Contenido: -Definición de conjuntos -Operaciones con conjuntos -Números Reales -Desigualdades -Definición de Valor Absoluto -Desigualdades con Valor Absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
Programa Nacional de Formación Distribución y Logística
NÚMEROS REALES
Participantes:
Luisana Sira C.I: 29.970.446 DL0302
Breisys Gutiérrez C.I: 19.848.041 DL0302
Anny Santa C.I: 28.602.866 DL0212
Ana Carolina López C.I V-16.796.623 DL0402
Glenimar Vargas de Yépez C.I: 18.785.624 DL0402
Alexandra Rodríguez C.I: 20.235.459 DL0402

2. Conjunto Numérico
Podemos definirlos como tipos de números que las personas tenemos a nuestra
disposición para realizar operaciones, tanto cotidianas como a un nivel más
sofisticado (por parte de ingenieros o científicos, por ejemplo). Estos conjuntos son
creación de la mente humana, y forman parte de una abstracción. Es decir, no existen
materialmente hablando.
Números naturales: son aquellos que toman intervalos discretos
de una unidad, y empiezan con el número 1, extendiéndose
hasta el infinito. Una forma de distinguir estos números es como
aquellos que sirven para contar. En términos formales, el
conjunto de números naturales se expresa con la letra N y de la
siguiente forma:
N = { 1, 2, 3, 4, 5,… } = N { 0
Números enteros: incluyen los números naturales, más aquellos que
también toman intervalos discretos, pero que tienen un signo negativo por
delante, y además el cero. Lo podemos expresar de la siguiente manera.
Dentro de este conjunto, cada número tiene su correspondiente opuesto
con otro signo. Por ejemplo, el opuesto de 10 es -10.
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Números Racionales: incluyen no solo aquellos
enteros, sino también los que pueden expresarse como
el cociente de dos números enteros, de manera que
pueden tener una parte decimal. El conjunto de
números racionales puede expresarse de la siguiente
forma

3. Números irracionales: no pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tampoco se puede especificar una parte
periódica que se repita, aunque se extienden hasta al infinito. Los
números irracionales y los racionales son conjuntos disjuntos. Es
decir, no tienen elementos en común. Por ejemplo:
Números Reales: son aquellos que incluyen tanto a los
números racionales como a los irracionales. Es decir que, van
desde el menos infinito hasta el más infinito.
Números imaginarios: son el producto de cualquier número real
por la unidad imaginaria, es decir, por la raíz cuadrada de -1.
Pueden expresarse de la siguiente manera:
R = n·i
Donde:
R: es un número imaginario.
N: es un número real.
I: es la unidad imaginaria
Cabe destacar que los números imaginarios NO forman parte de los
números reales.
Números complejos: corresponde a la combinación de números
reales e imaginarios. La parte real puede ser expresada por un
número entero o sus decimales, mientras que la imaginaria es aquella
cuyo cuadrado es negativo. Los números complejos surgen ante la
necesidad de abarcar las raíces de los números negativos, cosa que
los reales no pueden hacer. Por esta razón, reflejan todas las raíces
de los polinomios. Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier
número negativo como un múltiplo de -1.
Consideramos:
La raíz cuadrada de –25
−25 = 25 . −1
= 25 −1
= 5 i

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Conocido también como algebra de conjuntos, las operaciones con conjuntos son aquellas que permiten realizar procedimientos sobre
los conjuntos para obtener otro. En esta oportunidad desarrollaremos los 4 tipos que lo conforman: unión, intersección, diferencia y
complemento.
Unión de conjuntos: Es la operación que permite unir dos o más
conjuntos para formar otro que contendrá a todos los elementos
que se quieren juntar sin que se repitan. Es decir, dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será
otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos
los elementos de B sin repetir ninguno.
El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪.
Para representar la unión de conjuntos, mediante el uso de
diagramas Venn y se sombrean los conjuntos que se unen o se
forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de
unión.
Ejemplo de ejercicio 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,}
y B={5,6,7,8} Halla la unión de estos.
El conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}.
1 2 3 4
5 6 7 8
AUB
1234 5678
AUB
También se podría graficar de la siguiente manera:
Ejemplo de ejercicio 2:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8}
Halla la unión de estos.
El conjunto será AUB={1,2,3,4,5,6,7,8}:
123 678
45 AUB

