NÚMEROS COMPLEJOS - MATEMATICA IV

1. MATEMÁTICA IV
NÚMEROS COMPLEJOS
Alumna:
THAYS YOSELIN HURTADO ESPINOZA
C.I.: V.-17.748.086
MAYO 2020

2. ESQUEMA GENERAL
1. Concepto de números complejos y operaciones elementales.
2. Representar los números complejos
3. Forma canónica. Gráfica.
4. Definición de inversa, módulo y complejo conjugadas.
5. Desigualdad triangular, forma polar de un número complejo, teorema de Moivre
Exponenciación y raíces de números complejos.
Contenido

3. INTRODUCCIÓN
En la presentación se estará tocando el siguiente tema: números complejos. Este tema
a pesar de ser complejo, abarca o integra la trigonometría, algebra y la geometría. Los
números complejos son utilizados en varios campos de las matemática, física, en la
ingeniería, con mas ímpetu en la electrónica y las telecomunicaciones.
Los números complejos surgen cuando se quiere resolver ecuaciones algebraicas en las
que hay necesidad de calcular raíces cuadradas de números negativos, estos números se
pueden suma, resta, multiplicar y dividir. Los números complejos reflejan aspectos como
transformaciones y los movimientos de plano.
Contenido

4. 1. Concepto de números complejos y
operaciones elementales.
Los números complejos son aquellos que
resultan de la suma de un número real y un
numero imaginario; entendiéndose como
número real, aquel que puede expresarse
de forma entera (s, 10, 300, etc.) o decimal
(2,24; 3,10; etc.), mientras que el
imaginario es aquel número cuyo cuadrado
es negativo.
Los números complejos son muy
utilizados en el álgebra y en el análisis. hora
bien, estos números que nos ocupan
forman un conjunto de cifras que resultante
sumas entre un número real y otro
imaginario. En tanto, un número real será
aquel que podrá expresarse a través de un
número entero, o en su defecto de uno
decimal.
Mientras tanto el número imaginario
será aquel cuyo cuadrado resulta ser
negativo.
Contenido

5. 1. Concepto de números complejos y operaciones elementales: Ejemplos de Números
Complejos
Suma de Números Complejos: (-3 + 3i) + (7 - 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i = −3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i
Signos iguale ( -,- y +,+) se suman, signos diferentes se restan
(+,- y -,+)
Respuesta:
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos semejantes.
Contenido

6. 1. Concepto de números complejos y operaciones elementales: Ejemplos de Números
Complejos
Resta de Números Complejos: (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = −3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i
Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.
Respuesta:
−3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = - 10 + 5i
Combina los términos semejantes.
Contenido

7. 1. Concepto de números complejos y operaciones elementales: Ejemplos de Números
Complejos
Multiplicación de Números Complejos: (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)= 6i2
Multiplica los coeficientes de i y luego multiplica i por i.
Reemplaza i2 = –1.
6i2 = 6(−1)
6(−1) = −6
Respuesta
(3i)(2i) = −6
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8. 2. Representar los números complejos.
Representación Binómica:
La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real
y b la parte imaginaria.
Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales
están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los
que tienen parte real igual a cero.
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias
maneras, como se muestra a continuación:
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9. 2. Representar los números complejos.
Representación Polar:
La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número
complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número
complejo
El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Encontramos los
componentes reales y complejos en términos de r y donde r es la longitud del vector y θ es
el ángulo hecho con el eje real.
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10. 2. Representar los números complejos.
Representación Exponencial:
También conocida como Euler es ampliamente usado en la rama del Cálculo, y tiene un
papel muy importante en el crecimiento exponencial y por lo tanto en procesos de la
naturaleza y de la vida cotidiana.
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11. 2. Representar los números complejos.
Representación Trigonométrica:
La forma trigonométrica del complejo z= a + bi z = a + bi es:
Cuando tenemos un complejo escrito en forma trigonométrica, ya lo tenemos casi en
forma binómica. Falta calcular el seno y el coseno del argumento y multiplicar por el
módulo.
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12. 2. Representar los números complejos: Diagrama de Argand
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores,
y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando
coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de
los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos
de los términos pudiendo ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su
tamaño simultáneamente.
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13. 2. Representar los números complejos: Diagrama de Argand
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los
polos y los ceros de una función en el plano complejo. El análisis complejo, la teoría de las
funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra
aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y
muchos otros campos.
Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección
contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1)·(-1)=+1 puede ser entendido
geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1),
dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.
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14. 2. Representar los números complejos: Algunos Ejemplos
Determinar la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:
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15. 2. Representar los números complejos: Algunos Ejemplos
Representar los siguientes números imaginarios:
Contenido
Representación del complejo z=1+2iz=1+2i: Representación del complejo w=3−iw=3−i:

16. 3. Forma canónica. Gráfica.
El adjetivo canónico se usa con frecuencia en matemática para indicar que algo es
natural, como debe ser e independiente de elecciones arbitrarias, que es absoluto y no
relativo a un observador, que es intrínseco y no depende de un sistema de referencia o de
un sistema de coordenadas, que pertenece a la estructura propia de lo que estudiamos.
Decir de algo que es canónico es decir que no es arbitrario, que todos coincidimos en
ello si lo miramos con atención. Aunque siempre se use en sentido impreciso, es un
concepto central en matemáticas, ciencia que aspira a desentrañar con rigor lo que se
entiende por canónico y a sacar a la luz todo lo que es canónico.
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17. 3. Forma canónica. Gráfica.
En forma canónica (o forma exponencial), un número complejo es
z = r · eiφ
Explicación
En la forma trigonométrica un número complejo se representa con
z = r (φ + i sin φ)
Sustitución de la fórmula de Euler eiφ = cos φ + i sin φ deducen
z = r · eiφ
Ejemplo 1
En forma canónica el número complejo z = 1 + i se deducen
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18. 3. Forma canónica. Gráfica.
FORMA CANONICA: (a,b) , a es la parte real y b
es la parte imaginaria.
NUMERO REAL : (a,0).
IMAGINARIO PURO: (0,b).
Un complejo esta compuesto por una parte real
y una imaginaria.
NUMERO COMPLEJO: (a,0)+(0,b).
- Todo complejo esta representado por un punto
del plano de Argand, o plano cartesiano.
- Todo complejo se asocia a un vector en el plano,
cuyas componentes son a y b.
- Todo complejo queda definido por su modulo y
dirección.
- El modulo corresponde a la medida del vector
expresado en unidades de longitud del plano.
- La dirección del complejo corresponde al ángulo
que forma el vector con el eje positivo de las
componentes reales.
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19. 3. Forma canónica. Gráfica.
Ejemplo
- Par ordenado (-4, -5) se puede expresar en su
forma canónica o
biónica como z = -4 -5i entonces (-4, -5) = -4 – 5i
- Su forma grafica es:
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20. 3. Forma canónica. Gráfica: Aplicaciones
Soluciones de ecuaciones polinómicas:
Una raíz o un cero del polinomio p es
un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado
importante de esta definición es que
todas las ecuaciones polinómicas
(algebraicas) de grado tienen exactamente
n soluciones en el cuerpo de los números
complejos, esto es, tiene exactamente n
complejos z que cumplen la igualdad
p(z)=0, contados con sus respectivas
multiplicidades.
Contenido
Variable compleja o análisis complejo
Al estudio de las funciones de variable
compleja se lo conoce como el Análisis
complejo. Tiene una gran cantidad de usos
como herramienta de matemáticas aplicadas
así como en otras ramas de las matemáticas. El
análisis complejo provee algunas importantes
herramientas para la demostración de
teoremas incluso en teoría de números;
mientras que las funciones reales de variable
real, necesitan de un plano cartesiano para ser
representadas.

