1) El documento describe los conceptos básicos del movimiento de partículas y vectores, incluyendo desplazamiento, velocidad, aceleración y suma de vectores. 2) Explica el movimiento uniformemente acelerado y las ecuaciones que lo rigen, así como la caída libre y movimiento de proyectiles. 3) Presenta las tres leyes del movimiento de Newton, incluyendo fuerzas, masa, aceleración, peso y fricción.

1. BIOMECÁNICA.
Dr. Oscar Díaz Cabrejos.

2. MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS.
• Las mediciones físicas se hacen
desde un punto de referencia
(0); que es el origen de un
conjunto de ejes
perpendiculares entre sí,
llamado sistema cartesiano.
• El desplazamiento desde el
origen (S), de una partícula, es
tanto su distancia del origen (0)
como su dirección. En
coordenadas rectangulares
(coordenadas cartesianas) la
dirección S se especifica dando
su dirección (componente) a lo
largo de c/u de sus ejes x, y y z.
Usando el teorema de Pitágoras
la magnitud está dada por:
S = √ Sx2
+ Sy2
+ Sz2
.

3. Móv. de partículas …..
• La dirección de S respecto a c/uno de sus ejes
x, y y z, está dado por sus ángulos; así:
La dirección de S respecto a z, está dado por el
ángulo γ → Sz = S.cosγ.
La dirección de S respecto del eje x, será:
Sx = S.cosα.
La dirección de S respecto del eje y, será:
Sy = S.cosβ.
Las cantidades cosα, cosβ y cosγ, se llaman
cosenos directrices.

4. Mov. de partículas …..
• Para el desplazamiento
en dos dimensiones se
utilizan las componentes
Sx y Sy y la dirección se
da por un ángulo (θ)
Sx = S. cosθ
Sy = S. Senθ
S = √ Sx2
+ Sy2
.

5. Mov. de partículas ….
• RAPIDEZ: es la longitud total de la trayectoria
recorrida por unidad de tiempo, sin importar la
dirección. Ejm.: 50 km/h.
• VELOCIDAD: es el desplazamiento por unidad
de tiempo, indicando la dirección. Ejm.: 50 km/h
hacia el norte. Una velocidad constante implica
no solo rapidez constante, sino también
dirección constante (V).
V = S / t.

6. VECTORES
• CANTIDAD VECTORIAL: es aquella cuya medida se
determina por medio de una magnitud y una dirección.
Ejm.: una velocidad de 30 m/s. hacia el norte.
• CANTIDAD ESCALAR: tiene únicamente magnitud.
Ejm.: una masa de 2,2 Kg.
• VECTOR: es un segmento de línea cuya longitud
representa, a escala, la magnitud de la cantidad
vectorial y cuya dirección indica la dirección de esa
cantidad.
• RESULTANTE: es aquella cantidad vectorial que por sí
sola representa o reproduce dos o más cantidades
vectoriales.
• COMPONENTES: las componentes rectangulares de un
vector son sus proyecciones sobre un conjunto de ejes
rectangulares.

7. Componentes rectangulares.
X = R. Cosθ.
Y = R. Senθ.
La suma de dos vectores es otro vector,
a+b=c. La suma de componentes nos
proporciona un método analítico para
sumar vectores. La componente x de
la suma d de varios vectores es la
suma algebraica de las componentes x
de los vectores individuales:
dx = ax + bx + cx, igualmente para las
componentes y:
dy = ay + by+ cy. Si los vectores están
en el plano xy, la magnitud de la suma
d (la resultante) puede calcularse:
d =√ dx
2
+ dy
2.
.El ángulo θ que forma d
con el eje x está determinado por:
tgθ = dy / dx.

8. SUMA DE COMPONENTES. Ejm.
• Encuentre la
Resultante R de un
desplazamiento P
de 3 m en la
dirección positiva
del eje x y de un
desplazamiento Q
de 5 m que forma
un ángulo de 30º
con el eje x, como
se muestra en la
figura.

9. PRODUCTO ESCALAR.
• a) dos vectores dibujados
desde un punto de
partida común para
definir su producto
escalar A . B = A.B.cosθ.
• b) B.cosθ es la
componente de B en la
dirección de A, y A . B es
el producto de la
magnitud de A y esta
componente.
• c) A . B también es el
producto de la magnitud
de B y la componente de
A en la dirección de B

10. VELOCIDAD RELATIVA.
Es la suma vectorial de las
velocidades. Ejm: un
surfer.
Vso + Vot = Vst
Vso = velocidad horizontal.
Vot = velocidad hacia la
orilla.
Vst = velocidad respecto a
tierra.
Otro ejemplo es el
desplazamiento de los
aviones.

