Este documento presenta conceptos fundamentales de la cinemática, incluyendo sistemas de referencia, trayectoria, posición, tipos de movimiento, espacio recorrido y desplazamiento. Explica que el movimiento de un cuerpo es relativo al sistema de referencia elegido y define estos conceptos clave para comprender las leyes del movimiento. También incluye ejemplos y problemas resueltos para ilustrar los conceptos.

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FÍSICA Y QUÍMICA. 4º E.S.O.
EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (CINEMÁTICA)
(PARTE I)
Contenidos:
1) Sistemas de referencia.
2) Trayectoria y posición.
3) Tipos de movimiento.
4) Espacio recorrido y desplazamiento.
5) Concepto de velocidad.
6) Concepto de aceleración.
La Cinemática es la parte de la Física que se dedica al estudio de las leyes del movimiento sin tener en
cuenta las causas que lo originan.
Los movimientos que se analizarán en esta unidad son los movimientos rectilíneos
horizontales o verticales, tanto aquellos en los que los cuerpos se mueven siempre a la misma
velocidad (uniformes), como aquellos en los que la velocidad de los cuerpos va cambiando siempre al
mismo ritmo (uniformes acelerados). Dentro de los movimientos verticales uniformemente acelerados
se estudiará especialmente el movimiento de caída libre. Finalmente, también se estudiaran las leyes
del movimiento circular uniforme.
Pero antes de estudiar las ecuaciones que permiten comprender estos movimientos es
necesario establecer una serie de conceptos: sistema de referencia, posición, trayectoria,
desplazamiento, velocidad y aceleración.
1) Sistemas de referencia
Para definir lo que es un sistema de referencia vamos a empezar por responder a la siguiente
cuestión:
¿Cuándo decimos que un cuerpo está en movimiento?
Para responder a esta pregunta vamos a plantear varias situaciones concretas que permitan
generalizar la respuesta.
Situación 1: una persona está sentada junto a su mesa de trabajo ¿Se mueve la mesa?
Respuesta: Depende. La mesa no se mueve respecto de la persona que está sentada pero no
podemos decir de forma absoluta que la mesa no se mueva. Hay observadores que pueden
afirmar categóricamente que la mesa se mueve. Por ejemplo, una persona que esté andando
acercándose a la mesa puede decir que respecto a ella la mesa se está acercando, se mueve.
Una persona situada en la Luna que esté “viendo” la mesa, puede decir que se está moviendo ya
que al estar sobre la Tierra, la mesa gira solidariamente con ella.

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Situación 2: Dos coches están circulando en una autopista en una larga recta. Los dos coches van a
una velocidad de 80 km/h en el mismo sentido. ¿Se mueven los coches?
Respuesta: Depende. Los pasajeros del coche nº 1 pueden afirmar que su coche y el coche nº 2
no se están moviendo. Lo mismo pueden decir los pasajeros del coche nº 2 respecto de los del
primer coche. Un peatón situado en el arcén de la carreta puede afirmar que los dos coches se
mueven de la misma forma. El conductor de un tercer coche que, circulando a 120 km/h les
adelanta, puede decir que los dos coches se mueven a 40 km/h. El conductor de un cuarto
coche que, circulando a 100 km/h, se cruza con ellos puede decir que los dos coches se mueven
a 180 km/h.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia con el tiempo respecto de
otro objeto o respecto de un punto que llamamos SISTEMA DE REFERENCIA del movimiento
Otros ejemplos que se pueden analizar y/o investigar:
- ¿Por qué decimos que el Sol o la Luna salen y se ponen?
- ¿Está la Tierra inmóvil respecto del Sol?
- ¿Existe el estado de reposo absoluto?
Por tanto, el movimiento de un cuerpo es relativo pues depende del sistema de referencia
elegido.
Algunas ideas importantes y básicas sobre el sistema de referencia cartesiano:
- Debemos tener en cuenta que el Sistema de Referencia (SR) es en todo momento el
OBSERVADOR que está analizando el movimiento. Es la persona que está resolviendo el problema.
- Una vez establecida la posición del SR, desde ese lugar en el espacio se establecen unos ejes
coordenados cartesianos imaginarios y un criterio de signos.
- La posición del SR es el origen de coordenadas del observador.
- Un SR inmóvil (en realidad no existen) o un SR que con movimiento rectilíneo y con velocidad
constante recibe el nombre de SR inercial.