21. 4. Definición de inversa, módulo y complejo
conjugadas.
Módulo
Se define el módulo de un número complejo como el
módulo del vector que lo representa, es decir, si z = x +
iy entonces el módulo de Z es
Conjugado
El conjugado de un número complejo se define como
su simétrico respecto del eje real, es decir, si z = x + iy
entonces el conjugado de Z es
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22. 4. Definición de inversa, módulo y complejo
conjugadas. Propiedades
El conjunto ℂ de los números complejos satisface las
leyes de la axiomática que define un cuerpo:
• Propiedad conmutativa: z+w = w+z; zw= wz.
• Propiedad asociativa: v+(w+z)= (v+w)+ z; v(wz)= (vw)z
• Propiedad distributiva: v(w+z) = vw+vz; (w+z)v =
wv+zv
Inversos: cada número complejo tiene su inverso aditivo
-z tal que z +(-z) = 0 y cada número complejo, distinto de
cero, tiene su inverso multiplicativo z-1, tal que z·z-1 =
1.9
Si identificamos el número real a con el complejo (a,
0), el cuerpo de los números reales R aparece como un
subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial
de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no
pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números
reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna
manera en un cuerpo ordenado.
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23. 5. Desigualdad triangular, forma polar de un número
complejo, teorema de Moivre. Exponenciación y raíces
de números complejos.
La desigualdad triangular o desigualdad de
Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que
establece: Este resultado ha sido generalizado a otros
contextos más sofisticados como espacios vectoriales.
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos
lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado
restante.
Este hecho es una consecuencia de otro teorema de
la geometría plana clásica que afirma que la distancia
más corta entre dos puntos es la línea recta.
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24. 5. Desigualdad triangular, forma polar de
un número complejo, teorema de Moivre.
Exponenciación y raíces de números
complejos.
La fórmula de De Moivre, nombrada así
por Abraham Moivre afirma que para
cualquier número complejo (y en particular,
para cualquier número real) x y para
cualquier entero n se verifica que:
Esta fórmula es importante porque
conecta a los números complejos (i significa
unidad imaginaria) con la trigonometría. La
expresión "cos x + i sen x" a veces se
abrevia como cis x.
Contenido

25. 5. Desigualdad triangular, forma polar de un número
complejo, teorema de Moivre. Exponenciación y raíces
de números complejos.
Raíces de un número complejo Para hallar las raíces
de un número complejo se
aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que
para que dos complejos coincidan han de tener el
mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de
ser un múltiplo entero de 360º. Sea Ra un número
complejo y considérese otro complejo R'a', tal que
Ra = (R' a' ) n = ((R' )n )n a‘
Aunque esto parece aportar una infinidad de
soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de
n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece
incrementado en un número entero de circunferencias.
Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n - 1,
lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da
un total de n raíces.
Contenido

26. CONCLUSIÓN
La introducción de los números complejos tiene gran importancia en la Matemática, ya
que te proporciona herramientas de trabajo para resolver ecuaciones que no tenían
solución en el dominio de los números reales. También te permite resolver ejercicios
utilizando los símbolos ya estudiados para los conjuntos numéricos. Como has podido
apreciar, la adición y sustracción de números complejos es muy similar a como lo haces en
el trabajo con variables, solo que en lugar de una variable, encuentras la unidad
imaginaria.

27. BIBLIOGRAFÍA
Mario Hernández (2011) ensayo números complejos. Disponible:
https://es.scribd.com/doc/66197935/ensayo-de-los-Numeros-complejos
Juan canos morales (2016) ensayo números complejos. Disponible:
https://www.academia.edu/32257280/Ensayo_N%C3%BAmeros_Complejos
Yúnior castillo Silverio (2012) los números complejos.
Disponible:https://www.monografias.com/trabajos107/numeroscomplejostrigonometria/
numeros-complejos-trigonometria.shtml
Ricardo Fernández (2018) números complejos. Disponible:
https://html.rincondelvago.com/numeros-complejos_5.html
Julián Pérez(2012) Modulo. Disponibles: https://definicion.de/modulo/

28. Final
Final…
NÚMEROS COMPLEJOS