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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas

MATEMÁTICAS

CUADERNO
AUTOINSTRUCTIVO
DE DEFINICIÓN DE
NIVELES


SUMARIO Página

Aritmética 2

Álgebra 37

Geometría Plana 81


CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO
DE DEFINICIÓN DE NIVELES

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA
1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1.3 NÚMEROS RACIONALES

1.4 PROPORCIONALIDAD

1.5 PROGRESIONES

3


1. ARITMÉTICA

1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Historia de los números.
Desde los orígenes, el hombre ha utilizado los números naturales para contar su rebaño,
sus cosechas, etc. usando piedras o marcas. Las matemáticas de los egipcios se
conocen por el papiro de Rhind de casi 3800 años y eran muy prácticas. Los babilonios
usaban una numeración en base 60, la que persiste hoy en día en los sistemas de
medición del tiempo. Los griegos utilizaban fracciones de números naturales, el sistema
decimal y se preocuparon por la existencia de números irracionales, al no poder medir la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Las primeras etapas de los sistemas
numéricos evolucionaron bajo las exigencias de navegación, comercio, ingeniería y el
ejército; y después por el avance de la astronomía y de otras ciencias. El sistema
indoarábigo de base diez es el comúnmente utilizado en la actualidad en todo el mundo.

1.1.1 Conjuntos numéricos

El conjunto de los números reales, que se denota IR, tiene los siguientes subconjuntos
notables:

a. Números naturales. (Se denota IN), IN = {1;2;3;4;5. ..}

b. Números enteros. (Se denota Ζ ), Ζ = {... - 3;-2;-1;0;1;2;3...}
Ζ Ζ

c. Números racionales. (Se denota Q ) Son los números reales que se pueden expresar en
a
la forma , con a ∈ Ζ , b ∈ Ζ y b ≠ 0 .
Ζ Ζ
b
3 11 − 3 7
Ejemplos: ; ; ; 2; − 5; 0 y 3,5 = .
5 4 750 2
d. Números irracionales. (Se denota I ) Son los números reales que no son racionales.
Ejemplos: 2 ; 4 7 ; π .

Notas:
1. Se observa que todo número natural es entero y todo número entero es racional.
En general
IN ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ IR
Ζ
I ⊂ IR
I ∪Q = IR y I ∩ Q= ∅

2. Se llaman números positivos (respectivamente negativos) a los números que son
estrictamente mayores (respectivamente menores) a cero.

1.1.2 Operaciones básicas

La suma, resta, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Adicionalmente
se define las operaciones de potenciación y radicación tal como se detalla a continuación.

4


1.1.2.1 Potencia natural de un número real a. Una potencia de base real a y exponente
natural n es el producto de n factores iguales a a.

a n = a.a.a.......a
n veces
Ejemplo: 32 = 3 x3 = 9 ; 41 = 4 ; (−3) 2 = ( −3) x (−3) = 9

Nota: Por la regla de los signos, cuando n es par se tiene an≥ 0 .

Ampliación para exponente enteros Anécdota :
no positivos. El término googol que significa
a0 = 1, si y sólo si a≠ 0 10100 fue inventado por el
1 profesor Edward Kasner de la
a −n = ,donde n es un entero Universidad de Columbia. Este
an número excede al número de
positivo y a ≠ 0; electrones en el universo que es
de 1079 !!!

Leyes de exponentes.
Sean m y n enteros, a y b números reales, tales que las operaciones que
aparecen se puedan realizar.
a man = am+ n (a n ) m = a mn
n
⎛a⎞ an
(ab) n = a nb n ⎜ ⎟ = n , donde b≠ 0
⎝b⎠ b

1 1
Ejemplos: 30 = 1 , 5 −3 = 3
= = 0,008 , (−3) 2 (−3)3 = (−3)5 , (32 ) −5 = 3−10 ,
5 125
(23 x53 ) = (2 x5)3 = 103 = 1000

1.1.2.2 Radicación de un número real a.

Si n es un entero positivo impar, entonces se define: Ejemplo
n
a =b, si y sólo si b n = a. 3
8; 3
−8 = − 2

Si n es un entero positivo par y a≥ 0; b≥ 0, entonces se define: Ejemplo
n
a =b, si y sólo si b n = a. 9 = 3 ; 4 16 = 2

El símbolo n a para la enésima raíz principal de a es denominado también radical; el
entero n es el índice y a el radicando (o cantidad subradical).

Notación: si n =2, se denota: 2 a = a y se ¡Cuidado!
dice raíz cuadrada. • 16 ≠ − 4 , aunque (-4)2 =16.
Como n es par, 16 = 4 es positivo.
• − 16 no es un número real.

5


Propiedad: Si a ≥ 0 ; b ≥ 0, entonces ab = a b .

Ejemplo: Calcular 1089 = 9 × 121 = 9 121 = 3 × 11 = 33

Radicales semejantes.- Son radicales de igual índice y que tienen el mismo número real
como radicando.
Ejemplo:
1
2 3 ;5 3 ; 3 Son radicales semejantes
2
3 3 ;5 2 No son radicales semejantes
23 5 ; 3 5 No son radicales semejantes
23
2 ; 23 2 ; 33 2 Son radicales semejantes
3

3
Ejemplo: Calcular 7 3 -5 2 - 4 - 4 3 +12 3
2 = 3 3 +7 3 2 - 4.

1.1.3 Orden de operaciones

Para calcular expresiones numéricas en las cuales Si hay dos operaciones de
no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o la misma jerarquía, se
llaves), se opera en el siguiente orden: opera de izquierda a
1. Potencias y raíces. derecha.
2. Multiplicaciones y divisiones. Ejemplo: 10 + 12 ÷ 3 x 2 =
3. Adiciones y sustracciones. 10 + 4 x 2 = 10 + 8 = 18
Ejemplo: 3 x 5 2 -7 = 3 x 25 -7 = 75 – 7 =68

Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y
llaves, se efectúa primero las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación
empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.
Ejemplo: 0,9 – 2 [6 ÷ 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 22)]
¡Error común!
= 0,9 – 2 [6 ÷ 3 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 4)]
9 – 7 ( 2x5 –1)
= 0,9 – 2 [2 x 0,2 – 0,4(6 + 0,25)]
≠ 2 ( 2x5-1)
= 0,9 – 2 [0,4 – 0,4(6,25)]
= 0,9 – 2 [0,4 – 2,5)]
= 0,9 – 2 [–2,1]
= 0,9 +4,2 = 5,1
Ejemplo: Calcular 43 − 2 x32 = 43 − 2 x9 = 43 − 18 = 25 = 5

Supresión de paréntesis.
• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo +, se
puede quitar los símbolos respectivos sin hacer ningún cambio en la expresión.
Ejemplo: 2 − 3 + (7,5 − 3 ) = 2 − 3 + 7,5 − 3 = 9,5 − 2 3 .
• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo -, se
puede quitar los símbolos respectivos cambiando el signo de cada uno de los términos
de la expresión.
Ejemplo: 2 − 3 − (7,5 − 3 ) = 2 − 3 − 7,5 + 3 = −5,5 .

1.1.4 Ejemplos y ejercicios
Ejercicio: Calcular: A = 5+12÷3x22 –7 y B = 9 – 2 ( 9 x 2 – 42). Respuesta.- A= 14, B=29

6


Ejemplo:
Dos personas se dedican a fabricar chocolates. El primero de ellos hace 30 chocolates por
hora y el segundo 75 en el mismo tiempo. Para la campaña de Navidad, el primero ha
empezado 39 horas antes del segundo y ambos terminaron cuando habían fabricado igual
número de chocolates. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?

Solución:
Como el primero ha empezado 39 horas antes, en ese lapso ha fabricado:
39 x 30 = 1 170 chocolates, cantidad en la que aventaja al segundo.
Cuando empieza a trabajar el segundo, éste hace 45 chocolates ( 75 – 30) más que el
primero en cada hora. Es decir que en cada hora el segundo reduce la ventaja de 45
chocolates.
Para eliminar la ventaja el segundo empleará entonces 26 horas debido al cálculo :
1170
= 26 y el primero habrá trabajado (26 +39) horas, o sea 65 horas.
45
Respuesta.- Total de horas de trabajo del primero: 65 horas.
Total de horas de trabajo del segundo: 26 horas.

Ejemplo:
Un negociante de provincia ha adquirido en la capital, al por mayor, 910 libros. El precio
unitario fue de 5 soles, pero se le regaló un libro por cada docena que adquirió. En su
pueblo decide regalar, para la biblioteca del colegio, 2 libros por cada docena que tiene y
vender los que le sobraban, ¿a cuánto debe vender el ejemplar, si quiere ganar 3 600 soles?

Solución:
Primero se calcula el costo total:
Al adquirir una docena de libros, le regalan uno. Entonces, se considera grupos de 13 libros.
En 910 libros, hay 70 grupos de 13 libros por 910 / 13 = 70.
El precio de cada grupo es el correspondiente a12 libros: 12x 5 = 60 soles.
Como hay 70 grupos, el costo total de los libros es de 70 x 60 = 4 200 soles.
Luego se calcula la venta total:
Por cada docena, regala 2 libros; entonces se considera grupos de 14 libros.
En 910 libros, hay 65 grupos de 14 libros por 910 / 14 =65.
Entonces le queda para vender 65 x 12 = 780 libros.
Para tener la ganancia de 3600 soles, deberá recaudar 7800 soles ( 4200 + 3600) y deberá
vender cada libro a 10 soles por 7800/ 780.
Respuesta.- El precio de venta de cada ejemplar es de 10 soles.

Ejercicio.- Juan tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de S/.229,23. Pagó con la
tarjeta: S/.296,06, S/.103 y S/.76,2. Como había gastado mucho, depositó $130 (tipo de
cambio: S/.3,50). Si a fin de mes el banco le carga por aportaciones y otros el S/.7,56, ¿cuál
es el saldo de la tarjeta? Respuesta.- El saldo de la tarjeta es de
S/. 201,41

Ejercicio: Una empresa de confecciones realiza una promoción en sus ventas y decide
obsequiar una chompa a los cinco primeros alumnos de cada sección de primaria de un
colegio y las demás venderlas a S/. 40 cada una. Si en el colegio hay 6 secciones de primer
grado de 37 alumnos cada una; 5 de segundo grado de 39 alumnos cada una; 4 de tercer
grado de 36 alumnos cada una y 7 secciones de cuarto, quinto y sexto grado todas de 37
alumnos cada una. ¿Cuánto se recauda por el total de las ventas, si todos los alumnos
restantes compraron su chompa? Respuesta.- Se obtiene S/. 28 4000 por el total de
las ventas.

7


Ejercicio: Un comerciante compra al por mayor 300 vasos a S/. 25 el ciento. Al transportar
los 300 vasos a su tienda, se rompen 3 docenas. ¿ A cuánto debe vender la docena si
quiere ganar S/. 35? Respuesta.- Cada docena se debe vender a S/. 5.

8


1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

Un paseo al Cuzco:
Una promoción de estudiantes realizará una excursión al Cuzco. Para el alquiler de
carpas tienen las siguientes propuestas: carpas para 12 personas a S/.30 la noche;
carpas para 8 personas a S/.22 la noche y carpas para 4 personas a S/.12 la noche.
Si el grupo es de 128 personas, ¿qué tipo(s) de carpas y cuántas de cada tipo deben
alquilar para que resulte lo más económico posible?
La resolución de problemas como este necesita el conocimiento de múltiplos y
divisores de números naturales.

1.2.1 Múltiplos y divisores

El campo de estudio de múltiplos y divisores, será el conjunto de los números naturales.

Definición:
Dados dos números naturales a y b,
si la división de a entre b es exacta, Nota
entonces se dice: Si a es múltiplo de b puede
• a es divisible por b expresarse como: a = kb donde k es
• a es múltiplo de b un número natural.
• b es divisor de a

Ejemplos: 20 es divisible por 5. En efecto 20 ÷ 5 = 4
22 no es múltiplo de 5 . En efecto 22 ÷ 5 = 4,4.
Los cincos primeros múltiplos naturales de 6 son: 6; 12; 18; 24; 30.
Los divisores naturales de 6 son: 1; 2; 3; 6.

1.2.2 Criterios de divisibilidad

Criterios:
Un número es divisible por 2 si se termina en 0 o en una cifra par.
Un número es divisible por 5 si se termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplo: ¿ Cuántos valores distintos puede tomar la cifra a para que el número 256a sea
múltiplo de 2 y de 3?

Solución: La suma de las cifras es: 2 + 5 + 6 + a = 13 + a, debe ser múltiplo de 3. Los
valores posibles de a son: 2; 5 y 8. Como 5 es impar solo quedan dos valores.
Respuesta.- a puede tomar solamente dos valores distintos: 2 y 8.

1.2.3 Números primos y compuestos
Nota:
Definición:
1 no es primo ni compuesto
Un número natural es primo si admite solamente
porque tiene sólo un
dos divisores distintos: la unidad y él mismo.
divisor, él mismo.
En otro caso, salvo el 1, el número natural es compuesto.

Ejemplos:
Los números primos menores que 30 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.
6 es un número compuesto porque tiene 4 divisores: 1; 2; 3; 6.

9


1.2.4 Descomposición canónica

Descomposición en factores primos o canónica. Los números naturales, salvo la unidad,
se pueden descomponer de manera única en un producto de factores primos.

Ejemplo: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2 2 x 3 2 x 5

Regla para obtener la descomposición canónica: Presentación Práctica
• Se divide el número natural por los números primos 180 2
en orden creciente hasta llegar a un cociente exacto. 90 2
• Se efectúe la división y se reporta el cociente obtenido 45 3
• Se repite el proceso hasta que el cociente sea 1. 15 3
5 5
1
Ejemplo: Paseo al Cuzco ( Ver Introducción)

Solución: La descomposición canónica de 128 es 128= 2x2x2x2x2x2 = 27 . Entonces 128
es divisible por 4 y 8 pero no por 12.
Si se considera carpas de 4 se debe alquilar 32 y el costo es de S/. 384 por 32x12 = 384.
Si se considera carpas de 8 se debe alquilar 16 y el costo es de S/. 352 por 16x22 = 352.
Sin embargo, el mayor múltiplo de 12 menor que 128 es 120. Se puede alquilar entonces 10
carpas de 12 y una carpa de 8 lo que da: 10x30 + 1x22 = 300 +22 = 322.
Respuesta.- El menor costo se obtiene alquilando 10 carpas de 12 y una carpa de 8.

Aplicación: Extracción de factores de un radical.
• Se hace la descomposición canónica del radicando.
• Se agrupa los factores primos según el índice de la raíz.
• Se aplica la propiedad de la raíz de un producto.
• Se extrae los factores posibles de las raíces.

En la tabla siguiente, se recuerda algunas propiedades importantes de la potencia y la
radicación.

Cálculos para un real a Ejemplos
Si n es impar, entonces se cumple 3
125 = 3 53 = 5 , 3
− 8 = 3 (−2)3 = −2 .
n
a = a , ( a) = a
n n n
(3 125 )3 = (5)3 = 125 .
Si n es par, a positivo, n
a n = a , (n a ) n = a 25 = 52 = 5 , ( 16 ) 2 = (4) 2 = 16 .
a negativo, n
an = − a (−3) 2 = 3 ( Notar que: – ( -3) = 3 )

Ejemplos: 18 = 32 × 2 = 32 2 = 3 2
288 = 25 × 32 = 2 2 × 2 2 × 2 × 32 = 2 2 2 2 2 32 = 2 × 2 × 2 × 3 = 12 2
3 3 3 3 3 2 3 3 2 3
3
324 = 34 × 22 = 33 × 3 × 2 2 = 33 3 2 =3 3 2 = 3 12

1.2.5 Máximo común divisor

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor divisor
común de dichos números.

10


Cálculo del MCD: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de
los factores primos comunes, cada uno elevado al menor exponente con el que aparece en
las descomposiciones de los número.

Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60. Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5
De donde MCD ( 18, 24, 60) = 2x3 = 6

Números primos relativos o primos entre sí. Dos o más números se dicen primos
relativos si admiten como único divisor común a la unidad.
Ejemplo : 9 y 10 son primos entre sí porque MCD( 9, 10) = 1.

1.2.6 Mínimo común múltiplo

El mínimo común multiplo (MCM) de dos o más números naturales es el menor de los
multiplos comunes de dichos números.

Cálculo del MCM: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de
los factores primos comunes y no comunes, cada uno elevado al mayor exponente con el
que aparece en las descomposiciones de cada número.

Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60.
Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5
de donde MCM ( 18, 24, 60) = 23x32x5 = 360

1.2.7 Ejemplos y ejercicios

Ejemplo: ¿Cuál es el MCM y el MCD de 150; 180 y 200? ¿Cuántos divisores comunes
tienen? ¿Cuántos múltiplos comunes?

Solución:
Se tiene 150 = 2x3x52 , 180 = 22x32x5 , 200 = 23x52.
De donde MCD( 150, 180, 200) = 2x3x5 = 30 y MCM(150, 180, 200) = 23x32x52=1800
Los divisores comunes de 150, 180 y 200 son los divisores de su MCD, o sea de 10.
Los divisores de 10 son: 1, 2, 5, 10. En total 10 tiene 4 divisores y 4 es el número de
divisores comunes de 150, 180 y 200.
Los múltiplos comunes de 150, 180 y 200 son los múltiplos de su MCM, o sea de 1800.
Los múltiplos de 1800 son infinitos: 1 800, 3 600, 5 400 .....
Respuestas.- MCD( 150, 180, 200) = 10, MCM(150, 180, 200) =1800.
Los números 150, 180 y 200 tienen 4 divisores comunes y una infinidad de múltiplos
comunes.

Ejemplo: Se debe cortar 2 alambres, de 48 y 60 cm de longitud respectivamente en
pedazos todos iguales y de la mayor longitud posible. Si por cada corte, se debe pagar
S/.1,00, ¿a cuánto asciende el costo total?

Solución:
La longitud “L” de cada pedazo debe ser divisor
común de 48 y 60 y como debe ser la mayor L ⎪ ⎪ ⎪
longitud posible, entonces: 48cm
L = MCD (48; 60) = 12
Se calcula cuantos pedazos se obtienen de cada ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
alambre y el número de cortes para obtenerlos:
48÷12= 4 pedazos y 3 cortes 60cm
60÷12= 5 pedazos y 4 cortes
Respuesta.- El pago total es S/.7.
11


Ejemplo: De una tela de 150 cm por 90 cm una señora quiere confeccionar servilletas
cuadradas idénticas y del mayor tamaño posible. ¿Cuántas servilletas obtendrá y cuánto
medirá el lado de cada una?

Solución:
El lado ”L” de cada servilleta debe ser divisor común
L de 90 y 150 y como debe ser la mayor longitud
posible, se tiene: MCD (90; 150) = 30
L De donde, L = 30 cm
De cada lado de la tela se obtiene:
90cm
90 ÷ 30= 3 servilletas
150 ÷ 30= 5 servilletas
Respuesta.- Se hará 15 servilletas de 30 cm de lado.

150cm

Ejemplo: Dos señoras se han encontrado hoy en la peluquería. Una de ellas va cada 10
días y la otra lo hace cada 15 días. ¿Dentro de cuántos días se volverán a encontrar?

Solución: Para que coincidan nuevamente debe pasar un número de días que sea múltiplo
de 10 y de 15 en forma simultánea y que sea el menor posible, por lo tanto ese número de
días es: MCM(10 ; 15) = 30.
Respuesta.- Ambas señoras se volverán a encontrar dentro de 30 días.

Ejercicio: ¿Cuántos triángulos rectángulos distintos, cuyos catetos son números enteros y
que tengan 50 m2 de área existen?
Respuesta.- 5 triángulos rectángulos.

Ejercicio: En la Catedral de Lima existen 3 campanas que fueron tocadas simultáneamente
hoy; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera
cada 10 días. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar las tres el mismo día?
Respuesta.- 140 días

Ejercicio: Se tienen 3 rollos de papel que miden 340m, 306m y 238m, y se pretende sacar
de éstos, rollos más pequeños todos de igual longitud, sin que sobre material. ¿Cuántos de
éstos rollos como mínimo se podrán obtener en total?
Respuesta.- 26 rollos

Ejercicio: La Municipalidad de Santiago de Surco decide sembrar árboles en un terreno que
tiene ubicado cerca al Ministerio de Guerra. El terreno es de forma rectangular, las
dimensiones son 408m y 216m. La Municipalidad decide dividir este terreno en el menor
número de cuadrados que sea posible; ¿cuántos árboles son necesarios plantar si se quiere
poner uno en cada vértice de dichos cuadrados?
Respuesta.- 180 árboles

Ejercicio: En la tienda de abarrotes del papá de Juan hay tres barriles de pintura, uno
contiene pintura roja y es de 210 litros de capacidad, otro pintura azul y es de 300 litros y un
tercero con pintura amarilla y de 420 litros. Se desea depositar la pintura de los tres barriles
(sin mezclarlas) en envases que sean de la misma capacidad. ¿Cuál es la menor cantidad
de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no se desperdicie la pintura?
Respuesta.- 31 envases

Ejercicio: Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15,
de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor?
Respuesta.- 720 naranjas
12


1.3 NÚMEROS RACIONALES
Paradoja
Agustín y Percy tiraron penales el fin de semana. El sábado,
Percy anotó 10 de 20 intentos mientras Agustín anotó 45 de
100. El dómingo, Percy anotó 30 de 100 y Agustín 5 de 20. Si
medimos la eficiencia con el cociente del número de goles sobre
el número de intentos, podemos afirmar que tanto el sábado
U
como el domingo Percy estuvo más eficiente que Agustín
aunque Agustín estuvo más eficiente en el fin de semana
completo (sábado y domingo).

1.3.1 Fracciones
a
Fracción. Es una expresión de la forma , con a ∈ Ζ, b ∈ Ζ con b ≠ 0.
b
Interpretación: Una fracción consta de dos términos: el de arriba se llama numerador y el
3 −3
de abajo se llama denominador. Al referirse a oa se entiende que la unidad principal
4 4
se divide en cuatro partes iguales y se considera (3) o se extrae (-3) tres de dichas partes.

Ejemplo: Un señor compra una pizza para 8 personas. Al llegar a casa la señora la corta en
ocho partes iguales, pero solo dos de los hijos comen su parte respectiva y deciden guardar
el resto para más tarde, ¿cuánto queda de la pizza?

Solución .La pizza es cortada en ocho
8
octavos: y se consume dos octavos:
8
2
, por lo tanto quedan seis octavos de
8
6
pizza:
8

Ejemplo: Se tiene dos quintos de un molde de queso y se compra un molde más, ¿cuántos
quintos se obtiene?
2 2 5 7
Solución: +1= + =
5 5 5 5
2 Son siete quintos de molde de queso.
5
Y 1

Observación: Los números racionales mayores que la unidad se pueden escribir como
números mixtos los cuáles tienen parte entera y parte fraccionaria.
32 2
Ejemplo: = 6 , ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y un resto de 2.
5 5
Asimismo, el número mixto también se puede convertir en fracción.
2 2 3 × 7 + 2 23
Ejemplo: 7 =7+ = =
3 3 3 3

13


Fracciones equivalentes.
Ejemplo: Se considera tres pliegos de cartulina de mismas dimensiones. Se ha señalado las
partes iguales y se ha sombreado la misma parte en cada caso.

3 9 6
5 15 10
a c a c
Dos fracciones y son equivalentes si a × d = b × c . Se denota =
b d b d

1 2 3 −5
Ejemplo: = . En efecto 1x4 = 2x2. Del mismo modo, - = por -3x10= 6x(-5)
2 4 6 10

Fracción irreductible.
Nota: El valor absoluto de
a
La fracción es irreductible si a y b son primos entre sí. un número a, que se
b denota a , es el mayor
valor del real entre a o de
6 −2
Ejemplo: y son irreductibles porque su opuesto (-a).
7 3 Ejemplos:
MCD(6,7)= 1 y MCD (2,3)= 1. −4 = 4; 5,2 = 5,2
5 − 12
y no son irreductibles porque
10 10
MCD( 5, 10) = 5 y MCD( 12, 10) = 2.

Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que tienen igual denominador.

Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador.

1 2 −8 1 2 −3
Ejemplo: , y son homogéneas, y , y son heterogéneas.
5 5 5 3 7 6

1.3.2 Operaciones

1.3.2.1 Amplificación y simplificación de los términos de las fracciones.

a ka
Debido a la propiedad: = ,donde k ∈ Ζ y k ≠ 0, se tiene dos operaciones:
b kb
• Amplificación de los términos de la fracción: cuando se multiplica el
numerador y el denominador por un mismo número entero no nulo.

• Simplificación de los términos de la fracción: cuando se divide el
numerador y el denominador por un divisor común a los dos y diferente de 1.

14


2 2 x3 6 2 2 x(−2) − 4 14 14 ÷ 7 2
Ejemplos: = = ; = = ; = =
5 5 x3 15 5 5 x(−2) − 10 35 35 ÷ 7 5

1.3.2.2 Potenciación y radicación de fracciones.

Sean a, b y n enteros tales que las
operaciones que aparecen se puedan Ejemplo
efectuar
n 3
⎛a⎞ an ⎛2⎞ 23 8 ⎛ 3⎞ 92
⎜ ⎟ = n ⎜ ⎟ = 3 = ; ⎜− ⎟ =
⎝b⎠ b ⎝ 3⎠ 3 27 ⎝ 4⎠ 16
a na 64 64 8 27 3
n = ; donde n > 0 = = ; 3 − =−
b nb 121 121 11 64 8

1.3.2.3 Adicción y sustracción de fracciones.

La suma de dos fracciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera.
a c ad + bc
+ =
b d ad

La resta de dos fraccciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera

a c ad − bc
− =
b d ad

Nota muy importante: En la práctica estas dos fórmulas no son muy útiles y en especial
cuando se debe presentar la nueva fracción en forma irreductible. Por lo tanto se ha
desarrollado procedimientos que se muestran a continuación.

Procedimientos prácticos.

Nota importante: En estos procedimientos, se suma o se resta solamente
fracciones con denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica el
numerador y el denominador de la fracción por –1.
4 4x(−1) − 4 − 10 − 10x(−1) 10
Ejemplo: = = ; = =
− 5 − 5x(−1) 5 −3 − 3x(−1) 3

• Si las fracciones son homogéneas, el procedimiento es bastante sencillo.

