Sucesión de números reales

1. SUCESIONES

2. OBJETIVO GENERAL
Determinar si una sucesión de números reales es convergente o divergente
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Enunciar los términos de una sucesión.
2 Escribir la fórmula que determina cada uno de los términos de una sucesión.

3. CONTENIDO
1 SUCESIONES
2 TIPOS DE SUCESIONES
3 CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE LAS SUCESIONES CONVER-
GENTES

4. SUCESIONES
SUCESIÓN
Es un listado infinito de número reales ordenados.
Por tanto, cuando se habla de “orden” esto quiere decir que tienen un primer elemento, un
segundo elemento, un tercer elemento y ası́ sucesivamente.
a1 = Primer término
a2 = Segundo término
.
.
. =
.
.
.
an = n-ésimo término
.
.
. =
.
.
.

5. SUCESIONES
EJEMPLO
Observe el siguiente listado de números reales
10, 20, 30, 40, 50 ... 10n ...
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
a1, a2, a3, a4, a5 ... an ...

6. SUCESIONES
EJEMPLO
Observe el siguiente listado de números reales
1, 4, 9, 16, 25 ... n2 ...
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
a1, a2, a3, a4, a5 ... an ...

7. SUCESIONES
SUCESIÓN
Matemáticamente, una Sucesión es una función
f(n) = an
tal que el dominio son todos los números naturales.
Los “términos” de la sucesión son los valores que arroja la función cuando se evalúan en cada
número natural. Es decir,
f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)...
f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) ...
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
a1, a2, a3, a4, a5 ...

8. SUCESIONES
EJEMPLO
Determine los cinco primeros números de la sucesión definida de la forma
f(n) =
n+3
n+4
SOLUCIÓN
f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4
5
,
5
6
,
6
7
,
7
8
,
8
9
...

9. SUCESIONES
EJERCICIO
Determine los seis primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones
1 f(n) =
n2 +1
n
2 f(n) = 3n+4
3 f(n) = cos(nπ)
4 f(n) = (−1)n
1
2
n

10. SUCESIONES
NOTA: En muchas ocasiones, la forma de denotar una sucesión
es a través de la forma
{an} o {an}∞
n=1
Notación Función Notación sucesión
f(n) =
n2 +1
n
n2 +1
n
∞
n=1
f(n) =
2n+3
n2
2n+3
n2
∞
n=1
f(n) = sin(nπ) {sin(nπ)}∞
n=1

11. SUCESIONES
EJEMPLO
1
n
n+1
∞
n=1
. Por tanto,
1
2
,
2
3
,
3
4
,...,
n
n+1
,...
2
(−1)n(n+1)
3n
∞
n=1
. Se tiene,
−
2
3
,
3
9
,−
4
27
,...,
(−1)n(n+1)
3n
,...
3
n2
2n −1
∞
n=1
. Se obtiene,
1
1
,
4
3
,
9
7
, ...,
n2
2n −1
4
4
√
n−2
∞
n=2. Luego,
n
0,1,
4
√
2,
4
√
3,..., 4
√
n−2,...
o

12. TIPOS DE SUCESIONES
Tipos de sucesiones
SUCESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión de la forma
a, a+r, a+2r, a+3r, a+4r....
donde a es el primer elemento (a1) y r es la diferencia común entre dos términos consecutivos
(an −an−1)
Por tanto, el n−ésimo término de una sucesión aritmética está dado por
an = a1 +(n−1)r

13. TIPOS DE SUCESIONES
EJEMPLO
Dada la sucesión de números reales tales como
5, 8, 11, 14, 17,...
Determine el nésimo término.
SOLUCIÓN
inicialmente, es importante reconocer que es una sucesión aritmética, dado que los números
consecutivos al ser restados entre sı́, dan como resultado r = 3.
Con base en lo anterior, como el primer término del listado es 5 (a1 = 5) se tiene
an = a1 +(n−1)r
an = 5+(n−1)(3)
an = 5+3(n−1)

14. TIPOS DE SUCESIONES
EJEMPLO
Dada la sucesión de números reales tales como
9, 4, −1, −6, −11,...
Determine el nésimo término.
SOLUCIÓN
inicialmente, es importante reconocer que es una sucesión aritmética, dado que los números
consecutivos al ser restados entre sı́, dan como resultado r = −5.
Con base en lo anterior, como el primer término del listado es 9 (a1 = 9) se tiene
an = a1 +(n−1)r
an = 9+(n−1)(−5)
an = 9+(−5)(n−1)

