Este documento trata sobre los límites laterales izquierdo y derecho de una función. Explica que el límite lateral derecho se calcula haciendo que x se acerque a un valor a desde la derecha, mientras que el límite izquierdo se calcula acercando x a a desde la izquierda. También establece que si los límites laterales izquierdo y derecho existen y son iguales, entonces existe el límite de la función cuando x se acerca a a. El documento incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular los límites laterales util

1. LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN

2. CONTENIDO
1 LÍMITES LATERALES
Lı́mite Lateral Derecho
Lı́mite Lateral Izquierdo

3. OBJETIVO GENERAL
Usar la sustitución directa para calcular los lı́mites laterales de una fun-
ción en un punto.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Entender el concepto de lı́mite lateral de una función en un punto.
2 Determinar la existencia o no del lı́mite de una función definida a
trozos.

4. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL DERECHO
Lı́mite Lateral Derecho
lı́m
x→a+
f(x) = L

5. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL DERECHO
Definición
Sea
lı́m
x→a+
f(x) = L
se lee el lı́mite derecho de f(x) cuando x tiende a a (o el lı́mite
de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha) es iguala L, si
se puede aproximar los valores de f(x) a L tanto como quiera,
escogiendo una x lo bastante cerca de a pero no menor que a

6. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL DERECHO
Lı́mite Lateral Derecho
FIGURA 1: Lı́mite lateral por derecha de f(x)

7. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL DERECHO
Ejemplo
Si
f(x) =
√
x
Calcule
lı́m
x→0+
√
x

8. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL DERECHO
Solución
Para ello, evaluamos f(x) para valores de x cada vez más “cerca-
nos” a 0 pero mayores que 0
Acercamiento por derecha
←
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
x 0 0.0001 0.0001 0.001 0.01 0.1
f(x) 0.0031 0.0100 0.0316 0.1000 0.3162
Se observa que a medida que x se acerca a 0 por la derecha, f(x)
se acerca a 0. Por lo tanto, se concluye que
lı́m
x→0+
√
x
= 0

9. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Lı́mite Lateral Izquierdo
lı́m
x→a−
f(x) = L

10. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Definición
Sea
lı́m
x→a−
f(x) = L
se lee el lı́mite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a (o el lı́mite
de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda) es iguala L,
si se puede aproximar los valores de f(x) a L tanto como quiera,
escogiendo una x lo bastante cerca de a pero no menor que a

11. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Lı́mite Lateral Izquierdo
FIGURA 2: f(x)

12. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Ejemplo
Si
f(x) =
1
x
Calcule
lı́m
x→0−
1
x

13. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Solución
Para ello, evaluamos f(x) para valores de x cada vez más “cerca-
nos” a 0 pero mayores que 0
Acercamiento por izquierda
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x −0.1 −0.01 −0.001 −0.0001 −0.000001 0
f(x) −10 −100 −1000.0 −10000 −100000
Se observa que a medida que x se acerca a 0 por la izquierda, f(x)
se va hacia infinito negativo. Por lo tanto, se concluye que
lı́m
x→0−
1
x
= −∞

14. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Teorema
Si
lı́m
x→a−
(f(x)) = L y lı́m
x→a+
(f(x)) = L
entonces
lı́m
x→a
(f(x)) = L
Es decir, el lı́mite de f(x) existe si los lı́mites laterales existen y
son iguales.

15. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Ejemplo
Sea f(x) tal como se define en la Figura 3
FIGURA 3: Función f(x) definida a trozos

16. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Con base en la Figura 3, calcule
1 lı́m
x→0−
(f(x)) 2 lı́m
x→0+
(f(x)) 3 lı́m
x→0
(f(x))

17. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Solución
Con base en la Figura 3, se puede concluir que
1 lı́m
x→0−
(f(x)) = 1 2 lı́m
x→0+
(f(x)) =
−1
3 lı́m
x→0
(f(x)) NO
existe

18. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Ejemplo
Con base en la Figura 3, calcule
1 lı́m
x→3−
(f(x)) 2 lı́m
x→3+
(f(x)) 3 lı́m
x→3
(f(x))

19. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Solución
Con base en la Figura 3, se puede concluir que
1 lı́m
x→3−
(f(x)) = 3 2 lı́m
x→3+
(f(x)) = 3 3 lı́m
x→3
(f(x)) = 3

20. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Cálculo de lı́mites de funciones a
trozos utilizando sustitución directa

21. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Ejemplo
Sea
f(x) =











1−x3 si x 1
x2 +2 si 1 ≤ x ≤ 3
4−x si x 3
Calcule
1 lı́m
x→1−
(f(x)) 2 lı́m
x→1+
(f(x)) 3 lı́m
x→1
(f(x))

22. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Solución
Con base en f(x), y usando sustitución directa en cada caso, se
tiene
1 lı́m
x→1−
(f(x)) = lı́m
x→1−
1−x3
= 0
2 lı́m
x→1+
(f(x)) = lı́m
x→1−
x2
+2
= 3
Dado que
lı́m
x→1−
(f(x)) ̸= lı́m
x→1+
(f(x))
se concluye que
lı́m
x→3
(f(x)) No existe

23. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Ejemplo
Sea
f(x) =











1−x3 si x 1
x2 +2 si 1 ≤ x ≤ 3
4−x si x 3
Calcule
1 lı́m
x→3−
(f(x)) 2 lı́m
x→3+
(f(x)) 3 lı́m
x→3
(f(x))

24. LÍMITES LATERALES LÍMITE LATERAL IZQUIERDO
Solución
Con base en f(x), y usando sustitución directa en cada caso, se
tiene
1 lı́m
x→3−
(f(x)) = lı́m
x→3−
x2
+2
= 3
2 lı́m
x→3+
(f(x)) = lı́m
x→3−
(4−x) = 3
Dado que
lı́m
x→3−
(f(x)) = lı́m
x→3+
(f(x))
se concluye que
lı́m
x→3
(f(x)) = 3