2 − 5 8 2 − 5 − 8 − 11
Se suma o resta los numeradores. Ejemplo: + − = = .
19 19 19 19 19

• Si las fracciones son heterogéneas, se hace en tres etapas:
1. Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.
2. Se amplifica los términos de las fracciones para convertirlas en fracciones equivalentes
homogéneas.
3. Se suma o resta los numeradores según el caso.

15


2 3
Ejemplo: +
5 4
1. En este caso se tiene MCM(4,5) = 20
2 2× 4 8 3 3 × 5 15
2. Luego, se amplifica los términos de las fracciones = = y = = .
5 5 × 4 20 4 4 × 5 20
2 3 8 15 23
3. Y después se suma los numeradores + = + =
5 4 20 20 20
3
Nota: En este caso se puede dar el resultado en forma de número mixto: 1 .
20

• Si se tiene números mixtos, se recomienda realizar por separado el cálculo con las
partes enteras y con las partes fraccionarias.
2 1
Ejemplo: Calcular: 3 + 16 .
7 3
2 2 1 1
1. Se recuerda que 3 = 3 + y 16 = 16 +
7 7 3 3
2. Se suma las partes enteras y se obtiene 3+16 =19.
2 1 2 × 3 + 1× 7 13
3. Por otro lado, se suma las partes fraccionarias y se tiene + = =
7 3 21 21
4. El resultado final se obtiene sumando los resultados parciales.
13
Respuesta.- 19 .
21

Nota importante: Todos los resultados finales deben estar dados con una
fracción irreductible.

4 1 2
Ejemplo: Calcular: + −
5 6 15

Se calcula el MCM( 5,6,15)= 2x3x5=30 y se amplifica los términos de las fracciones.
Se tiene entonces:
4 1 2 4x6 1x5 2x2 24 + 5 − 4 25
+ − = + − = =
5 6 15 30 30 30 30 30
25 25 ÷ 5 5
Ahora se simplifica los términos de la fracción obtenida: = =
30 30 ÷ 5 6
Respuesta. 5 / 6

1.3.2.4 Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación. El resultado de la multiplicación de dos o más fracciones es una nueva
fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el
producto de los denominadores.
Notas:
a c ac • Siempre es conveniente simplificar cada
x =
b d bd fracción antes de hacer las operaciones.
• Se aplica la regla de los signos cuando
hay números negativos.
3 8 − 2 3 × 8 × (−2) − 4
Ejemplo: × × = =
4 3 5 4 × 3× 5 5

16


División. El resultado de dividir una fracción entre otra es igual al producto de la primera
por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.

a c a d ad
Si c ≠ 0 , ÷ = x =
b d b c bc

a
También se puede representar como: b = ad
c bc
d
− 3 2 − 3 5 − 15 7
Ejemplo: ÷ = × = = −1
4 5 4 2 8 8

1.3.3 Comparación de fracciones

Nota importante. Se recomienda comparar solamente fracciones que tengan
denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica el numerador y el
denominador de la fracción por –1 como se explico anteriormente.

Si las fracciones a comparar son homogéneas y con denominador positivo, se compara los
numeradores.

Si las fracciones a comparar son heterogéneas y con denominador positivo, se debe
convertirlas en homogéneas y comparar los denominadores.

Ejemplo. Paradoja
Percy Agustín Resultados
Sábado 10 50 45
= Percy es más eficiente
20 100 100
Domingo 30 5 25
= Percy es más eficiente
100 20 100
Fin de semana 40 50
120 Agustín es más eficiente
120

Ejemplo.- Ordenar las fracciones siguientes de menor a mayor:

3 4 1 5
I) II) III) IV)
5 −7 2 6

Solución.-
4 −4
Se transforma la segunda fracción : = .
−7 7
−4
Ahora, como es la única fracción con numerador negativo, se deduce que es la menor.
7
Se considera el MCM ( 5 , 2, 6) = 30

3 6x3 18 1 15 5 5x5 25
De donde: = = , = , = =
5 30 30 2 30 6 30 30

17


4 1 3 5
Respuesta.- < < <
−7 2 5 6

1.3.4 Ejemplos y ejercicios.

Ejemplo: Calcular:
2 2x3 − 2 4 4
2− 4
3 3 4 6 4x2
= = 3 = 3 = 3 = x = = −8
− 2 4 1 − 2 5 1 − 1 1 − 1x3 + 1x2 − 1 3 −1 −1
÷ + x + + 6
5 5 3 5 4 3 2 3 6

Ejemplo. Manolo reparte su dinero de la siguiente manera: A Fernando le da la cuarta
parte, a Cesar la tercera parte y a Adela le da la sexta parte, quedándose con 1 800 soles.
¿Cuánto dinero tenía Manolo?

Solución:
Se expresa las fracciones del dinero total;

Fernando César Adela Manolo
1 1 1 1 1 1
1− − −
4 3 6 4 3 6

1 1 1 12 − 3 − 4 − 2 3 1
La fracción que le corresponde a Manolo es: 1 − − − = = = .
4 3 6 12 12 4
1
De donde S/. 1800 representan del total.
4
Por lo tanto, el total de dinero es 1800 x 4 = 7200.
Respuesta.- S/. 7200.

Ejemplo: Una contadora hace un reporte completo en 4 horas y su secretaria lo hace en 8
horas. Si trabajan juntas, ¿cuánto se demoran?

Solución:
1 1
En una hora, la contadora hace de todo el trabajo y su secretaria solamente .
4 8
1 1 3
Por lo tanto, juntas en una hora avanzan: + = de todo el trabajo. Para hacer el trabajo
4 8 8
8 2
se necesita de hora o sea 2 horas y de hora. Como cada hora es 60 minutos,
3 3
2
x60 = 40 minutos.
3
Respuesta. Si trabajan juntas se demoraran 2 horas y 40 minutos.

Ejemplo: Una jarra tiene un litro de jugo de naranja puro. Un niño toma la tercera parte y
reemplaza el contenido con agua. Se le cae la mitad de la mezcla y tuvo que reemplazarlo
de nuevo con agua. ¿Cuánto queda de jugo de naranja puro en la mezcla?

Solución:

18


Acción Jugo (litro) Agua (litro)
Inicio 1 0
Toma la tercera parte y se llena con 2 1
agua 3 3
1⎛2⎞ 1 2
Se cae la mitad y se llena con agua ⎜ ⎟=
2⎝3⎠ 3 3
1
Respuesta. En la mezcla, queda litro de jugo.
3

Ejercicio. Reducir las expresiones
1 1
a) 3 48 + 27 − 108 b) 3 2 + 3 − 125 + 49 − 4 2 + 5 8
4 8
Respuestas. a) 12 3 b) 9 + 6 2

Ejercicio: Calcular 5 − 2( 2 x30 − 2 −1 5 2 − 3 2 ) Respuesta. 5

⎡ 1 ⎛ 2 ⎞⎤ ⎛ ⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎢− + ⎜ − ⎟⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎟
⎣ 2 ⎝ 5 ⎠⎦ ⎛ 1⎞ ⎝ 5 ⎠ ⎝6⎠⎟
b) 3⎜
11
Ejercicio. a) + ⎜1 ⎟ Respuestas. a) – b) 4
⎛ 1 1⎞ ⎝ 4⎠ ⎜ ⎛ 1⎞ ⎟ 2
⎜− + ⎟
⎜ 5 3⎟ ⎜ 3⎜ − ⎟ + 0,2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 5⎠ ⎠
2 2
−2 −1 − +2
⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ 5 15 45 13
Ejercicio: a) ⎜ − ⎟ − ⎜− ⎟ b) Respuestas. a) b)
⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ 5
−1 4 5
3

Ejercicio. Tres niñas se han repartido una caja de chocolates, tomando una de ellas la
mitad de los chocolates, otra la tercera parte de lo que quedó y la tercera el resto. Si a la
segunda le tocó 6 chocolates, ¿cuántos chocolates le tocó a la tercera?
Respuesta: 12 chocolates

Ejercicio. En la mitad del terreno de una huerta se siembra pasto. En la tercera parte de lo
que queda se siembra café y en las 3/5 partes del resto se siembra fruta. Determine qué
parte de la huerta quedó sin sembrar y qué parte se sembró con café.
2 1
Respuesta: Se quedó sin sembrar de la huerta y se sembró con café de la huerta
15 6

Ejercicio. Para llenar un tanque de agua se dispone de dos llaves. La primera llena en una
hora 2/5 del tanque y la segunda llave llena en una hora la tercera parte. Si el tanque tiene
en el fondo dos agujeros de los cuáles fluye agua a razón de 4/15 y 1/6 del tanque por hora
respectivamente, ¿qué parte del tanque se llenará en una hora si se abre simultáneamente
3
las dos llaves? Respuesta: de tanque
10

Ejercicio. Una persona decide gastar su dinero en 4 días. El primero, gasta la mitad de lo
que tiene, el segundo la tercera parte más 10 soles; el tercer día gasta los 2/5 de lo que
gastó el día anterior y el cuarto, gasta los 100 soles restantes. ¿Cuánto tenía inicialmente?
Respuesta: S/.3 420

19


1.4 PROPORCIONALIDAD

Razón áurea
Longitud 1 + 5
Un rectángulo cuyas dimensiones satisfacen la proporción = se
Ancho 2
llama rectángulo áureo y su origen se remonta a la época de los griegos, quienes
pensaban que este rectángulo mostraba la proporción más estética y la usaron en sus
obras de Arquitectura como el Partenón, construido sobre la Acrópolis en la Antigua

1.4.1 Razones y proporciones numéricas

Razón: Es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha comparación se puede
hacer de dos maneras:
a
• Por cociente de dos reales: r = ; b ≠ 0 (razón geométrica)
b
• Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética).

Observación: r es un número real.

Ejemplo. Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le
lleva 30 años a su hijo (razón aritmética con r = 30) o también que el padre tiene 4 veces la
edad de su hijo (razón geométrica con r = 4).

Nota: En este documento sólo se tratará razón geométrica la cuál se llamará simplemente
razón.

Vocabulario
a a se llama antecedente
En una razón geométrica, r = ;b ≠ 0
b b se llama consecuente

Problema: Densidad de la población: La extensión territorial de la
ciudad “Aconao” es de 72 600 kilómetros cuadrados y su Aconao
población aproximada en 1998 era de 609 840. ¿Cuál era su 400Km
densidad poblacional en 1998?
Salida 14
Solución: La densidad poblacional es el cociente del número de
habitantes por kilómetros cuadrados. Se expresa en habitantes por kilómetros cuadrados.
En este caso la densidad poblacional de la cuidad de Aconao es de 8,4 hab/km2 por el
609840
cociente = 8,4 .
72 600
Respuesta.- La densidad poblacional de la cuidad de Aconoa es 8,4 hab / km 2 .

Proporción: Es la igualdad de dos razones.

Una proporción geométrica es de la forma
a c
= (con b≠0 y d≠0) a y d se llaman extremos de la proporción.
b d

se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”. b y c se llaman medios de la proporción.

20


Propiedad Fundamental:

a c
Para todo a, b, c y d no nulos, = es equivalente a ad = bc
b d

Consecuencias Importantes:
• Se deduce que existe un número real α tal que a= α c, b= α d.
a 4
Por ejemplo: si = entonces se tiene a =4 α y b=7 α
b 7
a c
• Si se tiene la proporción = en la cuál a, b, c y d son no nulos entonces se puede
b d
a b
formar la proporción siguiente: = .
c d

Serie de razones iguales:
x y z
Si se tiene una serie de razones iguales como: = = = k , entonces se deduce que:
a b c
x= ka, y= kb, z= kc.
Se dice que k es la constante de proporcionalidad y que los números x, y, z son
proporcionales a: a, b y c, respectivamente.

Ejemplo: Se reparte 80 canicas a tres niños de 5, 6 y 9 años proporcionalmente a su edad.
¿Cuántas canicas tendrá cada uno?

Solución: Sea x la cantidad de canicas que tiene el niño de 5 años,
y la cantidad de canicas que tiene el niño de 6 años y
z la cantidad de canicas que tiene el niño de 9 años.
Se cumple entonces lo siguiente:
x y z
• = = = k , entonces: x= 5k , y = 6k ; z= 9k
5 6 9
• x+y+z = 80
Así 5k + 6k + 9k = 80 de donde: 20k = 80 y k = 4.
De donde: x = (4)(5) =20 y = (4)(6) =24 z = (4)(9) = 36
Respuesta.- Los niños de 5, 6 y 9 años recibieron 20, 24 y 36 canicas respectivamente.

1.4.2 Magnitudes y cantidades.

Una magnitud es todo aquello susceptible de medición. Se expresa usando un número real
y una unidad de medición.

Ejemplos:
Magnitud Ejemplo Unidad Número o valor
Temperatura 15°C grado Celsius 15
Longitud 5 cm centímetro 5
Masa 7,5 kg kilogramo 7,5
Dinero S/. 20 un nuevo sol 20
Velocidad 55 km /h kilómetro / hora 55
Obrero 8 obreros un obrero 8

Otras magnitudes son: capacidad, superficie, volumen, velocidad, menú, página etc.

21


1.4.3 Magnitudes directamente proporcionales

Caso : Si un kilogramo de un producto cuesta 20 soles, y se paga en soles a razón de la
masa en kilogramos, se puede llenar la siguiente tabla:

Magnitudes Valores correspondientes
Precio (soles) 10 20 40 42,5 60
Masa (kg) 0,5 1 2 2,125 3

Se observa que el cociente de sus valores correspondientes es constante.

10 20 40 42,5 60
= = = = = 20
0,5 1 2 2,125 3
Es decir que la serie de razones iguales admite 20 como constante de proporcionalidad.

Precio
= 20 nuevo sol / kilogramo o Precio = 20 Masa nuevos soles
Masa
Se dice entonces que:
• el precio es directamente proporcional a la masa.
• la masa es directamente proporcional al precio.
• las dos magnitudes ( precio y masa) son directamente proporcionales.

Definición: Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando, al multiplicar el
valor de una de ellas por un real no nulo, el valor correspondiente a la otra magnitud se
encuentra multiplicado por el mismo real, manteniendo la misma proporción.

Ejemplos : Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un
comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes directamente proporcionales:
1. El número de objetos y el precio cuando se paga a razón del número de objetos.
2. La masa y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón de la masa de la
mercancía.
3. La longitud de la circunferencia de un círculo y la longitud del diámetro de la misma.
4. El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado.
5. El área de un cuadrado y el cuadrado de su lado.

Si A es directamente proporcional a B, entonces
A
=k o A = kB ,
B
donde k es la constante de proporcionalidad.

1.4.4 Magnitudes inversamente proporcionales

Definición: Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a una magnitud B si
1
la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud .
B

22


Caso : Si un móvil que se desplaza a una velocidad constante (Movimiento rectilíneo
uniforme) de 30 kilómetros por hora demora 2 horas, se puede llenar la siguiente tabla para
saber cuanto tiempo se demoraría para recorrer la misma distancia a velocidades constantes
distintas.

Velocidad ( km/h) 15 30 50 60

Tiempo (horas) 4 2 1,2 1

Se observa que el producto de sus valores correspondientes es constante.

15 x 4 = 30 x 2 = 50 x 1,2 = 60 x 1= 60

Es decir que la serie de productos admite 60 como constante de proporcionalidad.

60
velocidad x tiempo = 60 km o velocidad = km / h
tiempo

Se dice entonces:
• La velocidad es inversamente proporcional al tiempo.
• El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad.
• Las dos magnitudes ( velocidad y tiempo) son inversamente proporcionales.

Ejemplos: Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un
comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes inversamente proporcionales
1. El número de obreros ( de igual rendimiento) y el tiempo que emplean para hacer una
obra.
2. El número de días y el número de horas por día que emplean los trabajadores (de igual
rendimiento) en realizar una misma obra.

Si A es inversamente proporcional a B, entonces
k
A= o AB = k ,
B

1.4.5 Propiedades:
Sean A y B dos magnitudes proporcionales y sus valores correspondientes indicados en la
siguiente tabla.

A a1 a2 a3
B b1 b2 b3

1. Si A y B son directamente proporcionales entonces, se cumple:
a1 a 2 a 3 a 4
• = = = =k.
b1 b 2 b 3 b 4
donde k es la constante de proporcionalidad y tiene una unidad.

23


a1 b1 a1 b1 a b
• = , = , 2 = 2 , etc.
a2 b2 a3 b3 a3 b3

En estos cocientes, el resultado no tiene unidad debido a que se divide dos cantidades
expresadas en la misma unidad.

Ejemplo: En el caso del precio con la masa visto anteriormente, estas últimas proporciones
60 3 40 10
se traducen por ejemplo con: = , = .
40 2 2 0,5

2. Si A y B son inversamente proporcionales entonces, se cumple:
• a1 b1 = a2 b2= a3 b3 = a4 b4 = k.
donde k es a constante de proporcionalidad y tiene una unidad.

a1 b 2 a1 b 3 a b
• = , = , 2 = 3 , etc.
a 2 b1 a 3 b1 a3 b2
En estos cocientes, el resultado no tiene unidad, debido a que se divide dos cantidades
expresadas en la misma unidad.

Nota importante: Cabe resaltar que, en este caso, se invierte el orden de los valores
correspondientes.

Propiedad 2:
1. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es directamente
proporcional a la magnitud C, entonces, la magnitud A es directamente proporcional a la
magnitud BC, lo que se expresa con:

A = k BC
Donde k es la constante de proporcionalidad.

Nota: Esta propiedad se puede generalizar a más de 2 magnitudes.

2. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es inversamente
proporcional a la magnitud C, entonces se expresa con:

B
A =k ,
C

Ejemplo: La fuerza de atracción entre dos planetas es directamente proporcional a cada
una de las masas de los planetas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que los separa. Expresar la relación de proporcionalidad entre estas magnitudes. Si la
distancia entre las planetas se duplica, ¿que pasa con la fuerza de atracción?

Solución. Sea F la fuerza de atracción, M y M’ las magnitudes masa de cada planeta y D la
M.M'
magnitud distancia, se tiene entonces F = k .
D2
Si la distancia se duplica, D2 se cuadruplica y la fuerza se divide entre 4.

24


Ejemplo: Sean tres magnitudes X, Y y Z, para los cuales:
X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z.
a. Expresar X en términos de Y y de Z.
b. Si el valor de X es 18 cuando Y toma el valor 5 y Z toma el valor de 2, determinar el valor
que toma X cuando Y es 25 y Z, 3.

Solución.
Como X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z,
Y
entonces por propiedad: X = k
Z2
5
Con los datos se puede calcular k. Así 18 = k ( ). De donde k = 72/5.
22
Ahora si Y=25 , Z =3 se tiene X = (72/5 )(25/9)= 20

Respuesta.- Si Y=25 , Z =3 entonces X = 20.

Ejemplo: El valor de una obra de arte es proporcional al cuadrado de la antigüedad que
tiene. Si actualmente tiene 20 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su valor?

Solución:
Si se denota con P la magnitud obra de arte y con A la magnitud antigüedad, entonces se
tiene: P = k A2.
P p p
Por lo tanto, la relación:
2
= k, es siempre constante y se cumple: 12 = 22 .
A a1 a2
p1 4p1
Como p2 = 4 p1, se reemplaza los valores: 2
= 2 .
(20) a2
Se simplifica por p1, por ser no nulo, y por lo tanto, a22 = 4 (20)2= 1600.
Como a2 es positivo, se deduce que a2 = 1600 = 40.
Respuesta.- El valor de la obra se cuadriplicará dentro de 20 años.

Ejemplo: Si A y B son dos magnitudes tales que: A 2 3,5 5 6,5
entonces, A y B son magnitudes inversamente B 7 4 2,8 2
proporcionales.

Solución: En este caso se debe verificar que los productos de los valores correspondientes
de A y B son iguales. Se observa que 2*7=3,5*4=5*2,8= 14 pero 6,5*2=13.
Respuesta.- Las magnitudes A y B no son inversamente proporcionales.

Nota: Un error frecuente es considerar solamente que cuando los valores de A crecen, los
valores respectivos de B decrecen sin verificar todos los productos.

1.4.6 Regla de tres

1.4.6.1 Regla de tres simple:

Definición: La regla de tres simple es un procedimiento que permite hallar un término
desconocido de una proporción geométrica en la cuál interviene solamente dos magnitudes
que tienen una relación de proporcionalidad.

Regla de tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamente
proporcionales.

25


Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x
Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple B = k A.
a1 b1 a b
Se establece la proporción: = , y, por la propiedad fundamental, x = 2 1 .
a2 x a1

Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto cuestan
5 menús?

Solución:
Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (precio y menú) son directamente
proporcionales. En efecto, al aumentar el número de menús, el precio aumenta en la misma
proporción.
De esta manera se tiene:
Precio
= k donde k es la constante de proporcionalidad
Menú

Se presenta los datos de la siguiente manera:

Menús Precio
(Número de) (En Soles)
12 48
5 x
O de esta otra:
12 menús ............... S/. 48

5 menús ............... S/. x

Como las magnitudes son directamente proporcionales
12 48
• se establece la proporción =
5 x
• se aplica la propiedad fundamental (48)( 5) = 12 x
(48)(5) (4)(5)
• de donde: x = = = 20
12 1
Respuesta. – Cinco menús cuestan S/. 20.

Regla de tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamente
proporcionales.

Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x

26


Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple AB = k y se deduce:
a1 x ab
= . Por la propiedad fundamental se tiene a1 b1 = a2 x. De donde: x = 1 1 .
a 2 b1 a2

Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿cuántos días demorarían 8
obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones?

Solución: Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (tiempo y obrero) son
inversamente proporcionales. En efecto al aumentar el número de obreros, el tiempo
disminuye en la misma proporción.
Se puede presentar los datos de la siguiente manera:

Obreros Tiempo
( Número) (En días)
6 20
8 x
O de esta otra:
6 obreros .................... 20 días
8 obreros .................... x días

Como las magnitudes son inversamente proporcionales: (Obreros)(Tiempo)= k
6 x
• se establece la proporción =
8 20
• se aplica la propiedad fundamental (6)(20) = 8 x
(6)(20)
• de donde: x = = 15 .
8
Respuesta: 8 obreros se demorarían 15 días.

Ejemplo: Si se necesita dos horas para pintar una pared cuadrada de cinco metros de lado,
¿ cuánto tiempo se necesita para pintar en las mismas condiciones una pared cuadrada de
diez metros de lado?

Solución: ¡Cuidado! En este caso, la proporcionalidad no es con el lado del cuadrado sino
con su área.
Área de la pared Tiempo
( en metros cuadrados) ( en horas)
25 2
100 x

Como a más área, más tiempo, las magnitudes son directamente proporcionales y se tiene
25 100 200
= . De donde: 25 x = (100)(2) y x= =8.
2 x 25
Respuesta.- Se necesita 8 horas para pintar una pared de 10 metros de lado.

1.4.6.2 Regla de tres compuesta:

Definición.- La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un término
desconocido de una serie de razones en la cuál intervienen más de dos magnitudes que
tienen entre sí relaciones de proporcionalidad.

27


Procedimiento.- Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad que
tiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudes
considerando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamiento
constante.
Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido.

A B C
a1 b1 c1
x b2 c2

Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente
B
proporcionales entonces, por las propiedades vistas en 1.4.5, se tiene: A = k .
C
a1 b1 c 2 ab c
De donde = y x= 1 2 1.
x b2 c1 b1c 2
Nota importante.- Como A y B son directamente proporcionales entonces la razón
mantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales la
respectiva razón se invierte.
.
Ejemplo: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10 sastres
que pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de la misma
forma se necesita para hacer 600 trajes en 20 horas?

Solución: Se establece la siguiente tabla con los datos

Sastres ( Número) Tiempo (Horas) Trajes (Número)
10 40 1000
x 20 600

Como a más sastres, menos tiempo, los sastres y el tiempo son magnitudes inversamente
proporcionales
Como a más sastres, más trajes entonces los sastres y los trajes son magnitudes
directamente proporcionales
10 20 1000
Y se tiene: =( )( )
x 40 600
(10)( 40)(600)
De donde: x = = 12 y por lo tanto 12 - 10 = 2.
( 20)(1000)
Respuesta.- Se necesita 2 sastres más.

1.4.7 Porcentajes

Definición.- Un porcentaje es una razón cuyo Nota Histórica.
antecente es racional y cuyo consecuente es 100. En un libro del NCTM ( National
a Council of teachers of
La razón se denota a% y se lee a por ciento. Mathematics) se señala que el
100
signo de porcentaje %
1.4.7.1 Aplicar un porcentaje.- evolucionó de un símbolo en un
Se calcula el a % de una cantidad N de la siguiente manuscrito italiano de 1425 y
a se transformó a la notación
manera: a% de N= N. actual alrededor de 1650.
100

28


Ejemplo.- Calcular el 5 % de 90.
5
Solución.- Se calcula ( 90) , o, lo que es lo mismo, (0,05) (90). El resultado es 4,5.
100

Ejemplo. ¿Cuál es el 20 % del 30 % de 150?
30
Solución: El 30 % de 150 es : x150 = 0,30 x 150.
100
20 30
El 20 % del 30 % de 150 es x x150 = 0,20 x 0,30 x 150= 9
100 100
Respuesta. - 9

Ejemplo: La leche da 12,5 % de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 dm3 de crema,
¿cuántos litros de leche se ha procesado?

Solución: Si V es el volumen en dm3 de leche procesado, se debe cumplir
12,5 (30)(100)
12,5% de V = 30. De donde: V = 30 y V = = 240
100 12,5
V = 240 dm3 . Como 1dm3 = 1 litro se tiene

Respuesta.- Se ha procesado 240 litros de leche.

1.4.7.2 Transformar razón a porcentajes
a ⎛a⎞
Tomar el de N es equivalente a tomar el 100⎜ ⎟ % de N.
b ⎝b⎠

Ejemplos.-
3 (3)(100)
• Tomar los de N equivale a tomar el % de N, es decir el 75 % de N.
4 4
• ¿Qué porcentaje de 250 es 50?
50 a (50)(100)
Se debe cumplir = . Por lo tanto: a = = 20
250 100 250

Respuesta: 50 es el 20 % de 250.