11. MOV. UNIFORMEMENTE ACELERADO.
• Es común en los experimentos físicos, o en la vida diaria, que las
partículas o los cuerpos, experimenten cambios en la velocidad, tanto
en magnitud (rapidez) como en dirección.
• Aceleración. Es la rapidez de cambio de la velocidad con el tiempo,
y se denota:
a = ∆V / ∆t. (1)
La aceleración es una cantidad vectorial pues tiene magnitud y
dirección. Las unidades están dadas por velocidad dividida por
tiempo.
Mov. Uniformemente acelerado. Es en el cual la dirección de la
aceleración permanece paralela a la dirección del movimiento inicial y
la rapoidez cambia uniformemente. Como los cálculos involucran
solamente cambios en magnitud, omitiremos la notación vectorial.
Llamando positiva la aceleración cuando la rapidez aumenta y
negativa si disminuye.

12. Mov. Uniformemente acelerado……
• Como: ∆V = V1 – Vo. Siendo :
V1 = velocidad final.
Vo = velocidad inicial.
La ecuación puede escribirse:
V1 – Vo = at. (2)
Lo cual quiere decir que el cambio de
velocidad es igual a la rapidez de
cambio de la velocidad
(aceleración) multiplicada por el
intervalo de tiempo t que emplea
para cambiar.
Cuando la rapidez cambia
uniformemente, la velocidad
media (Vm) es igual al promedio
de la rapidez final y la rapidez
inicial.
Vm = Vo + V1 / 2 (3)
• La distancia recorrida durante
cualquier intervalo de tiempo está
dado por:
S = V . t
Usando la ec. (3) para V y sustituyendo V1
de acuerdo a la ec. (2), obtenemos:
S = Vo + V1 = Vo + at + Vo
t 2 2
S / t = 2 Vo + at / 2
S = 2 Vo t + a t2
/ 2 = 2 Vo t / 2 + a t2
/ 2
S = Vo t + (1/2) a t2
(4)

13. Mov. Uniformemente acelerado ….
• Utilizando las ec. V = S / t y (2) y (3) para eliminar V y t obtenemos:
S = V1 + Vo → S = V1 + Vo
t 2 V1 -Vo 2
a
as = V1 + Vo → 2as = (V1 + Vo)(V1 – Vo)
V1-Vo 2
2as = V1
2
– Vo2
V1
2
= Vo2
+ 2as. (5)
Las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) se conocen a menudo como “ecuaciones para el
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado”, pues se aplican únicamente
cuando la aceleración es constante en una dirección.

14. CAIDA DE UN CUERPO (CAIDA LIBRE).
• Un cuerpo en caída libre es aquel sobre el cual no
actúan fuerzas distintas a la de su propio peso (es decir
la gravedad). La aceleración de un cuerpo en caída libre,
a nivel del mar es aproximadamente:
• g = 9.8 m /s = 32 pies / s.
• Los cuerpos que usualmente vemos caer, no lo hacen
en caída libre, sufren la resistencia del aire. Como la
resistencia a su movimiento crece a medida que
aumenta la rapidez del aire, la aceleración deja de ser
uniforme.
• Velocidad límite. Es la velocidad constante que alcanza
un cuerpo, cuando su peso es equilibrado por la
resistencia del aire, Ejm.: una pluma, el polvo, un
hombre que salta de un avión.

15. MOVIMIENTODE PROYECTILES.
• Cualquier proyectil lanzado
horizontalmente desde una superficie
elevada, sigue una trayectoria curva
por la combinación de la aceleración
de la gravedad hacia abajo, con el
movimiento horizontal inicial.
• La trayectoria puede determinarse de
las ecuaciones para el movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado,
junto con la suma vectorial de las
velocidades en la dirección vertical y
horizontal.
• Al comenzar el movimiento la
velocidad V es igual a Vx, la
componente horizontal.
• Durante el movimiento: V = Vx + Vy,
una suma vectorial.
• Si suponemos que no hay resistencia
del aire, Vx permanece constante,
mientras Vy aumenta de acuerdo con
las ecuaciones (2), (3), (4), y (5),
produciendo una trayectoria curvada
hacia abajo.