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Problema 1.
Una persona deja caer una pelota desde lo alto de una terraza situada a 10 m de altura. Elije dos sistemas de
referencia adecuados en el análisis de la situación.
Solución:
La figura de más abajo es un esquema de la situación descrita.
Dentro de las teóricamente infinitas posibilidades a la hora de elegir
la posición del observador y establecer el sistema de referencia,
queda claro que dos lugares son “más adecuados”, el suelo del
edificio y la terraza desde donde se deja caer la pelota.
Sistema de referencia nº 1: observador situado en el suelo del
edificio
Para este sistema de referencia
la pelota se encuentra
inicialmente a +10 m (eje y).
Para este sistema de referencia
la pelota al final se encuentra a
0 m (eje y).
Sistema de referencia nº 2: observador situado en la terraza
Para este sistema de referencia la pelota se encuentra inicialmente a
0 m (eje y).
Para este sistema de referencia la pelota se encuentra finalmente a
–10 m (eje y).

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El primer paso a la hora de abordar un problema de cinemática es tener clara la situación planteada y
elegir el sistema de referencia (observador) que va a resolver la situación.
Problema 2.
A un ciclista, que se mueve a una cierta velocidad, le faltan 20 km para llegar a la meta. Elije dos sitemas de
referencia adecuados en el análisis de la situación.
Solución:
La figura de más abajo es un esquema de la situación descrita.
Dentro de las teóricamente infinitas posibilidades a la hora de elegir la posición del observador y establecer
el sistema de referencia, queda claro que dos lugares son “más adecuados”, la posición del ciclista al inicio y
la meta.
Sistema de referencia nº 1: observador situado a 20 km de la meta
Para este sistema de referencia el ciclista se encuentra inicialmente a 0 km (eje x).
Para este sistema de referencia el ciclista se encuentra finalmente a +20 km (eje x).
Sistema de referencia nº 2: observador situado en la meta
Para este sistema de referencia el ciclista se encuentra inicialmente a -20 km (eje x).
Para este sistema de referencia el ciclista se encuentra finalmente a 0 km (eje x).

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2.- Trayectoria y posición
Trayectoria: Es la línea imaginaria formada por las sucesivas posiciones que tiene un móvil a lo largo
del tiempo.
Ejemplos:
1) Cuando un coche se desplaza por una carretera se puede considerar que la trayectoria es el camino
recorrido por el coche, es decir, la propia carretera. En un desplazamiento entre dos localidades la
trayectoria seguida se puede ver muy bien sobre un mapa de carreteras.
2) La trayectoria que recorre el Sol sobre el cielo desde la Tierra.
3) Trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón desde lo alto de un acantilado,
4) Trayectoria de un avión de papel en el aire,
IMPORTANTE: La forma de la trayectoria (la forma de la curva)
depende del sistema de referencia que analiza el movimiento.
Por ejemplo: en el interior de un vagón de tren que se mueve a
velocidad constante se cae una lámpara. La trayectoria de la lámpara para un
SR situado en el interior del vagón es una línea recta, tal como se muestra en la
figura adjunta. Sin embargo, un observador que ve pasar el tren desde el
exterior, dirá que la trayectoria de la lámpara es parabólica (similar a la de la
bala de cañón del ejemplo 3 anterior).