• Un par de zapatos de 150 Nuevos Soles se rebaja a 120 Nuevos Soles. ¿Cuál es el
porcentaje de descuento?
Se ha aplicado al precio una rebaja de 30 Nuevos Soles por 150 – 120. Ahora, se calcula
30 a
el porcentaje de descuento con la proporción: = . De donde: a = 20.
150 100
Respuesta.- El porcentaje de descuento es 20 %.

Ejemplo: En un matrimonio al cuál asistieron 120 personas adultas, el 60% era hombres. Si
el 50% de los hombres y el 31,25% de las mujeres eran solteras, ¿qué porcentaje de los
asistentes eran solteros?

Solución: Se calcula el número de hombres solteros:
50 60
50% de 60% de 120 es: x x120 = 36
100 100

29


Se calcula el número de mujeres solteras: Si hay 60% de hombres entonces hay 40% de
mujeres.
31,25 40
31,25% de 40% de 120 es: x x120 = 15
100 100
36 + 15 a
Luego se establece la proporción: = , donde a es el porcentaje de los
120 100
asistentes solteros. Así a = 42,5

Respuesta.- El porcentaje de solteros es 42,5 %.

1.4.7.3 Aplicación al campo económico.

Caso 1: El Impuesto general a la ventas ( I.G.V) se calcula aplicando a cada precio inicial
el 18 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?

Solución. Si P es el precio inicial, entonces el IGV es el 18 % de P o sea (0,18)P.
Como es un aumento, el nuevo precio es:
P + 18% = P + (0,18)P = (1+0,18)P = 1,18 P

Respuesta.- Para calcular los nuevos precios se multiplica los precios iniciales por 1,18.

Caso 2: Una tienda de ropa inicia una campaña de oferta, aplicando a cada prenda un
descuento del 15 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?

Solución. Si P es el precio de una prenda, entonces el 15 % de P es (0,15)P.
Como es un descuento, el nuevo precio es:
P -15% P = P – (0,15)P = ( 1 - 0,15)P = 0,85 P.

Respuesta.- Para calcular los nuevos precios se debe multiplicarlos por 0,85.

Resumen:
Precio inicial Aumento de a% Descuento de a%
P (1 + a%) P (1 - a%)P

Ejemplo. Una tienda vende chompas a S/. 60 ganando un 20 % del costo. ¿Cuál es el costo
de una chompa?

Solución: Si C es el costo, entonces el precio de venta se expresa por: 60 = (1 + 20%) C.
De donde 60 = 1,20 C y C = 50.
Respuesta.- El costo de una chompa es de S/.50.

Ejemplo. Un automovilista va a comprar aceite para su motor en su grifo favorito y descubre
que los precios han aumentado de 15 % desde el mes anterior. Si, al comprar el aceite, el
vendedor le hace una rebaja de 15 % por ser cliente preferencial, ¿ha ganado o perdido el
automovilista en la transacción?¿ Cuál es su porcentaje de ganancia o perdida?

Solución: Si P es el precio inicial del aceite, con el aumento de 15 % se transforma en
1,15P. Luego, se aplica la rebaja de 15 % al nuevo precio y se transforma en: (0,85)(1,15) P
o sea en 0,9775 P.
Este resultado significa que el automovilista ha pagado su aceite 97,75 % del precio del mes
anterior y ha ganado el 2,25 % (100% – 97,75% ) sobre el precio del mes anterior.

30


Aplicación: Variaciones
El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento
porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior.

Ejemplo. Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos después de las fiestas
patrias, un comerciante reduce sus precios en un 20 % y observa que sus ventas en el mes
de agosto aumentan en un 30 %. ¿En que porcentaje varió su ingreso en agosto con
respecto a julio?

Solución: El ingreso se calcula multiplicando el precio por el número de artículos vendidos.
En el mes de julio, se tiene: IJ = PN donde P es el precio y N el número de artículos.
En el mes de agosto, se tiene IA = (0,80 P)(1,30N) = (1,04 PN)
La variación del ingreso del mes de julio al mes de agosto esta dada por:
I A − I J 1,04PN - PN
= = 0, 04 = 4 %.
IJ PN
Respuesta.- La variación de su ingreso de julio a Agosto es un aumento del 4 %.

1.4.8 Ejemplos y problemas.

Ejemplo. Juan y José tienen dinero en la relación de 4 a 3, pero gastan como 5 a 6
respectivamente. Si tenían juntos 350 soles y gastaron juntos 220 soles ¿En qué razón
está el dinero de Juan con respecto al de José luego de los gastos?

Juan 4 4α
Solución. La razón entre el dinero de Juan y el de José es de : = = donde α es
Jose 3 3α
un número real. Como en total tienen 350 soles, se cumple: 4α + 3 α = 350 .
De donde 7α = 350 y α = 50.
Por lo tanto, Juan tiene 200 soles y José tiene 150 soles.
Similarmente, se calcula que Juan ha gastado 100 soles y José 120 soles.
Respuesta. - Al final, Juan y José tienen dinero en la relación de10 a 3.

Ejercicio. Si el precio de una manzana es al precio de una naranja como 3 es a 2 y el precio
de una naranja es al de una pera como 5 es a 6, ¿cuántas peras se puede intercambiar por
100 manzanas?
Respuesta.- 80 peras

Ejercicio. De un plano hecho a escala 1:1 000 se obtienen las siguientes medidas de un
terreno rectangular: 5cm y 8cm. ¿Cuál es el área del terreno en metros cuadrados?
Respuesta.- 400m2

Ejercicio. Supongamos que Pedro y Juan van a establecer un negocio. Pedro va a invertir
$12 000 y Juan $18 000. ¿Qué parte de las ganancias le corresponderán a cada uno?
2 3
Respuesta: A Pedro le corresponde y a Juan
5 5

Ejercicio. Un padre desea repartir una herencia entre sus hijos José, Luis y Carlos, de
manera que las partes sean entre sí como los números 7, 6 y 5 respectivamente.
Posteriormente cambia de opinión y ordena hacer el reparto proporcionalmente a los
números 6, 5 y 4.

31


a. ¿Qué fracción de la herencia ha ganado o perdido cada uno de los hijos con esta
nueva repartición?
b. El monto total de la herencia si a uno de ellos le corresponde en la segunda
repartición S/.1 200 más que la primera.
1 1
Respuesta.- a. José gana ,Luis ni pierde ni gana y Carlos pierde de la herencia.
90 90
b. El monto total es S/. 108 000.

Ejercicio. El número de problemas resueltos por una persona en un examen es
directamente proporcional a la raíz cuadrada del número de horas diarias de estudio y es
inversamente proporcional a la edad de la persona. Si un alumno de 20 años que dedicó 4
horas diarias de estudio contestó 12 preguntas, ¿cuántas preguntas contestará un alumno
que tiene 15 años si estudio 9 horas?
Respuesta: El alumno contestará 24 preguntas.

Ejercicio. En una fabrica industrial la gratificación por fiestas patrias se pagó en forma
directamente proporcional a los años de trabajo y al número de horas diarias de jornada, e
inversamente proporcional a la cantidad tardanzas acumuladas en el año.
Si Juan Pérez recibió S/. 2 400 por trabajar 12 años, haciendo una jornada diaria de 8 horas
y habiendo llegado tarde 5 veces, ¿cuánto le correspondería a Pedro Gómez por sus 14
años de experiencia, trabajando 10 horas diarias, habiendo acumulado 7 tardanzas?
Respuesta S/.2 500

Ejercicio. Ocho albañiles, con una jornada de 10 horas por día han concluido una obra en 6
días.¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles para hacer el trabajo en
10 días? Respuesta: 9h36m

Ejercicio. Se contrataron 5 artesanos que hacen 12 chompas en 15 días. Se pretende tener
60 chompas en 25 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar adicionalmente?
Respuesta: 10 artesanos

Ejercicio. Sabiendo que un obrero se demora 16 horas en abrir una zanja de 400m3, ¿en
cuántas horas lograría abrir una zanja de 300m3 ? Respuesta: 12 horas

Ejercicio. Una guarnición tiene víveres para 121 días a razón de una ración diaria. Si se
aumenta en 1/3 el número de individuos, ¿en qué fracción se debe disminuir la ración diaria
1
para que dure el mismo tiempo? Respuesta:
4

Ejercicio. Un ingeniero cuenta con 30 obreros para hacer una obra en 24 días, pasados 10
días de trabajo le notifican que la obra debe culminarse 4 días antes, ¿cuántos obreros
adicionales debe contratar para cumplir con el nuevo plazo?
Respuesta: 12 obreros

Ejercicio. Roberto en su afán de realizar un negocio decide vender dos calculadoras del
mismo modelo a 300 dólares cada una. Si en una de ellas pierde el 15% y en la otra gana el
15% sobre el precio de compra, ¿podemos afirmar que Roberto es un buen negociante?
Respuesta: No, pierde más o menos S/.14,00

Ejercicio.¿En que porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo para fijar su precio,
de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% del
costo? Respuesta: 75%

32


Ejercicio. Compré una joya en 500 dólares y quise venderla inicialmente en "N" dólares,
pero dada la recesión decidí venderla tan sólo al 80% de dicho precio. Luego, para realizar
la venta hice un descuento adicional de 25% obteniendo una ganancia de 20%. Hallar "N".
Respuesta: $1 000

Ejercicio. ¿En qué porcentaje varía el área de un cuadrado, si su lado disminuye en 15%?
Respuesta: Disminuye en 27,75%

Ejercicio. Susana trabaja en una compañía textil. En el mes de Mayo (por el día de la
madre), recibe un aumento del 20%, y luego en el mes de Julio (por fiestas patrias), le
vuelven a aumentar, esta vez 15%. ¿Qué porcentaje extra de su sueldo de Abril estará
recibiendo en Julio?
Respuesta: 38%

Ejercicio. En una industria se han fabricado 1000 dispositivos electrónicos para
computadoras en una semana; el 45% de ellos han sido fabricados en el turno diurno de
producción y el resto en el turno nocturno. Si se sabe que el 20% de lo fabricado en el turno
diurno es defectuoso y el 40% de lo fabricado en el turno nocturno es defectuoso, ¿qué
porcentaje de la producción de la semana representan los dispositivos defectuosos?
Respuesta: 31%

33


1.5 PROGRESIONES

Hace mucho tiempo, en la India, el gran visir Sissa Ben Dahir, inventó el juego de
ajedrez en honor a su rey, Shirham. Al rey le entusiasmó tanto el juego que ofreció al
gran visir cumplir cualquier deseo que le formúlase.
• Majestad, deme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por la
segunda casilla y así, ¡Oh rey¡, doblando cada vez el número de granos que hay en
la casilla anterior, deme el trigo suficiente para cubrir todas las casillas del tablero.
• Tu deseo será cumplido ahora, gran visir¡
Sin embargo, era más fácil decirlo que hacerlo. El rey ordenó que trajesen un saco de
trigo ante su trono. Empezaron a contar los granos, pero el saco se vació antes de llegar
a la cantidad correspondiente a la vigésima casilla. Hecho esto, el rey mando a traer más
sacos hasta agotar todos los que tenía en el almacén y aún así faltaban más granos,
llegando a la conclusión de que le iba a ser imposible cumplir con el deseo del visir.

¡La cantidad era tal, que sembrando todos los campos de la India, no harían en dos mil
siglos los granos de trigo que según la promesa del rey corresponde al gran visir!

1.5.1 Progresiones Aritméticas

Definición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, se
obtiene sumando al término anterior una cantidad constante no nula llamada razón o
diferencia que se denota r.
Ejemplo: -2; 5; 12; 19; ............ es una progresión aritmética creciente de razón 7.
10; 2; -6; -14; .......... es una progresión aritmética decreciente de razón -8.

Razón Tipo de progresión
r< 0 progresión aritmética es decreciente
r >0 progresión aritmética es creciente

Elementos. En la progresión aritmética: a1; a2; .........an de n términos, se tiene:

Razón : r = ai – ai-1, donde i = 2; 3; .....; n
Término de lugar n : an = a1 + (n-1)r
(a + a n )n
Suma de los n primeros términos : Sn = 1
2

Ejemplo: Hallar el término que ocupa el lugar 23 en la progresión aritmética: 9; 4; -1;-6;...

Solución: Se calcula la razón: r = 4 – 9 = -5 .
El término de lugar 23 es : a23 = 9 + (23 -1)(-5)
Respuesta. a23 = -101

Ejemplo: Determinar el número de términos de la siguiente progresión aritmética:
-4; -1,5;1; .......; 66

Solución: Se calcula la razón: r = -1,5 – (-4) = 2,50
Se utiliza la fórmula para determinar cualquier término de posición n: an = a1+(n-1)
Si an es el último término, entonces se tiene: 66 = -4 + (n -1)(2,5)
70 = (n-1)(2,5)
28 = n – 1 de donde n = 29.

34


Respuesta.- La progresión tiene 29 términos.

Ejemplo: Un mecánico arregla 20 piezas de una carrocería. Por la complejidad del trabajo
acuerda la forma de pago siguiente: $3,50 por la primera pieza; $5,00 por la segunda; $6,50
por la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto recibirá por todo el trabajo?

Solución: Los pagos forman una progresión aritmética de razón: r = 5,00 - 3,50=1,50.
Para calcular lo que recibe por todo el trabajo se debe determinar la suma de los 20 pagos,
(a + a 20 )(20)
es decir: S20 = 1
2
Se calcula el término a20 con: a20 = a1 + (20-1)r = 3,50 +(19)(1,50) = 32
(3,50 + 32)(20)
Se reemplaza en la suma: S20 = = 355
2
Respuesta.- El mecánico recibirá por el trabajo completo S/.355,00.

1.5.2 Progresiones Geométricas

Definición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, se
obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante no nula llamada razón
que se denota q.

Ejemplos:
3; 12; 48; 192; ............ es una progresión geométrica creciente de razón q = 4.
2
10; 4; 1,6; 0,64; ......... es una progresión geométrica decreciente de razón q = .
5
1 1
; − 1; 2 ; − 4 ; − 8 ; ......... es una progresión geométrica alternante de razón q = −
2 2

Razón Tipo de progresión
q<0 Progresión geométrica alternante
0< q <1 Progresión geométrica decreciente
q >1 Progresión geométrica creciente

Elementos. En la progresión geométrica: a1, a2, .........an de n términos, se tiene:

ai
Razón :q = ; donde i = 2; 3; .....;n
a i−1
Término de lugar n : an = a1 (q )n −1
a1 ( qn − 1)
Suma de los n primeros términos : Sn = si q ≠ 1
q -1

1 1
Ejemplo: La razón de una progresión geométrica es y el óctavo término es .
2 64
Determinar el valor del primer término.

Solución: Se aplica la fórmula para el óctavo término: a8 = a1q8-1= a1q7
7
= a1 ⎛ 1 ⎞
1
Y se reemplaza : ⎜ ⎟
64 ⎝2⎠

35


1
= a1 1
64 128

Respuesta.- El primer término, a1, es 2.

Ejemplo: Hallar el noveno término a partir de la progresión geométrica: 3; ......; 24; 48;.......
a 48
Solución: Se determina la razón: q= i = =2
a i−1 24
Se calcula el noveno término: a9 = a1q8 = 3(2)8
Respuesta.- El noveno término, a9, es: 768.

Ejemplo: Se tiene una lámina triangular equilátera. Se toma los puntos medios de sus
lados formando un nuevo triángulo. En este triángulo se vuelve a tomar los puntos medios
formándose otro triángulo y así sucesivamente. Si se repite el proceso diez veces,
determinar la suma de los perímetros de todos los triángulos así formados incluyendo el
triángulo original de lado "a".

Solución:
perímetro 1: 3 (a) = 3a Los perímetros forman
⎛ a ⎞ 3a 1
perímetro 2: 3 ⎜ ⎟ = una PG de razón: y de
⎝2⎠ 2 2
a primer término 3a.
⎛ a ⎞ 3a
perímetro 3: 3 ⎜ ⎟ = Se pide determinar la
⎝4⎠ 4 suma de los 10 primeros
........ términos de dicha
perímetro 10: .............. progresión.
⎛ ⎛ 1 ⎞ 10 ⎞
3a ⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ 3a ⎛ 1 − 1⎞ 3a ⎛ − 1023 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎝ 2 ⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1024 ⎠ ⎝ 1024 ⎠
Se reemplaza en la fórmula: S10 = = =
1 1 1
-1 − −
2 2 2
3069
Respuesta.- La suma de los 10 perímetros es: S10 = a.
512

Ejemplo: Dos poblaciones “Antara” y “Bascua”, tienen en la actualidad 9 167 360 y 143 240
habitantes, respectivamente. Suponiendo una disminución anual de la población de “Antara”
en 1/8 de sus habitantes y el aumento anual de la población “Bascua” en 3/4 ¿Dentro de
cuanto tiempo las poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?

Solución: Como la población de “Antara” disminuye en 1/8 anualmente, después de cada
año quedan los 7/8 de la población anterior, por lo tanto varía de la siguiente manera:
2 n
7 ⎛7⎞ ⎛7⎞
9 167 360; (9 167 360); ⎜ ⎟ (9 167 360); ....................; ⎜ ⎟ (9 167 360) (1)
8 ⎝8⎠ ⎝8⎠
Como la población de “Bascua” aumenta en 3/4 anualmente, después de cada año quedan
los 7/4 de la población anterior, por lo tanto varía de la siguiente manera:
2 n
7 ⎛7⎞ ⎛7⎞
143 240; (143 240); ⎜ ⎟ (143 240); ....................; ⎜ ⎟ (143 240) (2)
4 ⎝ 4⎠ ⎝4⎠

Por condición del problema se busca n tal que:

36


n n
⎛7⎞ ⎛7⎞
⎜ ⎟ (9 167 360) = ⎜ ⎟ (143 240)
⎝8⎠ ⎝4⎠
7n 7n
(64) =
8n 4n
4 n ( 64) = 8 n
2 2n (2 6 ) = 2 3n
2 2n+ 6 = 2 3n

Se iguala a los exponentes: 2n+6 = 3n.
Finalmente: 6=n
Respuesta.- Dentro de 6 años ambas ciudades tendrán el mismo número de habitantes.

1.5.3 Ejemplos y problemas.

Ejercicio. Si cada fila de la tabla contiene los datos de una progresión aritmética, completar
el cuadro:

r a1 n an Sn
12 33 180
6 8 256
-1,5 12,5 10

Ejercicio. Si cada columna de la tabla contiene los datos de una progresión geométrica,
completar el cuadro:

a1 2 3 5
q 3 4 0,5 2
n 5 8 10 7
an 192
sn 4095 1275 1023

Ejercicio. Al investigar diferentes oportunidades de trabajo, se encuentra que la empresa
constructora “La Nacional” propone a sus empleados dos formas de pago:
A. $250 cada mes con un incremento de $12 mensuales a partir del segundo mes
B. $282 cada mes con un aumento de $8 mensuales, a partir del segundo mes.
Si un empleado ha sido contratado por un año, ¿qué forma de pago le conviene aceptar?
¿Cuánto recibirá el último mes?
Respuesta.- La forma de pago es B y recibe $ 370 el último mes.

Ejercicio. Un alumno se preparó para su examen parcial de la siguiente manera: el primer
día resolvió 5 problemas, el segundo día 7, el tercer día 9 y así sucesivamente. Si hasta el
5 de octubre resolvió 140 problemas en total ¿qué día comenzó a prepararse?
Respuesta.- El 26 de septiembre.

Ejercicio. En la casa de los Sánchez se quiere calcular el monto a pagar por el servicio
telefónico en el mes de Julio. Para esto se sabe que existe un cargo fijo de $14 por el
servicio, y se paga $0,5 por cada minuto de uso del servicio.
Si el 1ro de Julio se llamó 10 minutos y cada día se aumentó este número en 3 minutos, ¿a
cuánto asciende la cuenta de los Sánchez correspondiente a dicho mes?
Respuesta.- $ 866,5

37


2
Ejercicio. Un hombre que ahorra cada año los de lo que ahorró el año anterior, ahorró en
3
el quinto año $160, ¿cuánto ha ahorrado en total durante los cinco años?
Respuesta.- $ 2 110

Ejercicio. El lunes a las 8:00 de la mañana, una persona de un pueblo se entera de una
noticia, ésta la comunica a dos personas a las 9:00 y cada una de las últimas la comunica a
dos personas más a las 10:00. Si la cadena continúa de la misma manera y a las 11 de la
noche ya esta enterado todo el pueblo, ¿cuántos habitantes hay en el pueblo?
Respuesta.-65 535 habitantes

Ejercicio. Se lanza al aire una pelota desde una altura de 32m, y cada vez que cae al piso
rebota hasta un cuarto de la altura anterior. Si este proceso se repite, ¿qué altura alcanzará la
pelota después del cuarto rebote?
Respuesta.- La pelota alcanzará 0,125m

38



MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA
2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2.3 FACTORIZACIÓN

2.4 MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS POLINOMIOS

2.5 EXPRESIONES RACIONALES

2.6 EXPONENTES Y RADICALES

2.7 ECUACIONES CON UNA VARIABLE

2.8 ECUACIONES POLINOMICAS EN UNA VARIABLE

2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.10 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

39


2. ÁLGEBRA

2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para las personas familiarizadas con procesadores de textos, es muy fácil reconocer que es lo que
representan cada uno de los Iconos anteriores. Vemos que, a través de ciertas representaciones, se
indica diferentes tareas como por ejemplo:
Tarea Representación
Grabar ........... Un diskette
Imprimir ..............Una impresora
Cortar .................Una tijera.. etc.

De la misma manera, la matemática permite expresar enunciados verbales en forma concisa a través
de símbolos y operaciones, por ejemplo:
Enunciado Variable Representación
“El doble de la edad de Luis menos 5” x: la edad de Luis, en años 2x – 5
“El cuadrado de una cantidad menos
2
la tercera parte de esta misma cantidad” y: cantidad y – y/3
“La mitad del sueldo en Nuevos Soles más
una comisión fija de a Nuevos Soles” x: sueldo en Nuevos Soles x/2 + a

La representación simbólica permitió al Algebra tener su carácter universal desde el siglo 16 y es la
clave para poder representar y generalizar, procesos fundamentales en matemáticas y su mayor
potencial, lo que la hace llamar el lenguaje universal.

2.1.1 Elementos de un término algebraico

Una expresión algebraica: Es toda combinación finita de números y letras, sometidas un
número finito de veces a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación.

Ejemplo de expresiones algebraicas: E(x)= 2x ; P(x)= x + 2 ; Q(x)= x2 ; S(a, b)= 4a - 5b + 7;
1 6x − y 2
R(x, y)= 0,5 x 3 + x 2 y 3 − 5 z ; F(x, y)= ; G(x, y)= 5x2 – 15xy + 3y2.
2 z

Si la letra es utilizada para representar a cualquier número de un conjunto, se hará
referencia a ella como una variable. En cambio, una constante es un número fijo, tal como
2, 3 , etc., o una letra que represente un número fijo.

Observación: Se considera a las constantes y las variables como números reales.

El valor numérico: El valor numérico de una expresión algebraica es el número real que se
obtiene al sustituir las letras por números reales, reemplazando cada letra por un solo
número.
Ejemplo:
En la fórmula del área del cuadrado A = l2, para l = 2, se obtiene el valor numérico
A = (2)2 = 4; para l = 3, se obtiene el valor numérico A = (3)2 = 9.

40


El valor numérico de E = 5x2 – 15xy + 3y2 para x = 2, y = 1 es:
E = 5(2)2 - 15(2)(1) + 3(1)2 = -7

Valor admisible para una variable: En una expresión algebraica, un valor admisible para
una variable es un valor real que permite calcular el valor numérico de dicha expresión.

C. V. A. para una variable: Notación del conjunto de los valores admisibles de la variable.

Nota: El conjunto de los valores admisibles, C. V. A, se llama también dominio de la
expresión algebraica para la variable.
6x − z
Ejemplo: en la expresión los valores admisibles para la variable “y” son los reales y
y2
tales que y ≠ 0, mientras que para las variables “x” y “z “son todos los reales.

El conjunto de valores admisibles para y es : {y ∈ R / y ≠ 0 }.

Término algebraico. Es una expresión algebraica que sólo contiene productos, cocientes y
potencias de variables y constantes numéricas.

Ejemplo: 2x3; 3x/y2 ; -9y2 ; ax1/2, -7x3y1/2
Exponente
Signo
Partes:
-7 x 3 y 1/2
Coeficiente Parte literal

Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes, si éstos se diferencian sólo en
sus coeficientes, es decir, presentan la misma parte literal donde las variables tienen
respectivamente iguales exponentes.

Ejemplo: ¡Cuidado!

1) 5x2y, -4x2y, 7yx2; son términos semejantes 6x2y, -5x2y, -9xy2 no son
2) 8x / y, -5xy-1; son términos semejantes términos semejantes.
¿Por qué?

2.1.2 Polinomios
x y
Si se calcula el área de las figuras que están
en el margen derecho se obtiene:
Área de figura 1: x2 x
Área de figura 2: xy
Area total: x2 + xy Fig Fig
Las términos algebraicos x2, y xy reciben el nombre de monomios.

Monomio. Es aquel término algebraico cuyas variables solo se encuentran en el numerador
y con exponentes enteros no negativos entre las variables que lo conforman.

Ejemplos de monomios:
1) 5x2; ¡Cuidado!
2) - 3 xy4;
x-1, x3/2 no son monomios. ¿Por qué?
41


Grado de un monomio. Es la suma de todos los exponentes de sus variables.

Ejemplos:

1) -5x3; entonces, su grado es 3.
2) 7; entonces, su grado es 0.
3) 4x2y3; entonces, su grado es 2 + 3 = 5.

Nota. Cuando hay varias variables , se define el grado relativo respecto a una de sus
variables considerando el exponente al cuál aparece.
Ejemplo: En el caso 3 la expresión es de grado relativo dos con respecto a x y de tercer
grado respecto a y.

Polinomio. Es la suma algebraica de cualquier número finito de monomios.

Notación. Se denota a los polinomios usando letras mayúsculas e indicando entre
paréntesis el nombre de la variable o de las variables.

Ejemplos: P(x) = x2 – 6x + 12; Q(x,y) = x2 + xy; R(x,y) = – 3x2y + xy – y3 + 5

Los polinomios formado dos monomios no semejantes se llaman binomios.

