Este documento explica la notación sigma, que se usa para escribir sumas de manera compacta. Define la notación sigma, presenta algunas propiedades como la distribución y cambios en los límites de suma, y proporciona fórmulas para calcular sumas comunes como la suma de los enteros del 1 al n y la suma de los cuadrados del 1 al n. El documento contiene ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos.
El documento explica la notación sigma, que se utiliza para escribir sumas de manera compacta. Define la notación, incluyendo el uso de índices y límites de suma. También presenta propiedades como la linealidad y fórmulas para calcular sumas de números naturales, cuadrados y cubos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso de la notación sigma.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes, incluyendo identidades para arcos simples, compuestos, dobles, mitad y triple. También cubre propiedades de triángulos rectángulos y fórmulas racionalizadas. El documento proporciona estas identidades y propiedades de manera concisa para que los estudiantes puedan aplicarlas en problemas de trigonometría.
La notación sigma Σ se utiliza para representar sumas. Se expresa como la suma de los términos de un índice i entre dos límites. Por ejemplo, la suma de los primeros diez números naturales se escribe como Σi=1
10
i. El índice i toma valores entre los límites inferior y superior. La notación sigma proporciona una forma concisa de expresar sumas.
Este documento presenta información sobre números complejos, incluyendo: (1) la definición de números complejos conjugados; (2) representaciones gráficas de números complejos en el plano cartesiano; (3) cómo calcular el valor absoluto y argumento de números complejos; (4) operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos en forma algebraica y trigonométrica. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento presenta los conceptos básicos de los números enteros y racionales. Explica las propiedades de los números enteros, como la recta numérica y el valor absoluto. Luego, describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Finalmente, define las principales propiedades de los números racionales y el orden de operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estos conceptos y propiedades matemáticas.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como la adición, sustracción y multiplicación en números naturales. Introduce las propiedades de estas operaciones como la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro. Explica los elementos de cada operación y métodos para realizar cálculos de forma manual. Finalmente, incluye ejercicios de práctica y repaso de los temas explicados.
El documento explica la notación sigma, que se utiliza para escribir sumas de manera compacta. Define la notación, incluyendo el uso de índices y límites de suma. También presenta propiedades como la linealidad y fórmulas para calcular sumas de números naturales, cuadrados y cubos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso de la notación sigma.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes, incluyendo identidades para arcos simples, compuestos, dobles, mitad y triple. También cubre propiedades de triángulos rectángulos y fórmulas racionalizadas. El documento proporciona estas identidades y propiedades de manera concisa para que los estudiantes puedan aplicarlas en problemas de trigonometría.
La notación sigma Σ se utiliza para representar sumas. Se expresa como la suma de los términos de un índice i entre dos límites. Por ejemplo, la suma de los primeros diez números naturales se escribe como Σi=1
10
i. El índice i toma valores entre los límites inferior y superior. La notación sigma proporciona una forma concisa de expresar sumas.
Este documento presenta información sobre números complejos, incluyendo: (1) la definición de números complejos conjugados; (2) representaciones gráficas de números complejos en el plano cartesiano; (3) cómo calcular el valor absoluto y argumento de números complejos; (4) operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos en forma algebraica y trigonométrica. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento presenta los conceptos básicos de los números enteros y racionales. Explica las propiedades de los números enteros, como la recta numérica y el valor absoluto. Luego, describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Finalmente, define las principales propiedades de los números racionales y el orden de operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estos conceptos y propiedades matemáticas.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como la adición, sustracción y multiplicación en números naturales. Introduce las propiedades de estas operaciones como la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro. Explica los elementos de cada operación y métodos para realizar cálculos de forma manual. Finalmente, incluye ejercicios de práctica y repaso de los temas explicados.
Este documento describe identidades trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Explica las razones trigonométricas como funciones de sen(x) y cos(x), y presenta identidades pitagóricas. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas y las funciones inversas como sen-1(x), tan-1(x), y sec-1(x) junto con sus derivadas.
Este documento describe la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados. Explica que la regla puede aplicarse cuando el límite de una función dividida es de la forma 0/0 o ∞/∞. Establece que en esos casos, el límite es igual al límite de la razón de las derivadas de las funciones. Además, detalla cómo aplicar la regla a diferentes tipos de indeterminaciones como 0·∞, 00, ∞0 y 1∞.
1. El documento describe cómo utilizar el concepto de derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, así como los valores máximos y mínimos.
