempo

15. Componentes intrínsecas de la
aceleración
• A cualquier punto de la trayectoria de un móvil
le podemos asociar un sistema de referencia
formado por un eje tangente a la trayectoria y
otro perpendicular a ella. Dicho sistema de
referencia es, por tanto, intrínseco a la
trayectoria

16. Componentes intrínsecas de la
aceleración (2)
• En este sistema de referencia, el vector
aceleración instantánea, a posee, en cada
puntode la trayectoria, dos componentes: una
tangencial, at, y otra normal o centrípeta, an.

17. Componentes intrínsecas de la
aceleración (3)
• La componente tangencial de la aceleración,
at, indica cómo varía el módulo de la
velocidad, y la componente normal de la
aceleración, an, indica cómo varía la dirección
del vector velocidad. Las expresiones que nos
permiten calcularlas son:
2
dv v
at an
dt R

18. Ejemplo 1
• La posición de una partícula que se mueve en
una trayectoria recta viene dada, en metros,
por : x=7t3−2 t2+3t−1 . Calcular:
• a) la ecuación de la velocidad
• b) la ecuación de la aceleración
• c) el desplazamiento entre los 2 y los 3
segundos
• d) el espacio recorrido entre los 2 y los 3
segundos

19. Ejemplo 2
• El radio vector de un punto móvil viene dado
por las siguientes componentes, en las que x, y,
z vienen dadas en cm y t en s: x=4+3t ;
y=t3+5;z=2 +4t2
Calcular la velocidad y la aceleración cuando t=1 s

20. Ejemplo 3
• Las componentes del radio vector que define
la trayectoria de una partícula son : x=t3−5 ;
y=(3/2)t2;z=t3+6 . Calcular las aceleraciones
tangencial y normal cuando t= 1 s.

21. Ejemplo 4
• Si las coordenadas de un cuerpo en
movimiento son x = ct , y = b sen ct,
demuestra que el valor de la aceleración es
proporcional a la distancia entre el cuerpo y el
eje x. Hacer la gráfica de la trayectoria.

22. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME
• Cuando la trayectoria que describe un móvil es una línea
recta y la velocidad conque se mueve es constante, el
movimiento es rectilíneo uniforme (m.r.u.).
• En el m.r.u., al ser la trayectoria rectilínea, la velocidad es
siempre tangente a la trayectoria y no cambia de
dirección. En el movimiento rectilíneo uniforme, las dos
componentes intrínsecas de la aceleración son nulas. Es un
movimiento sin aceleración.
como Δr y v tienen igual dirección y sentido, podemos
prescindir del carácter vectorial.

24. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
• Si el objeto se mueve en línea recta y su
velocidad varía uniformemente, la
aceleración será constante. Diremos que el
movimiento es rectilíneo uniformemente
acelerado (m.r.u.a.).
En esta expresión, la
aceleración puede ser
positiva o negativa,
dependiendo de que la
velocidad aumente o
disminuya. Al despejar en
esta última expresión,
resulta

25. Distancia recorrida por un objeto que
se mueve con m.r.u.a.
• El siguiente gráfico v-t representa un m.r.u.a., ya que la
velocidad varía de modo uniforme (la variación de la
velocidad es lineal y viene representada por una recta en
el plano v-t).

26. Ecuaciones del m.r.u.a.
• Como se aprecia en la figura
de la derecha, al representar
en un diagrama r-t la
ecuación anterior, que nos
permite calcular la posición
en el m.r.u.a., obtenemos
una parábola, ya que es una
ecuación de primer grado en
r y de segundo grado en t.
Se denominan ecuaciones del m.r.u.a., y nos permiten resolver
problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en los
que desconozcamos dos de las magnitudes físicas, que serán las
incógnitas del sistema de ecuaciones que forman

27. Ejemplo 5
• Desde la punta del “Pirulí” de Madrid, que está
situado a 190 m sobre el suelo se dispara con un
tirachinas, verticalmente y hacia arriba, una
piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. En
estas condiciones, calcular:
• a) Tiempo empleado en alcanzar la altura
máxima, así como el valor de la misma.
• b) Tiempo en llegar al suelo y velocidad con la
que llega.
• c) Gráficas s-t, v-t, a-t

28. Ejemplo 6
• Una piedra cae desde un globo que desciende
a una velocidad uniforme de 12 m/s. Calcular
la velocidad y la distancia recorrida por la
piedra después de 10 s. Resolver el mismo
problema para el caso cuando el globo se
eleva a la misma velocidad.

29. Ejemplo 7
• Una persona está a punto de perder un tren. En un
desesperado intento, corre a una velocidad constante de 6
m/s. Cuando está a 32 m de la última puerta del vagón de
cola, el tren arranca con una aceleración constante de 0, 5
m/s2
• ¿Logrará nuestro viajero aprovechar su billete o habrá
perdido su billete, tiempo y aliento en un infructuoso
intento?

30. Ejemplo 8
• Determinar las constantes de un m.r.u.a.
sabiendo que el móvil tiene una velocidad de
17 m/s a los 4 s de haber comenzado a contar
el tiempo, y que en los tiempos t1= 2 s y t2= 4
s dista del origen 12 y 40 m respectivamente.
Representar gráficamente las curvas de
posición y velocidad frente al tiempo.