Ejemplos de binomios: ¡Cuidado!
1) P(x,y) = x + y;
2) Q(x,y) = x2 y + 1 (x + y-1) no es binomio. ¿Por qué?
3) P(x) = x3+ 2x2

Grado ( absoluto)de un polinomio. Es el correspondiente al monomio ( o término) de
mayor grado cuyo coeficiente sea distinto de cero.

Nota importante. El polinomio nulo, que se denota P(x) =0, no tiene grado.

Ejemplos:

1) Si P(x) = x2 – 6x + 12; su grado es 2.
2) Si R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5;
los grados de los términos que aparecen son 3, 2, 3 y 0. Por consiguiente el grado del
polinomio es 3.
Similarmente al anterior se define el grado relativo respecto a las variables.
En este caso, el grado relativo de P con respecto a x es 2, y con respecto a y es 3.

El opuesto de un polinomio P(x) se representa por - P(x), y resulta de cambiar de signo
todos los coeficientes de sus términos.

Ejemplo: Si P(x) = x2 – 6x + 12, entonces, - P(x) = -x2 + 6x - 12

El valor numérico de un polinomio es el número real que se obtiene al sustituir cada
variable por el valor asignado a ella.

Ejemplos:

1) P(x) = x2 – 6x + 12; para x = 3, se obtiene: P(3) = (3)2 – 6(3) + 12 = 3 y P(0) = 12

2) R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5; para x = 2, y y = -1, se obtiene:
R(2, -1) = -3(2)2(-1) + (2) (-1) – (-1)3 + 5 = 16

42


2.1.3 Interpretación de textos.

Enunciado Expresión algebraica
• Un número aumentado en siete. x+7
• Dos quintos de un número. (2/5)y
• Cinco más que dos veces un número. 2x+5
• Un número reducido a su 20%. 0,20y

Frases que relacionan dos cantidades:

Identificación de una Identificación de otra
Enunciado
cantidad cantidad
• El televisor de Rafael El televisor de Claudio El televisor de Rafael
cuesta $100 más que cuesta en dólares: x cuesta en dólares : x+ 100
el de Claudio.
El televisor de Claudio El televisor de Rafael
cuesta en dólares: x - 100 cuesta en dólares : x
• El precio de un P Precio inicial en dólares Q Precio final en dolares
electrodoméstico
aumentado en su 18% El nuevo precio es: El precio inicial es:
es $400. 1,18P Q/1,18

Ejercicios:

1) Sea x el ancho de una alfombra rectangular. Exprese el largo y el perímetro en cada
caso.
a) El largo es el triple del ancho
b) El largo es igual al ancho mas su tercera parte
Respuestas: Si L es el largo y P es el perímetro se tiene:
a) L(x) = 3x. P(x) = 8x b) L(x)= (4/3)x P(x) = (14/3)x

2) Hallar el valor numérico de los polinomios si x = 3 y y = -2
a) P(x) = 9 - 2x2 - 6x
b) P(x,y) = x2 – xy + 3y2
c) P(x,y) = x2y3 – x2 + y - 5
Respuestas: a) P(3) = -27 b) P(3;-2) = 27 c) P(3;-2) = - 88

3) ¿Cuál es el grado absoluto de los polinomios del 2)?
Respuestas: a) 2 b) 2 c) 5

43


2.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

2.2.1 Símbolos de agrupamiento (o agrupación)

Los símbolos de agrupamiento ( o agrupación) más usados son los paréntesis ( ), los
corchetes [ ] o las llaves { }; y se emplean para indicar que los términos encerrados en ellos
se consideran como una sola expresión algebraica.

Supresión de símbolos de agrupamiento

1) Si un signo positivo (+) precede al símbolo de agrupamiento, dicho símbolo se puede
suprimir sin modificar los términos que contiene.

Ejemplo: 6x + 5y + (2x2 - 3y2) = 6x + 5y + 2x2 - 3y2

2) Si un signo negativo ( - ) precede al símbolo de agrupamiento, dicho símbolo se puede
suprimir cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene.

Ejemplo: 3xy - (2x - 5y2) = 3xy - 2x + 5y2.

3) Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, para suprimirlos se
comienza por las interiores.

Ejemplo: 3x - {2x3 - (5x2 - 1)} = 3x - {2x3 - 5x2 + 1} = 3x - 2x3 + 5x2 - 1

2.2.2 Adición y sustracción

Para sumar ( respectivamente restar) polinomios se suma ( respectivamente resta) los
coeficientes de los respectivos términos semejantes.

Ejemplo 1: Sumar P(x) = 6x2 + 4x - 3 con Q(x) = 9 - 2x2 - 6x.

Solución. Se ordena los polinomios y se agrupa los términos semejantes:

P(x) + Q(x) = (6x2 + 4x - 3) + (-2x2 - 6x + 9)
= (6x2 - 2x2) + (4x - 6x) + 9 - 3 = 4x2 – 4x + 6

4x2 – 4x 6

Ejemplo 2: Sustraer P(x) = (6x2 + 4x - 3) de Q(x) = 9 -2x2 - 6x

Solución: Lo anterior es equivalente a operar:

Q(x) - P(x) = Q(x) - [ P(x)] = (9 -2x2 - 6x) - (6x2 + 4x - 3)
= 9 -2x2 - 6x - 6x2 - 4x + 3
= -2x2 - 6x2 - 6x - 4x + 9 + 3 = - 8x2 – 10x + 12

- 8x2 - 10x + 12

Ejemplo 3: Efectuar -3 –{2 – [5 + (7 – 4x – 3y) + 2(x – 3y)] + 3}

Solución: Primero se elimina los símbolos de agrupamiento

44


– {2 – [5 + (7 – 4x – 3y) + 2(x – 3y)] + 3} = 3 – {2 – [5 + 7 – 4x – 3y + 2x – 6y] + 3}

= 3 – {2 – 5 - 7 + 4x + 3y - 2x + 6y + 3}

= 3 – 2 + 5 + 7 - 4x - 3y + 2x - 6y + 3

= 16 – 2x – 9y

2.2.3 Multiplicación

Al efectuar esta operación resulta conveniente calcular los términos del producto por medio
de las llamadas leyes de los exponentes.

Se recuerda la definición de potencia de un número real a ≠ 0:

a0 = 1 n : exponente entero positivo
n
a = a.a.a…..a donde a : base
an : potencia
n veces

Por ahora se necesita solamente las tres leyes de exponentes, en el caso donde a y b son
números reales y m y n son números enteros positivos:

Producto de potencias de igual base: am.an=am+n
Potencia de potencia: (am)n = amn
Potencia de un producto: (a.b)m = am.bm

Ejemplos. Hacer mucho cuidado con: 22 23 = 25 , 2 2 = 2 8 , (22)3 = 26
3

• Para multiplicar dos o más monomios, se multiplica sus respectivos coeficientes y
variables y se aplica las leyes de exponentes tanto para los coeficientes como para las
variables

Ejemplos:

1) (6x2y3)(-3x4y) = (6)(-3) x2 x4 y3 y = -18x6y4

2) (-3x2y3)2 = (-3)2(x2)2(y3)2 = 9x4y6

• Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley distributiva multiplicando el
monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo: Efectuar el producto -5x(2x4 - x2 - 6x)

Solución:

-5x (2x4 - x2 - 6x) = -10x5 + 5x3 + 30x2

• Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los polinomios por
cada uno de los términos del otro polinomio y luego se reduce los términos semejantes

Ejemplo: Efectuar el producto (2x - 5)(3x2 - x + 2)

45


Solución:

(2x - 5) (3x2 - x + 2) = 6x3 - 2x2 + 4x - 15x2 + 5x – 10 = 6x3 - 17x2 + 9x - 10

2.2.4 Productos notables

Las fórmulas que se expone a continuación son el resultado de algunos de los productos
que, con mayor frecuencia, se presentan en el cálculo algebraico, y con los cuáles el alumno
debe procurar familiarizarse. La comprobación de dichos resultados se realiza ejecutando
las multiplicaciones correspondientes.

Cuadrado de un binomio Cuidado

2 2 2
(a + b)2 ≠ a2 + b2
(a + b) = a + 2ab + b (2 + 3)2 ≠ 22 + 32
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (5)2 ≠ 4 + 9
25 ≠ 13

Ejemplos:
1) (x + 3)2 = (x)2 + 2(a)(3) + (3)2 = x2 + 6x + 9

2) (3x - 5y)2 = (3x)2 - 2(3x)(5y) + (5y) 2 = 9x2 - 30xy + 25y2

Diferencia de cuadrados

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplos:
1) (3x - 1) (3x + 1) = (3x)2 - (1)2 = 9x2 – 1

2) (x + 2y) (x - 2y) = (x)2 - (2y)2 = x2 - 4y2

Cubo de un binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 +3ab (a+b)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab (a- b)

Ejemplos:
1) (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

2) (2x - y2)3 = (2x)3 - 3(2x)2 (y2) + 3(2x)(y2)2 - (y2)3 = 8x3 - 12x2y2 + 6xy4 - y6.

2.2.5 División

Es necesario recordar la ley de exponentes que hace posible la división de potencias en el
caso de m y n enteros positivos y, a y b números reales.
En el caso de tener denominadores, se supone que estos no son ceros.

46


m
⎛a⎞ am
Potencia de un cociente: ⎜ ⎟ = m
⎝b⎠ b
am
Cociente de potencias de igual base: = am-n si m > n
an

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del dividendo entre el
divisor, y se suma los cocientes obtenidos.

Ejemplo: Dividir -12x4 + 18x3 - 6x2 entre 2x2

Solución:
− 12x 4 + 18x 3 − 6x 2 12x 4 18x 3 6x 2
= − + − = −6x 2 + 9x − 3
2x 2 2x 2 2x 2 2x 2

División de un polinomio entre otro polinomio:
En el problema de dividir un polinomio P (dividendo) entre otro polinomio D (divisor), donde
el grado de P es mayor o igual al grado de D, significa encontrar los polinomios Q (cociente)
y R (residuo) tales que:
P = D.Q + R
donde R es el polinomio nulo o el grado de R es menor que el grado de D.

P R
Observación: Se puede expresar la división como = Q + , para todos los valores
D D
admisibles de las variables.

Procedimiento para dividir un polinomio entre otro
1. Se ordena el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una misma
variable.. se completa los coeficientes con ceros para las potencias de la variable
que no parecen.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y el
resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este
término y se resta el producto obtenido del dividendo
3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el
proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente
4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que
el del divisor

Ejemplo: Dividir 2x3 - 3x2 + 8x + 3 entre x2 - x + 2

Solución: Se recomienda disponer la operación como si fuera una división entre números.

Dividendo Divisor
2x3 - 3x2 + 8x + 3 x2 - x + 2
- (2x3 - 2x2 + 4x )
-x2 + 4x +3 2x - 1
-(-x2 + x –2) Cociente
3x +5
Residuo

47


2x 3 − 3x 2 + 8x + 3 3x + 5
El resultado puede también expresarse como sigue: = 2x - 1 + 2
x −x+2
2
x −x+2

Ejemplo: Dividir x4 - x3y - xy3 + y4 entre x2 + xy + y2

Solución: La división puede presentarse también de la manera siguiente:

x2 -2xy + y2 (cociente)
2 2
(divisor) x + xy + y x4 - x3y - xy3 + y4 (dividendo)
4 3 2 2
x +xy+xy
- 2x3y - x2y2 - xy3
- 2x3y - 2x2y2 - 2xy3
x2y2 + xy3 + y4
x2y2 + xy3 + y4
0 (residuo)

x 4 − x 3 y − xy3 + y 4
El resultado se puede expresar: = x2 - 2xy + y2
x 2 + xy + y 2

Nota: Si el residuo es cero como en este ejemplo, la división se llama exacta, y el
divisor recibe el nombre de factor del dividendo.

Ejercicios:

1. Suprimir todos los signos de agrupación y reducir los términos semejantes:
a) x + (2x - y) - (4x - 7y)
b) x2 + 3x + [(x - y) - 3(2x - y + z)]
c) -5(2x - 3y) + [3x - (2y - z)] - [(x - 2y) + (3z - 2x + y)]

2. ¿Qué expresión debe restarse de x2 + 2xy + 3y2 para dar x2 - 3xy - 5y2?

3. Efectuar las multiplicaciones indicadas y reducir los términos semejantes:
a) -5y(2ay2 - y4 - 3y)
b) (3x - 4y)(5x + 7y)
c) (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
d) (x - 3)(x + 4)( x - 5)

4. Hallar el producto indicado
a) (3x - 2y)2
b) [5 - (x + y)]2
c) (3x – 2 )( 3x + 2 )
d) (ax – y)(ax + y)
e) (x – 2y)3

5. En cada división indicada determinar el cociente y el residuo
a) (x2 - 2x - 15) ÷ (x - 5)
b) (5x - 2x2 + 3x3 - 26) ÷ (x - 2)
c) (9y2 - 7 + 2y3 + 8y) ÷ (3y - 2 + y2)
d) (x4 - 16) ÷ (x - 2)

48


6. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas justificando su respuesta
a. ( a + b) 2 = a 2 + b 2
b. (2 x − y ) 2 = 4 x 2 − y 2 − 4 xy
c. (a − b) 3 = a 3 − b 3 − 3ab( a − b)
d. a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
e. (a 2 − b)(a 4 + 2a 2 b + b 2 ) = a 6 − b 6
2 2
7. Si a + b = a b = 4; usando el cuadrado del binomio calcular : a + b

Respuestas.

1. a. – x + 6y
b. x2 – 2x + 2y – 3z
c. – 6x + 14y – 2z

2. 5xy + 8y2

3. a. 5y5 – 10ay3 + 15y2
b. 15x2 + xy – 28y2
c. x3 – 8y2
d x3 – 4x2 – 17x +60

4. a. 9x2 - 12xy + 4y2
b. x2 + y2 + 2xy - 10x - 10y + 25
c. 9x2 – 2
d. a2x2 – y2
e x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

5 a. Q(x) = x + 3
R(x) = 0
b. Q(x) = 3x2 + 4x + 13
R(x) = 0
c. Q(y) = 2y + 3
R(y) = 3y – 1
d. Q(x) = x3 +2x2 + 4x + 8
R(x) = 0

6. a) F b) F c) V d) V e) F

7. 8

49


2.3 FACTORIZACIÓN

La factorización es el proceso con el cual se transforma un polinomio en un producto de
polinomios (factores) que ya no se pueden factorizar.
Estos factores se llaman factores primos o irreductibles.
Ejemplo: x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)
Factorización
Nota: En el caso de polinomios de una sola variable, los polinomios primos son:
• los polinomios de primer grado
• los polinomios de segundo sin raíces reales (ver en ecuación de segundo grado)
Ejemplos: P(x) = ax + b con a ≠ 0. P(x) = x2 – x + 1

Observación: Para factorizar no existe una receta, aquí se presenta una serie de
métodos, pero la elección del más adecuado dependerá de una práctica continua.

2.3.1 Factor común

Factor común monomio. Es el monomio cuyo coeficiente es el MCD de los coeficientes del
polinomio y cuya parte literal está formada por las variables comunes con el menor
exponente en que aparece.

Ejemplo: Factorizar 4x2y - 12xy2 + 8xy
MCD(4, 12, 8) = 4, las variables comunes con su menor exponente son x, y
Entonces, 4x2y - 12xy2 + 8xy = 4xy(x - 3y + 2)

Factorización por agrupamiento. Cuando todos los términos de un polinomio no tienen la
misma parte literal, se agrupa los términos con el fin de obtener un factor común.

Ejemplo: Factorizar P(x, y) = 4xy + 6y - 2x - 3

Se agrupa los dos primeros términos y se factoriza: 4xy + 6y = 2y(2x + 3);
luego, se agrupa los dos últimos términos y se factoriza: -2x – 3 = –1(2x + 3)

Se tiene P(x, y) = 2y(2x + 3) - (2x + 3) en el cuál (2x+3) es factor común entonces se
obtiene: P(x, y) = (2x + 3) (2y - 1)

2.3.2 Factorización de algunos trinomios de la forma ax2 + bxy + cy2 con b≠ 0

Para factorizar trinomios de ésta forma se puede utilizar el conocido “método del aspa
simple”.

Ejemplo: Factorizar P(x) = 2x2 - 5x – 3
Solución: Se descompone los extremos de: 2x2 - 5x – 3
2x 1
x -3
Se comprueba que el monomio 2x 1 → x
central sea igual a la suma de x -3 → - 6x
los productos obtenidos en aspa - 5x

Finalmente, el polinomio queda: P(x) = (2x + 1)(x - 3)

50


Ejemplo: Factorizar 16x2 - 40xy + 25y2
Solución: Se descompone los extremos de: 16x2 - 40xy + 25y2
4x - 5y → - 20xy
4x - 5y → - 20xy
- 40 xy
16x2 - 40xy + 25y2 = (4x – 5y)(4x – 5y) = (4x – 5y)2

Nota: En caso de no poder hacerlo por este método se usa la fórmula cuadrática (ver más
adelante)

2.3.3 Factorización de binomios especiales

Es importante conocer algunas identidades que involucran a binomios, por ejemplo:

“diferencia de cuadrados” a2 – b2 = (a + b)(a – b)

“suma de cubos” a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )

“diferencia de cubos” a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )

Ejemplo: Factorizar

1) 25x2 - 64y2 4) x6 – 1
2) x3 – 27y3 5) 2x4 -18x2
3) (x + 2y)2 - (x – 3y)2

Solución:
1) Vemos que es una diferencia de cuadrados, así que: 25x2 - 64y2 = (5x + 8y)(5x – 8y)

2) Es una diferencia de cubos, entonces: x3 – 27y3 = (x)3 – (3y)3 = (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2)

3) (x + 2y)2 - (x + 3y)2 = [(x + 2y) + (x + 3y)] [(x + 2y) – (x + 3y)] = (2x + 5y)( -y ) = -y(2x + 5y)

4) 1ra forma: x6 - 1 = (x3)2 - 1 = ( x3 - 1) (x3 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)( x2 - x + 1)
2da forma: x6 - 1 = (x2)3 - 1 = (x2 - 1)( x4 + x2 + 1) = (x - 1)(x + 1)( x4 + x2 + 1)

5) Primero se usa un factor común : 2x2. Y el otro factor es una diferencia de cuadrados.
2x4 - x2 = 2x2 ( x2 - 9) = 2x2 ( x - 3)( x + 3).

Ejercicios:
Factorizar cada una de las siguientes expresiones:

1) –20abc + 15b2x 5) –2x2 + 7x + 15
2) x2 – 5 6) 1 + 2x – x2 – 2x3
3) 4a2x2 – 81b4y2 7) x2 + 3x – 2xy – 6y
4) x2 – 5x – 14 8) 8x3 – 27y3

Respuestas
1) 5b (-4ac + 3bx) 5) ( 2x + 3) ( -x + 5 )
2) ( x − 5 )( x + 5 ) 6) ( 1 + 2x ) (1 – x) (1 + x)
3) ( 2ax - 9b2y)( 2ax + 9b2y) 7) ( x + 3 )( x - 2y)
4) ( x – 7) ( x + 2) 8) ( 2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)

51


2.4 MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS

Un polinomio que es divisible exactamente entre otro se llama múltiplo de ese último.

Por ejemplo, x2 - y2 es un múltiplo de x + y. En efecto x2 - y2 = (x + y)(x – y).

Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se llama múltiplo común de estos
polinomios.

Por ejemplo, x2 - y2 es un múltiplo común de (x + y) y de ( x – y).

Aquel múltiplo común de dos o más polinomios que tiene el menor grado posible se llama
mínimo común múltiplo de dichos polinomio y generalmente se le designa con la
abreviatura M.C.M. y se obtiene, multiplicando todos los factores diferentes de estos
polinomios, tomando cada factor con el máximo exponente con que aparezca.

Ejemplos: Hallar el M.C.M. de las siguientes expresiones
1) 6x2, 3xy2, 12x3y
2) x4 - 1, x3 + 1, 2x2 - 2
3) 2x2 + 3x - 2, 6x2 - 7x + 2

Solución:

1) En 6x2, 3xy2, 12x3y, los factores que aparecen con su mayor exponente son: x3, y2, y el
MCM(6, 3 ,12) = 12, por lo tanto,
M.C.M. = 12x3 y2

2) Primero se escribe cada polinomio de x4 - 1, x3 + 1, 2x2 - 2 en forma factorizada:
x4 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)
x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)
2x2 + 2 = 2(x2 + 1)
los factores con su mayor exponente son: (x + 1), (x - 1), (x2 + 1) y (x2 - x + 1), por lo
tanto,
M.C.M. = 2(x + 1)(x - 1)(x2 + 1)(x2 - x + 1)

3) Se escribe los polinomios 2x2 + 3x - 2, 6x2 - 7x + 2 en forma factorizada:
2x2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)
6x2 - 7x + 2 = (3x - 2 )(2x - 1)
luego,
M.C.M. = (2x - 1)(x + 2) (3x - 2)

Ejercicios:

Hallar el M.C.M. de las expresiones dadas y expresar el resultado en la forma factorizada

1) x2 – y2, x2 + 2xy + y2, x3 + y3
2) x2 – x – 2, x2 + 4x + 3, x2 + x – 6
3) x4 – 16, x2 + 5x + 6, x2 + x - 6

Respuesta.

1) ( x − y )( x + y ) ( x − xy + y )
2 2 2
2) (x + 1)(x – 2)(x + 3)
3) ( x 2 + 4)( x − 2)( x + 2)( x + 3)

52


2.5 EXPRESIONES RACIONALES

Cuando un polinomio se divide entre otro, el resultado no es necesariamente otro polinomio.

Expresión racional. Es el cociente de dos polinomios.

2 2x 2 + 3 x-2 x −1
Ejemplos: , , 2 y 2
x +1 x−5 x −4 x − 2x − 3

El dominio de una variable en una expresión racional ( llamado también conjunto de
valores admisibles y denotado C. V. A. ) consta de todos los números reales para los cuales
el valor numérico del denominador es distinto de cero.
2
Por ejemplo, en: el dominio de la variable es {x / x ≠ -1};
x +1
2x 2 + 3
el dominio de la variable es {x / x ≠ 5}
x−5
x-2
el dominio de la variable es {x / x ≠ -2 y x ≠ 2}
x2 − 4
x −1
el dominio de la variable es {x / x ≠ -1 y x ≠ 3}
x − 2x − 3
2

Para resolver problemas, con frecuencia se debe combinar expresiones racionales y luego
reducir las expresiones obtenidas. Como una expresión racional se expresa con variables
reales, se puede aplicar las propiedades del sistema de números reales para combinar y
simplificar las expresiones racionales. Las siguientes propiedades de las expresiones
racionales son particularmente útiles:

Sean A, B, C y D polinomios, tendremos

A.C A
1) Cancelación: = , C≠0 (*)
B.C B
A C A±C
2) Adición o Sustracción: ± = (*)
B B B
A C AD BC AD ± BC
± = ± = (*)
B D BD BD BD
A C AC
3) Multiplicación: ⋅ = (*)
B D BD
A C A D
4) División: ÷ = ⋅ (*)
B D B C

( * ) Siempre el denominador debe ser diferente de cero.

2.5.1 Simplificación de los términos de una expresión racional

Se dice que una expresión racional está reducida a sus términos más sencillos o totalmente
simplificada, cuando no existe ningún factor común entre el numerador y el denominador.

2x 3 − 2x
Ejemplo: Simplificar la expresión racional
4x − 8x 3 − 12x 2
4

53


Solución. Primero se factoriza el numerador y el denominador y luego se cancela los
factores comunes a ellos:

2x 3 − 2x 2x(x2 − 1) 2x (x + 1)(x − 1) (x − 1)
= 2 2 = =
4x − 8x − 12x
4 3 2
4x (x − 2x − 3) 4x 2 (x + 1)(x − 3) 2x (x − 3)

2.5.2 Suma y resta de expresiones racionales

Si las expresiones racionales tienen denominador común, entonces, su suma o diferencia se
obtiene sumando o restando los numeradores y admite como denominador el denominador
común.

5 x − 2 2x
Ejemplo 1: Efectuar + −
x −1 x −1 x −1

Solución: Todas las expresiones racionales tienen el mismo denominador, entonces,

5 x − 2 2x 5 + ( x − 2) − 2 x 3 − x
+ − = =
x −1 x −1 x −1 x −1 x −1
Si las expresiones racionales no tienen denominador común, entonces pueden ser
transformadas en otras expresiones racionales equivalentes que sí lo tengan. Al transformar
dos o más expresiones racionales en expresiones racionales equivalentes con denominador
común conviene usar el M.C.M. de los denominadores.

x 1
Ejemplo 2: Calcular la suma +
x −4
2
x + 4x + 4
2

Solución: El M.C.M. de los denominadores es: (x - 2) (x + 2)2

La transformación de cada expresión racional en otra equivalente cuyo denominador sea el
M.C.M. se efectúa como sigue:

x x x(x + 2)
= =
x −4
2
(x − 2)( x + 2) (x − 2)( x + 2) 2

1 1 (x - 2)
= =
x 2 + 4x + 4 (x + 2) 2 (x + 2) 2 ( x − 2)

x 1 x(x + 2) (x - 2)
luego, + = +
x −4
2
x + 4x + 4
2
(x − 2)( x + 2) 2
(x + 2) 2 ( x − 2)
x(x + 2) + x - 2
=
(x + 2) 2 ( x − 2)
x 2 + 3x - 2
De donde el resultado es: .
(x + 2)2 ( x − 2)

54


x x−3 3
Ejemplo 3: Calcular la suma − +
(x − 1) 2
x −1 x +1
2

Solución: El M.C.M. de los denominadores es: (x - 1)2 (x + 1)

x x−3 3 x(x + 1) − ( x - 3)(x − 1) + 3(x - 1)2
Luego − + =
(x − 1) 2 x2 −1 x +1 (x − 1)2 (x + 1)
x 2 + x - (x 2 − 4x + 3) + 3x 2 − 6x + 3 3x 2 − x
= =
(x − 1) 2 (x + 1) (x − 1) 2 (x + 1)
3x 2 − x
Resultado :
(x − 1) 2 (x + 1)
2a + 3 1
Ejemplo 4: Calcular la suma +
a + 3a − 4 1 − a
2

Solución: El M.C.M. de los denominadores es: (a + 4)( a – 1)
2a + 3 1 2a + 3 - (a + 4) 2a + 3 - a - 4 a -1
Luego + = = =
a + 3a − 4 1 − a
2
(a + 4 )(a − 1) (a + 4 )(a − 1) (a + 4 )(a − 1)
Ahora se observa que el numerador y el denominador tienen un factor común. a – 1.
1
Por lo tanto se simplifica y se tiene como resultado:
a+4

Nota: Es importante dar los resultados con expresiones racionales en forma simplificada.