5. Intersección de conjuntos: permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos
conjuntos A y B, su intercepción estará formado por los elementos de A
y los elementos de B que sean comunes, se deben excluir los no
comunes. El símbolo que se usa para indicar una intercepción es ∩
Ejemplo de ejercicio:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4} y
B={3,4,5,6,7,8}
Halla la intersección de estos.
El conjuntos será A∩B={3,4}.
12 5678
A∩B
34
Diferencia de conjuntos: Operación que permite formar un conjunto, sacado
de dos conjuntos, el resultante es el que tendrá todos los elementos que
pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y
B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es -
Ejemplo de ejercicio:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8} Halla la diferencia de estos.
El conjunto será A-B={1,2,3}:
Complemento de un conjunto: Es la operación que permite
formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir,
dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U,
entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado
por todos los elementos del conjunto universal, pero sin
considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A.
El complemento de un conjunto se denota con un apostrofe '
sobre el conjunto que se opera, por ejemplo, A‘.
Ejemplo de ejercicio:
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8} y el
conjunto A={1,2}, el conjunto A' estará formado por
los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}
3 4
5 6
7 8
A'
1
2
A
U
123 678
4
5
A - B
A B

6. NÚMEROS REALES
Se define como el conjunto de números que agrupa o incluye a los números: naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales
(I). Se denotan con la letra R. Se debe destacar que, cualquier número racional o irracional es un número real, R = Q ∪ I.
Además, todos los números pertenecen al conjunto R, excepto los números complejos los cuales no son números reales.
Tampoco son números reales:
Los números reales tienen varias características en sus conjuntos,
se dice con infinitos R ∈ (-∞,+∞). Se pueden representar en la recta
real y siguen un orden. Por último, pueden ser expresados como
un número decimal.
Clasificación y tipos de números reales
El conjunto R, está formado por varios subconjuntos. En la imagen,
se observa los 5 subconjuntos de números que pertenecen a los
números reales.

7. Ejemplo de números reales
Ejercicios:
1) X + 2 = 7
X + 2 = 7 X= 7 – 2 X = 5 E N
2) 9 X² - 25 = 0
9 X² 25 X² =
25
9
X=
25
9
X=
5
3
E Q
3) X² + 1 = 0
X² + 1 = 0 X² = -1 X = −1 𝐸 𝑅
+
-
+
-
+
-
Números naturales: Representados con la letra N. Son los números no
decimales mayores de 0. Pertenecen a este conjunto N = (1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,…). están comprendidos dentro de los números en enteros.
Números enteros: se identifican con la letra Z. Está formado por los
números naturales y sus opuestos, es decir; por sus números negativos
e incluye al 0. Donde Z = (-9, -8, -7, …, 0, 1, 2, 3, …). Estos números no
tienen parte decimal ni fraccionaria.
Números racionales: son todos aquellos números que pueden ser
escritos como una fracción de números enteros, donde el denominador
debe ser diferente de 0.
El conjunto de los racionales se denota con la letra
El resultado de la fracción puede ser un número entero, decimal finito o
semiperiódico.
Números irracionales: su propio nombre lo indica, y es que no son
racionales, por lo tanto, se definen como aquellos números que no
pueden ser expresados como una fracción de números enteros. Son
decimales que no se expresan ni de manera exacta ni periódica. Se
identifican con la letra i =

8. DESIGUALDADES
La Desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata
de la relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una
de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con
el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos
matemáticos expresan valores.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas
las desigualdades matemáticas posibles en los cinco
siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos.
De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b”
significa que a es mayor a b.
En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b,
“a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual
a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad
matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”,
de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al
mismo tiempo.
Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones
“a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.