2. Explica que los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe, y cómo usar la primera y segunda derivada para identificar máximos y mínimos locales.
3. Proporciona ejemplos detallados para ilustrar los diferentes conceptos.
Este documento presenta las reglas para derivar funciones compuestas utilizando funciones elementales. Explica cómo derivar la suma, resta, producto y cociente de funciones, así como también derivar una constante por una función. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla de derivación.
El documento describe estrategias para calcular límites al infinito de funciones racionales e irracionales. Explica que para funciones racionales del tipo f(x)=P(x)/Q(x), si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, el límite es infinito; si son iguales, el límite es el cociente de sus coeficientes dominantes; y si es menor, el límite es cero. Para funciones irracionales, se debe dividir el numerador y denominador por el término de mayor grado.
Este documento trata sobre los límites laterales izquierdo y derecho de una función. Explica que el límite lateral derecho se calcula haciendo que x se acerque a un valor a desde la derecha, mientras que el límite izquierdo se calcula acercando x a a desde la izquierda. También establece que si los límites laterales izquierdo y derecho existen y son iguales, entonces existe el límite de la función cuando x se acerca a a. El documento incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular los límites laterales util
Este documento describe el concepto de límite de una función usando sustitución directa. Define el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor c como f(c), siempre que c esté dentro del dominio de f(x). Presenta ejemplos y propiedades clave de los límites, incluidas las propiedades de suma, multiplicación, división y límites de funciones compuestas y trigonométricas.
Este documento trata sobre series de números reales. Explica que una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión infinita y que puede ser convergente u divergente. Presenta el criterio del término n-ésimo para determinar la divergencia de una serie y define las sumas parciales de una serie infinita como la suma de los primeros términos.
Este documento trata sobre sucesiones de números reales. Define una sucesión como una lista infinita de números ordenados y explica cómo se puede representar matemáticamente como una función. También describe los diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y alternadas, y presenta criterios para determinar si una sucesión converge o diverge.
Este documento introduce el concepto de integral definida. Explica que la integral definida de una función continua f(x) entre los límites a y b es el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones n tiende a infinito. También presenta propiedades clave de las integrales definidas como que son números independientes de la variable de integración y que pueden interpretarse como áreas bajo la curva de la función. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento describe identidades trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Explica las razones trigonométricas como funciones de sen(x) y cos(x), y presenta identidades pitagóricas. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas y las funciones inversas como sen-1(x), tan-1(x), y sec-1(x) junto con sus derivadas.
Este documento describe la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados. Explica que la regla puede aplicarse cuando el límite de una función dividida es de la forma 0/0 o ∞/∞. Establece que en esos casos, el límite es igual al límite de la razón de las derivadas de las funciones. Además, detalla cómo aplicar la regla a diferentes tipos de indeterminaciones como 0·∞, 00, ∞0 y 1∞.
1. El documento describe cómo utilizar el concepto de derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, así como los valores máximos y mínimos.
2. Explica que los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe, y cómo usar la primera y segunda derivada para identificar máximos y mínimos locales.
3. Proporciona ejemplos detallados para ilustrar los diferentes conceptos.
Este documento presenta las reglas para derivar funciones compuestas utilizando funciones elementales. Explica cómo derivar la suma, resta, producto y cociente de funciones, así como también derivar una constante por una función. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla de derivación.
El documento describe estrategias para calcular límites al infinito de funciones racionales e irracionales. Explica que para funciones racionales del tipo f(x)=P(x)/Q(x), si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, el límite es infinito; si son iguales, el límite es el cociente de sus coeficientes dominantes; y si es menor, el límite es cero. Para funciones irracionales, se debe dividir el numerador y denominador por el término de mayor grado.
Este documento trata sobre los límites laterales izquierdo y derecho de una función. Explica que el límite lateral derecho se calcula haciendo que x se acerque a un valor a desde la derecha, mientras que el límite izquierdo se calcula acercando x a a desde la izquierda. También establece que si los límites laterales izquierdo y derecho existen y son iguales, entonces existe el límite de la función cuando x se acerca a a. El documento incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular los límites laterales util
Este documento describe el concepto de límite de una función usando sustitución directa. Define el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor c como f(c), siempre que c esté dentro del dominio de f(x). Presenta ejemplos y propiedades clave de los límites, incluidas las propiedades de suma, multiplicación, división y límites de funciones compuestas y trigonométricas.