2.5.3 Multiplicación y división de expresiones racionales

El producto de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador y
denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los
denominadores de las expresiones racionales dadas.

(a − 2b)2 x2
Ejemplo: Efectuar ⋅ 2
x 3
a − 4b2

Solución:
(a − 2b)2 x2
Factorizando numeradores y denominadores: ⋅
x3 (a-2b)(a + 2b)
a − 2b
Se simplifica por x2 y un factor (a – 2b) y se obtiene el resultado:
x(a + 2b)

El cociente de dos expresiones racionales es igual al producto del dividendo por el
recíproco del divisor.

x2 + x − 6 x2 − 4
Ejemplo 1: Dividir entre
x2 − 1 x +1

Solución: Para dividir, como se indicó, se invierte el divisor y luego se procede como en
la multiplicación

55


x2 + x − 6 x 2 − 4 x2 + x − 6 x + 1
÷ = .
x −1
2
x +1 x2 − 1 x2 − 4
(x 2 + x − 6)(x + 1)
=
(x 2 − 1)(x 2 - 4)
(x + 3)(x - 2)(x + 1)
=
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)
x+3
Se simplifica por (x – 1) ( x + 2) y se obtiene como resultado :
(x - 1)(x + 2)

Ejercicios:

Reducir las siguientes expresiones a una sola expresión racional en su forma más simple

2 − 7x 6x 2 − 11x + 4 3x 2 + 2x − 8
1) 3x + 1 - 6) ÷
2x − 3 x x 2 + 2x
x+2 3
x -1 x +1 +
7) x − 1 x + 1
2
2) −
x−2 x+3 4x − 1
x2 + 2x − 3

2 x +1 x2 − 2 1 a + 3 2a 2 + a
3) + 2 − 3 8) − −
x −1 x + x +1 x −1 2a − 1 1 − 2a 4 a 2 − 1
5x 2 y 9a2b
4) ⋅
3a2b 10xy2

ax ⎛ x a ⎞
5) ⋅⎜ − ⎟
a+x ⎝a x⎠

Respuestas:

6x 2 − 5 5. (x – a)
1.
2x − 3
3x − 1 6. 2x-1
2.
(x + 3)(x − 2) x+3
7.
x +1
2x2 + 2x + 3
3. 4
x3 − 1 8.
2a − 1
3x
4.
2y

56


2.6 EXPONENTES Y RADICALES

Se ha visto las cinco leyes de exponentes establecidas para exponentes enteros y
positivos, que se repite a continuación para fácil referencia.

Leyes de exponentes
I. am.an= am+n
II. (am)n = amn
III. (ab)m = ambm
m
⎛a⎞ am
IV. ⎜ ⎟ = m, b≠0
⎝b⎠ b
am
V. = a m − n , si m > n y a ≠ 0
an

2.6.1 Exponentes enteros negativos

Es conveniente hacer que las reglas establecidas anteriormente sean válidas para todos los
enteros m y n. Para lograr esto se define, a n, donde n es entero negativo, como sigue:

1
an = para a ≠ 0
a -n

1 ⎛ 1 ⎞ 2 x3 1
Ejemplos: x-3 = 3
, 2x-5 = 2 ⎜ 5 ⎟ = 5 , 7
= x−4 = 4
x ⎝x ⎠ x x x

Ejemplos: Simplificar las expresiones dadas

1) (3a-2b3)(2ab-2)
3 2
⎛ − 3x ⎞ ⎛ 4ax ⎞
2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2ab ⎠ ⎝ b ⎠
(x −2 y −3 ) 2 (x −3 y −2 ) 3
3)
(x 2 y 3 ) − 2
3x −1
4)
x −1 − 2y −1

Solución:

1) (3a-2b3)(2ab-2) = (3)(2)a-2ab3b-2 = 6a-1b

3 2
⎛ − 3x ⎞ ⎛ 4ax ⎞ − 27x 3 16a2 x 2 − 54x 5
2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⋅ =
⎝ 2ab ⎠ ⎝ b ⎠ 8a3b3 b2 ab5

(x −2 y −3 ) 2 (x −3 y −2 ) 3 x −4 y −6 x −9 y −6 1
3) 2 3 −2
= −4 −6
= x −9 y −6 =
(x y ) x y x y6
9

57


3 3
−1
3x 3 xy 3y
4) = = x = ⋅ x=
−1
x −y −1
1 1 y−x x y−x y−x
−
x y xy

2.6.2 Radicales

Ahora, se amplia aún más el concepto de exponente para incluir en ellos los números
fraccionarios y que obedezcan las cinco reglas establecidas al inicio de 2.6

n
La enésima raíz principal de un número a, es un número b que se simboliza por a y que
verifica bn = a, es decir,

n
a = b, si y sólo si bn = a

donde, 1) a > 0 y b > 0 si n es par
2)a, b cualesquiera si n es impar.

Vocabulario:
El símbolo n a se denomina también radical, el número n es el índice y a el radicando o
subradical.

Las siguientes leyes se usan para simplificar radicales y para efectuar con ellas diversas
operaciones algebraicas.

Leyes de los radicales
I. ( n a )n = a
¡Cuidado!
⎧a, si n es impar
II. n
an = ⎨ Es error común
⎩ a , si n es par simplificar:
III. n
a ⋅ n b = n ab x 2 como x.
n No es correcto.
a a
IV. =n si b ≠ 0. ¿Porqué?
n
b b
4 = 2 correcto.
V. n m
a = nm a = m n a
Importante: Debe observarse que si m y n son 4 = -2 incorrecto.
números naturales pares, los subradicales a y b deben ¿?
ser números no negativos.

Simplificación. Se dice que el radical simple n a está simplificado cuando satisface las
siguientes condiciones:
a) El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice n del
radical
b) El subradical no contiene fracciones

c) El índice del radical es el menor posible

58


Ejemplos:

3 3
1) 8a 5 = 2 3 a 3 a 2 = 2a 3 a 2

2) (3 x + 2 y )(2 x − 3 y ) = 6x − 9 xy + 4 xy − 6y = 6x − 5 xy − 6y

Racionalización.

Es el procedimiento que consiste en eliminar los radicales del numerador o denominador de
una expresión algebraica. Este procedimiento implica la multiplicación de la expresión por 1,
escrito en forma especial.

Ejemplos: Racionalizando los denominadores

1 1 x −1 x −1
1) = ⋅ = ( Se usa la ley I)
x −1 x −1 x −1 x −1

1 1 x +2 x +2 x +2
2) = ⋅ = = ( Se usa la diferencia de cuadrados)
x −2 x −2 x +2 ( x)2
−2 2 x−4

3)
5
=
5
⋅
( 3
x +1 ) 2

=
5 3 x +1
2

( Se usa las leyes III y I)
3
x +1 3
x +1 ( 3
x + 1)
2
x +1

Ejemplos: Racionalizando los numeradores

x +h − x x +h − x x +h + x (x + h) − x h 1
1) = ⋅ = = =
h h x + h + x h( x + h + x ) h( x + h + x ) x +h + x
2
(3 x + 3 x + 1) x −1
2) 3
x − 1 = (3 x − 1) 2
= 2
( Se usa la diferencia de cubos)
(3 x + 3 x + 1) 3
x + 3 x +1

2.6.3 Exponentes racionales

El concepto de raíz enésima de un número permite ampliar la definición de an de exponentes
enteros a exponentes racionales; y, como veremos, con frecuencia es más útil trabajar con
exponentes racionales que con radicales.

Los radicales son usados para definir exponentes racionales.

a1/n = n
a si a es real y n > 2 un entero

am/n = n
a m = (n a ) m si a es real y, m y n enteros primos, n > 2.
n
Siempre y cuando a existe.

59


Ejemplos: Simplificar cada expresión

1
1) (x2/3y-3/4)(x-2y)1/2 = (x2/3y-3/4)(x-1y1/2) = x2/3x-1y-3/4y1/2 = x-1/3y-1/4 = 1/3
x y 1/4

2 1 3 1 10 1 5 1 2
2) 6
x2y y3 = x 6y 6y 2 = x 3y 6 = x 3y 3 = x 3 yy 3 = y 3 xy 2

Ejercicios:

1) Simplificar la expresión dada y escribir el resultado con exponentes positivos

⎛ 3 −2 a3 ⎞⎛ 2−3 x −1 ⎞ (x −2 y −1 )-2 (x 2 y −2 )3
a) ⎜ − 3 − 2 ⎟⎜ −1 − 4 ⎟
⎜ 5 b ⎟⎜ 5 a ⎟ c)
⎝ ⎠⎝ ⎠ (x 2 y - 3 )2

b) (a-1 + b-1)(a + b)-1

2) Efectuar las operaciones indicadas y reducir a su forma más simple

a) 3ax 3 2a 3 x c) (2 - x 2 − 3 )2
b) (3 2x 5 )2

3) Racionalizar el denominador
15 3 2x
a) b)
3x 32 x 3

3 x −1
c) d)
x− y 2 + x −1

4) Simplificar
5xy1 / 3
a) b) 2 x 3 x
x1/ 3 y

Respuestas

625b 2 a 7 1
1) a) b) c) x6y2
72x ab

2) a) 6a 2 x 2 b) 18 x5 c) 1 - 4 x 2 − 3 + x 2

3) a)
5x
b)
3
c)
(
3 x+ y ) d)
2 x +1 − x +1
x 4x x−y 5− x

2
3
5x
4) a) 2
b) 2 4 x 7
3
y

60


2.7 ECUACIÓNES CON UNA VARIABLE

2.7.1 Definiciones

Ecuación con una variable. Es una igualdad de dos expresiones algebraicas de una sola
variable.
Estas expresiones son llamadas miembros o lados de la ecuación.
x 2 −1
Ejemplos: x + 2 = 5; x2 - x - 6 = 0; = x + 1; x2 + 5 = 1
x −1

Valor admisible de una ecuación: Es un valor admisible para las dos expresiones
algebraicas involucradas.

C.V.A de una ecuación: Es el conjunto de los valores admisibles de la ecuación.
x 2 −1
Ejemplo. Para la ecuación = x + 1 , C.V.A = {x / x ≠ 1}
x −1

Solución de una ecuación de una variable . Un número real que al ser sustituido en la
variable la convierte en una identidad numérica se llama solución de la ecuación.

Nota: En el caso de una ecuación polinómica, P(x) = 0 donde P es un polinomio, la solución
se llama también raíz del polinomio P(x).

El conjunto de todas las soluciones se llama Conjunto Solución y se denota C. S. El C. S.
es un subconjunto del C.V.A.

Ejemplo: x = 3 es solución de x + 2 = 5, puesto que (3) + 2 = 5,
Reemplazando en la ecuación para otro valor de x no se convierte en una
identidad numérica. luego, 3 es el único valor de x que satisface la ecuación.
Por lo tanto, C.S. = { 3 }

Ejemplo: La ecuación x2 + 5 = 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales, por
lo tanto, C.S. = Φ

Identidad. Es una ecuación que se satisface para todos los valores admisibles de la variable
Es decir : C.V.A. = C.S.
x 2 −1
Ejemplo: La ecuación = x + 1, tiene como valores admisibles al conjunto {x / x ≠ 1}
x −1
y se satisface para todo x ≠ 1, es decir, C.S. = {x / x ≠ 1}.
La ecuación es una identidad.

Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen exactamente
las mismas soluciones.
x+2
Ejemplo: las ecuaciones (1) 2x – 5 = 3; (2) − x = −2
3
son equivalentes por que tienen el mismo conjunto solución C.S. = { 4 }

Generalmente, se resuelve una ecuación encontrando una ecuación equivalente que tenga
soluciones que se determinan fácilmente.

61


Operaciones que producen ecuaciones equivalentes
(i) Sumar o restar de cada lado de una ecuación de una variable la misma expresión
algebraica H(x) (sin alterar el C.V.A).
F(x) =G(x) es equivalente a: F(x) + H(x) = G(x) + H(x)

(ii) Multiplicar o dividir cada lado de una ecuación por un número real distinto de cero.
F(x) =G(x) es equivalente a: k.F(x) = k.G(x), k≠0

Ejemplo: Resolver 4x – 3 = 5 + 2x

Solución: El C.V.A de la ecuación es el conjunto de los números reales. C.V.A. = ℜ
Se establece la siguiente lista de ecuaciones equivalentes:

4x – 3 = 5 + 2x
4x - 3 -2x = 5 +2x – 2x por (i)
2x – 3 =5
2x – 3 + 3 = 5 + 3 por (i)
2x = 8
½ (2x) = ½(8) por (ii)
x=4
Respuesta: C.S. = { 4 }

Nota: Como es posible cometer errores aritméticos o algebraicos cuando se
soluciona una ecuación, es recomendable verificar cada solución, sustituyéndola
en la ecuación original.

Resumen de estrategia para resolver una ecuación:
1. Determinar el conjunto de valores admisibles.
2. Resolver usando la teoría.
3. Verificar la posible solución.
4. Indicar el Conjunto Solución.

2.7.2 Ecuación de primer grado

Es aquélla que se puede expresar de la forma:
ax + b = 0, donde a y b constantes reales con a ≠ 0.
−b
Esta ecuación admite una única solución dada por x = . C. S. = { -b / a }
a
Nota: Toda ecuación de primer grado tiene C.V.A = ℜ
x+3 3 x
Ejemplo 1: Resolver − =−
5 2 4

Solución: Multiplicando ambos miembros por el M.C.M.(5;2;4) = 20

4(x + 3) - 10(3) = -5x

62


efectuando operaciones 4x + 12 - 30 = -5x

transponiendo y reduciendo 4x + 5x = 30 - 12

9x = 18 de donde x = 2

Respuesta: C.S. = { 2 }
∴

Nota: Ecuaciones reducibles a primer grado
Son ecuaciones que no tienen la forma de la ecuación de primer grado, pero que al
momento de operar con ella se reducen a una ecuación de primer grado.

3x 6
Ejemplo: Resolver = 1+
x−2 x−2

Solución: En este caso, se debe cumplir que x - 2 ≠ 0, es decir, x ≠ 2
o sea C.V.A = {x / x ≠2}
3x 6
Luego, multiplicando por (x - 2), (x − 2) = (x − 2) + (x − 2)
x−2 x−2

transponiendo y reduciendo términos 3x = x - 2 + 6
2x = 4
x=2

Pero, como x no puede tomar el valor 2, la ecuación no tiene solución, y C.S. = Φ

1 3 1
Ejemplo: Resolver − 2 = 2
x − x − 2 x − 2x − 3 x − 5x + 6
2

Solución: Factorizando los denominadores para poder obtener el M.C.M. de ellos

1 3 1
− =
(x − 2)(x+ 1) (x − 3)(x+ 1) (x − 3)(x− 2)

los valores que puede tomar x son: x ≠ -1; x ≠2 y x ≠3 :

Así C.V.A. = {x / x ≠ -1; x ≠ 2; x ≠3 }

M.C.M. de los denominadores: (x - 2)(x - 3)(x + 1)

multiplicando la ecuación por el M.C.M. (x - 3) -3(x - 2) = (x + 1)
x - 3 - 3x + 6 = x + 1
x -3x - x = 3 - 6 + 1
2
-3x = -2 de donde x = −
3
Se verifica que –2/3 es un valor admisible y por lo tanto ∴
2
Respuesta: C.S. = { − }
3

63


Modelación y resolución de problemas

1. Comprensión del problema:
leer bien el problema, elegir la variable e indicarla con unidades.
2. Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos
3. Resolución:
es la parte operativa del problema. Es bueno verificar los resultados obtenidos.
4. Análisis de respuesta y respuesta completa:
Reflexionar sobre el sentido de los números obtenidos y escribir la respuesta
completa. No olvidar de indicar las unidades.

Problema 1
Un hombre deja de herencia 1/3 de su dinero a su esposa; 1/4 a su hija, y el resto. $/ 14000,
a su hijo. ¿Cuánto dinero dejó?

Solución:
1) Sea x: el monto total del dinero en dólares que deja de herencia

1 1
2) A su esposa le corresponde x ; a la hija le corresponde x ; y al hijo $ 14 000.
3 4

La suma de estas cantidades hace el monto total x , entonces,
1 1
x + x + 14000 = x
3 4
1 1
3) x − x − x = 14000
3 4
5x
= 14000 de donde x = 33600
12
4) Respuesta : El monto total de dinero que deja es $33 600.

Problema 2
Un alambre de 21 metros se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de
ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. ¿Cuál es la longitud de la parte
mayor?

Solución:
1) Sea x es la longitud en metros de la parte mayor,

2) Entonces, (21 - x) medirá la parte menor.
3
Por la condición del problema, 21 - x = (x)
4
3) resolviendo se tiene 84 - 4x = 3x
7x = 84
x = 12

4) Respuesta: La longitud de la parte mayor es 12 metros.

Problema 3
En un pueblo correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día. Hoy ha aumentado la
población en 40 habitantes y corresponde a cada uno tres litros menos. ¿Cuántos habitantes
tiene actualmente el pueblo?

64


Solución:
1) Sea x: el número de habitantes que había inicialmente

2) Si a cada uno le corresponde 60 litros, el consumo total es de 60x litros.
Con el incremento de 40 habitantes más se tiene x + 40 habitantes,
ahora, a cada uno le corresponde 3 litros menos, el consumo total será de 57(x+40) litros
Como la cantidad total de litros de agua no ha variado se tendrá:

60x = 57(x + 40)
3) Calculando 60x = 57x + 2280
3x = 2280
x = 760

4) Se pide el número de habitantes en el presente, o sea 760 +40 = 800 habitantes.

Respuesta : El pueblo tiene 800 habitantes actualmente.

2.7.3 Ecuación de segundo grado

Es aquélla que se puede expresar de la forma:

ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son constantes reales con a ≠ 0

Ejemplos: x2 = 5x; x2 - 2x = 3; 3x2 - 7x - 5 = 0

Nota: Toda ecuación de segundo grado tiene C.V.A = R

Métodos de resolución:
1. El método más sencillo para resolver una ecuación cuadrática es factorizarla y aplicar la
siguiente propiedad del factor cero:

Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Ejemplo: Resolver las ecuaciones cuadráticas
Error común
1) x2 = 5x
2) x2 - 2x - 3 = 0 Consiste en
3) 2x2 - 5x + 2 = 0 simplificar por x en
x2= 5x
Solución: Y dar como solución
solamente a x = 5.
1) Ordenando la ecuación x2 - 5x = 0 ¿Porqué es falso?
Factorizando (factor común x(x - 5) = 0
por la propiedad factor cero x=0 o x-5=0
x=0 o x=5
Respuesta : C.S. = { 0; 5 }

2) x2 - 2x - 3 = 0 factorizando se tiene (x - 3)(x + 1) = 0
( aspa simple) x-3=0 o x+1=0
x = 3 o x = -1
Respuesta : C.S. = { -1; 3 }

65


3) 2x2 - 5x + 2 = 0 factorizando se tiene (2x - 1)(x - 2) = 0
(aspa simple) 2x - 1 = 0 o x - 2 = 0
x = 1/2 o x = 2
Respuesta : C.S. = { 1/2; 2 }

2. Usando binomios especiales. x2 – k = 0 con k > 0.

En efecto, x2 – k = 0 es equivalente a (x - k )(x + k ).= 0
de donde x = k o x=- k.

Propiedad de la raíz cuadrada

Si k > 0, las soluciones de x2 = k son x = + k .

Ejemplo: Resolver las ecuaciones cuadráticas

1) x2 = 32
2) x2 = -9

Solución:

1) En x2 = 32, entonces: x2 – 32=0; (x- 4 2 )(x+ 4 2 )=0; x = + 4 2 , por lo tanto:
∴ C.S. = { - 4 2 ; 4 2 }

2) En x2 = -9, vemos que -9 < 0, no existen raíces reales y C.S. = Φ

3. En el caso que no sea fácil de aplicar las propiedades anteriores, se utiliza la fórmula
cuadrática.

Siendo la ecuación ax + bx + c = 0, donde a, b, y c son coeficientes reales y a ≠ 0,
2

se considera para el análisis de la naturaleza de las raíces al valor de b2 – 4ac como
discriminante y se le representa por ∆ . Luego se tiene:

a) Si ∆ > 0 : hay dos raíces reales y distintas:
− b + b2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
x1 = y x2 =
2a 2a
b
b) Si ∆ = 0 : hay dos raíces reales e iguales (raíz doble) x1 = x2 = −
2a
c) Si ∆ < 0 : no existen raíces reales

NOTA: Si ∆ < 0 : entonces el polinomio P(x) = ax2 + bx + c se dice que el polinomio es
primo o irreductible.

Ejemplos: Los polinomios P(x) = x2 - x +1 y P(x) = x2 +1 son irreductibles porque en cada
caso ∆ < 0 :

66


Ejemplo 1: Resolver la ecuación 3 x 2 − 7 x − 5 = 0 usando la fórmula cuadrática.

Solución:
En este caso: a = 3 , b = -7 y c = -5.
de donde ∆ = b 2 − 4ac > 0 y hay dos raíces reales y distintas:

− (− 7 ) ± (− 7 )2 − 4(3)(− 5) 7 ± 109
Luego: x = o sea x=
2(3) 6
7 + 109 7 − 109
Entonces : x1 = x = y : x2 = x =
6 6

⎧ 7 − 109 7 + 109 ⎫
Respuesta : C.S. = {x1 ; x 2 } = C.S. = ⎨ ; ⎬
⎩ 6 6 ⎭

Ejemplo 2: Determinar el valor de k en la ecuación 4x2 - 10x + (2k - 3) = 0, para que tenga
sus dos raíces iguales.

Solución: El discriminante debe ser igual a cero, es decir, ∆ = 0,

de donde -(10)2 - 4(4)(2k - 3) = 0
100 - 32k + 48 = 0
37
Respuesta : k=
8

x +1 x − 2
Ejemplo 3: Resolver + =3
x −1 x + 2

Solución: Esta ecuación se reduce a una cuadrática.

Los valores que puede tomar x son: x ≠ 1, x ≠ -2 de donde C.V.A. = {x / x ≠ 1; x ≠ -2 }

(x + 1)(x + 2) + (x − 1)(x − 2)
hallando M.C.M. y efectuando =3
(x − 1)(x + 2)

operando x2 + 3x + 2 + x2 - 3x + 2 = 3(x - 1)(x + 2)
simplificando x2 + 3x - 10 = 0
factorizando (x + 5)(x - 2) = 0
x + 5 = 0 o x -2 = 0
x = -5 o x = 2
Se observa que -5 y 2 son valores admisibles
Respuesta : C.S. = { -5; 2 }

Modelación y resolución de problemas.
Se usa la misma metodología que para ecuaciones de primer grado con los cuatros pasos.

Problema 1
Si la longitud y el ancho de un terreno rectangular de 6m y 10m respectivamente se
aumenta en una misma cantidad de metros, el área del nuevo rectángulo excede en 20m2 al
doble del área original. ¿En cuánto se incrementaron las dimensiones originales?

67


Solución: 1) Sea x: el número de metros incrementados en cada lado

2) Terreno inicial
6m Area = (10)(6) m2 = 60 m2

10m

Terreno Incrementado

6
(6 + x)m Area = (10 + x)(6 + x) m2
x
10 x
(10 + x)m

Por dato (10 + x) (6 + x) = 20 + 2 (60)

3) efectuando: 60 + 10x + 6x + x2 = 20 + 120

x2 + 16x - 80 = 0
(x + 20)(x - 4) = 0
x + 20 = 0 o x - 4 = 0
x = -20 o x = 4

4) La única solución del problema es x = 4, porque debe representar a una longitud.

Respuesta : Cada dimensión original se incrementó en 4m.

Problema 2
Ofelia compró cierto número de lapiceros por 180 Nuevos Soles. Al día siguiente le hubieran
dado 10 lapiceros más por la misma cantidad, con lo cual le hubiera resultado 20 céntimos
más barato cada lapicero. ¿Cuántos lapiceros compró y cuál fue el precio de cada uno?

Solución: 1) Sea x: el número de lapiceros que compró Ofelia.
180
2) Cada lapicero le costó:
x
180
Al día siguiente le hubiera costado cada lapicero:
x + 10
180 180
donde se tendría: - = 0,20
x x + 10

3) efectuando: 180(x + 10) - 180x = 0,20x(x + 10)
1800 = 0,20x2 + 2x
18000 = 2x2 + 20x
2
x + 10x - 9000 = 0
(x + 100) (x - 90) = 0
x = - 100 (no se considera )
x = 90

Respuesta : Ofelia compró 90 lapiceros a 2 Nuevos Soles cada uno.

68


Ejercicios

1) Resolver las ecuaciones dadas:
x 3x x − 6
a) 3x - (x + 3) = x + 4 b) − =
2 5 2
2x 3
c) −2 = d) 3x2 + 2x - 1 = 0
x −1 x +1

e) (x - 2)2 + 2 = x f) (x - 3)(x + 2) = 6

2 x+7
g) − 2 =0 2
h) x + 4x + 1 = 0
x −3 x − x −6

2) ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación: x2 – 4 = 3x – 6?

3) Si a un número positivo, le resto 2 me da el triple de su inverso, ¿cuál es el doble del
número?

4) En 5 años, Pedro tendrá 3 veces la edad que tenía hace 7 años; ¿cuántos años tiene
ahora?

5) El perímetro de un rectángulo mide 50 cm y el ancho 2/3 de la altura. Encontrar las
dimensiones del rectángulo.

6) José tiene 4 billetes más de $100 que de $50. Si el valor total del dinero es de $ 2350,
¿cuántos billetes de $100 y de $50 tiene José?

7) Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera
habido 20 miembros más, el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Calcular
el número de miembros del club.

