PRESENTACIÓN EJEMPLOS DE PROBABILIDAD

2.  Las preguntas más importantes de la vida son, para la
myor parte, realmente solo problemas de probabilidad.
Pierre Simon Laplace
 La estadística demuestra que el matrimonio es la causa
determinante del divorcio
Groucho Marx

3. Conceptos básicos
Factorial.- n! = n x (n-1) x … x 2 x , con 0!=1
Variación.- Se denomina variación a cada uno de los
arreglos ordenados de k elementos, tomados de otro
de n elementos (k≤n), de manera que estos arreglos
difieren en algún elemento o en el orden de colocación

4.  Combinación.- Se denomina combinación a cada uno
de los subconjuntos de k elementos, tomados de otro
de n elementos (k≤n), sin tener en cuenta el orden de
los mismos de manera que no pueden haber dos
combinaciones con los mismos elementos

5.  Permutación (sin repetición).- Una permutación de n
elementos es cada una de las variaciones de los n
elementos distintos
Pn = n!
 Parejas. Con los m elementos de A y los n elementos de
B es posible formar mxn parejas (aj,bk) que
contengan un elemento de cada
conjunto

6.  Arreglos múltiples.- Consideremos los conjuntos A =
{a1, a2,…., an} de m elementos, B= {b1, b2,…., bn} de n
elementos hasta G={g1, g2,…., gn} de s elementos . Con
ellos es posible formar m x n x …….x s arreglos {a1,
b2,…., gn} que contiene un elemento de cada conjunto
 Permutación (con repetición).- Una permutación con
repetición, de k elementos obtenidos a partir de un
conjunto de n elementos, es un arreglo de k elementos
ordenados en el que los elementos pueden repetirse
arbitrariamente.

7.  Evento.- Se llama evento notado como ω a cualquiera
de los resultados posibles de un experimento u otra
situación que involucre incertidumbre
 Espacio muestral.- La colección de todos los eventos
elementales, notado por Ω, se denomina espacio
muestral:
 Ω={ω/ ω es evento elemental}

8. Notación Interpretación en la teoría de
cojuntos
Interpretación en la
teoría de probabilidades
ω Elemento o punto Evento o suceso
Ω Conjunto de puntos Espacio muestral (suceso
seguro)
Ø Conjunto vacío Evento imposible
A U B Unión de conjuntos Por lo menos uno de los
eventos Ao B ocurre
A B Intersección de conjuntos Ambos eventos A y B
ocurren
A B Diferencia de conjuntos A ocurre y B no ocurre
AC = Ω A Conjunto complementario No ocurre A
A B = Ø Conjuntos disjuntos A y B se excluyen
mutuamente
A B A es subconjunto de B Si A ocurre, también B

9.  Dos eventos son igualmente probables si Pr (A) = Pr
(B)
 El evento A es más probable que B si Pr (A) > Pr (B).
 Evento cierto.- Es el que siempre aparece en la
realización de un experiemento, su probabilidad es
igual a 1.
 Evento imposible.- Es aquel que jamás puede ocurrir,
su probabilidad es igual a 0.

10. Cálculo de Probabilidades
 Espacio muestral finito
Pr (A) = Casos favorables de A
Casos posibles
= Card (A) = k
Card (Ω) N
 Espacios muestrales infinitos numerables
 Espacios muestrales continuos
 Pr (A) = Área de A
 Área de Ω

11. Independencia y Condicionalidad
 Independencia.- Dos eventos A y B se llaman
independientes si la probabilidad de que ambos
ocurran es igual al producto de las probabilidades de
los dos eventos individuales
 Condicionalidad.- Consideremos un espacio muestral
Ω y un evento B que pertenece a Ω tal que Pr (B) ≠ 0.
La probabilidad condicional de que un evento A
ocurra, en el supuesto que B ha ocurrido, se representa
por Pr(A|B) (que se lee << probabilidad de A, dado
B>>), se define como:
Pr (A|B) = Pr (A B)
Pr(B)

12. Teorema de Bayes
 Supongamos que el evento A puede ocurrir a condición
de que aparezca uno de los eventos B1, B2, …., Bn. Si A
ya ocurrió la probabilidad condicional del evento Bk es
igual a
B1 B12
B3
A