Este documento trata sobre series de números reales. Explica que una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión infinita y que puede ser convergente u divergente. Presenta el criterio del término n-ésimo para determinar la divergencia de una serie y define las sumas parciales de una serie infinita como la suma de los primeros términos.
Este documento trata sobre sucesiones de números reales. Define una sucesión como una lista infinita de números ordenados y explica cómo se puede representar matemáticamente como una función. También describe los diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y alternadas, y presenta criterios para determinar si una sucesión converge o diverge.
Este documento introduce el concepto de integral definida. Explica que la integral definida de una función continua f(x) entre los límites a y b es el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones n tiende a infinito. También presenta propiedades clave de las integrales definidas como que son números independientes de la variable de integración y que pueden interpretarse como áreas bajo la curva de la función. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
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Convocatoria Ordinaria.
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La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
2. OBJETIVO GENERAL
Emplear la notación Sigma para escribir y calcular una suma.
1 Utilizar la notación Sigma para abreviar una suma de números reales.
2 Aplicar las propiedades de la notación sigma.
3 Utilizar las fórmulas de la notación Sigma para calcular una suma de términos.
4. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Definición
La suma de n términos (números reales)
a1 +a2 +a3 +···+an
se puede escribir de la forma
a1 +a2 +a3 +···+an =
n
∑
i=1
ai
donde ai representa el i−ésimo término de la suma.
7. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Nota
Aunque se pueden sumar una serie de términos sin necesariamen-
te iniciar desde el primero. Es decir, la suma de
am +am+1 +am+2 +···+an
se representa de la forma
am +am+1 +am+2 +···+an =
n
∑
i=m
ai
10. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Nota
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de
ı́ndice para expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
5+8+11+14 =
4
∑
i=1
(3i+2)
2
5+8+11+14 =
5
∑
i=2
(3i−1)
11. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
1
n
∑
i=1
k ·ai = k ·
n
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
3
∑
i=1
4
1
i2 +1
= 4
1
2
+4
1
5
+4
1
10
= 4·
1
2
+
1
5
+
1
10
= 4·
3
∑
i=1
1
i2 +1
12. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
2
n
∑
i=1
ai ±bi =
n
∑
i=1
ai ±
n
∑
i=1
bi
Por ejemplo,
3
∑
i=1
1
i
+sin(i)
=
1
1
+sin(1)
1
2
+sin(2)
+
1
3
+sin(3)
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+(sin(1)+sin(2)+sin(3))
=
3
∑
i=1
1
i
+
3
∑
i=1
(sin(i))
13. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
3
n
∑
i=m
ai =
n
∑
i=1
ai −
m−1
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
7
∑
i=4
i2
= 42
+52
+62
+72
= 12
+22
+32
+42
+52
+62
+72
− 12
+22
+32
=
7
∑
i=1
i2
−
3
∑
i=1
i2
16. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
3
n
∑
i=1
(i2
) =
n(n+1)(2n+1)
6
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i2
) = 12
+22
+32
+42
+52
+62
=
6·(7)·(13)
6
= 91
17. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
4
n
∑
i=1
(i3
) =
n2(n+1)2
4
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i3
) = 13
+23
+33
+43
+53
+63
=
62 ·(7)2
4
= 441
18. FÓRMULAS PARA SUMAS
Ejercicios
Evalúe cada una de las siguientes sumas usando las propiedades
y fórmulas de la notación sigma.
1
120
∑
i=1
(10)
2
10
∑
i=1
i3 −5
3
15
∑
i=1
(i)(3i+5)
4
15
∑
i=1
i2
125
+
15
∑
i=1
i
!2
20. FÓRMULAS PARA SUMAS
Solución
Se usan las propiedades de la
notación sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
21. FÓRMULAS PARA SUMAS
Solución
Se usan las propiedades de la
notación sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
Se aplican las fórmulas de
suma de la Notación Sigma
=
1
n2
n(n+1)
2
+n
=
1
n2
n2 +3n
2
=
n+3
2n
23. FÓRMULAS PARA SUMAS
Bibliografı́a
1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (7.a ed., p. A34-A37). México:
Cengage Learning.
2 Thomas, G. (2010). Cálculo 1. De una variable. (12.a ed., p. 256-258). México: Pearson.
3 Larson, R. (2010). Cálculo 1. De una variable. (9.a ed., p. 259-260). México: McGraw Hill.