16. Mov. De proyectiles …..
• Una rana, para escapar de
sus depredadores (halcón),
debe saltar rápidamente y
tan lejos como pueda,
escogiendo la posibilidad
de máximo alcance.
• Observamos que si su salto
es muy bajo (curva B) o
muy alto (curva A) no
llegará muy lejos. Pero si
su velocidad inicial Vo
forma un ángulo de 45º
con la horizontal (curva
C), logrará el máximo
alcance.

17. Salto de la rana.
• Para analizar este mov. Utilizamos las
componentes vertical y horizontal de Vo en las
ecuaciones para el mov. Rectilíneo
uniformemente acelerado . La componente
vertical de la velocidad inicial Vo es Vo.senθ, así
que la distancia vertical según la ec. (4), está
dada por:
y = (Vo.senθ)t – (1/2)gt2
.
Donde consideramos negativo el mov. Hacia abajo y
la aceleración es –g. El desplazamiento vertical
hacia arriba y hacia abajo, es cero para el salto
total, de manera que y=0, la ec. Se convierte en:
(Vo.senθ) t = (1/2) g.t2.
Luego:
t = 2Vo.senθ
g
Donde “t” es el tiempo total que permanece en el aire,
subiendo y bajando.

18. Salto de la rana …..
La componente horizontal de la velocidad inicial es (Vo.cosθ), luego la distancia
horizontal está dada también por la ec. (4), con a = 0 pues no hay aceleración
horizontal:
X = (Vo.cosθ) t
El valor de x para t, duración del salto completo, es el alcance R. Sustituyendo t de la ec.
Anterior obtenemos:
R = (Vo.cosθ) 2Vo.senθ
g
Que con sen2θ = 2 senθ.cosθ, se reduce a:
R = Vo2
sen 2θ
g
El valor de R es máximo si escogemos θ = 45º de tal forma que sen 2θ = sen 90º = 1
R = Vo2
g

19. LEYES DELMOVIMIENTO DE NEWTON.
• SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL. La frase “en
reposo” es muy ambigua, porque un objeto puede estar
en reposo en un sistema, mientras que se está
moviendo en otro. Por ejm., un hombre sentado en un
avión está en reposo con respecto al avión, pero se está
moviendo a 600 millas/h con respecto a la tierra. El
avión y la Tierra son dos sistemas de referencia
distintos, respecto a los cuales se puede describir el
movimiento del hombre.
• Definición.- Un sistema de referencia inercial es un
sistema de referencia en el cual es válida la primera ley
de Newton.
• Principio: “Cualquier sistema de referencia, que se está
moviendo uniformemente con respecto a un sistema
inercial, es él mismo un sistema de referencia inercial”.

20. Primera ley de Newton.
• Un cuerpo permanece en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza
neta que actúe sobre él le obligue a cambiar.
• Primera ley de Newton del movimiento (enunciado
completo). Para que un objeto permanezca en reposo o
se mueva uniformemente con relación a un sistema de
referencia inercial, es necesario que el vector suma de
todas las fuerzas que actúan sobre el objeto sea nulo.
• La primera ley del movimiento es válida, por definición,
en todos los sistemas de referencia inerciales.
• Principio de la relatividad (restringida): Todas las leyes
de la física son ciertas en todos los sistemas de
referencia inerciales.

21. Conceptos de masa y fuerza: 2da. Ley de Newton.
• El concepto de masa es utilizado como una medida de la inercia.
Masa ≡ cantidad de materia de un cuerpo
La medición de la masa se hace mediante comparación con un kilogramo (Kg)
patrón de medida.
La masa de un cuerpo es proporcional pero no igual a su peso.
Cuanto mayor sea la masa, menor la aceleración resultante.
SEGUNDA LEY DE NEWTON: siempre que una fuerza neta actúe sobre un
cuerpo, producirá una aceleración en la dirección de la fuerza proporcional
a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa del
cuerpo.
a = F / m ó F = m.a (1)
Como el peso (W) de un cuerpo en la Tierra es la fuerza que resulta de la
atracción gravitacional (g), la ecuación anterior queda convertida en:
W = m.g y m = W / g (2)
Notemos que el valor de g es diferente en la Luna, de modo que el peso es
menor.

22. Ejm: ¿qué fuerza debe aplicarse a una masa de 70 Kg para darle una
aceleración de 4,50 m/s2
, a) horizontalmente y b) verticalmente hacia
arriba?.
• a) De la ec. (1)
F = m.a = (70,0 Kg.)(4,50 m/s2
) = 315 N.
b) De la parte (a),
Faplicada = Fneta + Fgravedad.
Fneta = 315 N.
Fgravedad = m.g = (70,0 Kg.)(9,8 m/s2
) = 686 N
Faplicada = 315 N + 686 N = 1001 N hacia arriba.