9. Ejemplos de desigualdades:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos
es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría
que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Ejercicio de desigualdades
4X + 2 ≥ 2X + 10
4X + 2 – 2 – 2X ≥ 2X + 10 – 2 – 2X
2X ≥ 8
2
2
X ≥
8
2
X ≥ 4

10. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
Se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere
decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar
si su signo es positivo o negativo.
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número
real X, denotado por X, es el valor de X sin considerar el signo.
Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto
de −3 es 3.
Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los
números complejos, donde el valor absoluto coincide con el
módulo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos
matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios
vectoriales.
Gráfica de la función valor absoluto.

11. Características del valor absoluto: La definición
del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual
o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho
anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de
los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo,
comparten el mismo valor absoluto: |8|.
El valor absoluto de un número es la distancia que
hay entre él y la cifra 0.
Por ejemplo:
La distancia que hay entre el número +7+7 y el 00 es
de 77 unidades. Por tanto, el valor absoluto
de +7+7 es 77.
La distancia que hay entre el número −7−7 y
el 00 también es de 77 unidades. Por tanto, el valor
absoluto de −7−7 también será 77.
Como vemos, desde el punto de vista del valor absoluto,
no importa si el número es positivo o negativo.
Para señalar el valor absoluto, se escribe la cifra entre dos
líneas verticales.v
Aplicaciones del valor absolute: las más comunes son:
• Medir distancia:
La distancia es el valor absoluto de la diferencia en posición entre dos
puntos. Entonces, dados dos puntos A y B, la distancia entre ellos es
|A-B| que es equivalente a |B-A|. La distancia no depende de la
dirección. En general, el valor absoluto es usado cuando la dirección no
es importante.
• Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto se utiliza para resolver ecuaciones y desigualdades
que implican la distancia entre dos valores. Por ejemplo, la ecuación |x-
3| = 5 tiene las soluciones x = -2 y x = 8.
• Módulo de números complejos
El valor absoluto de un número complejo también se conoce como su
módulo. Se utiliza para hallar la distancia del número complejo al origen
en el plano complejo.v
El símbolo que se utiliza para escribir el valor absoluto de un número
o una función es una barra vertical «| |» a cada lado de este, es decir,
|x| donde x es un número.

12. Ejemplos de valor absoluto:
|43| = 43 → significa el valor absoluto de 43 es 43.
|-24| = -|-24| = 24 → significa el valor absoluto de -24 es 24.
|-2 * 4| = |-8| = -|-8| = 8 → significa el valor absoluto del producto
de 2 * 4 cuyo resultado es -8 es 8.
Propiedades de valor absoluto
Como el valor absoluto expresa una distancia este no tiene signo,
por lo tanto; siempre es un valor positivo.
El módulo de cualquier entero serán los números reales sin importar
el signo que tenga.
No negatividad: el valor absoluto de un número real es siempre mayor
que o igual a cero. |x| ≥ 0.
Simetría: el módulo de un número negativo es igual al módulo de un
número positivo. |-x| = |x|.
Subaditividad: el valor absoluto de una sumatoria es menor o igual que
la sumatoria de cada uno de los valores absolutos de los sumandos. |x +
y| ≤ |x| + |y|.
Multiplicatividad: el valor absoluto de un producto es igual al producto
de los valores absolutos de los factores. |x × y| = |x| × |y|.
Preservación de la división: el valor absoluto que resulta de una división
es igual al cociente de los valores absolutos de los elementos que la
componen. |x / y| = |x| / |y|.
Ejercicios de Valor Absoluto:
Calcula el valor absoluto de: │-12│+│-5│+│-8│=
Calcula el valor absoluto de: │-6│=
Resultado del valor del valor absoluto de: │8-28│-30=v
Calcula el valor absoluto de: │-6│+│-4│+│8│+│-2│=

13. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene
un signo de valor absoluto con una variable dentro. Por lo tanto, es
una expresión con la función valor absoluto, así como también con
los signos de valor absoluto.
Para resolverlas se siguen las mismas reglas que el valor absoluto
en números; la diferencia es que en las desigualdades tenemos
una variable.
Por ejemplo, la expresión ∣x+5∣>2∣x+5∣>2 es una desigualdad con
valor absoluto que contiene un signo “mayor que”.
• Cuando el número en el otro lado del signo de desigualdad es
negativo, concluimos que, o bien todos los números reales son
soluciones o que la desigualdad no tiene solución.
• Cuando el número en el otro lado es positivo, procedemos a
formar una desigualdad compuesta al remover las barras del
valor absoluto.
3: El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la
desigualdad compuesta a ser formada.
Si es que un problema contiene signos mayor que o mayor/igual
que, forma una desigualdad compuesta de la siguiente manera:
(valores dentro del signo de valor absoluto)< -(el número en el otro
lado) o (valores dentro del signo de valor absoluto)> (el número en el
otro lado)
De igual forma, si es que un problema contiene signos menor que o
menor/igual que, forma una desigualdad compuesta de tres partes
de la siguiente manera:
-(el número en el otro lado del signo)<(valores dentro del signo de
valor absoluto)< (el número en el otro lado del signo)
4: Resuelve las desigualdades.
Pasos para resolver desigualdades con valor absoluto:
Las reglas generales que pueden seguirse para resolver
desigualdades con valor absoluto son:
1: Despejar completamente la expresión con el valor absoluto.
2: Resolver las versiones positivas y negativas de las
desigualdades con valor absoluto.

14. Ejemplo de desigualdades con valor
absoluto:
Resuelve la desigualdad ∣x+4∣−6<9∣x+4∣−6<9
Primero debemos despejar el valor absoluto:
∣x+4∣ −6 < 9
∣x+4∣ < 9 + 6 ∣x+4∣ < 9 + 6
∣x+4∣ < 15 ∣x+4∣<15
Luego verificamos si el número en el otro lado negativo. En
este caso como número positivo, 15. Seguimos con el
siguiente procedimiento.
− 15 < x + 4< 15
Formamos una desigualdad compuesta de 3 partes, debido
a que el signo de desigualdad en este problema es un
signo menor que <
Y por ultimo resolvemos la desigualdad
−15−4 < x < 15−4
− 19 < x < 11− 19 < x < 11
Ejercicios de desigualdades con valor
absoluto:
Resolver la desigualdad: ∣3x−4∣ + 9 > 5
∣3x−4∣ + 9 > 5
∣3x−4∣ > 5− 9 ∣3x−4∣ > 5 − 9
∣3x−4∣ > − 4 ∣3x−4∣ > − 4
∣3x−4∣ > − 4
Positivo > Negativo
Como el enunciado es verdadero, la solución del
problema son todos los números reales
0
-∞ +∞
Resolver la desigualdad: ∣5x+6∣ + 4 <1
∣5x+6∣ + 4 <1
∣5x+6∣ < 1−4 ∣5x+6∣ < 1−4
∣5x+6∣ < − 3 ∣5x+6∣ < −3
∣5x+6∣ < −3
Positivo < Negativo
Como el enunciado es verdadero, dicho problema no
tiene solución.

15. BIBLIOGRAFÍA
Conjuntos:
https://economipedia.com/definiciones/conjuntos-numericos.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_num%C3%A9rico#:~:text=5.1%20Bibliograf%C3%ADa-
,Introducci%C3%B3n,a%20algunos%20de%20los%20anteriores.
Operaciones con conjuntos:
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php
https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/operaciones-entre-conjuntos/1/
Números Reales:
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
https://www.sdelsol.com/glosario/numeros-reales/v
Desigualdades:
https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/
Valor Absoluto:
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/valor-absoluto.html
Desigualdades con valor absoluto:
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-inequalities
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Algebra_Intermedia_(OpenStax)/02%3A_Resolver_ecuaciones_lineales/2.08%3A_Resolv
er_desigualdades_de_valor_absoluto