15. TIPOS DE SUCESIONES
Tipos de sucesiones
SUCESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión de la forma
a, a·r, a·r2
, a·r3
, a·r4
....
donde a es el primer elemento (a1) y r es la razón común entre dos términos consecutivos; es
decir,
r =
an
an−1
Por tanto, el n−ésimo término de una sucesión aritmética está dado por
an = a1 ·rn−1

16. TIPOS DE SUCESIONES
EJEMPLO
Dada la sucesión de números reales tales como
3, 6, 12, 24, 48,...
Determine el nésimo término.
SOLUCIÓN
inicialmente, es importante reconocer que es una sucesión geométrica, dado que los números
consecutivos al ser divididos entre sı́, dan como resultado r = 2.
Con base en lo anterior, como el primer término del listado es 3 (a1 = 3) se tiene
an = a1 ·rn−1
an = 3·(2)n−1

17. TIPOS DE SUCESIONES
EJEMPLO
Dada la sucesión de números reales tales como
2, −10, 50, −250, 1250,...
Determine el nésimo término.
SOLUCIÓN
inicialmente, es importante reconocer que es una sucesión geométrica, dado que los números
consecutivos al ser divididos entre sı́, dan como resultado r = −5.
Con base en lo anterior, como el primer término del listado es 2 (a1 = 2) se tiene
an = a1 ·rn−1
an = 2·(−5)n−1

18. TIPOS DE SUCESIONES
EJEMPLO
Suponga que una pelota tiene una elasticidad tal que, cuando se deja caer, rebota un tercio de la
distancia que ha caı́do. Por tanto, si esta pelota se deja caer desde una altura de 2 m, determine
una expresión que permita determinar la altura de la pelota en el n−ésimo rebote.
FIGURA: Pelota rebotando

19. TIPOS DE SUCESIONES
Para entender la situación, se observa que al ser lanzada desde una altura de 2 m, en el primer
rebote logra una altura de
h1 =
1
3
(2) =
2
3
Ahora bien, en el segundo rebote, logra una altura de 1
3 del rebote anterior o altura anterior. Es
decir,
h2 =
1
3
2
3
=
2
9
En el tercer rebote, la pelota logra una altura de 1
3 del rebote anterior o altura anterior. Es decir,
h3 =
1
3
2
9
=
2
27

20. TIPOS DE SUCESIONES
Dada la sucesión de números que se están formando tales como
2
3
,
2
9
,
2
27
,
2
81
,
2
243
,...
se dice que forman una sucesión geométrica, tal que el primer término del listado es 2
3 y la
razón r = 1
3 . Por lo cual, se tiene
hn = a1 ·rn−1
hn =
2
3
·
1
3
n−1

21. TIPOS DE SUCESIONES
Tipos de sucesiones
SUCESIÓN ALTERNADA
Son aquellas en donde los términos de la sucesión se turnan el signo. Es decir, varı́an de
positivos a negativo (o de negativo a positivo).
EJEMPLO
1 {(−1)n
}∞
n=1. Por tanto,
{−1,1,−1,1,...,(−1)n
,...}
2
(−1)n−1
1
2
n∞
n=1
. Luego,
1
2
,−
1
4
,+
1
8
,...,(−1)n
1
2
n
,...

22. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
Convergencia o Divergencia de una
Sucesión
TEOREMA
Sea {an} una sucesión de números, si
lı́m
n→∞
(an) = L
entonces se dice que {an} Converge.
En el caso contrario, {an} Diverge.

23. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
EJERCICIO
Determine si la sucesión cuyo término n-ésimo es
{an}∞
n=1 =
n
1−2n
converge o no.

24. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
SOLUCIÓN
Por lo tanto,
lı́m
n→∞
(an) = lı́m
n→∞
n
1−2n
= −
1
2
Lo cual, la sucesión
{an}∞
n=1 =
n
1−2n
converge a −
1
2
.

25. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
Teorema del Valor Absoluto
TEOREMA
Dada la sucesión {an} de números reales, si
lı́m
n→∞
(|an|) = 0 entonces lı́m
n→∞
(an) = 0
Es decir, la sucesión {an} es convergente.

26. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES
Propiedades de los lı́mites de las
sucesiones convergentes
Sean
lı́m
n→∞
(an) = L y lı́m
n→∞
(bn) = K
1 lı́m
n→∞
(an ±bn) = L±K
2 lı́m
n→∞
(an ·bn) = L·K
3 lı́m
n→∞
(c·an) = cL̇ siendo c una constante.
4 lı́m
n→∞
an
bn
=
L
K
, siendo bn ̸= 0 y K ̸= 0
5 lı́m
n→∞
((an)p
) = Lp
siendo p 0 y an 0