El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces de una ecuación no lineal. El método comienza con una estimación inicial y luego calcula sucesivas aproximaciones mejoradas usando una fórmula de iteración hasta converger a una solución. El documento explica los conceptos clave, los pasos del método y provee un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.

1. Método de Newton-Raphson
Prof. Raúl Manzanilla
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2. Contenido
1 Introducción
2 Conceptos Fundamentales
3 Pasos del Método
4 Ejemplo Numérico
5 Ejemplo Numérico
6 Ventajas y Limitaciones
7 Orden de Convergencia
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3. Introducción
Introducción
El Método de Newton-Raphson es un algoritmo numérico utilizado
para encontrar aproximaciones de las raı́ces de una ecuación no lineal.
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4. Introducción
Introducción
El Método de Newton-Raphson es un algoritmo numérico utilizado
para encontrar aproximaciones de las raı́ces de una ecuación no lineal.
Es especialmente efectivo cuando se tiene una estimación inicial
cercana a la raı́z deseada.
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5. Conceptos Fundamentales
Conceptos Fundamentales
Una ecuación no lineal es una ecuación en la que al menos una de sus
variables no aparece en una relación lineal. Esto significa que las
potencias, distintas de uno, de las variables o las funciones no lineales
de las variables están presentes en la ecuación.
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6. Conceptos Fundamentales
Conceptos Fundamentales
Una ecuación no lineal es una ecuación en la que al menos una de sus
variables no aparece en una relación lineal. Esto significa que las
potencias, distintas de uno, de las variables o las funciones no lineales
de las variables están presentes en la ecuación.
Sean n2 ∈ N y una función f : D ⊂ Rn → R,
Se dice que α es una raiz dela función f , si α satisface
f (α) = 0
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7. Conceptos Fundamentales
Conceptos Fundamentales
Una ecuación no lineal es una ecuación en la que al menos una de sus
variables no aparece en una relación lineal. Esto significa que las
potencias, distintas de uno, de las variables o las funciones no lineales
de las variables están presentes en la ecuación.
Sean n2 ∈ N y una función f : D ⊂ Rn → R,
Se dice que α es una raiz dela función f , si α satisface
f (α) = 0
El problema de la busqueda de raices de una función, se resume a la
busqueda de todos los valore de x que son solución de la ecuación
f (x) = 0
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8. Conceptos Fundamentales
Deducción de la Fórmula
Suposición Inicial
Supongamos que tenemos una ecuación no lineal f (x) = 0 y una
aproximación inicial x0.
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9. Conceptos Fundamentales
Deducción de la Fórmula
Suposición Inicial
Supongamos que tenemos una ecuación no lineal f (x) = 0 y una
aproximación inicial x0.
Desarrollo en Serie de Taylor
Expandimos la función f (x) en una serie de Taylor alrededor de x0:
f (x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0) +
f ′′(x0)
2
(x − x0)2
+ . . .
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10. Conceptos Fundamentales
Deducción de la Fórmula
Suposición Inicial
Supongamos que tenemos una ecuación no lineal f (x) = 0 y una
aproximación inicial x0.
Desarrollo en Serie de Taylor
Expandimos la función f (x) en una serie de Taylor alrededor de x0:
f (x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0) +
f ′′(x0)
2
(x − x0)2
+ . . .
Aproximación Lineal
Aproximamos f (x) utilizando solo el término lineal:
f (x) ≈ f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
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11. Conceptos Fundamentales
Encontrar la Raı́z
Si f (x) sea igual a cero, se obtiene:
0 = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
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12. Conceptos Fundamentales
Encontrar la Raı́z
Si f (x) sea igual a cero, se obtiene:
0 = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
Resolviendo para x, obtenemos:
x = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
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13. Conceptos Fundamentales
Encontrar la Raı́z
Si f (x) sea igual a cero, se obtiene:
0 = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
Resolviendo para x, obtenemos:
x = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
Fórmula de Newton-Raphson
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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14. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
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15. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
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16. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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17. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
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18. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
xn es la aproximación actual.
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19. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
xn es la aproximación actual.
f (xn) es el valor de la función en xn.
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20. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
xn es la aproximación actual.
f (xn) es el valor de la función en xn.
f ′
(xn) es la derivada de la función en xn.
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21. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
xn es la aproximación actual.
f (xn) es el valor de la función en xn.
f ′
(xn) es la derivada de la función en xn.
3 Convergencia: Repite el paso 2 hasta que la aproximación converja a
un valor lo suficientemente cercano a la raı́z deseada o hasta que se
cumpla algún criterio de convergencia predefinido.
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22. Pasos del Método
Pasos del Método de Newton-Raphson
1 Elección de la Estimación Inicial: Comienza con una estimación
inicial x0 cercana a la raı́z deseada.
2 Iteración: Utiliza la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson en cada paso:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Donde:
xn+1 es la siguiente aproximación de la raı́z.
xn es la aproximación actual.
f (xn) es el valor de la función en xn.
f ′
(xn) es la derivada de la función en xn.
3 Convergencia: Repite el paso 2 hasta que la aproximación converja a
un valor lo suficientemente cercano a la raı́z deseada o hasta que se
cumpla algún criterio de convergencia predefinido.
4 Resultado: El valor final de xn es una aproximación de la raı́z de la
ecuación f (x) = 0.
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23. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
Encontrar la raı́z de la ecuación f (x) = x2 − 5 = 0.
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24. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
Encontrar la raı́z de la ecuación f (x) = x2 − 5 = 0.
Pasos
1 **Estimación Inicial:** Comencemos con una estimación inicial
x0 = 2.
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25. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
Encontrar la raı́z de la ecuación f (x) = x2 − 5 = 0.
Pasos
1 **Estimación Inicial:** Comencemos con una estimación inicial
x0 = 2.
2 **Iteración:** Usamos la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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26. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
Encontrar la raı́z de la ecuación f (x) = x2 − 5 = 0.
Pasos
1 **Estimación Inicial:** Comencemos con una estimación inicial
x0 = 2.
2 **Iteración:** Usamos la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Para nuestra ecuación,
f (x) = x2
− 5 y f ′
(x) = 2x
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27. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
3 **Iteraciones:**
x1 = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
= 2 −
22 − 5
2 · 2
= 2.25
x2 = 2.05
x3 = 2.2361
...
x5 ≈ 2.2361

28. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
3 **Iteraciones:**
x1 = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
= 2 −
22 − 5
2 · 2
= 2.25
x3 = 2.2361
...
x5 ≈ 2.2361

29. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
3 **Iteraciones:**
x1 = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
= 2 −
22 − 5
2 · 2
= 2.25
...
x5 ≈ 2.2361

30. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
3 **Iteraciones:**
x1 = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
= 2 −
22 − 5
2 · 2
= 2.25
x5 ≈ 2.2361

31. Ejemplo Numérico
Ejemplo Numérico
Problema
3 **Iteraciones:**
x1 = x0 −
f (x0)
f ′(x0)
= 2 −
22 − 5
2 · 2
= 2.25
x2 = 2.05
x3 = 2.2361
...
x5 ≈ 2.2361
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32. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
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33. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
Proporciona resultados altamente precisos en comparación con otros
métodos.
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34. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
Proporciona resultados altamente precisos en comparación con otros
métodos.
Eficiencia en Cálculos
Requiere menos iteraciones en comparación con algunos otros
métodos numéricos.
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35. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
Proporciona resultados altamente precisos en comparación con otros
métodos.
Eficiencia en Cálculos
Requiere menos iteraciones en comparación con algunos otros
métodos numéricos.
Es eficiente en términos de tiempo computacional.
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36. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
Proporciona resultados altamente precisos en comparación con otros
métodos.
Eficiencia en Cálculos
Requiere menos iteraciones en comparación con algunos otros
métodos numéricos.
Es eficiente en términos de tiempo computacional.
Amplia Aplicabilidad
Se puede aplicar a una amplia gama de problemas en matemáticas,
ciencias e ingenierı́a.
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37. Ventajas y Limitaciones
Ventajas del Método de Newton-Raphson
Precisión Rápida
El Método de Newton-Raphson tiende a converger rápidamente hacia
la solución.
Proporciona resultados altamente precisos en comparación con otros
métodos.
Eficiencia en Cálculos
Requiere menos iteraciones en comparación con algunos otros
métodos numéricos.
Es eficiente en términos de tiempo computacional.
Amplia Aplicabilidad
Se puede aplicar a una amplia gama de problemas en matemáticas,
ciencias e ingenierı́a.
Útil para sistemas de ecuaciones no lineales y problemas de
optimización.
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38. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
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39. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
Si la estimación inicial está lejos de la raı́z, el método puede no
converger o converger a una raı́z incorrecta.
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40. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
Si la estimación inicial está lejos de la raı́z, el método puede no
converger o converger a una raı́z incorrecta.
Singularidades y Puntos Crı́ticos
El método puede fallar cuando la derivada f ′(x) es igual a cero o muy
cercana a cero en algún punto.
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41. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
Si la estimación inicial está lejos de la raı́z, el método puede no
converger o converger a una raı́z incorrecta.
