Los números complejos pueden expresarse de varias formas: binómica (parte real + parte imaginaria), polar (módulo y argumento), exponencial y trigonométrica. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos siguiendo reglas algebraicas. La raíz n-ésima de un número complejo da otros números complejos, donde el módulo es la raíz n-ésima del módulo original y el argumento depende de n.

1. Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Matemáticas Físicas y Químicas
Redes Eléctricas I
Tema:
Números Complejos
Estudiante:
Lider Eduardo Pilligua Menéndez
Docente:
Ing. William Moreano
Carrera:
Ing. Eléctrica
Nivel:
V

2. Números Reales
• El cuerpo de los números reales se compone de los
correspondientes a los números racionales e irracionales.
Números Imaginarios
• La raíz cuadrada de un número real negativo es un número
imaginario.
Números Complejos
• Un número complejo 퐳 es de la forma 풙 + 풋풚.

3. La Unidad Imaginaria
• La unidad imaginaria de los números complejos es −ퟏ que
la representamos con la letra 풊.
• De esta manera, 풊 = −ퟏ → 풊² = −ퟏ
ퟐ
= −ퟏ
• Con la unidad imaginaria 풊 se pueden realizar operaciones como
suma, resta, multiplicación, etc.

4. Distintas formas de expresar un número
complejo
Forma binómica 풛 = 풙 + 풋풚
Forma polar 풛 =
Forma exponencial 풛 = 풓풆풋휽
Forma trigonométrica 풛 = 풓(풄풐풔휽 + 풋풔풆풏휽)

5. Forma binómica (풂 + 풃풊)
• El número 풂 es la parte real del número complejo.
• El número 풃풊 es la parte imaginaria del número complejo.
• Los números complejos se representan en los ejes cartesianos;
donde :
o El 풆풋풆 풙 se llama eje real.
o El 풆풋풆 풚, se llama eje imaginario.
o El número complejo 풂 + 풃풊 se representa:
o Por el punto 풂 ; 풃 .

6. Representación Grafica

7. Tener en cuenta para todas las expresiones
que:
• 풓 es el argumento o módulo del numero complejo, se estima
usando Pitágoras.
풓 = 풂² + 풃²
• 휶 es el argumento del número complejo, se estima a partir de la
siguiente fórmula.
휶 = 풂풓풄 풕품
풃
풂

8. Dependiendo del cuadrante al que
pertenece el número obtenemos.

9. Forma Polar 풁 = 풓휶
• Analizamos un ejemplo:

10. Forma Exponencial 풁 = 풓풆휶풊
• Como pueden observar poseen los mismo parámetros que en
la forma polar. Ejemplo:

11. Forma Trigonométrica 풁 = 풓풄풐풔휶 + 풓풔풆풏휶풊
• Ejemplo:

12. Conjugado de un número complejo
• El conjugado del número complejo 풛 = 풙 + 풋풚 es el
complejo 풛∗ = 풙 − 풋풚.
• Las cuatro formas de escribir un número complejo 풛 y su
conjugado correspondiente son:
Forma binómica 풛 = 풙 + 풋풚 풛∗ = 풙 − 풋풚
Forma polar 풛 = 풛∗ =
Forma exponencial 풛 = 풓풆풋휽 풛∗ = 풓풆−풋휽
Forma trigonométrica 풛 = 풓(풄풐풔휽 + 풋풔풆풏휽) 풛∗ = 풓(풄풐풔휽 − 풋풔풆풏휽)

13. Operaciones de números
complejos.

14. Suma y Resta de números complejos
• Para sumar dos números complejos, tenemos que sumar por
separado las partes reales y las partes imaginarias. Ejemplo:
ퟑ − ퟐ풊 푦 ퟓ + ퟔ풊
• Y restamos por un lado las partes Reales, y por el otro las
imaginarias. Ejemplo:
ퟒ − ퟕ풊 − (ퟔ − ퟓ풊)

15. Multiplicación de números complejos
• El producto de dos números complejos, escritos en forma
exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de
la potenciación.
풛ퟏ풛ퟐ = 풓ퟏ풆풋휽ퟏ 풓ퟐ풆풋휽ퟐ = 풓ퟏ풓ퟐ풆풋(휽ퟏ+휽ퟐ)
• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.
• Si los complejos vienen dados en forma binómica se
multiplican como si fueran polinomios.

16. División de números complejos
• El cociente de dos números complejos, escritos en forma
exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de
la potenciación.
풛ퟏ
풛ퟐ
=
풓ퟏ풆풋휽ퟏ
풓ퟐ풆풋휽ퟐ
=
풓ퟏ
풓ퟐ
풆풋(휽ퟏ−휽ퟐ)
• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.
• Si los complejos vienen dados en forma binómica se multiplica
el numerador y denominador por el conjugado del
denominador.

17. Radicación
• Si calculamos la raíz cuadrada de un número complejo,
obtenemos dos resultados diferentes; si calculamos una cubica,
obtendremos tres; y así sucesivamente

18. Calculo de la raíz 풏 (풂 + 풃풊)
• La raíz enésima de un número complejo es otro número
complejo tal que:
o El módulo es la raíz enésima del módulo 풓` = 풏 풓.
o El argumento
o K= 0, 1, 2, 3 . . . (n – 1)

19. Ejemplo:

20. Logaritmo de un número complejo
• El logaritmo natural de un número complejo se halla muy
fácilmente se este se escribe en forma exponencial.
퐥퐧 풛 = 퐥퐧 풓풆풋(휽+ퟐ흅풏) = 퐥퐧 풓 + 퐥퐧 풆풋(휽+ퟐ흅풏) = 퐥퐧 풓 + 풋(휽 + ퟐ흅풏)
• El resultado que se obtiene, pues, no es único. Se llama valor
principal del logaritmo al que corresponde a 풏 = ퟎ, y es el que
se considera con más frecuencia.

21. Gracias