8) Para cubrir el piso de un cuarto con losas cuadradas de cierto tamaño se necesita 360
losas. Si cada losa fuera 10cm más larga y 10cm más ancha, se necesitarían 250 losas.
Encontrar las dimensiones de las losas.

Respuestas:
1. a) C.S = {7}
b) C.S = {5}
c) C.S = {5}
d) C.S = {-1 ; 1/3}
e) C.S = {2 ; 3}
f) C.S = {-3 ; 4}
g) C.S = φ
{
h) C.S = − 2 − 3; − 2 + 3 }

2. La suma de las soluciones es 3.
3. El doble del número es 6.
4. Pedro tiene ahora 13 años.
5. Las dimensiones son 10 m y 15m
6. José tiene 17 billetes de $ 100 y 13 billetes de $50.
7. Hay 100 miembros en el club.
8. El lado de las losas mide 50cm.
69


2.8 ECUACIÓNES POLINOMICAS EN UNA VARIABLE

Recuerde que al dividir un polinomio P(x) (el dividendo) entre otro D(x) (el divisor) se obtiene
un polinomio cociente Q(x) y un residuo R(x), es decir,

P(x) = D(x) Q(x) + R(x)

donde el residuo R es el polinomio nulo o un polinomio cuyo grado es menor que el grado
de D(x).

Nota: Si R(x) = 0, entonces, P(x) = D(x). Q(x),

y en tal caso, se dice que D(x) y Q(x) son factores de P(x).

Recuerde que se llama raíz o cero de un polinomio P(x) a todo número real c tal que
P(c) = 0.

Ejemplo: Sea el polinomio de segundo grado P(x) = x2 – x – 6,

Como P(x) = (x – 3)(x + 2) al dividir P(x) entre (x – 3) o (x + 2) se obtiene el polinomio nulo
como residuo.
¿para qué valores de x se cumple que P(x) = 0?

Se cumple para los mismos valores de x que son soluciones de la ecuación, x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0,
las raíces son, x = 3 y x = -2;
y también, P(3) = 0, y P(-2) = 0
por lo tanto, x = 3 y x = -2 son ceros de P(x)

En general:
Si al factorizar un polinomio, se obtiene P(x) = (x – c)Q(x), entonces:
P(x) es divisible por (x – c)
(x – c) es un factor de P(x)
x = c es una raíz del polinomio, es decir, P(c) = 0

Teorema del residuo: Si un polinomio P(x) de grado n > 1 se divide entre (x – c), entonces
el residuo R(x) es P(c).

Este teorema es importante: Gracias a él se puede::
1) conocer el residuo de la división de un polinomio por ( x – c) si hacer la división.
2) Saber si un número real es raíz de un polinomio.

Ejemplo:

1) El residuo de dividir P(x) = x3 – 4x2 + 2x – 5 entre (x + 2) es:

P(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 + 2(-2) – 5 = -33

2) (x – 1) es un factor de P(x) = 2x3 – x2 + 2x – 3, puesto que:

70


P(1) = 2(1)3 – (1)2 + 2(1) – 3 = 0

3) Hallar a para que el P(x) = x3 – x2 - 3x –a sea divisible por ( x + 1).

Se debe cumplir P( -1) = 0 o sea (-1)3 - (-1)2 + 3(-1) – a = 0. de donde a = 1

En estos ejemplos, se ha determinado los residuos que resultan de dividir P(x) entre (x – c),
pero, no se puede hallar el cociente Q(x). En capítulos anteriores ( Operaciones con
expresiones algebraicas) se vio como hallar este cociente y se recordará es un
procedimiento tedioso.
A continuación se presenta un algoritmo que permite determinar el residuo del cociente y
los coeficientes de Q(x) en el caso de la división por ( x – c).

División Sintética: (Método de Ruffini)

Este método se aplica sólo para dividir polinomios P(x) entre polinomios de la forma (x – c),
y se debe seguir una serie de pasos como se detalla a continuación.

Dividir P(x) = 2x3 – x2 + 2x – 3 entre (x – 1). Notar que c = 1.

1. Se escribe los coeficientes de P(x) ordenado en 2 -1 2 -3 coef.
forma descendente de x, insertando cada potencia
faltante con un coeficiente igual a cero

2. Se coloca c a la izquierda del cuadro 2 -1 2 -3
3. Se multiplica el primer coeficiente por c y se 1
coloca el resultado en la última fila de la primera
columna 2
4. Se multiplica el último resultado por c y se 2 -1 2 -3
coloca en la segunda fila de la segunda 1 2
columna.
5. Se suma dicha columna y se coloca el resultado 2 1
en la última fila de la segunda columna. El
producto se coloca en la 2da columna
6. Se repite los pasos 4 y 5 hasta llenar la última 2 -1 2 -3
columna. 1 2 1 3

2 1 3 0
Conclusión: P(x) = (x - 1)Q(x) + R(x)
P(x) = (x - 1)(2x2 + x + 3) + 0 Coeficient
es del Q(x) Residuo

71


Falta ahora encontrar las raíces de Q(x). Como el polinomio es de segundo grado se puede
aplicar la fórmula cuadrática.
En este caso se calcula ∆ < 0 : entonces Q(x) es irreductible.

Conclusión: 1 es la única raíz del polinomio P(x) y la forma factorizada de P(x) es:
P(x) = (x - 1)(2x2 + x + 3)

En general para hallar los ceros de un polinomio de grado n se recomienda utilizar el
siguiente resultado que da posibles raíces del polinomio:

Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . . . + a1x + a0 un polinomio de grado n > 1, con a0 ≠ 0
y coeficientes enteros.

Si p es divisor de a0 y q es divisor de an , entonces, p/q es una posible raíz de
P(x).

Ejemplo: Hallar los ceros de P(x) = 2x3 + 11x2 - 7x - 6

Solución: Divisores de -6: p = {+1, +2, +3}; y divisores de 2: q = {+1, +2}

Las posibles raíces son p/q = +1, +2, +3, +6, +1/2, +3/2

Como se sabe que P tiene a lo más 3 factores lineales por ser de grado 3, se buscará
usando el método de Ruffini o por el teorema del residuo. :

Se prueba primero con c = 1.

2 11 -7 -6 Usando teorema del
residuo.
1 2 13 6
2 13 6 0 P( 1) = 2 + 11 – 7 – 6 = 0

Coeficient Residuo
es del Q(x)

P(x) = (x - 1)(2x2 + 13x + 6),

donde, Q(x) es una ecuación cuadrática con ∆ > 0,
o sea, tiene dos soluciones. x = -1/2 y x = -6

Respuesta : Los ceros de P(x) son: -6, -1/2 y 1

Nota: P(x) = ( x - 1)(2x + 1)(x + 6)

72


Ejercicios:

Para cada polinomio, hallar los ceros y expresar el polinomio en forma factorizada

1) P(x) = 2x3 - x2 + 2x - 1

2) P(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x

3) P(x) = 4x4 + 7x2 - 2

4) P(x) = x4 + x3 - 3x2 - x + 2

5) P(x) = 4x5 - 8x4 - x + 2

Respuestas:
1) x = ½ P(x) = (2x – 1)(x2 + 1)
2) x = -3; -1; 0; 2. P(x) = 2x(x + 1)(x + 3)(x – 2)
3) x = - ½, ½ P(x) = (x – ½)(x + ½)(x2 + 2)
4) x = -2; -1; 1 P(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 1)2
5) x = - 2 /2; 2 /2; 2 P(x) = (x-2)( 2 x-1)( 2 x+1)(2x2+1)

73


2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En la industria es frecuente encontrarse con un número
limitado de recursos para producir varios productos. Es
importante saber que cantidad de cada producto fabricar
para optimizar las ventas usando todos los recursos del
almacén.
Estas situaciones necesitan usar más de una variable y
más de una relación entre ellas. De aquí se forman
sistemas de ecuaciones.

2.9.1 Definiciones

Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado con dos
o más incógnitas.

Nota: En este cuaderno se tratará sólo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas o
variables.
Son dos ecuaciones que se reducen a un sistema de la forma:

⎧ A1x + B1y = C1 Donde: A1, A2, B1, B2, C1, C2 son constantes.
⎨ A2x + B2y = C2
⎩

Solución de un Sistema:
Se llama solución del sistema a todo par ordenado de valores reales que sustituidos en las
ecuaciones en forma simultánea, las convierten en identidades numéricas.

Ejemplo: El sistema de ecuaciones 5x + 3y = -2
3x - 2y = 14
tiene por solución al par ordenado ( 2 ; - 4) puesto que satisface cada una de las ecuaciones
propuestas.

En cuanto al número de soluciones un sistema de ecuaciones lineales puede tener sólo una
solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones
se clasifica en: compatibles e incompatibles.

1) Compatibles. Es cuando el sistema admite solución.

Ejemplo: El sistema 4x - y = -5 tiene por única solución al par ( -1 ; 1)
2x + 4y = 2 C.S. = {( -1 ; 1)}

Ejemplo: El sistema x + 2y = 7 admite infinitas soluciones.
2x + 4y = 14 C.S. = {t∈ ℜ /(x; y) = (7 – 2t; t)}

2) Incompatibles. Es cuando el sistema no admite solución.

Ejemplo: El sistema x +y=3 no admite solución es decir su C.S.= Φ
3x + 3y = 12

74


2.9.2 Resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, entre los más
importantes se encuentra el Método de reducción o de eliminación.

Este método consiste en multiplicar cada ecuación por un número real, de tal manera que
los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos y después se suma las dos
ecuaciones para obtener una ecuación de primer grado con una incógnita.

⎧2x + 3y = 7 ...(1)
Ejemplo 1: Resolver ⎨
⎩3x − 5y = 1 ...(2)

Solución: Para eliminar la variable "y" se multiplica a la primera ecuación por (5) y a la
segunda por (3) y se suma las dos ecuaciones.

⎧10x + 15y = 35
⎨
⎩ 9x − 15y = 3
de donde x = 2.
19x = 38

Se reemplaza x = 2 en la primera ecuación para calcular y:
2(2) + 3y = 7 de donde 3y = 3 y finalmente y = 1.
Respuesta: C.S = {( 2 ; 1)}

2x − 5 4(y + 2)
Ejemplo 2: Resolver el sistema + =x
3 5
3x − 5 y + 3
− =y
4 6

Solución: Multiplicando por el M.C.M. denominadores cada ecuación:

5(2x-5) + 12(y+2) = 15x
3(3x-5) - 2(y+3) = 12y

realizando operaciones y reduciendo términos: -5x + 12y = 1
9x - 14y = 21

multiplicando la primera ecuación por 9, la segunda por 5 y sumando ambas ecuaciones:

38y = 114 de donde y = 3

reemplazando y = 3 en la ecuación 9x - 14y = 21 para obtener el valor de x:

9x - 14(3) = 21 de donde x=7

Respuesta: C.S = {( 7 ; 3)}

75


Modelación y resolución de problemas.
Se usa la misma metodología que para ecuaciones con los cuatros pasos.

Problema 1
El costo total de 5 ejemplares de un libro y 4 lapiceros NFes de $32; el costo total de 6
ejemplares del mismo libro y 3 lapiceros NF es de $33. Hallar el costo de cada artículo.

Solución: 1) Sea x: el costo en dólares de cada libro; y y: el costo en dólares de cada
lapicero.
2) Se forma las ecuaciones 5x + 4y = 32
6x + 3y = 33

3) la solución de este sistema es x = 4, y = 3.

4) Respuesta: El costo de cada ejemplar es $4 y el costo de cada lapicero NFes $3.

Problema 2
Hace 18 años la edad de Juan era el doble de la de Pedro, dentro de 9 años la edad de
5
Juan sólo será la edad de Pedro. ¿Cuántos años tienen actualmente Juan y Pedro?
4

Solución: 1) Sea J: Edad actual de Juan
P: Edad actual de Pedro

2) Se confecciona el siguiente cuadro

Hace 18 años ahora dentro de 9 años

Edad de Juan J - 18 J J+9

Edad de Pedro P - 18 P P+9

⎧J − 18 = 2(P − 18)
⎪
Del cuadro se deduce: ⎨ 5
⎪J + 9 = (P + 9)
⎩ 4

3) Operando y reduciendo se lleva a la forma estándar:

⎧J − 2P = −18 ... (I)
⎨
⎩4J − 5P = 9 .... (II)

Se aplica el método de reducción: se multiplica la primera ecuación por –4 y se suma las
ecuaciones.
⎧− 4J + 8P = 72
⎨
⎩ 4J − 5P = 9
3P = 81

de la cuál P = 27 y se reemplaza en (I) para calcular J = 36.

4) Respuesta: Las edades de Pedro y Juan son 27 y 36 años respectivamente.

76


Ejercicios:

1) En cada uno de los ejercicios resolver el sistema dado:

a) 3x - y = 2 b) 9x + 7y = 0
2x + 3y = 5 5x - 9y = 0

c) 3x + y = 5 d) 4x - 2y = 4
6x + 2y = 7 2x - y = 2

2 3 3 1 2
e) − = f) + =1
x 2y 2 x y
x 2 1 7
=y − =−
2 x y 4

2) La cantidad de cerca necesaria para encerrar un campo rectangular es de 3000 metros.
¿Cuáles son las dimensiones del campo si se sabe que la diferencia entre la longitud y la
anchura es de 50 metros?

3) La gerente de un restaurante desea adquirir 200 juegos de platos. Un diseño cuesta $25
por juego y otro cuesta $45 por juego. Si ella sólo desea gastar $7 400, ¿cuántos juegos
de cada diseño debe ordenar?

4) Si el ancho de un terreno rectangular se aumenta 10 metros y su longitud se disminuye
10 metros, entonces el área aumenta 400m2. Si el ancho disminuye 5m y la longitud
aumenta 10m, entonces el área disminuye 50m2. Calcular las dimensiones del terreno.

5) Los señores Rodríguez invierten un total de $8 000 en dos cuentas de ahorro. Una
cuenta de ahorro paga el 10% de interés y la otra el 8% de interés. Encuentre la cantidad
colocada en cada cuenta si reciben un total de $750 por intereses después de un año.

6) En un taller de reparación de bicicletas y triciclos hay 18 vehículos estacionados. Si se
cuenta 45 llantas en total en los vehículos, ¿en cuánto excede el número de bicicletas al
número de triciclos?

Respuestas:
1) a) C.S. = {( 1 ; 1)} b) C.S. = {( 0 ; 0)} c) C.S. =φ
d) C.S. = {(x ; 2x-2), x real} Infinitas soluciones
e) C.S. = {( -2/3 ; -1/3)} f) C.S. = {( -2 ; 4/3)}

2) La longitud del campo mide 775m y su anchura mide 725m.

3) La gerente debe ordenar 80 juegos de $ 25 y 120 juegos de $45.

4) El ancho del terreno mide 50m y la longitud mide 100m.

5) En una cuenta hay $ 2500 y en la otra $ 5500.

6) 0

77


2.10 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

2.10.1 Relación de orden

Dos números reales a y b , donde a ≠ b, pueden compararse mediante la relación de orden
menor que , representada por el símbolo <. Se escribe a < b y se dice a es menor que b
ó b < a según el caso. Similarmente se puede comparar dos números reales distintos por la
relación de orden mayor que , por ejemplo b es mayor que a y se denota b>a .

Observación:

La recta de números reales es útil para observar la relación de orden menor que;
a < b significa que el punto que le corresponde al número a en la recta se
halla a la izquierda del punto que corresponde a b.

... -3 -2 -1 0 1 2 3 ..

Algunas lecturas de la relación de orden

Relación de orden Significado
a>b a es mayor que b
(o bien a - b es un número positivo)
a<b a es menor que b
(o bien a - b es un número negativo)
a≥b a es mayor o igual que b
(o a no es menor que b)
a≤b a es menor o igual que b
(o bien a no es mayor que b)
0<a<2
a es mayor que cero, pero menor que 2
-2 < x < 2
x es mayor o igual que -2, pero menor que 2

Inecuación. Se forma una inecuación cuando se relacionan dos expresiones algebraicas
con un símbolo de orden.

Nota: En este cuaderno , se estudia solamente inecuaciones con una sola variable.

Ejemplos: NOTA:
1) 2x-5 ≤ 7-x Las expresiones relacionadas por el símbolo de
orden son llamadas lados o miembros de la
2) 3x+x2 > 6+x inecuación

Solución de una inecuación.- Si cualquier número real al ser sustituido en la variable, hace
que el enunciado sea verdadero. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de
conjunto solución de la inecuación (C.S.).

Ejemplos:
1) x2 +1 > 0 , Se verifica para todo x real. C.S. = R

78


2) 2x +3 < 5 , Se verifica para todo x < 1. C.S. = {x ∈ R/ x < 1}

3) x2 +5 < 0 , no se cumple para ningún valor de x. C.S. = φ

Inecuaciones equivalentes.- Dos inecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las
mismas soluciones.

Ejemplo: Las inecuaciones 2x+3 < 5 ; 2x+1< 3 , son equivalentes porque ambas se
verifican para todo x< 1.

Propiedades de las inecuaciones equivalentes

Sean a, b y c números reales

(1) Si a < b y c es cualquier número real, entonces a + c < b + c

(2) Si a < b y c es positivo, entonces a.c < b.c

(3) Si a < b y c es negativo, entonces a.c > b.c

(4) Si a > b y c > d, se tiene a+c>b+d

⎧a + 3 > b + 3
⎪
Ejemplo 1: Si a > b, se tiene: ⎨a − 3 > b − 3
⎪a − b > 0
⎩
⎧5a > 5b
⎪
Ejemplo 2: Si a > b, se tiene ⎨ a b
⎪5 > 5
⎩
b
también : si 2a>b , entonces a >
2
⎧− 4a < −4b
⎪
Ejemplo 3 : Si a > b, se tiene ⎨ a b
⎪− 4 < − 4
⎩
b
también : si -2a>b, entonces a <
−2

2.10.2 Intervalos

Son subconjuntos de los números reales y se utilizan para expresar gráficamente la
solución de las inecuaciones; estos intervalos se representan en la recta numérica real.

Notación: Para indicar un intervalo abierto se tiene diferentes notaciones como:
] -2; 5 [ o ( -2 ; 5) o < -2 ; 5 >

79


TIPOS NOTACIÓN DESIGUALDAD GRÁFICA

] a, b [ a<x<b
a b
Intervalos Finitos

[ a, b ] a<x<b
a b

[ a, b [ a<x<b
a b

] a, b] a<x<b a b

] a, ∞ [ x>a a +∞

[ a, ∞ [ x>a
Intervalos Infinitos

a +∞

] -∞, b [ x<b
-∞ b

] -∞, b ] x<b
-∞ b

] -∞, ∞ [ -∞ < x < ∞
-∞ +∞

Operaciones con intervalos

Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las
propiedades operativas de los conjuntos, como son la unión e intersección.

Ejercicio 23: Si A = ]-5, 8] B = ]-2, ∞ [

Hallar: a) A ∩ B b) A ∪ B
Solución:

Graficando los intervalos A y B en la recta numérica real se tiene:

B
A

-∞ -5 -2 8 +∞

De donde se observa que: a) A ∩ B = ]-2, 8]
b) A ∪ B = ]-5, ∞ [

80


2.10.3 Inecuación de primer grado con una incógnita

Es aquélla inecuación que puede reducirse a cualquiera de las formas:

ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0

donde, en todos los casos, a y b son constantes reales y a ≠ 0.

Resolver una inecuación. consiste en hallar un conjunto solución, es decir encontrar aquel
intervalo donde están los valores que pueda tomar la incógnita para que se verifique la
inecuación.
Así, para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita, se deja la variable en
un solo lado del símbolo de la desigualdad y las constantes en el otro, para lo cual usamos
las propiedades anteriormente dadas:

3
Ejemplo 1: Resolver 4- x ≥ −5
4
Solución: Se multiplica la inecuación por 4 que es positivo

16 - 3x > -20
-3x > - 36
dividiendo entre (-3) x < 12, la desigualdad cambió por que -3 < 0

-∞ 12

Respuesta: C.S. = ]-∞, 12 [

2x − 1 2x + 1 2 3x − 2
Ejemplo 2: Resolver − > −
5 2 3 6
Solución:

Se multiplica ambos lados del símbolo de la desigualdad por el M.C.M. (5; 2; 3; 6) = 30.

Como 30 > 0, el sentido de la desigualdad no cambia.

6(2x - 1) - 15(2x + 1) > 10(2) - 5(3x - 2)
12x - 6 - 30x - 15 > 20 - 15x + 10
-18x - 21 > -15x + 30
-18x + 15x > 30 + 21
-3x > 51

Se divide ambos lados de la desigualdad entre (-3) y el sentido de la desigualdad se
invierte, por ser negativo:
− 3x 51
<
−3 −3
de donde se tiene como resultado x < -17.

-∞ -17

Respuesta: El conjunto solución de la inecuación es C.S.= ]-∞, -17 [
81


Modelación y resolución de problemas

Problema
En un taller de Carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendió 38
quedando más de la tercera parte. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10
quedando menos de 19 sillas. ¿Cuántas sillas se fabricaron en total ?

Solución: 1) Sea x: el número de sillas que se fabricó inicialmente:
1
2) De la 1ra afirmación: x - 38 > x
3
3) 3x - 114 > x
2x > 114
x > 57

De la 2da afirmación: x – 38 + 8 - 10 < 19
x < 59

4) de donde 57< x < 59 , entonces, como x es un número entero se cumple x = 58

Respuesta: Se fabricaron en total 58 + 8 = 66 sillas

Ejercicios:

Resuelva las inecuaciones lineales dadas

1) -3(1 - x) < 12 2) 8 - 4(2 - x) < -2x

1 x x
3) (x − 4) > x + 8 4) ≥ 1−
2 2 4

Respuestas:
1) C.S.= ]-∞, 5[
2) C.S.= ]-∞, 0]
3) C.S.= ]-∞, -20[
4) C.S.= [4/3, ∞[

82



MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA PLANA
3.1 SEGMENTOS Y ANGULOS

3.2 TRIANGULOS

3.3 CUADRILATEROS

3.4 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

3.5 RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO

3.6 POLIGONOS

3.7 AREAS DE REGIONES PLANAS

83


3.1 SEGMENTOS Y ANGULOS

3.1.1 Definiciones

Naturaleza y geometría

¨”La geometría está en todas partes.
Fíjese en las formas regulares y perfectas
que presentan muchos cuerpos. Las flores,
las hojas e incontables animales revelan
simetrías admirables que deslumbran
nuestro espíritu.
La geometría, repito, existe en todas
partes: en el disco solar, en las hojas, en el
arco iris, en la mariposa, en el diamante, en
la estrella de mar y hasta en un diminuto
Escher, (1898-1972) “Día y Noche”
grano de arena..........
www.worldofescher.com
La geometría existe, como dijo el filosofo,
en todas partes. Es preciso, sin embargo,
Malba Tahan ( 1895–1974) Seudónimo de
tener ojos para verla, inteligencia para
Julio Cesar De Mello y Souza. Autor del
comprenderla y alma para admirarla.....
Libro “ El hombre que calculaba”
Malba Tahan

Existen dos nociones elementales para la geometría plana a partir de los cuales se define
las otras.
Noción de punto. Solo indica un lugar en el espacio. No tiene forma ni dimensiones.
Se denota con letras mayúsculas.
Ejemplo: A, B, C, ......

Noción de línea. Es una sucesión continua e infinita de puntos.
Una línea se dice línea recta o simplemente recta cuando los puntos que la conformen
siguen una misma dirección.
Se denota con una letra minúscula, mayúscula o por dos puntos de la recta debajo de una
flecha doble.

Ejemplo: l, d , L1, AB L1
A B

Figura geométrica plana. Es aquella formada por líneas y puntos

3.1.2 Segmento de recta

Dados dos puntos A y B situados sobre una recta, se denomina segmento de recta de
extremos A y B (y se denota por AB ) al conjunto constituido por los puntos A y B y todos
aquellos puntos de la recta que se encuentran entre A y B.
A B
• •

Extremos del
segmento AB

84


Longitud de un segmento: Sean dos puntos A y B del plano. Se define la longitud del
segmento AB como el número real positivo que se obtiene al medir el segmento usando
la unidad de medida. Se denota: AB

Nota: Como a la longitud de un segmento le corresponde un número real positivo, las
operaciones de la suma y resta de segmentos gozan de las mismas propiedades que las
correspondientes operaciones aritméticas

Se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud o medida.

• Definición de Rayo:
Es cada una de las partes en que queda dividida una recta cuando se toma un punto de ella,
que será el origen de cada rayo.

A O B
•

rayo OA rayo OB

Ejemplos:

1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D.
Hallar AB sabiendo que AC = 16 cm, BD = 24 cm y CD = 2 AB

Solución: x y 2x
Sea AB = x , BC = y, entonces CD = 2x
Por otro lado, AC = x + y = 16 A B C D
BD = y + 2x = 24
Resolviendo el sistema se tiene: x = 8
de donde: AB = 8 cm

2. Sobre una recta se toma los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo C punto medio de
AD . Si BD – AB = 12 cm, hallar BC.

Solución: x y x+y
Sea AB = x , BC = y
C es punto medio de AD , entonces: AC = CD = x+y A B C D
Por otro lado: BD – AB = y +x + y – (x) = 12
De donde: y=6
Por lo tanto: BC = 6 cm

3. A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales; M y N son los puntos medios
de los segmentos AB y CD respectivamente. Calcular la longitud del segmento MN
si AC = 15 cm y BD = 25 cm.

