Formulario que muestra los elementos más importantes de la teoría de probabilidad. Debe ser de apoyo para estudiantes de bachillerato en México y de nivel superior.

1. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
PRINCIPIOS DE ADICIÓN Y DE MULTIPLICACIÓN
Principio de Adición
Si se tienen dos eventos (o sucesos) 𝐸 y 𝐸 que no pueden ocurrir al mismo tiempo, de
tal manera que el primero puede ocurrir en 𝑛 formas diferentes y el segundo de 𝑚 formas
distintas, entonces 𝐸 o 𝐸 puede ocurrir en 𝑚 + 𝑛 formas.
Principio del Producto
Si se tienen dos eventos (o sucesos) 𝐸 y 𝐸 que son independientes, de tal manera que el
primero puede ocurrir en 𝑛 formas diferentes y el segundo de 𝑚 formas distintas, entonces
ambos pueden ocurrir de forma simultánea en 𝑚 ∙ 𝑛 formas.
FACTORIAL DE UN ENTERO
Factorial de un entero positivo 𝒏
Si 𝑛 es un entero positivo, denotamos a su factorial como 𝑛! y lo definimos como sigue:
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1
Factorial del 𝟎: 0! = 1
PERMUTACIONES
Una permutación es una ordenación de objetos en la que es importante el orden (en la
ordenación de los objetos {𝑎, 𝑏}, el objeto 𝑎𝑏 es diferente al objeto 𝑏𝑎 y por tanto se
contabilizan como dos ordenaciones diferentes).
Permutar algunos objetos de un grupo en el que donde todos son diferentes…
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse 𝑛 objetos diferentes, cuando se
toman 𝑟 de éstos a la vez, está dado por:
𝑃 =
!
( )!
(𝑟 ≤ 𝑛)
Permutar todos los objetos de un grupo en el que todos son diferentes…
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse 𝑛 objetos diferentes cuando se
toman de uno en uno (sin repetición) está dado por:
𝑃 = 𝑛!
Permutar todos los objetos de un grupo en el que algunos se encuentran repetidos…
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse 𝑛 objetos de los cuales uno se
repite 𝑘 veces, otro se repite 𝑘 veces, …, y por último hay otro que se repite 𝑘 veces es:
𝑃(𝑛; 𝑘 , 𝑘 , ⋯ , 𝑘 ) =
𝑛!
𝑘 ! ∙ 𝑘 ! ⋯ 𝑘 !

2. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
PERMUTACIONES CON REEMPLAZO
Permutar todos los objetos de un grupo en el que siempre que elegimos uno, éste se
puede volver a elegir en el siguiente intento…
El número de formas diferentes en que pueden aparecer 𝑛 objetos diferentes, en 𝑚
intentos, con reemplazo, es:
𝑃 = 𝑛
PERMUTACIONES CIRCULARES
Permutar todos los objetos de un grupo en un arreglo circular (por ejemplo una mesa
redonda)…
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse 𝑛 objetos diferentes en un
arreglo circular está dado por:
𝑃 = (𝑛 − 1)!
COMBINACIONES
Una combinación es una ordenación de objetos en la que el orden de aparición no importa
(en la ordenación de los objetos {𝑎, 𝑏}, el objeto 𝑎𝑏 es igual al objeto 𝑏𝑎 y por tanto se
contabilizan solo una vez).
Combinaciones de 𝑛 objetos tomados de 𝑟 en 𝑟 a la vez…
El número de combinaciones de 𝑛 objetos diferentes cuando se toman 𝑟 de éstos a la vez,
está dado por:
𝐶 =
!
( )! ∙ !
(𝑟 ≤ 𝑛)

3. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
PROBABILIDAD
Se define a la Probabilidad como la medición de la incertidumbre y existen tres
enfoques para determinar la probabilidad de un evento: Clásico, Frecuentista y
Subjetivo.
Enfoque Clásico:
Si 𝛺 es un espacio muestral de un experimento aleatorio con N elementos, y 𝐸 es
un evento de 𝛺 que tiene n elementos, entonces la probabilidad de que ocurra el
evento 𝐸 está dada por:
𝑃(𝐸) =
𝑛
𝑁
Enfoque Frecuentista (o de frecuencia relativa):
Si después de repetir un experimento aleatorio N veces, donde N es un número
muy grande, se obtienen resultados favorables en m ocasiones, entonces la
probabilidad de que al repetir el experimento de referencia una vez más, y obtener
resultados favorables (denotado por E), está dada por:
𝑃(𝐸) =
𝑚
𝑁
Enfoque Subjetivo:
Este tipo de probabilidad no se rige a través de una regla determinada, depende
únicamente del conocimiento que presente un investigador acerca de un
experimento aleatorio dado.
DEFINICIONES FUNDAMENTALES
Experimento aleatorio: Es aquel del cual no podemos predecir su resultado.
Espacio muestral: Conjunto formado por todos los posibles resultados que puede
presentar un experimento aleatorio. Se denota por 𝛺 (o bien por 𝑆). En este
formulario usaremos el símbolo 𝛺.
Punto muestral: Se le llama así a cualquier elemento del espacio muestral.
Evento (o suceso): Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota
por una letra mayúscula, por ejemplo E.

4. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
TIPOS DE EVENTOS
1) Evento seguro es aquel que siempre ocurrirá. Se denota por el mismo símbolo
que el espacio muestral, es decir, 𝛺. La probabilidad de ocurrencia de este
evento es siempre 1.
2) Evento imposible es aquel que nunca ocurrirá. Se denota por ∅. La
probabilidad de ocurrencia del evento imposible siempre será 0.
3) Evento unitario es aquel que cuenta con un solo elemento.
4) Eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir al
mismo tiempo, es decir, aquellos cuya intersección es el evento imposible
(𝐴 ∩ 𝐵 = ∅). La probabilidad de que ocurran dos eventos mutuamente
excluyentes de manera simultánea es 0.
5) Se dice que dos eventos son independientes si y sólo si la ocurrencia de uno
no afecta (o depende de) la ocurrencia del otro. Matemáticamente diremos que
dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si y sólo si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵).
TEOREMAS SOBRE EVENTOS INDEPENDIENTES
1) Si dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes, entonces también lo serán 𝐴 y 𝐵 .
2) n eventos 𝐴 , 𝐴 , . . . , 𝐴 son independientes, si y sólo si la probabilidad de la
intersección de 2, 3, 4, …, n de ellos es igual al producto de sus probabilidades
respectivas.
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
1) Para cualquier evento 𝐴, de un espacio muestral 𝛺, se tiene que:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
2) 𝑃(𝛺) = 1.
3) 𝑃(∅) = 0.
4) 𝑃(𝐴 ) = 1 − 𝑃(𝐴), para cualquier evento 𝐴 de un espacio muestral 𝛺.
5) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), para cualquier par de eventos 𝐴 y 𝐵 de un
espacio muestral 𝛺.
6) Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son tres eventos de un espacio muestral 𝛺, entonces.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).
7) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes de un espacio muestral 𝛺,
entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
8) Si 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 , . .. es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes a pares de
𝛺, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴 ∪ 𝐴 ∪. . . ) = 𝑃(𝐴 ) + 𝑃(𝐴 ) + 𝑃(𝐴 )+. ..
9) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos de un espacio muestral 𝛺, tales que 𝐴 ⊆ 𝐵, entonces
𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
10) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos de un espacio muestral 𝛺, entonces:
𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ).

5. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Si E es un evento en un espacio muestral 𝛺, y además 𝐴 , 𝐴 , . . . , 𝐴 son eventos
mutuamente excluyentes a pares de 𝛺, tales que 𝐴 ∪ 𝐴 ∪. . .∪ 𝐴 = 𝛺, entonces, se
tiene que:
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 ) + 𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )+. . . +𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Si 𝐴 y 𝐸 son eventos de un espacio muestral 𝛺, donde 𝑃(𝐸) > 0, entonces la
probabilidad de que ocurra 𝐴dado que ya ocurrió el evento 𝐸, está dado por la
siguiente igualdad:
𝑃(𝐴|𝐸) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐸)
𝑃(𝐸)
A la relación anterior se le llama Probabilidad Condicional.
TEOREMAS SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONAL
1) Si 𝐴 y 𝐵 son eventos cualesquiera de un espacio muestral 𝛺, donde
𝑃(𝐴) ≠ 0, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴).
2) Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son eventos cualesquiera de un espacio muestral 𝛺, donde
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 0, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴) ⋅ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵).
DEFINICIÓN ALTERNA PARA EVENTOS INDEPENDIENTES
Si 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes de un espacio muestral 𝛺, entonces se cumple
cualquiera de las dos afirmaciones siguientes:
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) o bien 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)
LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Si E es un evento en un espacio muestral 𝛺, y además 𝐴 , 𝐴 , . . . , 𝐴 son eventos
mutuamente excluyentes a pares de 𝛺, tales que 𝐴 ∪ 𝐴 ∪. . .∪ 𝐴 = 𝛺, entonces, se
tiene que:
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 ) + 𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )+. . . +𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )

6. FORMULARIO
Técnicas de conteo y probabilidad
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
TEOREMA DE BAYES
Si E es un evento en un espacio muestral 𝛺, y 𝐴 , 𝐴 , . . . , 𝐴 son eventos
mutuamente excluyentes de 𝛺, tales que 𝐴 ∪ 𝐴 ∪. . .∪ 𝐴 = 𝛺, entonces para cada
𝑘 = 1,2, . . . , 𝑛 se tiene que:
𝑃(𝐴 |𝐸) =
𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )
𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 ) + 𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )+. . . +𝑃(𝐴 ) ⋅ 𝑃(𝐸|𝐴 )
REPRESENTACIÓN
DE LA REGLA DE
BAYES COMO UN
PROCESO
ESTOCÁSTICO