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Posición1: es la distancia en línea recta desde el observador (origen del SR) y el móvil en un instante
determinado.
Dependiendo del texto que se consulte la posición se designa por letras diferentes. La posición
se suele designar mediante la letra “r”, la letra “s” o la letra “e”. También si el movimiento es rectilíneo
horizontal la letra suele ser una “x”. Si el movimiento es rectilíneo vertical la letra puede ser una “y”.
En los problemas resueltos anteriormente (nº 1 y 2) se han dado las posiciones iniciales y
finales de dos móviles, uno que se mueve en vertical y otro en horizontal. La expresión correcta de
estas posiciones sería:
Problema 1, SR nº 1
- Posición inicial,
yo = 10 m
- Posición final
y = 0 m
Problema 1, SR nº 2
- Posición inicial
yo = 0 m
- Posición final
y = - 10 m
Problema 2, SR nº 1
- Posición inicial,
xo = 0 km
- Posición final
x = 20 km
Problema 2, SR nº 2
- Posición inicial
xo = - 20 km
- Posición final
x = - 10 m
No debemos confundir trayectoria con
posición. La figura siguiente muestra ambos
conceptos de una forma más general. Respecto
de un sistema de referencia se han marcado tres
posiciones concretas de un móvil que se mueve
entre dos puntos, A y B, siguiendo una
trayectoria curva.
1 La posición, como otras muchas magnitudes físicas, es en realidad un vector. La definición dada aquí está
adaptada a los contenidos de 4º de E.S.O.

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Gráficas posición-tiempo
- Permiten conocer la posición de un móvil en cualquier instante.
- Se representa la posición del móvil en función del tiempo. Por tanto, la posición es la variable
dependiente y el tiempo la variable independiente.
- Estas gráficas se pueden construir de varias maneras:
- A partir de un estudio experimental del movimiento, se van registrando las diferentes
posiciones de un móvil en función del tiempo. Se obtiene así una tabla de datos que se
puede representar.
- Conocidas las leyes del movimiento (ecuaciones) es posible hacer una representación
gráfica de la función de dichas ecuaciones.
Un ejemplo: la gráfica posición-tiempo de un movimiento es la siguiente,
Interpretación de la gráfica:
- En el instante inicial (t = 0) el móvil se encuentra junto al observador (origen del SR).
- A los dos segundos se ha desplazado a 20 m (en sentido positivo), x1 = 20 m.
- Permanece a 20 m durante dos segundos (x2).
- Entre t = 4 y t = 6 s el cuerpo se aleja hasta 40 m (en sentido positivo), x3 = 40 m.
- Finalmente vuelve al punto de partida invirtiendo en ello 4 segundos.
Posteriormente podremos ver que la forma de la gráfica en sus tramos, sean estos curvos o
rectos, también aporta información acerca del tipo de movimiento2.
2 En 4º de ESO si se trata de un movimiento rectilíneo uniforme o movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado.

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3) Tipos de movimiento
Toda trayectoria puede ser descrita por una función matemática. La forma de la trayectoria nos
permite hacer una primera clasificación de los movimientos.
- Movimientos rectilíneos: son aquellos en los que la trayectoria es una línea recta, como por
ejemplo el movimiento de un avión al despegar. Son movimientos de una única dirección, aunque
pueden tener dos sentidos.
- Movimientos curvilíneos: son aquellos en los que el móvil describe una curva, cambiado
continuamente de dirección a medida que se desplaza. Dentro de los movimientos curvos se pueden
considerar varios casos particulares:
- Circular, cuando el móvil describe un círculo en torno a un punto fijo (centro) como,
por ejemplo, el movimiento de cualquier punto (excepto el centro) de las agujas de un
reloj.
- Elíptico, que es el movimiento real de planetas alrededor del Sol y de satélites
alrededor de los planetas.
- Parabólico, como el movimiento de un proyectil disparado por un cañón.
- Hiperbólico, describiendo una hipérbole, como el movimiento de algunos cometas
- Etc…
En cualquier caso, esta clasificación es muy general y será concretada más adelante, una vez
queden definidas las magnitudes velocidad y aceleración.
4) Espacio recorrido y desplazamiento
En el lenguaje habitual los términos espacio recorrido, distancia recorrida y desplazamiento se
suelen utilizar como sinónimos. Desde el punto de vista físico su definición es diferente, aunque en
ocasiones pueden coincidir en su valor.
Espacio recorrido: es la distancia recorrida por el móvil medida sobre la trayectoria. Se trata de una
magnitud escalar, es decir, es una cantidad (un número) seguida de la unidad de longitud. Siempre
será un valor positivo
Notación para el espacio recorrido entre dos puntos de una trayectoria en estos apuntes:
Desplazamiento: es la distancia en línea recta entre dos posiciones diferentes del móvil en dos
instantes concretos. El desplazamiento es una magnitud vectorial, es decir, tiene dirección y sentido.
Para determinar el desplazamiento hay que restar las posiciones final e inicial del móvil (en este
orden).
( )
( )
( )