23. Tercera ley del movimiento de Newton.
• Para toda fuerza ejercida por un cuerpo A sobre un cuerpo B, hay una
fuerza de igual magnitud y dirección opuesta, ejercida por el cuerpo B
sobre el cuerpo A.
• Fricción: es una fuerza tangencial que está presente entre dos
superficies de contacto y que se opone al desplazamiento de uno con
respecto del otro.
• Cuando el cuerpo está en reposo y sobre un plano horizontal, la fuerza
que soporta todo el peso se llama Normal que es perpendicular a la
superficie.
• Para superficies ásperas, cualquiera sea la dirección del movimiento se
oponen a él fuerzas de fricción y se encuentra experimentalmente que
son proporcionales a la fuerza Normal (N) que aparece en la superficie
de contacto. Convirtiendo la proporcionalidad en una igualdad tenemos:
f = µ.N
Donde µ es el coeficiente de fricción
µk : coeficiente de fricción cinética, cuando hay desplazamiento.
µs : coeficiente de fricción estática, par cuerpos en reposo.

24. Momentum, Impulso, “fuerzas g”.
• La segunda ley de Newton es muy útil para estudiar los
efectos de las colisiones de pequeña duración
(choques), partiendo de:
F = m.a = m ∆v/∆t = ∆(mv)/∆t
Donde ∆ quiere decir “un pequeño cambio en”. El producto
(mv) se llama momentum líneal P, y es una cantidad
vectorial. La segunda ley de Newton puede expresarse
entonces:
F = ∆P/∆t.
Que nos dice que la fuerza neta F que actúa sobre un
objeto es igual a la rapidez de cambio de su momentum
con el tiempo. Al producto F∆t se llama impulso y en él
se supone que ∆t es un intervalo pequeño de tiempo
(∆t< 1 s), así que F se refiere a una fuerza promedio
ejercida durante ese intervalo.

25. Fuerzas g.
• Son las fuerzas originadas por aceleraciones y desaceleraciones súbitas.
Ejm: la expulsión de un piloto de un caza a reacción, un payaso disparado
desde un cañon.
• Las fuerzas que aparecen en situaciones como estas se llaman “fuerzas g”,
y se dan en términos de múltiplos de g, la aceleración de la gravedad.
• Las fuerzas g son peligrosas porque aumentan el peso efectivo de la
sangre y los órganos del cuerpo hasta W = gW, donde g es el número de
gravedades.
• Los órganos que sufren fuerzas g pueden dejar de funcionar. Para una
aceleración en la dirección cabeza-pies (sostenida por un periodo corto), se
siente dificultad para utilizar los músculos a las 3 o 4g. A 5g se detiene la
respiración y se hace imposible el movimiento del cuerpo; entre 6g a 9g se
congestionan los pulmones, se pierde la visión y se pierde el sentido, esta
pérdida se debe a la ausencia de irrigación al cerebro pues la sangre es
demasiada pesada para que el corazón pueda bombearla.
• Durante período de tiempo muy corto una persona pude soportar fuerzas
de hasta 30g sin sufrir lesiones siempre y cuando esté de frente en la
dirección de la aceleración y tenga un buen apoyo en la espalda.
• En un automóvil, la desaceleración se logra con un cinturón de seguridad,
los cuales constituyen apenas el 20% de lo que en la aceleración hacia
delante llamamos buen apoyo en la espalda.
• Puede estimarse de aquí que el límite de la aceleración soportable en un
choque automovilístico es de 0,2 x 30g = 6g.

26. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA.
• El equilibrio mecánico en general significa que
no hay aceleración neta; sin embargo, también
está en equilibrio un objeto que está en
movimiento rectilíneo con velocidad constante,
pues su aceleración es cero.
∑F = 0
• Esto implica que ∑ de los componentes Fx, Fy y
Fz es cero ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0 ).