Solución:
Si M es punto medio de AB entonces AM = MB = m
Si N es punto medio de CD entonces CN = ND = n
Sea BC = p.
m m p n n

A M B C N D

85


Se tendrá entonces:

AC = AB + BC = 2m + p = 15 y
BD = BC + CD = p + 2n = 25
Sumando miembro a miembro se tiene: 2m + 2p + 2n = 40, de donde:
m + p + n = 20. Pero, MN = MB + BC + CN = m + p + n. Por lo tanto, MN = 20 cm

Ejercicios

1. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D.
Si AB = 3 BC = 4 CD y AD = 19 cm, hallar la medida del segmento BC .
Respuesta: 4 cm

2. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, de tal forma que:
AD = 24 cm, AC = 15 cm y BD =17 cm. Hallar BC.
Respuesta: 8 cm

3 Tres amigos viven en la misma calle de su colegio. Adrián camina en total 500m para ir
de su casa al colegio y, regresando del colegio, hasta la casa de su amigo Beto. La casa de
Carlos equidista de la de Adrián y de Beto. ¿Cuál es la distancia de la casa de Carlos al
colegio?
Respuesta: 250m

3.1.3 Ángulos

• Definición de Ángulo
Se define comúnmente como ángulo a la unión de los dos rayos OA y OB que parten de
origen común “O”, llamado vértice del ángulo. Los rayos que forman el ángulo reciben el
nombre de lados.
A
Notación: ∠ AOB ó ∠ BOA

O B
La medición de los ángulos considera la rotación del lado OB ( respecto al dibujo) hasta el
lado OA en el sentido antihorario.
La unida de medida de esta rotación es el grado que equivale a 1/ 360 de una rotación
completa.

Angulo Geométrico : Es un ángulo de medida comprendida entre 0° y 180°

• Medida de un Angulo Geométrico
A todo ángulo AOB se le asigna un número real comprendido entre 0° y 180°, que se le
conoce como la medida del ángulo AOB ( m∠ AOB)

• Angulos Congruentes
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. De esta manera:

∠ A ≅ ∠ B si y solo si m ∠ A = m ∠ B

86


• Bisectriz de un Angulo
Se llama bisectriz de un ángulo a un rayo que parte del vértice del ángulo y lo divide en dos
ángulos congruentes, es decir, de la misma medida.

• Clasificación de los Angulos

SEGUN SU MAGNITUD:

Angulo Agudo:
aquel cuya medida es mayor que 0° pero
menor que 90°

Angulo Recto:
aquel cuya medida es igual a 90°

Angulo Obtuso:
aquel cuya medida es mayor que 90° pero
menor que 180°

SEGUN SU POSICION:

Angulos Adyacentes:
dos ángulos son adyacentes si tienen el
mismo vértice y un lado común

Angulos Consecutivos:
son dos o más ángulos que tienen el mismo
vértice y cada uno tiene con el siguiente un
lado común.
Angulos Opuestos por el Vértice:
son dos ángulos en donde los lados de uno
son rayos opuestos a los lados del otro. α α
Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes.

SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS

Angulos Complementarios: dos ángulos
son complementarios si sus medidas
suman 90°. Los ángulos que miden α y β, β α + β = 90°
son complementarios si α + β = 90°. Se α
dice entonces que α es el complemento de
β ó que β es el complemento de α.
Angulos Suplementarios: dos ángulos
son suplementarios si sus medidas suman α + β = 180°
180°. Los ángulos que miden α y β, son α β
suplementarios si α + β = 180°. Se dice
entonces que α es el suplemento de β ó
que β es el suplemento de α

87


3.1.4 Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas Se dice que dos rectas son paralelas si
están situadas en un mismo plano y no
tienen ningún punto común (no se
intersecan)

Rectas Secantes Se dice que dos rectas son secantes si se
cortan (intersecan) y tienen por lo tanto un
punto común (el punto de intersección)

Rectas Perpendiculares
L2 Se dice que dos rectas son
perpendiculares cuando al cortarse forman
L 1 ⊥ L2 un ángulo recto. La perpendicularidad se
denota por el símbolo “⊥”.
L1

• Distancia de un Punto a una Recta
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto
hacia la recta.

•P
distancia de P a la recta L

L

3.1.5 Angulos Formados por dos Rectas Paralelas Cortadas por una Secante

1 2
3 4

5 6
7 8

88


Designación Propiedad
Alternos Internos:
Son los pares de ángulos internos Son congruentes
(comprendidos entre las paralelas), no
adyacentes, situados a distintos lados de m∠ 3 = m∠ 6 ; m∠ 4 = m∠ 5
la secante
Alternos Externos:
Son los pares de ángulos externos Son congruentes
(situados hacia afuera de las paralelas), no
adyacentes, situados a distintos lados de m∠ 1 = m∠ 8 ; m∠ 2 = m∠ 7
la secante
Conjugados Internos:
Son los pares de ángulos internos situados Son suplementarios
al mismo lado de la secante m∠ 3 + m∠ 5 = 180°
m∠ 4 + m∠ 6 = 180°

Conjugados Externos:
Son los pares de ángulos externos Son suplementarios
situados al mismo lado de la secante m∠ 1 + m∠ 7 = 180°
m∠ 2 + m∠ 8 = 180°

Correspondientes:
Son los pares de ángulos no adyacentes, Son congruentes
uno interno y el otro externo, situados a un m∠ 1 = m∠ 5 ; m∠ 2 = m∠ 6
mismo lado de la secante m∠ 3 = m∠ 7 ; m∠ 4 = m∠ 8

Ejemplos

1. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la
medida del ángulo. Hallar la medida del ángulo.

Solución:
De acuerdo al enunciado si α es la medida del ángulo, se tendrá: (180°-α) – (90°-α) = 6 α
Entonces 6 α = 90°. Por lo tanto, α = 15°

2. Se tiene dos ángulos complementarios. Hallar la suma de las medidas de los ángulos
suplementarios a los primeros.

Solución:

Sean α y β las medidas de los ángulos complementarios. Sus suplementos tendrán por
medidas respectivas: (180°-α) y (180°-β). La suma de la medida de estos ángulos será:
S = (180°-α) + (180°-β) = 360° - (α + β).
Como los primeros ángulos son complementarios, se tiene α y β = 90°.
Por lo tanto, la suma S buscada será: S = 360° - 90° = 270°

3. Dos ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC tienen sus medidas en la relación
2 a 3 respectivamente. Hallar la medida del ángulo formado por la bisectriz de AOB y
el rayo OC

89


Solución:

De acuerdo al enunciado, m∠ AOB = 2K y m∠ BOC = 3K. Pero por ser ángulos
suplementarios se tendrá: 2K + 3K = 180° de donde 5K = 180°, de donde K = 36°
De esta manera, los ángulos AOB y BOC medirán 72° y 108° respectivamente.
El ángulo buscado es el ángulo XOC indicado en la figura siguiente, cuya medida será:
m∠ XOC = 108° + 36° = 144°.
B

X
36°
108°
36°
C A
O

4. Las medidas de dos ángulos conjugados externos entre paralelas son (2x + 20°) y 50°
Hallar x.

Solución:

Los ángulos conjugados externos son suplementarios
50° + (2x + 20°) = 180°
2x = 110°
x = 55°

Ejercicios

1. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40°. Calcular el suplemento del
complemento del menor de ellos.
Respuesta: 160°

2. La bisectriz de un ángulo α forma con uno de sus lados un ángulo θ que es igual a la
octava parte del suplemento de α. Calcular α.
Respuesta: 36°

3. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC. Hallar la medida del ángulo formado
por el rayo OA y la bisectriz del ángulo BOC si: m∠ AOB + m∠ AOC = 40°
Respuesta: 20°

4 Se tiene dos ángulos consecutivos AOB, BOC. Se traza las bisectrices OP y OQ de los
ángulos AOB y BOC respectivamente. Halle la medida del ángulo COQ, sabiendo que
las bisectrices forman ángulo recto y que m∠POB = 40°.
Respuesta: 50°

90


3.2 TRIANGULOS

3.2.1 Definición

Dados tres puntos no colineales A, B y C, se denomina triángulo ABC a la reunión de los
segmentos AB , BC y AC . Se denota por ∆ABC .
La región del plano limitada por el triángulo se define como interior del triángulo o región
triangular.

3.2.2 Elementos
Interior del triángulo
A m

c b

n
C
B a p

Los elementos de un triángulo son los siguientes:

• Vértices
Son los extremos comunes de los segmentos que forman el triángulo (A, B y C)

• Lados
Son los segmentos que definen el triángulo ( AB , BC y AC ). Usualmente, las
longitudes de los lados se denotan con letras minúsculas correspondientes a los vértices
opuestos.
Notación: AB = c, BC = a y AC = b.

• Ángulos interiores
Son los ángulos formados al interior del triángulo por dos lados y el vértice común.
(∠A, ∠B y ∠C)

• Ángulos exteriores
Son los ángulos formados al exterior del triángulo por un lado, un vértice y la
prolongación del lado consecutivo (∠m, ∠n y ∠p)

3.2.3 Perímetro

Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados. El
perímetro se denota usualmente por el símbolo “2p”.
La notación p se reserva para el semi perímetro.
De esta manera, se tiene:

Perímetro: 2p = a + b + c

91


a+b+c
Semiperímetro : p=
2

3.2.4 Clasificación

Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos.

• De acuerdo a sus lados:

Equilátero: si tiene sus tres lados congruentes

En el caso del triángulo equilátero, los tres ángulos interiores también son congruentes y
miden 60° cada uno.

Isósceles: si tiene dos lados congruentes.

base

En el caso del triángulo isósceles, usualmente el lado desigual se denomina “base”.
Por otro lado, a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

Escaleno: si tiene sus tres lados de diferentes longitudes

• De acuerdo a sus ángulos:

Rectángulo: si tiene un ángulo recto

Hipotenusa
Catetos

En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa,
mientras que los otros dos lados se llaman catetos.

92


Acutángulo: si tiene sus tres ángulos agudos

Obtusángulo: si tiene un ángulo obtuso (mayor que 90°)

ángulo obtuso

T. Acutángulo T. Obtusángulo

3.2.5 Líneas y Puntos Notables en un Triángulo

Bisectriz Interior: es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo interior respectivo
en dos ángulos congruentes.
En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, las
cuales se cortan en un punto interior al triángulo denominado
“incentro”.

Mediana: es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto
medio del lado opuesto.
En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan
en un punto interior al triángulo denominado “baricentro”.

Mediatriz: es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su
punto medio.
En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales
se cortan en un punto llamado “circuncentro”.

Altura: es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado
opuesto o a su prolongación.
En todo triángulo se puede trazar tres alturas, las cuales se cortan en
un punto que recibe el nombre de “ortocentro”.

bisectriz mediana

α
α

Mediatriz altura

93


Observaciones:

El incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo reciben el nombre de
puntos notables del triángulo.

El circuncentro de un triángulo se ubica:
• en el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo
• en el punto medio de la hipotenusa, en el caso de triángulo rectángulo
• en el exterior del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo

El ortocentro de un triángulo se ubica:
• en el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo
• en el vértice del ángulo recto, en el caso de triángulo rectángulo
• en el exterior del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo

Propiedades:

• De la Bisectriz:
Todo punto de la bisectriz de un ángulo, equidista de sus lados
• De la Mediatriz:
Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.
• Del Baricentro:
El baricentro divide a cada mediana de un triángulo en dos segmentos, uno desde el
vértice al baricentro y el otro desde el baricentro al lado, cuyas medidas están,
respectivamente, en la relación 2 a 1
• Del Incentro:
El incentro de un triángulo equidista de los tres lados y además, es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
• Del Circuncentro:
El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y además, es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.

3.2.6 Propiedades Básicas en el Triángulo

• Sobre Desigualdades
A

B C
Propiedad 1:
En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

AC > AB es equivalente a m∠B > m∠C

Propiedad 2:
En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros
dos, pero mayor que su diferencia (Desigualdad triangular).

AC - AB < BC < AB + AC

94


• Relativas a los Ángulos

Propiedad 1:

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°

m∠A + m∠B + m∠C = 180°

Propiedad 2:

En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a dicho ángulo

α x=α+β

β x

x
Propiedad 3:

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°
z
x + y + z = 360°
y

3.2.7 Segmentos en el Triángulo

Base Media de un Triángulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer
lado y además, su longitud es igual a la mitad del lado al cual es paralelo.

A

M N

B C
Así, en el triángulo ABC mostrado, si M y N son puntos medios de AB y AC
respectivamente, entonces,
BC
MN es paralelo a BC y además: MN =
2

Mediana Relativa a la Hipotenusa de un Triángulo Rectángulo

La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la
hipotenusa.

95


3.2.8 Congruencia y Semejanza de Triángulos

• Congruencia de Triángulos
Se dice que dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y sus tres ángulos son
congruentes dos a dos:

AB = MN m∠ A = m∠ M
BC = NP m ∠ B = m∠ N
AC = MP m∠ C = m∠ P

Se denota: ∆ABC ≡ ∆MNP
A M
≡

B C N P

Casos de Congruencia de Triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos adyacentes a él
respectivamente congruentes (caso ángulo-lado-ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente y los lados que lo forman
respectivamente congruentes (caso lado-ángulo-lado)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes (caso
lado-lado-lado)

• Semejanza de Triángulos
Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño.
Formalmente, esto se expresa diciendo que sus pares de ángulos correspondientes son
congruentes y las longitudes de sus lados correspondientes u homólogos son
proporcionales. La razón de proporcionalidad se conoce como “razón de semejanza”.

∠A≅∠M
∠B≅∠N
∠C≅∠P Se denota: ∆ABC ∼ ∆MNP
AB BC AC
= = =r
MN NP MP
A
M
∼

B C N P

Casos de Semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes respectivamente
congruentes (caso AAA)
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente y las longitudes de los lados
que lo forman respectivamente proporcionales (caso LAL)
Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus lados correspondientes u homólogos
son respectivamente proporcionales (caso LLL)

96


Ejemplos

1. La distancia del centro de un triángulo equilátero a uno de los vértices es 2n. Hallar la
distancia del centro a un lado.

Solución: De acuerdo al enunciado, la distancia OA = 2n
A Se desea calcular la distancia OH.

El centro de un triángulo equilátero es a su vez
baricentro del triángulo. Por propiedad de baricentro,
O se tendrá entonces: OA = 2 OH

OH (distancia del centro a un lado) = n
H

2. Dos lados de un triángulo miden 10 u y 1 u. Si la medida del tercer lado está
expresada por un número entero, indicar de qué clase es el triángulo según sus lados.

Solución:
Por la propiedad de desigualdades entre los lados de un triángulo, el tercer lado debe medir
menos que la suma de los otros dos lados pero más que su diferencia.
Si la medida del tercer lado es “x”, se tendrá: (10 – 1) < x < (10 + 1)
9 < x < 11. Como x debe ser entero (por condición del problema), el único valor que puede
adoptar es 10. Por lo tanto, el triángulo será isósceles, pues dos de los lados medirán 10 u.

3. Un ángulo externo de un triángulo mide 140°. De los ángulos internos no adyacentes
al primero, uno es el triple del otro. Hallar la medida del mayor ángulo interno del
triángulo.

Solución:
La medida del ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no
adyacentes. 140° = 3x + x = 4x ; de donde se obtiene: x = 35°
Por lo tanto, los ángulos internos del triángulo miden : 35°, 105° y 40°
El mayor de los ángulos mide 105°.

4. En un triángulo ABC, m∠ B - m∠ A = 76° y la bisectriz del ángulo C corta al lado
opuesto en D. Hallar la medida del ángulo CDB.

Solución:
Si se considera que el ángulo A mide α, de acuerdo al dato del problema, el ángulo B medirá
α+76°. De esta manera, se tendrá lo mostrado en la siguiente figura:
C
Suma de ángulos internos en el ∆ABC:
2x + 2α + 76 = 180
x x 2(x + α) = 104
x + α = 52

Pero el ángulo CDB es ángulo externo en el
triángulo CDA entonces m∠ CDA = x + α
α+76° α
B A Por lo tanto, m∠ CDA = 52°
D

97


5. Se tiene un triángulo ABC, en cuyo interior se ubica el punto O, tal que BO es bisectriz
del ángulo B y CO es bisectriz del ángulo C. Si el ángulo BOC mide 110°, hallar la
medida del ángulo A.

Solución: B En el triángulo BOC: α + β = 70°

α α En el triángulo ABC: m∠ A + 2α + 2β = 180°

110° m∠ A = 180° - 2 (α + β) = 180° - 2 ( 70° )
O β
m∠ A = 40°
β
A C

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la mediana BM y luego se ubica
“N”, punto medio de BM . Si G es el baricentro del triángulo ABC y NG = 1 cm, hallar
la medida de la hipotenusa AC .

Solución:
Sea BM = a
Si N es punto medio de BM , entonces BN = NM = a/2
2a a
Si G es baricentro , entonces AG =
y GM =
3 3
a a a
NG = NM – GM = − = 1 entonces = 1 , de donde a = 6
2 3 6
Por propiedad la hipotenusa mide el doble de lo que mide la mediana relativa a ella.
Por lo tanto, AC = 2 a = 12 cm.

7. En la figura mostrada, hallar PQ.

A
2 cm
P Q

4 cm

B C
12 cm

Solución:
Puede observarse que ∆ABC ~ ∆APQ
2 (2 + 4)
De la semejanza se tiene: =
PQ 12
6 PQ = 24 ; de donde: PQ = 4 cm.

98


8. En la figura, L1 // L2. Hallar α.
L1
120°

α

50°
L2
Solución:
El ángulo adyacente suplementario al de 120° medirá 60°.
Prolongando el segmento en la línea puntada aparece en el triángulo formado un ángulo de
60º con la recta L2. Se tendrá que el tercer ángulo del triángulo mide 70º y como es
suplementario con α, se tiene α =110°

Ejercicios

1. Dado un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, se construye exteriormente a él, el
triángulo equilátero ACD, cuyos lados tienen por longitud un número entero. Hallar el
perímetro del triángulo ACD, si AB = 2 cm y BC = 15 cm.
Respuesta: 48 cm.

2. En la figura, a + b = 36 cm. Hallar el mayor valor entero de x.

10 cm
a
x

8 cm b

Respuesta: x = 26 cm

3. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD . Hallar el ángulo que
forman las bisectrices de los ángulos BAD y BDC.
Respuesta: 22° 30’

4. El ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C de un triángulo
ABC es el doble del ángulo A. Hallar el mayor ángulo del triángulo, si se sabe que:
m∠ B - m∠ C = 20°
Respuesta: 70°

5. Se tiene el triángulo acutángulo ABC. Al unir el circuncentro M con los vértices A y B,
se determina el ángulo AMB, cuya medida es α. Hallar la medida del ángulo C del
triángulo.
Respuesta: α/2.

99


6. En la figura, AQ = QC y BQ = BC. Hallar el ángulo A del triángulo , si el ángulo B
mide 84°.
B

Q

A C

Respuesta: 24°

7. En un triángulo ABC la mediatriz del lado AC y la bisectriz del ángulo A del triángulo
se cortan en un punto P ubicado sobre el lado BC . Si el ángulo B del triángulo mide
120°, hallar la medida del ángulo A.
Respuesta: 40°

8. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la mediana AM , las cuales se cortan en
N. Si N es punto medio de la mediana AM y BH = 4 cm, hallar NH.
Respuesta: 1 cm.

9. En un triángulo rectángulo la distancia del ortocentro al circuncentro es 7 cm. Calcular
la medida de la hipotenusa.
Respuesta: 14 cm.

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Se traza la altura BH relativa a la
hipotenusa. Si AB = 6 cm y AH = 4cm, hallar HC.
Respuesta: 5 cm.

11. Si L1 // L2 , determinar el valor de: α +β + γ

L1
α
θ

β
φ
γ
L2
Respuesta: = θ + φ

100


12. En la figura se muestra un cuadrado y dos rectas paralelas. Hallar el ángulo α.

100°

x

Respuesta: 10°

13. ¿Qué relación cumplen α y β en cada uno de los casos siguientes?

a. b.

α β

β α

Respuesta: α = β Respuesta: α + β = 180°

14. En una mesa de billar una bola que choca contra una banda rebota formando
ángulos congruentes (ver figura). Si CD = 63 cm, CB = 20 cm y AD = 15cm, ¿a qué
distancia del punto C y sobre la banda, debe rebotar la bola que está en A para chocar
después con la bola B?
C D
α

A
B

Respuesta: La bola rebotará a 36 cm del punto C.

101


3.3 CUADRILATEROS

3.3.1 Definición

Dados cuatro puntos coplanares y no colineales A, B, C y D se denomina cuadrilátero ABCD
a la reunión de los segmentos AB , BC , CD y AD . Se denota por ABCD..
La región del plano limitada por el cuadrilátero se define como interior del cuadrilátero o
región cuadrangular.

3.3.2 Elementos
A m

D

q

n
C
B p

Los elementos de un cudrilátero son los siguientes:

• Vértices
Son los extremos comunes de los segmentos que forman el cuadrilátero (A, B, C y D)

• Lados
Son los segmentos que definen el cuadrilátero ( AB , BC , CD y AD ). Los lados que no
tienen ningún vértice común reciben el nombre de lados opuestos.

• Angulos interiores
Son los ángulo formados al interior del cuadrilátero por dos lados y el vértice común.
(∠A, ∠B, ∠C y ∠D)

En todo cuadrilátero se verifica que la suma de ángulos interiores es igual a 360°:

m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°

• Angulos exteriores
Son los ángulos formados al exterior del cuadrilátero por un lado, un vértice y la
prolongación del lado consecutivo (∠m, ∠n, ∠p y ∠q)

En todo cuadrilátero se verifica que la suma de ángulos exteriores es igual a 360°.

m∠m +m∠n +m∠p +m∠q = 360°

• Diagonales
Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos ( AC y BD )

102



En general, los cuadriláteros se clasifican atendiendo a la forma de su contorno. Así, se
tiene:

• Cuadriláteros convexos:
Aquellos en que todos sus ángulos interiores son menores de 180°
En los cuadriláteros convexos, cualquier segmento que una dos puntos del interior del
cuadrilátero está totalmente contenido en el cuadrilátero

• Cuadriláteros no convexos:
Aquellos en que al menos uno de sus ángulos interiores es mayor de 180°.
En los cuadriláteros no convexos, existe al menos un segmento que une dos puntos del
interior del cuadrilátero, pero que no está totalmente contenido en el cuadrilátero.

C. Convexo C. no Convexo

3.3.4 Clasificación de los Cuadriláteros Convexos

Los cuadriláteros convexos se clasifican como sigue:

• Paralelogramos • Rectángulo
Son aquellos cuadriláteros que tienen Es aquel paralelogramo que tiene un
dos pares de lados opuestos paralelos ángulo recto.

Consecuentemente, tiene cuatro ángulos
rectos
• Rombo
Es aquel paralelogramo que tiene dos
lados consecutivos congruentes.

Consecuentemente, tiene cuatro lados
congruentes
• Cuadrado
Es aquel paralelogramo que tiene dos
lados consecutivos congruentes y un
ángulo recto.

Consecuentemente, tiene cuatros ángulos
rectos y cuatro lados congruentes

103


• Trapecios • Rectangular
Son aquellos cuadriláteros que tienen un Es aquel que tiene uno de sus lados
par de lados paralelos, los cuales reciben perpendicular a las bases.
el nombre de “bases” del trapecio. Consecuentemente, tiene dos ángulos
rectos.
Base menor

• Isósceles
Es aquel que tiene sus lados no
paralelos congruentes.

Base mayor • Escaleno
Es aquel que tiene sus lados no
paralelos no congruentes.

• Trapezoides • Simétrico
Son aquellos cuadriláteros que no tienen Es aquel en el que alguna de sus
ningún par de lados opuestos paralelos. diagonales constituye una línea de
simetría de la figura. Se verificará que
una de las diagonales es mediatriz de la
otra.

• Asimétrico
Es aquel que no presenta simetría
alguna.

3.3.5 Definiciones en el Trapecio

B C • Mediana del Trapecio
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados no paralelos
del trapecio. Se le conoce también con el
M N nombre de “base media”.

• Altura del Trapecio
Es el segmento perpendicular entre las
bases.
A H D

104


3.3.6 Propiedades

• En los Paralelogramos
En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes
En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes y los ángulos
adyacentes a un mismo lado son suplementarios
En todo paralelogramo, las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales

Rectángulo Rombo Cuadrado
Las diagonales son congruentes SI NO SI
Las diagonales son perpendiculares NO SI SI
entre sí
Las diagonales bisecan los ángulos del NO SI SI
vértice
• En los Trapecios
La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de las bases
b

B+b
M N MN =
2
B
En todo trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales
es igual a la semidiferencia de las bases.
b

B−b
E F EF =
2

B
En todo trapecio isósceles se verifica que:
Los ángulos adyacentes a una misma base son congruentes
Los ángulos opuestos son suplementarios
Las diagonales son congruentes
Las proyecciones de los lados congruentes sobre la base mayor del trapecio son
iguales a la semidiferencia de las bases.
B

B−b
m=
2

m B m

105


Ejemplos

1. En la figura, hallar la medida del ángulo x, si ABCD es un cuadrado y AFD y CDE son
triángulos equiláteros.
B C
F
x
E

A D
Solución:
Como el triángulo AFD es equilátero, el ángulo FDA medirá 60°. En consecuencia, el ángulo
FDC medirá 30°. De la misma manera, al ser el triángulo CDE equilátero, el ángulo CDE
medirá 60°.
En el triángulo FDE, el ángulo FDE medirá 90° (= 30° + 60°)
Como: AD = FD (por ser AFD un triángulo equilátero)
CD = DE (por ser CDE un triángulo equilátero) y además
AD = CD (por ser ABCD un cuadrado)
se concluye que FD = DE.

Consecuentemente, el triángulo FDE será isósceles rectángulo y el ángulo x medirá
entonces 45°.

2. En un paralelogramo ABCD, el ángulo B mide 120°. Hallar el mayor ángulo formado
por la bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz del lado CD

Solución:

El ángulo A medirá 60° y la bisectriz de A
determinará ángulos de 30°.
B C El ángulo D (opuesto a B) medirá 120°.
120°
La mediatriz determina con el lado CD un
x ángulo de 90°.
El ángulo buscado es el ángulo “x” el cual se
90° determina en el cuadrilátero formado por los
30°
lados AD y CD , la bisectriz de A y la mediatriz
30° 120°
A D de CD .
x = 360° - (30° + 120° + 90°) = 120°

3. En un trapecio, la relación entre el segmento que une los puntos medios de las
diagonales y la mediana es 3/5. Calcular la relación que existe entre las bases del
trapecio (base menor (b) / base mayor (B)).

