Este documento describe los principales conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica que los números naturales son los números para contar pero no son suficientes para operaciones como la sustracción. Los números enteros incluyen ceros y números negativos para resolver más ecuaciones. Los números racionales son fracciones de enteros que pueden representarse como decimales finitos o periódicos. Los números irracionales son decimales infinitos no periódicos. Y los números reales son la unión de racional

1. N´meros reales
u Conceptos b´sicos
a Conjuntos num´ricos
e
En la presente secci´n se hace una revisi´n de los principales conjuntos n´mericos,
o o u
que se necesitan en un primer curso de Matem´tica de nivel universitario.
a
Conjunto de los n´meros naturales El conjunto de los n´meros naturales, N , es el
u u
primer conjunto de n´meros conocido y estudiado:
u
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Es un conjunto con un primer elemento, ordenado e infinito. Tambi´n se conoce
e
como el conjunto de los n´meros enteros positivos.
u
Claramente el resultado de sumar o multiplicar dos n´meros naturales, es un n´mero
u u
natural. Esta situaci´n no se cumple para el caso de la sustracci´n ni de la divisi´n.
o o o
Al no ser la sustracci´n una operaci´n cerrada en N, ecuaciones del tipo x + 7 = 4 no
o o
tienen soluci´n en este conjunto, debido a que no existe un n´mero natural que sumado
o u
con 7 de como resultado el n´mero 4. Situaciones de este tipo, hacen necesario extender
u
el conjunto de los n´meros naturales al
u
Conjunto de los n´meros enteros
u
El conjunto de los n´meros enteros, Z, es:
u
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
En este nuevo conjunto, el problema reci´n planteado tiene soluci´n, ya que el n´mero
e o u
entero −3 es la soluci´n de la ecuaci´n x + 7 = 4.
o o
En el conjunto de los n´meros enteros, existen algunos conceptos que es necesario
u
tener presente:
5

2. N´meros reales - Conceptos b´sicos
u a Conjuntos num´ricos 6
e
• Un n´mero entero a se dice factor o divisor de otro entero b, cuando existe un
u
entero c, tal que: b = a · c. Cuando esto sucede, tambi´n se dice que b es m´ltiplo
e u
de a. Por ejemplo: 2 es un factor de 18 (o, 18 es m´ltiplo de 2), pu´s 18 = 2 · 9.
u e
• Un n´mero entero p, distinto de 1, se dice primo, cuando sus unicos factores son
u ´
±1 y ±p. As´ por ejemplo, 2, −3, 5, −7 y 11 son n´meros primos; mientras que,
ı, u
por ejemplo, 4, −6, 8, −10 y 1256 no son n´meros primos. Cuando un n´mero
u u
entero no es primo, se dice compuesto.
• Un n´mero entero se dice par, cuando es divisible por 2. As´ por ejemplo, −6, 34
u ı,
y 7772 son n´meros pares. Si un n´mero entero no es par se dice impar.
u u
Observaciones:
– Si a es n´mero par, entonces existe un n ∈ Z tal que a = 2n.
u
– Si a es n´mero impar, entonces existe un n ∈ Z tal que a = 2n + 1.
u
As´ como el sistema de n´meros naturales es insuficiente para resolver ciertos tipos
ı u
de ecuaciones, tambi´n los n´meros enteros son insuficientes para resolver ecuaciones
e u
del tipo ax = b con a y b enteros y a = 0. Es claro que esta ecuaci´n s´lo tiene soluci´n
o o o
en Z, si b es m´ltiplo de a. Para que las ecuaciones de este tipo tengan siempre soluci´n,
u o
se hace necesario ampliar el sistema de los n´meros enteros al
u
Conjunto de los n´meros racionales
u
El conjunto de los n´meros racionales, Q, es:
u
Q = { a / con a y b enteros, b = 0}
b
Observaciones:
1. El conjunto de los n´meros racionales est´ constitu´ por todas las fracciones de
u a ıdo
enteros, con denominador distinto de 0.
a c
2. Dos racionales b y d son iguales siempre y cuando a · d = b · c. Es decir,
a c
= ⇐⇒ a·d=b·c
b d
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3. N´meros reales - Conceptos b´sicos
u a Conjuntos num´ricos 7
e
3. Todo n´mero racional a se puede representar como un n´mero decimal finito o
u b u
infinito peri´dico. Ello se logra simplemente efectuando la divisi´n entre a y b.
o o
Rec´ıprocamente, todo decimal finito o infinito peri´dico equivale a una fracci´n de
o o
enteros.
4. De la observaci´n precedente, se tiene que los n´meros decimales infinitos no
o u
peri´dicos, no son n´meros racionales.
o u
Aunque en la pr´ctica siempre se trabaja con n´meros racionales o con su equivalente
a u
decimal (redondeado convenientemente), hay un problema que no tiene soluci´n en el
o
2
conjunto de los n´meros racionales; se trata de la ecuaci´n x = a con a racional y tal
u o
que a no sea cuadrado perfecto de otro racional. Es posible demostrar que la soluci´no
de tal ecuaci´n no es un n´mero racional. Tal n´mero forma parte del conjunto de los
o u u
n´ meros irracionales.
u
Conjunto de los n´meros irracionales
u
El conjunto de los n´meros irracionales, Qc , est´ constitu´ por todos los n´meros
u a ıdo u
decimales infinitos y no peri´dicos.
o
Los siguientes son n´meros irracionales:
u
0.12345678910111213... 12.101001000100001.... 126.122333444455555...
Todos los n´meros contenidos en los conjuntos comentados, constituyen el universo
u
est´ndar, para la mayor parte del trabajo en matem´tica. Por esta raz´n ellos se reunen
a a o
en un nuevo conjunto num´rico:
e
Conjunto de los n´meros reales
u
El conjunto de los n´meros reales, R, es la uni´n del conjunto de los n´meros
u o u
racionales, (por lo tanto contiene a los n´meros naturales y enteros), y de los n´meros
u u
irracionales. Es decir:
R = Q ∪ Qc
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4. N´meros reales - Conceptos b´sicos
u a Conjuntos num´ricos 8
e
La tabla siguiente describe los conjuntos num´ricos y algunos ejemplos de n´meros
e u
en ellos.
S´
ımbolo Sistema num´rico
e Descripci´n
o Ejemplos
N´meros para contar
u
N N´meros naturales
u (tambi´n llamados
e 1,2,3,...
enteros positivos)
Conjunto de n´meros
u ...,−2, −1, 0,
Z N´meros enteros
u naturales, sus negativos 1,2,3,...
y el 0
Cualquier n´mero
u
que puede represen- −4; 1 ;
5
Q N´meros racionales tarse como a/b,
u 1.5
donde a y b son 0; 3.67;
enteros y b = 0 -0.121212...
Cualquier n´mero
u √
que no puede represen- 2; π;
Qc N´meros irracionales tarse como a/b,
u 1.123456...;
√
donde a y b son 5;
enteros y b = 0 -0.1223334444...
Conjunto de todos los √
R N´meros reales
u n´meros racionales e
u 2; 0.33...;
irracionales −3; π; 5.79
Un diagrama de los n´meros reales y sus principales subconjuntos es:
u
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5. N´meros reales - Conceptos b´sicos
u a Conjuntos num´ricos 9
e
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