Este documento presenta información sobre números complejos, incluyendo: (1) la definición de números complejos conjugados; (2) representaciones gráficas de números complejos en el plano cartesiano; (3) cómo calcular el valor absoluto y argumento de números complejos; (4) operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos en forma algebraica y trigonométrica. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. Ejemplo:
2ix + 3y = 4i -9 luego esto es así:
2x = 4 3y = -9 en donde x = 2 y= -3

2. Dos números complejos son conjugados, si y solamente si son iguales
sus partes reales y los coeficientes de sus partes imaginarias difiere del
signo algebraico .
 Ejemplo: (5 -2i) el conjugado es (5 +2i)
 Ejemplo: (-3 + 7i) el conjugado es (-3-7i)
 En los números complejos la parte real es el eje
horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical.

3. Su representación gráfica: se utiliza el de coordenadas cartesianas.
bi
 Grafique (-2 + 4i)
a

4. El valor absoluto de un número complejo:
Valor absoluto r = a 2 b 2
Argumento θ = arc tan (b/a) ver folleto
 EJEMPLOS: grafíquense los puntos y encuéntrese el valor absoluto y el
argumento de los números complejos. 2√3 – 2i
2 2
 r= 2 3 2 4 x3 4
 r= 12 4 16 4
2
 θ = arc tan ( 2 3 )
1
 θ = arc tan 3
 θ = -30°
 Θ = 330°
 Θ = 11π/6

5. DETERMINE X e Y PARA QUE SE CUMPLA LAS IGUALDADES SIGUIENTES:
al terminar esta página realice la tarea N° 2
EJEMPLO:
1. X – 2i = 2 + Yi recordemos que la teoría dice que dos números complejos son iguales si son
iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.
En base a esta teoría tenemos que:
x=2 -2i = Yi luego se cancelan las (i) quedando Y = -2
EJEMPLO:
5. 2x – y + (x – 2y) i = 6 – 3i recuerden igualar la parte real ( la que no tiene (i)) de la izquierda
con la parte real de la derecha, lo mismo para la parte imaginaria.
2x – y = 6 esta era la real
X – 2y = -3 esta es la imaginaria, eliminamos las (i)
El sistema que quedo es dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede usar el método de
reducción, sustitución, igualación. En lo personal me gusta reducción
2 (2x – y = 6) entonces 4x – 2y = 12 remplazando 2 (5) – y = 6
-1(x – 2y = -3) entonces -x +2y = 3 10 - y = 6
3x ---- = 15 -y = 6 -10
x=5 -y = -4
y=4

6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA
ALGEBRAICA
 Adición se suma la parte real con real e imaginario con
imaginario
 Ejemplo: (2 – 5i) + (-6 – 7i) = ( 2- 6) + (-5i -7i)
 = -4 – 12i
 Sustracción cambia de signo el segundo término.
 Ejemplo: (3 + 6i) – (7 – 9i) = 3 + 6i -7 + 9i
 = -4 + 15i

7. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÍMEROS COMPLEJOS EN FORMA ALGEBRAICA
al terminar con las cuatro operaciones fundamentales, realice la tarea N° 3
 MULTIPLICACIÓN: se hace en la misma manera que algebraicamente, término
a término.
 Ejemplo : ( 5 – 4i) x ( 1+ 2i) = 5 + 10i – 4i – 8i2
 = 5 + 6i + 8 porque i2 es igual a (-1)
 = 13 + 6i
 DIVISIÓN: en la división se multiplica en el numerador y el denominador por
el conjugado del denominador, es decir, si el denominador es 2 + 3i el
conjugado es 2- 3i .
 Ejemplo:
1 18i

3 4i

1 18i 3 4i
x
3 4i 3 4i
3 4i 54i 72i 2
2 2
3 4
3 72 50i
9 16

8. 75 50i 3 2i
25
3 2i
1
Como todos los números son divisibles entre 25, se simplificó. Haga la tarea N° 3
Representación trigonométrica de un número complejo
En esta parte vamos a ver cuatro operaciones matemáticas, que son: la
multiplicación, la división, potenciación y radicación.
Si tienen alguna pregunta me la mandan a mi mail.
a. Producto de dos números complejos:
Dado C1 y C2 dos números complejos su representación trigonométrica
será:
C1 = r1 (cos 1 + i sen 1) y C2 = r2 (cos 2 + i sen 2)
La fórmula es
C1 * C2 = r1* r2 cos ( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)
Para poder usar la fórmula deben buscar primero los módulos y los
argumentos, o sea r1 y r2 ; 1 y 2

9. Cuando se tiene dos números complejos es necesario
buscar las (r, )
para poder aplicar la fórmula.
C1 C2 = (1- i 3 )(-1 + i) r2 ( 1) 2 (1) 2
r1 (1) 2 ( 3)2 r2 1 1 2
r1 1 3
r1 4
r1 2
b
b arc tan
arc tan a
a
1
3 arc tan
arc tan 1
1 45
60
135
300

10. Apliquemos la fórmula, continuemos con el
problema, ahora conociendo todos los datos.
 C1 * C2 = r1* r2 cos ( + 2) + i sen ( 1 + 2)
1
 C1 * C2 = 2 2 cos(300° + 135°) + i sen (300° + 135°)
 C1 * C2 = 2 2 cos435° + i sen 435°
 C1 * C2 = 2 2 CiS 75°
 Ahora ustedes se preguntaran por que dio 75°,
recordemos que 435° pasa de los 360° o sea que da
una vuelta por lo tanto restamos y obtenemos 75°.
 Y CiS significa coseno (i) seno. Es una abreviatura.

11. c1 r1
cos 1 2 isen 1 2
Ejemplo : c2 r2
C1 1 i
C2 1 i 3
2 2
2 2 r2 1 3
r1 1 1
r1 1 1
r2 1 3
r1 2 r2 4
r2 2

12. Continuamos buscando los
argumentos
 argumentos
1
1 arctan arctan
3
1 2
1
1 arctan( 1) arctan 3
2
1 45 2 60
1 135 2 240
Cuando se busca el ángulo se tiene que ver en que cuadrante esta,
para saber cual es el real.
En este ejemplo, el primero estaba en el cuadrante dos, por lo tanto el
ángulo de -45° en ese cuadrante es 135° y lo mismo ocurre con el
ángulo de 60° que esta en el tercer cuadrante, recuerden que la tan es
positiva aquí, pero eso no cambia que el ángulo es de 240°.

13. c1 2
cos 135 240 isen 135 240
c2 2
c1 2
cos( 105) isen( 105 )
c2 2
c1 2
cis75
c2 2
EJEMPLO DE POTENCIA TEOREMA DE
MOIVRE Desarrollo de la fórmula
1 6
c 3 i
6
arctan c6 2 CiS 6 x30
2
3
c6
2
r 3 1
30 64CiS180
r 3 1
r 4
r 2

14. Cualquiera pregunta llamen a mi teléfono
66879921 ustedes tienen que tener todas esas tareas hechas
Para el lunes 6 el A y B, para el martes 7 de agosto del 2012, al
C.
Este tema no esta difícil, hagan como explique ó busquen ayuda,
las profesoras de la escuela los van ha ayudar.