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Ejemplos gráficos,
Hay casos en los que el espacio recorrido y el desplazamiento coinciden, serán todos aquellos
en los que la trayectoria es recta y el cuerpo se desplaza siempre en el mismo sentido. Por ejemplo, el
ciclista que se encuentra a 20 km de la meta (problema 2) desde los dos sistemas de referencia
planteados,
Desplazamiento
Distancia recorrida
Desplazamiento
( )
Distancia recorrida
Significado del signo del desplazamiento
- Movimiento horizontal: un desplazamiento positivo indica que el cuerpo se mueve de izquierda a
derecha, en sentido positivo del eje x. Un desplazamiento negativo indica que el cuerpo se mueve de
derecha a izquierda, en sentido negativo del eje x.
- Movimiento vertical: un desplazamiento positivo indica que el cuerpo se mueve de abajo hacia arriba,
en sentido positivo del eje y. Un desplazamiento negativo indica que el cuerpo se mueve desde arriba
hacia abajo, en sentido negativo del eje y.

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En aquellos movimientos en los que el cuerpo empieza y termina en el mismo punto, como el
movimiento circular, es claro que finalmente no hay desplazamiento, aunque sí hay espacio recorrido.
Desplazamiento al realizar una circunferencia completa,
Distancia recorrida al realizar un giro completo,
También puede haber un desplazamiento nulo en un movimiento rectilíneo (véase problema nº 3).
Problema 3.
La gráfica posición-tiempo de un movimiento es la siguiente
a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento entre los instantes t = 2 s y t = 6 s?
b) ¿Cuál ha sido el desplazamiento durante los últimos cuatro segundos?
c) ¿Cuán ha sido el desplazamiento total?
d) ¿Qué distancia total ha recorrido el cuerpo?
--------------------------------------------------
a)
Desplazamiento positivo, el cuerpo se ha alejado 20 m del origen del SR.
b)
Desplazamiento negativo, el cuerpo se ha movido de derecha a izquierda, hacia el origen del SR.
c)
El desplazamiento total ha sido nulo.
d)
La distancia total recorrida ha sido de 80 m

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5) Concepto de velocidad
Definición general,
La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa
el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.
Significado de la definición: dado que el desplazamiento de un cuerpo es, como hemos visto,
una diferencia entre dos posiciones diferentes, la velocidad de un objeto es una magnitud física que
marca el ritmo de cambio de posición de dicho objeto con el tiempo.
Las definiciones anteriores de espacio recorrido y desplazamiento permiten distinguir varias
velocidades: velocidad media, velocidad instantánea y velocidad media sobre la trayectoria.
Velocidad media
Es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el
tiempo empleado en realizarlo (Δt).
Se representará con la letra vm y su expresión es,
Sobre el signo de la velocidad
La velocidad tal como se ha definido es, al igual que la posición y el desplazamiento, un vector.
Por tanto el cálculo de la velocidad no solo indica su valor numérico, sino también la dirección y el
sentido del movimiento.
Dado que el Δt indica un intervalo de tiempo entre dos instantes, su valor siempre es positivo.
Por tanto, el signo de la velocidad dependerá del signo del desplazamiento (Δr) siendo la
interpretación del signo la misma a la analizada para el desplazamiento en la página 9.
Ejemplo:
Un automóvil se desplaza por un tramo recto de carretera recorriendo 40 km en 30 minutos.
La velocidad media de este trayecto es,
o también
Velocidad instantánea
Es muy probable que el automóvil del ejemplo anterior no haya mantenido siempre una velocidad de
80 km/h en realizar todo el recorrido. En ocasiones puede haber ido a una velocidad superior a 80
km/h y en otras a una velocidad menor siendo, en cualquier caso, 80 km/h un valor promedio de
velocidad.