Singularidades y Puntos Crı́ticos
El método puede fallar cuando la derivada f ′(x) es igual a cero o muy
cercana a cero en algún punto.
Esto puede resultar en divisiones por cero y convergencia lenta.
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42. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
Si la estimación inicial está lejos de la raı́z, el método puede no
converger o converger a una raı́z incorrecta.
Singularidades y Puntos Crı́ticos
El método puede fallar cuando la derivada f ′(x) es igual a cero o muy
cercana a cero en algún punto.
Esto puede resultar en divisiones por cero y convergencia lenta.
Requiere la Derivada
El método requiere calcular la derivada de la función, lo que puede ser
complicado en algunos casos.
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43. Ventajas y Limitaciones
Limitaciones del Método de Newton-Raphson
Dependencia de la Estimación Inicial
El método puede ser sensible a la elección de la estimación inicial.
Si la estimación inicial está lejos de la raı́z, el método puede no
converger o converger a una raı́z incorrecta.
Singularidades y Puntos Crı́ticos
El método puede fallar cuando la derivada f ′(x) es igual a cero o muy
cercana a cero en algún punto.
Esto puede resultar en divisiones por cero y convergencia lenta.
Requiere la Derivada
El método requiere calcular la derivada de la función, lo que puede ser
complicado en algunos casos.
No es aplicable a funciones no diferenciables.
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44. Ventajas y Limitaciones
Orden de Convergencia
Definición
El orden de convergencia de un método numérico es una medida de qué
tan rápido converge hacia la solución exacta a medida que se realizan más
iteraciones.
Orden de Convergencia del Método de Newton-Raphson
El Método de Newton-Raphson tiene un orden de convergencia cuadrático.
Significado
El orden cuadrático implica que el número de cifras correctas
aproximadamente se duplica en cada iteración.
Esto significa una convergencia rápida y altamente eficiente.
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45. Ventajas y Limitaciones
Demostración del Orden Cuadrático
Teorema
Si f es dos veces diferenciable en un entorno de la raı́z x∗ y f ′(x∗) ̸= 0,
entonces el Método de Newton-Raphson tiene orden de convergencia
cuadrático (p = 2).
Demostración
Comenzamos con la fórmula de iteración del Método de
Newton-Raphson:
xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
Usamos una expansión en serie de Taylor de f (x) alrededor de x∗:
f (x) = f (x∗
) + f ′
(x∗
)(x − x∗
) +
f ′′(ξ)
2
(x − x∗
)2
donde ξ está entre xn y x∗.
∗
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46. Ventajas y Limitaciones
Demostración del Orden Cuadrático (Continuación)
Demostración (Continuación)
Evaluamos la ecuación anterior en x = xn+1:
f (xn+1) − f (x∗
) = f ′
(x∗
)(xn+1 − x∗
) +
f ′′(ξ)
2
(xn+1 − x∗
)2
Restamos f (x∗) de ambos lados:
f (xn+1) = f ′
(x∗
)(xn+1 − x∗
) +
f ′′(ξ)
2
(xn+1 − x∗
)2
Dividimos por f ′(x∗):
f (xn+1)
f ′(x∗)
= xn+1 − x∗
+
f ′′(ξ)
2f ′(x∗)
(xn+1 − x∗
)2
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47. Ventajas y Limitaciones
Demostración del Orden Cuadrático (Continuación)
Demostración (Continuación)
Ahora, reorganizamos la ecuación y aplicamos el lı́mite cuando n
tiende a infinito:
lim
n→∞
|xn+1 − x∗|
|xn − x∗|2
= lim
n→∞
f (xn+1)
f ′(x∗)
·
1
|xn − x∗|2
=
f ′′(ξ)
2f ′(x∗)
· lim
n→∞
|xn+1 − x∗|2
|xn − x∗|2
Dado que limn→∞
|xn+1−x∗|
|xn−x∗|2 es un valor finito (la constante λ),
concluimos que p = 2.
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