31. EL MOVIMIENTO CIRCULAR
El movimiento circular más sencillo es el movimiento circular uniforme
(m.c.u.), que es el de un punto que se mueve sobre una circunferencia con
velocidad constante. Por tanto, la componente tangencial de la
aceleración, at, será cero. Sin embargo, aunque la velocidad no cambia de
valor, sí cambia su dirección, ya que esta siempre es tangente al punto de la
trayectoria en el que se encuentra. En el m.c.u. sí existe componente
normal de la aceleración, an

32. Movimiento circular y ángulos
• En este tipo de movimiento es muy útil expresar estas
ecuaciones en función del ángulo, Δθ, que gira el radio, r
con el tiempo. Así pues, en lugar de la distancia recorrida,
Δs, consideramos el ángulo, Δθ, que gira r en un tiempo Δt.
• Para medir ángulos utilizamos el radián, que es el ángulo
que abarca un arco de circunferenciacuya longitud es igual
a la de su radio. Su símbolo es rad. Teniendo en cuenta la
definición de radián, resulta:

33. Velocidad angular
• El cociente de la última expresión
se denomina velocidad angular,
ω:
La relación que existe, por tanto, entre v y ω es: v = r · ω
La velocidad angular es la relación entre el desplazamiento angular, Δθ,
que realiza un móvil cuyo movimiento es circular y el tiempo, Δt, que
utiliza para ello.
La unidad S.I. de velocidad angular es el rad · s−1. No obstante, en el
lenguaje cotidiano utilizamos unidades como revoluciones o vueltas por
minuto (r.p.m.) u otras
Como ω es constante, podemos poner la expresión de la velocidad angular
en la forma

34. Movimiento circular uniformemente
acelerado
En este caso existe, al igual que en el
m.c.u., componente normal de la
aceleración, pero en este caso es
variable, y el móvil está, además,
sometido a la aceleración tangencial,
que es constante. La expresión de la
aceleración angular es:

35. Ejemplo 9
• Un disco gira con velocidad angular de 60
rpm. Si su radio es 1 m, calcular:
a) Velocidad angular en rad/s
b) Velocidad lineal de un punto de la periferia y
de un punto a 50 cm del centro
c) Número de vueltas que da en media hora.

36. Ejemplo 10
• Calcular la velocidad tangencial y la
aceleración normal de un punto P sobre la
Tierra situado a 60º de latitud (radio de la
Tierra = 6300 km)

37. Ejemplo 11
• La velocidad angular de un volante disminuye
uniformemente desde 900 a 800 rpm en 5 s.
Determinar:
a) La aceleración angular
b) El número de revoluciones efectuadas por el
volante en esos 5 s
c) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que el volante
se detenga?

38. Ejemplo 12
• Una partícula describe una circunferencia de 27
cm de radio, aumentando su velocidad de forma
constante. En el punto A su velocidad es 9 cm/s y
en el punto B, tras 0,25 s, es 10 cm/s. Calcular su
vector aceleración en el punto A
B
A

39. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
• De acuerdo con el principio de superposición, si un cuerpo
está sometido simultáneamente a dos movimientos, ambos
se superponen sin que ello dependa de si los movimientos
se producen simultánea o sucesivamente.

40. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
La velocidad del movimiento que resulta al aplicar el principio de
superposición es siempre suma vectorial de las velocidades de los
movimientos originales.

41. EL MOVIMIENTO PARABÓLICO
• El movimiento parabólico está
compuesto por dos: uno rectilíneo
uniforme en dirección horizontal y
otro rectilíneo uniformemente
acelerado en dirección vertical. Las
ecuaciones del movimiento
horizontal son:
El movimiento vertical se debe a la acción
del campo gravitatorio terrestre, que 
someteel cuerpo a una aceleración, a , g j
siendo g = 9,8 m · s−2. Por tanto, las
ecuaciones de este movimiento son:

42. EL MOVIMIENTO PARABÓLICO(2)
• La velocidad instantánea será:
Y el módulo de la velocidad:
Ecuación de la trayectoria

43. EL TIRO HORIZONTAL
• El tiro horizontal es un movimiento parabólico cuyo
ángulo de lanzamiento, θ,es nulo.
• Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones del movimiento
serán:
Velocidad instantánea y módulo:

44. EL TIRO HORIZONTAL(2)
• Si eliminamos el
tiempo, t, en las
ecuaciones que
proporcionan x e
y, obtenemos la ecuación
de la trayectoria, cuya
expresión es:

45. Ejemplo
• En las peliculas es frecuente que en una persecucion
alguien salte desde una azotea a otra por encima de
un callejon. En un caso como el del dibujo, ¿con que
velocidad hay que correr por la azotea para caer al
otro lado del callejon si saltamos horizontalmente?
¿Cuanto tiempo tardaras en llegar al otro lado?

46. Ejemplo
• Una bola que rueda sobre una superficie
horizontal situada a 20 m de altura cae al
suelo en un punto situado a una distancia
horizontal de 15 m, contando desde el pie de
la perpendicular del punto de salida. Hallar:
• a) La velocidad de la bola en el instante de
abandonar la superficie superior.
• b) La velocidad con la que llega al suelo.

47. Ejemplo 14
• Lanzamos desde el suelo una pelota con un
angulo de 45° y queremos colarla en una cesta
que esta a 7 m de distancia horizontal y a 3.5
m de altura. Calcular con que velocidad hay
que lanzarla.

48. Ejemplo 15
• Una rueda de 30 cm de radio que estaba
detenida se pone a girar verticalmente hasta
alcanzar 480 rpm en 15 s. En el momento t=10
s salta un pedazo del borde de la rueda con un
ángulo de 40°. Calcular a que distancia del
punto de partida caerá.