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Para determinar el valor de la velocidad en un instante concreto (que es lo que hace el
velocímetro de un coche), debemos reducir el valor de Δt en la expresión de la velocidad a
prácticamente cero. Entonces hablamos de velocidad instantánea.
La velocidad instantánea, representada mediante una v, es la velocidad de un cuerpo en un instante
concreto, en un punto de su trayectoria.
Velocidad media sobre la trayectoria
Si consideramos la distancia real recorrida (sobre la trayectoria) en lugar del desplazamiento,
entonces hablamos de velocidad media sobre la trayectoria. Su expresión es la división del espacio
recorrido, Δs, entre el tiempo empleado en recorrerlo, Δt
La velocidad media sobre la trayectoria es un escalar, su valor siempre es positivo.
El valor de la velocidad media, en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la
trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro
sentido) sin retroceder.
Unidades de la velocidad
La velocidad es una magnitud derivada cuya unidad es una unidad de longitud dividida por una unidad
de tiempo. En el Sistema Internacional (S.I.) se debe expresar en metros por segundo (m/s), aunque
también es muy frecuente indicar la velocidad en kilómetros por segundo (km/s).
Ejemplo de conversión de km/h a m/s y viceversa:

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Problema 4.
El movimiento de un cuerpo está representado por los datos recogidos en la siguiente tabla:
Posición (m) -4 0 4 8 12 16 20 24
Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7
a) Dibuja la gráfica posición-tiempo de este movimiento.
b) Calcula el espacio total recorrido.
c) Calcula el desplazamiento en los dos primeros segundos y en el movimiento completo.
d) Calcula la velocidad media en todo el movimiento y la velocidad media sobre la trayectoria.
--------------------------------------------------
a)
( )
( )
b) De los datos de la tabla podemos ver que el espacio total
recorrido es
c) Desplazamiento en los dos primeros segundos:
El desplazamiento total es
Ambos desplazamientos son positivos, es decir, el cuerpo se
mueve en sentido positivo. También coinciden con el
espacio total recorrido ya que durante todo el movimiento
no ha habido un cambio de sentido.
d) La velocidad media es
La velocidad media medida sobre la trayectoria es
Ambas velocidades coinciden pues la trayectoria es recta y no hay cambio de sentido.

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Gráficas velocidad-tiempo
Son representaciones graficas de la velocidad del móvil en función del tiempo, es decir, la
velocidad es la variable dependiente (eje y) y el tiempo es la variable independiente (eje x).
Al igual que ocurría en las gráficas posición tiempo, una gráfica velocidad-tiempo puede
aportar información acerca de las características de un movimiento. Para poder representarla es
necesario conocer cómo varía la velocidad del móvil con el tiempo (ecuación matemática) o realizar
medida experimentales que midan la velocidad en función del tiempo.
Un ejemplo: la gráfica velocidad-tiempo de un movimiento es la siguiente,
Información que aporta la gráfica velocidad-tiempo:
- El móvil inicia su movimiento desde el reposo, su velocidad inicial es cero,
- En el tramo OA (diez primeros segundos) la velocidad aumenta de forma progresiva desde 0 a
20 m/s. Durante este tramo el movimiento es uniformemente acelerado (va cambiando la velocidad
linealmente).
- En el tramo AB (de 10 a 40 segundos) la velocidad se mantiene constante en 20 m/s. Durante
este tramo el movimiento no es acelerado, es un movimiento uniforme (siempre a la misma velocidad).
- En el tramo BC (de 40 a 45 segundos) la velocidad del móvil empieza a disminuir
gradualmente hasta que el móvil se para, la velocidad final es cero. Durante este tramo el movimiento
es uniformemente decelerado.

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6.- Aceleración
Definición general,
La aceleración es una magnitud física de carácter vectorial que expresa
la variación de la velocidad de un objeto por unidad de tiempo.
Significado de la definición: la aceleración de un objeto es una magnitud física que marca el
ritmo de cambio de la velocidad de dicho objeto con el tiempo.
Al igual que ocurre con la velocidad, distinguiremos entre aceleración media y aceleración
instantánea.
Aceleración media
Es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Se designa con la letra am y su expresión
matemática es,
donde,
am → aceleración media
Δv → Variación de velocidad entre dos instantes de tiempo
Δt → Intervalo de tiempo considerado
v → velocidad al final del intervalo de tiempo considerado
vo → velocidad al inicio del intervalo de tiempo considerado
Aceleración instantánea
Cuando el intervalo de tiempo considerado a la hora de medir la velocidad es muy pequeño, próximo a
cero, entonces la aceleración pasa de ser media a instantánea.
Por tanto, la aceleración instantánea es la aceleración de un cuerpo en un instante concreto en un
punto de la trayectoria.
Si en un movimiento recto la aceleración instantánea de un cuerpo se mantiene constante
durante un tiempo entonces la aceleración media y la aceleración instantánea coinciden y el
movimiento se dice que es movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