Solución:
Se sabe que la mediana de un trapecio mide (B+b)/2 y que el segmento que une los puntos
medios de las diagonales mide (B-b)/2. De acuerdo al enunciado, se tendrá:

106


B−b
2 =3 B−b 3
de donde = por lo tanto 5 B – 5 b = 3 B + 3b
B+b 5 B+b 5
2
2B = 8 b Conclusión: b/B = 1/4

Ejercicios

1. En un trapecio de bases BC = 4 cm y AD = 12 cm se traza la diagonal AC que corta
a la mediana del trapecio MN en el punto E. Hallar la relación entre las medidas de
EN y ME , sabiendo que M se halla sobre el lado AB .
Respuesta: 3 cm.

2. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales, ¿en qué
relación están las bases (base mayor / base menor)?
Respuesta: 2:1

3. Dado un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz interior del ángulo D, que corta al lado
BC en E. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de BD y AE ,
sabiendo que el lado menor del rectángulo mide 5 m.
Respuesta: 2.5 m

4. Dado un paralelogramo ABCD donde AB = 12 cm y BC = 15 cm. Se traza la bisectriz
interior del ángulo B que corta AD en H. Hallar HD.
Respuesta: 3 cm

5. Si AC = 36 m, determine el valor de EC.

B C

A . .E

M
D

Respuesta: 24 m

107


3.4 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

3.4.1 Definiciones

• Circunferencia:
Se denomina circunferencia al conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado
centro, ubicados en un mismo plano.

• Círculo:
Se denomina círculo a la región del plano limitada por una circunferencia.

Toda circunferencia o círculo quedan definidas al especificar su centro y su radio.

3.4.2 Elementos

Centro (O): punto equidistante de
todos los puntos de la circunferencia

Radio ( OA ): segmento que une el centro de
la circunferencia con un punto cualquiera de
C
la misma
A
Cuerda ( BC ): segmento que une dos puntos
B cualesquiera de la circunferencia

D E Diámetro ( DE ): segmento que une dos
O puntos de la circunferencia y pasa por el
centro de la misma.
S ↔
Secante ( S ): recta que corta a la
circunferencia (en dos puntos)

P ↔
T Tangente ( T ): recta contenida en el plano de
la circunferencia y que toca a ésta en punto
(P), denominado “punto de tangencia” o
“punto de contacto”.
(

Arco ( AE ): parte de la circunferencia
comprendida entre dos puntos de ella. La
medida de un arco es igual a la del ángulo
central formado por los radios que lo
subtienden

108


3.4.3 Regiones Circulares

Sector Circular Segmento Circular
Es la parte del círculo limitada por dos Es la parte del círculo limitada por una
radios y por el arco subtendido cuerda y el arco que subtiende.

Corona Circular Trapecio Circular
Es la porción del plano comprendida entre Es la porción del plano limitada por dos
dos circunferencias concéntricas circunferencias concéntricas y dos radios

3.4.4 Algunas Propiedades en la Circunferencia

• Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el
centro hasta el punto de contacto.

P (punto de tangencia)

T
O

• Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior son
congruentes.
A

o P PA = PB

B

109


• Un radio de una circunferencia biseca a una cuerda si y solo si el radio y la cuerda son
perpendiculares.

O

• En toda circunferencia, a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes, y si dos
arcos no son congruentes, a mayor arco corresponde mayor cuerda.

A •
B

(
(
Si AB ≅ CD ⇒ AB = CD
D
C •

3.4.5 Posiciones Relativas de Dos Circunferencias (d: distancia entre los centros)

• Exteriores

R
d r d>R+r

• Tangentes
Exteriormente R
r
d=R+r

d

• Secantes

R r

d<R+r

d

110


• Tangentes
Interiormente
d
r d=R–r
R

• Interiores

d
d<R-r
r R

• Concéntricas

• d=0

3.4.6 Ángulos en la Circunferencia y su Medida

Un arco de una circunferencia se mide en grados. La medida del arco correspondiente a
una circunferencia es 360° y el correspondiente a una semicircunferencia es 180°.

arco mayor arco menor

• Angulo Central

Es aquel que tiene como vértice el centro de la circunferencia y como lados dos radios de la
misma. Su medida es igual a la medida del arco menor que subtiende (interceptado).

A

x
(

x = m( AB )
B

111


• Angulo Inscrito

Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de la
misma. Su medida es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende.

A

(
x m( AB )
x=
2

B

Se cumple lo siguiente:

• El ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90°
• Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son congruentes
• En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son
suplementarios.

Como caso particular se tiene el llamado ángulo semi-inscrito, cuyo vértice se encuentra
sobre la circunferencia, siendo sus lados una cuerda y una tangente. Su medida es igual a
la mitad de la medida del arco interceptado.

A
x
(

m( AB )
x=
2

B

• Angulo Interior

Es aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia y sus lados son dos
cuerdas que se cortan. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de las
medidas de los arcos interceptados.

B
A
(

(

m( AD ) + m( BC )
x x=
2

D C

112


• Angulo Exterior

Es aquel formado por dos secantes, por una secante y una tangente, o por dos
tangentes a una circunferencia, que se intersecan en un punto fuera de la circunferencia.
Su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados

B
A

(

(
m( BC ) − m( AD )
x x=
2

D
C

3.4.7 Longitud de una Circunferencia

La longitud de una circunferencia se denota por C y es igual al producto del diámetro por la
constante π ( = 3.14159….). La longitud de un arco de circunferencia será proporcional a la
fracción de circunferencia que representa dicho arco.

A

R C=πD=2πR

⎛ α ⎞
Larc(AB) = 2πR ⎜ ⎟
⎝ 360 ⎠
B

π es una de las constantes matemáticas más importantes y juega un papel fundamental
en muchos cálculos y demostraciones en las matemáticas, física y otras ciencias, así
como en la ingeniería. El valor de π es aproximadamente 3.141592.
El matemático griego Arquímedes (287 – 212 a.c.) encontró que el valor de π estaba
1 10
comprendido entre 3 y 3
7 71

113


Ejemplos

1. En una circunferencia se encuentra inscrito un trapecio ABCD, de tal forma que: m∠ A
= 50°, siendo BC su base menor. Hallar la medida del arco BAD.

Solución:
B C
El ángulo A del trapecio es un ángulo inscrito en la
circunferencia. Por medida del ángulo inscrito, el arco
BCD medirá 100° (el doble del ángulo A).
Por lo tanto, el arco BCD buscado habrá de medir:
50°

(
A D 360° - m(BCD) = 360° - 100° = 260°

2. En la figura, OA es radio, CA y CB son tangentes a la circunferencia y AN es
perpendicular a BC . Hallar el ángulo x.
A

30°
x C
O

N
B
Solución:
Como el radio es perpendicular a la tangente, el ángulo NAC medirá 60°.
En el triángulo rectángulo ANC, el ángulo buscado medirá entonces 90° - 60° = 30°

3. En una circunferencia de radio 36 m, determinar la longitud del arco que subtiende un
ángulo central de 10°

Solución:
2πRα°
En general, la longitud de un arco está dada por la relación: L(arco) =
360°
( 2π )(36)(10)
Para este caso en particular, se tendrá: L(arco ) = = 2π m
360
La longitud de arco será 6.28 m

114


Ejercicios

1. En la figura mostrada, T es punto de tangencia y el arco AF mide 132°. Calcular la
medida del ángulo α.

T

60° α
E A F

Respuesta: 27°

2. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y CD que se cortan en F. Si la
medida del arco AD es dos veces la del arco BC y además, el ángulo BFD mide 105°,
hallar la medida del arco BC.
Respuesta: 50°

3. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante
PAB . Si el arco ATB mide 120° y el ángulo TPB es igual a 40°, calcular la medida del
ángulo TBP.
Respuesta: 10°

4. En la figura mostrada, hallar la relación entre las medidas de los arcos PQ y AF.

A
P

80° 30° R

Q
F
Respuesta: 5/11

5. En el cuadrado circunscrito mostrado, hallar el ángulo “x”.

x

Respuesta: 67° 30′

115


3.5 RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO

Son las diferentes fórmulas que relacionan las longitudes de los lados y de los segmentos
notables en un triángulo.
Es posible distinguir:
• Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
• Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

3.5.1 Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo

Si en un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se traza la altura AH relativa a la
hipotenusa, dicha altura dividirá a la hipotenusa en dos segmentos BH y HC , que serán
respectivamente, las proyecciones de los catetos AB y AC sobre la hipotenusa.

Al denotar las longitudes de los segmentos de la siguiente manera:
AB = c ; BC = a ; AC = b ; AH = h ; BH = m ; HC = n, se verificarán las siguientes
relaciones métricas:

A
h2 = m. n

c2 = a.m
c h b b2 = a.n

b.c = a.h
m n
B H C
a

Se cumple igualmente el llamado teorema de Pitágoras, el cual establece que en todo
triángulo rectángulo se cumple que: “la suma de los cuadrados de las longitudes de los
catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa”.

a2 = b2 + c2

• Triángulos Rectángulos Notables

Triángulo 45°-45°:

Es un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos (L)
son los lados de un cuadrado y cuya hipotenusa ( L 2 )
L 2 es una diagonal del cuadrado. La medida de los catetos
L
es proporcional a 1 y la medida de la hipotenusa es
proporcional a 2

L

116


Triángulo 30°-60°:

Es un triángulo rectángulo formado por un lado (2L), la
mitad de otro lado (L) y una altura ( L 3 ) de un triángulo
L 3 2L
equilátero. La hipotenusa mide el doble el cateto menor y
el cateto mayor mide 3 veces el cateto menor.

L
Cabe también señalar entre los triángulos rectángulos Pitagóricos (que tienen por longitudes
de sus lados números enteros), a los triángulos 3 - 4- 5 y 5 –12 -13, como los más usuales.

PITAGORAS
Pitágoras fue originario de la isla de
Samos, situado en el Mar Egeo. En la
época de este filósofo la isla era
gobernada por el tirano Polícrates. Como
el espíritu libre de Pitágoras no podía
avenirse a esta forma de gobierno, emigró
hacia el occidente, fundando en Crotona
(al sur de Italia) una asociación que no
tenía el carácter de una escuela filosófica
sino el de una comunidad religiosa. Por
este motivo, puede decirse que las
ciencias matemáticas han nacido en el
mundo griego de una corporación de
carácter religioso y moral. Ellos se reunían
para efectuar ciertas ceremonias, para
ayudarse mutuamente, y aun para vivir en
comunidad.

En la Escuela Pitagórica podía ingresar
cualquier persona. Se dice que Pitágoras
se casó con una de las alumnas.
Nació : alrededor del 580 AC en Samos, Debido a la influencia política que tuvo
Ionia la Escuela en esa época, influencia que
era contraria a las ideas democráticas
existentes, se produjo, tal vez, después
Falleció : alrededor del 500 AC en
del año 500 una revuelta contra ellos,
Metapontum, Lucania
siendo maltratados e incendiadas sus
casas. Pitágoras se vio obligado a huir
a Tarento, situada al sur de Italia.
Algunos piensan que un año más tarde
murió asesinado en otra revuelta
popular en Metapontum.

Se debe a Pitágoras el carácter
esencialmente deductivo de la Geometría
y el encadenamiento lógico de sus
proposiciones, cualidades que conservan
hasta nuestros días.

117


Ejemplos

1. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 m y 8 m. Hallar el perímetro del
triángulo.

Solución:
Se trata de un triángulo rectángulo 3-4-5. Por lo tanto, la hipotenusa medirá 10 m
(resultado que puede obtenerse también aplicando el Teorema de Pitágoras).
10 m + 8 m + 6 m = 24 m
El perímetro del triángulo será: 24 m

2. En un triángulo 3-4-5, la hipotenusa mide 20 cm. ¿A cuánto es igual el producto de las longitudes
de los catetos?

Solución:
La medida de los catetos es 3K y 4K. La medida de la hipotenusa es 5K.
Pero 5K = 20 de donde K = 4. Por lo tanto, los catetos miden:
3K = 3 x 4 = 12 ; 4K = 4 x 4 = 16
Consecuentemente, el producto de los catetos es: 16 x 12 = 192 cm2

3. En la figura, si AB = 3 , hallar BC.

B

C
30°
30°
A D

Solución
3 3
Si AB = 3 , entonces: AD = y BD = (por ser ABD un triángulo 30-60)
2 2
3 1
Si AD = , entonces: CD = (por ser ACD un triángulo 30-60)
2 2

Entonces BC = BD – BC = 3/2 –1/2 =1

Por lo tanto: BC = 1 cm

118


Ejercicios

1. En el cuadrilátero ABCD mostrado, se sabe que: m ∠A = 45°, m ∠B = 172°, m ∠C = 83°.
Si AB = 5 2 cm y BC = 5 cm, hallar la medida de CD .
C

B

A D
16 3
Respuesta: cm.
B 3

2. En la figura mostrada, calcular x 10
la medida del segmento AB
A C

17 5
Respuesta: 22 u.

3. De la figura mostrada, calcule “x”

8u D
4,5u

x

Respuesta: 10 u

4. La figura muestra el esquema de la planta de una tienda. Calcule el ancho de la puerta “x”
11m

5m
9m

x
8m Respuesta: 5m

5. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.
a. Calcule BC si AB = 11 m, AD = 3 m y DC = 15 m
b. Calcule AB si BC = 20 m, AD = 12 m y CD = 36 m.
c. Calcule BD si AB = 20 cm, CD = 28 cm y BC = 17 cm.

Respuesta: a: 5m. b: 20 m c: 25m

119


3.6 POLIGONOS

3.6.1 Definición de Polígono

Sean A, B, C, D, E …… puntos distintos de un mismo plano.
La unión de los segmentos AB , BC , CD , ….. recibe el nombre de polígono si se cumplen las
siguientes propiedades:

• No es posible que descansen sobre una misma recta dos segmentos que tengan un punto
en común
• Dos segmentos cualesquiera sólo pueden intersectarse en sus extremos

A
β1
β5
α1 B
E α5 α2
β2

β4 α4 α3
C
β3
D

La longitud total del contorno de un polígono recibe el nombre de “perímetro del polígono”.

La porción de plano limitada por un polígono recibe el nombre de “región poligonal”.

3.6.2 Elementos

Los elementos de un polígono son:

• Lados ( AB , BC , CD , …)
Son los segmentos rectilíneos que delimitan el polígono

• Vértices (A, B, C, D, E, …)
Son los puntos de intersección de dos lados consecutivos

• Angulos Interiores (α1, α2, α3, α4,…)
Son los ángulos formados en el interior del polígono por dos lados consecutivos

• Angulos Exteriores (β1, β2, β3, β4,…)
Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo.

Puede observarse que el ángulo interior y el ángulo exterior correspondientes a un mismo
vértice son suplementarios.

120



• Por la Forma de su Contorno

Los polígonos pueden ser convexos o no convexos.

Un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos interiores cualesquiera del
polígono está contenido en el interior del polígono. En caso contrario, el polígono se denomina
no convexo.

Casos Particulares:

• Polígono equilátero: es aquel que tiene todos sus lados congruentes
• Polígono equiángulo: es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes

Polígonos Regulares: aquellos que son a la vez equiángulos y equiláteros

Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia o circunscribirse a ella.

Polígono Inscrito Polígono Circunscrito

• Por el Número de Lados

Según su número de lados, los polígonos se clasifican en:

Triángulo 3 lados Nonágono 9 lados
Cuadrilátero 4 lados Decágono 10 lados
Pentágono 5 lados Endecágono 11 lados
Hexágono 6 lados Dodecágono 12 lados
Heptágono 7 lados Pentadecágono 15 lados
Octógono 8 lados Icoságono S

3.6.4 Propiedades de los Polígonos

Suma de los ángulos interiores de un Sα = 180° (n-2)
polígono de “n” lados
Suma de los ángulos exteriores de un Sβ = 360°
polígono de “n” lados
Número de diagonales trazadas desde un
vértice de un polígono convexo de “n” d = n-3
lados

121


Número total de diagonales en un polígono n (n − 3)
convexo de “n” lados D=
2
En un polígono regular:
Medida del ángulo interior de un polígono 180°(n − 2)
regular de “n” lados α=
n
Medida del ángulo exterior de un polígono 360°
regular de “n” lados β=
n
Suma de ángulos centrales de un polígono Sφ = 360°
regular
Medida del ángulo central de un polígono 360°
regular de “n” lados φ=
n

3.6.5 Congruencia y Semejanza de Polígonos

• Congruencia
Dos polígonos de igual número de lados son congruentes si las medidas de sus lados y
ángulos son respectivamente congruentes.

• Semejanza
Dos polígonos de igual número de lados son semejantes si las medidas de sus ángulos
correspondientes son iguales y las medidas de sus lados correspondientes u homólogos
son proporcionales.

3.6.6 Polígonos Regulares

Apotema Radio

• Elementos

Centro:
Se denomina centro de un polígono regular al centro de la circunferencia inscrita o circunscrita

Radio:
Se denomina radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono

Apotema:
Se denomina apotema de un polígono regular al segmento perpendicular trazado desde el
centro del polígono a uno cualquiera de los lados. Así, el apotema une el centro del polígono
con el punto medio de uno cualquiera de los lados y coincide con el radio de la circunferencia
inscrita en el polígono.

122


3.6.7 Características de algunos polígonos regulares en función del radio “R” de la
circunferencia circunscrita

POLIGONO ANGULO MEDIDA DEL MEDIDA DEL
CENTRAL LADO (Ln) APOTEMA (an)
Triángulo Equilátero 120° R 3 R
2
Cuadrado 90° R 2 R 2
2
Hexágono Regular 60° R R 3
2

Ejemplos

1. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el cual el ángulo externo es la mitad del
interno?

Solución:
La medida del ángulo externo es 360°/n, siendo “n” el número de lados del polígono.
180°.(n − 2)
La medida del ángulo interno es
n
360° 1 180°.(n − 2)
De acuerdo al enunciado, se cumple que: = x
n 2 n

de donde: 720° = 180° (n-2) de donde n – 2 = 4 y entonces n = 6
n (n − 3)
El número de diagonales del polígono será: D =
2
Reemplazando n = 6, se obtiene D = 9

2. El perímetro de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es 3 3 cm. Calcular
el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia.

Solución:
Si el radio de la circunferencia es R, el lado del triángulo equilátero inscrito es R 3 .
Como el perímetro del triángulo es 3 3 , su lado medirá 3 .
Por lo tanto, R = 1 cm.
Como el lado del hexágono regular inscrito es igual a R, el perímetro será: 6 R = 6 cm.

3. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a 2 m. Calcular el lado del
cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

Solución:
Si el lado del cuadrado inscrito es 2 m su diagonal medirá 2 2
m. Pero la diagonal del cuadrado es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita.
Diámetro = 2 2 m Radio = 2 m
El lado del cuadrado circunscrito será igual al doble del radio de la
circunferencia Lado = 2 2 m

123


Ejercicios

1. ¿Cuál es el polígono convexo en el que al duplicarse el número de lados la suma de
ángulos internos se cuadruplica?
Respuesta: triángulo

2. El número de lados de un polígono aumenta en 3, el número de sus diagonales aumenta
en 15. ¿Cuál es el polígono?
Respuesta: pentágono

3. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10 cm. Calcular el perímetro
del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.
Respuesta: 15 6 cm

4. En una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular cuyo lado mide 4 cm.
¿Cuánto medirá el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en la misma
circunferencia?
Respuesta: 12 3 cm.

124


3.7 AREAS DE REGIONES PLANAS

3.7.1 Area del Triángulo

El área de un triángulo es igual al semiproducto de un lado por la altura relativa a dicho lado.
A

hb
a.h a b.h b c.h c
c ha hc b A ∆ABC = = =
2 2 2

B a C

• Área del Triángulo en función de sus lados

A ∆ABC = p( p − a )(p − b)(p − c)

donde “p” es el semiperímetro del triángulo

• Área del triángulo equilátero

L2 3
L L A=
4

L

• Propiedades de áreas de Triángulos

Propiedad 1:
Si dos triángulos tienen igual longitud de altura, sus áreas son proporcionales a las
longitudes de sus respectivas bases.
Propiedad 2:
Si dos triángulos tienen igual longitud de base, sus áreas son proporcionales a las
longitudes de sus respectivas alturas.
Propiedad 3:
Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de la
longitud de cualquiera de sus elementos correspondientes u homólogos

125


3.7.2 Áreas de Cuadriláteros

Cuadrado En función del lado (L): A = L2
D2
En función de la diagonal (D): A=
2
Rectángulo A=b.h
siendo: b - base
h - altura
Paralelogramo A=b.h
siendo: b - base
h - altura
Rombo D.d
A=
2
siendo D: diagonal mayor
d: diagonal menor
Trapecio ( B + b) h
A=
2
siendo: B – base mayor
b – base menor
h – altura

3.7.3 Área de Polígonos Regulares

La región poligonal regular puede descomponerse
en tantos triángulos congruentes como lados tiene
el polígono.
El área será:

L.a
A = n . Area(∆) = n .
a
2

A = p.a
L

El área de los polígonos regulares, también puede expresarse en función de:
• R (radio de la circunferencia circunscrita)
• L (lado del polígono regular)
• r (radio de la circunferencia inscrita)
• a (apotema del polígono regular)

126


El cuadro siguiente presenta las expresiones correspondientes al área de las respectivas
figuras:

FIGURA EN FUNCION DE:
R L r a
Triángulo 3R 2
3 L2
3 2 2
3r 3 3a 3
Equilátero
4 4
Cuadrado 2R2 L2 4r2 4a2

Hexágono 3R 2 3 3L2 3 2r 2 3 2a 2 3
Regular
2 2

3.7.4 Areas de Regiones Circulares

Círculo
πD 2
A=πR2 ó A=
4

Sector Circular
πR 2 α
A=
360

Segmento Circular
A B
A(sector AOB) – A(∆AOB)
O
O

Zona o Faja Circular A B
C D A(segm.CD)-A(segm.AB)

Corona Circular

A=π(R2-r2)

Trapecio Circular
π(R 2 − r 2 )α
A=
360

127


Ejemplos

1. En un triángulo ABC se cumple que AB = AC y además, las distancias del baricentro a los
vértices A y C miden 14 m y 25 m respectivamente. Hallar el área del triángulo ABC.

Solución:

De acuerdo a los datos, se tendrá el triángulo ABC mostrado en la figura.
A G es el baricentro
Por dato, GA = 14 y GC = 25
Por propiedad de baricentro GH = GA/2 = 7
De esta manera, la altura del triángulo medirá 21 u.
Por otro lado, haciendo uso del teorema de Pitágoras:
HC = (GC) 2 − (GH) 2 = (25) 2 − (7) 2 = 576 = 24
G La base del triángulo medirá: 2 x 24 = 48 u
48x 21
El área buscada será: A = = 504 m2
2
B H C

2. Hallar el área de un triángulo de 90 m de perímetro, cuyos lados están en la relación 2, 3
y 4.

Solución:

Se tendrá: 2K + 3K + 4K = 90 K = 10
Los lados del triángulo medirán; 20 m, 30 m y 40 m.
Para hallar el área se aplica la fórmula de Herón: A = p(p − a )(p − b)(p − c)
Reemplazando valores, se obtiene: A = 75 15 m2

3. Si el área del cuadrado ABCD es 27 m2, determinar el área de la región MNPQ
mostrada. Tomar en cuenta que cada lado está dividido en tres partes iguales.

Solución:

En la figura mostrada, considerando que el lado del cuadrado ABCD mide “3a”, se tendrá:
Area = (3a)2 = 27 ⇒ 9 a2 = 27 ⇒ a2 = 3 m2

A M B El área de la región MNPQ puede determinarse restando
al área del cuadrado ABCD el área de los cuatro triángulos
formados en las esquinas del cuadrado, cada uno de los
Q cuales tiene por base “2ª” y por altura “a”.
A(MNPQ) = 27 – 4 x (2a x a) / 2
= 27 – 4 a2
N = 27 – 4 x 3
= 15 m2

D P C

128


4. Hallar la relación entre las áreas del triángulo equilátero y del hexágono regular inscritos
en una misma circunferencia.

Solución:
L2 3 (R 3 ) 2 3 3R 2 3
A (∆equilátero) = = =
4 4 4
3L2 3 3R 2 3
A (hexágono) = =
2 2
1
En consecuencia, la relación de áreas buscada es igual a
2

5. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero, el cual a su vez está inscrito
en una circunferencia de longitud igual a 4π m.

Solución: Por dato del problema se tiene que:
Longitud de circunferencia mayor es : 2 π R = 4 π
De donde R = 2 m
R
Pero R = 2r (propiedad de baricentro)
r De donde r = 1 m

Por lo tanto, el área de la circunferencia menor
será:
A = π r2 = π x 1 = π m2

6. Hallar el área sombreada si las cuatro semicircunferencias tienen un radio igual a 2 cm.

Solución:

Efectuando las traslaciones de áreas
indicadas, el área buscada resulta ser igual
al área de cuatro cuadrados, cada uno de
los cuales tiene por lado el radio de los
arcos de circunferencia, esto es, L = 2.
Por lo tanto, el área es: A = 4 x 22 = 16 cm2.

7. Hallar el área sombreada si el arco APB es una semicircunferencia de centro O y radio 6,
el arco AP es un cuarto de circunferencia y ABCD es un rectángulo.

Solución:
P
D C El área buscada es igual al área de la región
APO más el área del cuarto de círculo OPB.
Pero el área de la región APO es igual al área de
la región PCB; en consecuencia, el área
buscada será equivalente al área del cuadrado
A B OPCB ⇒ A = 62 = 36 m2
O
129


Ejercicios

1. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 3 es a 4. ¿Cuál es la medida de
la hipotenusa, sabiendo que el área del triángulo es 24 m2?
Respuesta: 10 m

2. Hallar el área de un cuadrado inscrito en un semicírculo de 3 5 m de radio.
Respuesta: 36 m2

3. Se tiene un hexágono regular de 18 3 m2 de área, circunscrito a una circunferencia.
Hallar el área del círculo inscrito.
Respuesta: 9π m2

4. En un triángulo equilátero ABC de 2 m de lado, haciendo centro en cada vértice y con un
radio igual a la mitad del lado, se trazan tres arcos de circunferencia. Calcular el área
comprendida entre los tres arcos.
π 2
Respuesta: 3− m
2

5. Se tiene un triángulo ABC cuya área es 45 u2. Sobre BC se toma un punto D tal que DC
= 2 BD; y sobre AC se toma un punto E tal que AE = 2 EC. Hallar el área (en u2) del
triángulo ADE.
Respuesta: 20 u2

130

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