27. Ejm: Una araña de 0,5 g pende de su hilo al borde de un tejado. Al soplar el viento
horizontalmente el hilo se mantiene formando un ángulo de 30° con la vertical. Halle la
fuerza del viento y la tensión del hilo.
• ∑F = 0.
• La tensión T, el peso W y la fuerza del viento
F se combinan entre sí para producir el
equilibrio.
• F = T sen30°
• W = T cos30°
• tan30° = F/W
• F = W . Tan30°
• F = 0,5 x 9,8 x 10-3
x 0,577 = 2,83 x 10-3
N
• Usando T = F/ sen30° = 2.83 x 10-3
/ 0,5 =
5,66 x 10-3
N

28. TORQUE, EQUILIBRIO ROTACIONAL Y
FUERZA MUSCULAR.
• Si las dos fuerzas que se
muestran actuando sobre el
bloque, son de igual magnitud,
no habrá aceleración neta y el
bloque no se deslizará ni hacia
delante ni hacia atrás; sin
embargo, probablemente
rotará alrededor de un eje.
• La rotación de un cuerpo
alrededor de un eje, involucra
la especificación de un eje de
rotación y la localización de las
fuerzas respecto a él.

29. TORQUE.
• El factor que determina el
efecto de una fuerza dada en
el movimiento rotacional es su
brazo de momento (brazo de
palanca), definido como la
distancia perpendicular desde
el eje de rotación hasta la
línea de acción de la fuerza.
En la figura el brazo de
momento de F1 es la distancia
OB y el de F2 es la distancia
OA.

30. Torque…
• Dado un eje de rotación el torque T alrededor de este
eje se define como el producto cruz entre los vectores.
T = r . F
• Donde “r” es un vector posición desde el eje de rotación
hasta el punto de aplicación de la fuerza F. Las
unidades para el torque son N-m, el torque es una
unidad vectorial.
• La ecuación es un producto vectorial: C = AxB, el cual
da un vector C de magnitud: AB senθ

31. Ejm: Encuentre el torque ejercido alrededor de la articulación de la
rodilla por el peso de 25 lb en la posición de ejercicio que se muestra
en la figura.
• T = r. Fsenθ
=18/12 x 25 x sen 20°.
• T = 1,5 x 25 x 0,342
= 12,82 pie-lb.
Cuando una persona realiza el ejercicio
mostrado en el ejm. Sostiene la
pierna en posiciones que hacen
diferentes ángulos con la vertical por
medio del esfuerzo muscular que
contrarresta el torque calculado. Por
tanto, no hay torque neto y la pierna
está en equilibrio rotacional.

32. CENTRO DE GRAVEDAD
• Si un cuerpo extenso apoyado en un solo punto se mantiene en
equilibrio, se puede considerar que el peso total de él actúa en ese
punto. A este punto se le llama entonces centro de gravedad.
Cualquier cuerpo apoyado en su centro de gravedad está en
equilibrio y no cambiará su posición ni rotará. No hay torque neto
alrededor del centro de gravedad para un cuerpo en equilibrio.
• Es fácil localizar la posición del centro de gravedad en cuerpos
uniformes de formas simples, como esferas o cubos; se encuentran
precisamente en su centro geométrico, pero puede ser dificil para
objetos de forma irregular. Para un sistema compuesto de objetos
simples el centro de gravedad puede localizarse utilizando la
condición de equilibrio:
∑Tc = 0.
Donde Tc, es el torque alrededor de un eje que pasa por el centro de
gravedad.

33. Centro de gravedad…
• No siempre el centro de gravedad de un cuerpo
queda dentro de él. El centro de gravedad de
una pierna o de un brazo depende de la posición
relativa de sus partes y para posiciones de
flexión puede quedar fuera del miembro. Para
cualquier articulación de solo dos partes, el
centro de gravedad queda sobre la línea que
une el centro de gravedad de cada una de ellas.
• El centro de gravedad es un concepto
importante en terapia física, cuando se lastima
un muslo, una pierna o una cadera,
desplazamos nuestro peso, cambiando de
posición, de tal manera que el torque neto
alrededor del centro de gravedad sea cero.
• Para una persona que está de pie, el centro de
gravedad está localizado en la región pélvica,
anterior a la segunda vertebra sacra.

34. Ejm: Encuentre el desplazamiento necesario de la posición del centro de
gravedad de un hombre de 180 lb que está de pie, para llevar una carga W de
35 lb, en la forma que aparece en la figura. ¿ Cómo se logra normalmente este
desplazamiento en la práctica?.
• El torque adicional causado por el peso W
está dado por
• T = W x 14 = 35 x 14 = 490 lb-pulg.
• Este debe compensarse por un contratorque
dado por F.x, donde F es el peso del hombre
y x es el brazo de palanca necesario:
• 180 . X = 490
• X = 2,72 pulg.
hacia el lado opuesto del peso de 35 lb. En la
práctica, uno levanta el brazo que se
encuentra libre hasta una posición horizontal
y luego dobla el tronco para mantener el
equilibrio.