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Unidades de la aceleración. Significado.
En el S.I. las unidades de la aceleración resultan de dividir las unidades de la velocidad y del tiempo,
Para comprender el significado de estas unidades nos vamos a fijar en los tres tramos de la
gráfica velocidad-tiempo de la página 14. Vamos a calcular la aceleración media en cada uno de estos
tres tramos.
- Tramo OA, desde t = 0 a t = 10 s; Δt = 10 s
Este resultado indica que el móvil va aumentando
su velocidad a razón de 2 m/s cada segundo.
Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Velocidad (m/s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
am = 2 m/s2 → la velocidad aumenta 2 m/s cada segundo
- Tramo AB, desde t = 10 s hasta t = 40 s; Δt = 30 s
Este tramo es horizontal, la velocidad no cambia y, por tanto, en todo el tramo
- Tramo BC, desde t = 40 s hasta t = 45 s; Δt = 5 s
Este resultado indica que la velocidad del móvil va disminuyendo en 4 m/s cada segundo.
Tiempo (s) 40 41 42 43 44 45
Velocidad (m/s) 20 16 12 8 4 0
am = - 4 m/s2 → la velocidad disminuye 4 m/s cada segundo
Sobre el signo de la aceleración. Interpretación.
La aceleración, igual que velocidad, es una magnitud vectorial (además de un valor concreto,
tiene una dirección y un sentido). Es un error muy común en muchos textos el afirmar que si una
aceleración es negativa quiere decir que el cuerpo está decelerando, es decir, disminuyendo su
velocidad. Esto es cierto en ocasiones, pero no en todas.
Una afirmación más general es la siguiente:
Si la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido (mismo signo) el móvil aumenta su velocidad con
el tiempo (acelera). Si la aceleración y la velocidad tienen distinto sentido (distinto signo) el móvil
disminuye su velocidad con el tiempo (decelera)

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Problema 5.
Rellena las siguientes tablas y representa esquemáticamente el movimiento de los cuerpos respecto
del sistema de referencia (horizontal).
--------------------------------------------------
Solución:
a) Es un movimiento acelerado (aceleración y velocidad tienen el mismo signo). El móvil se desplaza
en sentido positivo y la aceleración tiene el mismo sentido
b) Es un movimiento decelerado (aceleración y velocidad tienen distinto signo). El móvil se desplaza
en sentido positivo.
c) Es un movimiento decelerado (aceleración y velocidad tienen distinto signo). El móvil se desplaza
en sentido negativo.
d) Es un movimiento acelerado (aceleración y velocidad tienen el mismo signo). El móvil se desplaza
en sentido negativo.

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CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS
A partir del concepto de trayectoria ya se hizo una primera clasificación (página 8) de los
movimientos. Podemos ampliar ahora dicha clasificación teniendo en cuenta los conceptos de
velocidad y aceleración del movimiento.
En la siguiente tabla clasificatoria se muestran de forma coloreada los movimientos que serán
estudiados en la siguiente unidad.
Movimiento rectilíneo
(trayectoria recta)
a → 0
v → constante
Movimiento rectilíneo uniforme
m.r.u.
v → varía uniformemente (linealmente)
a → constante
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
m.r.u.a.
v → variable no uniforme
a → variable
Movimiento rectilíneo acelerado
Movimiento curvo
(trayectoria curva)
v → constante
a → constante (normal o centrípeta)
Movimiento circular uniforme
Otros movimientos curvos

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Estos apuntes se finalizaron el 29 de septiembre de 2014
Realizados por: Felipe Moreno Romero
fresenius1@gmail.com
http://www.escritoscientificos.es