Este documento presenta un problema de optimización para determinar el tamaño y número de paracaídas que minimicen el costo total al transportar suministros a refugiados, sujeto a que la velocidad de impacto sea menor a 20 m/s. Se formula el problema determinando la función de costo a minimizar, las restricciones de velocidad y número entero de paracaídas, y las ecuaciones para calcular la velocidad de impacto en función del tiempo de caída.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
MARÍA BELÉN CEVALLOS GILER CUARTO “C”

2.  La optimización o programación
matemática intenta dar respuesta a un tipo
general de problemas donde se desea elegir
el mejor entre un conjunto de elementos.
 La localización de raíces y la optimización
están relacionadas, en el sentido de que
ambas involucran valores iniciales y búsqueda
de un punto sobre una función.

3. OBJETIVO GENERAL: OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Comprender el concepto  Diferenciar entre
de Optimización y localización de raíces y
orientarlo a resolver optimización.
 Comprender la importancia
problemas prácticos de
que esta tiene en el campo
ingeniería. de la ingeniería.
 Utilizar herramientas
informáticas
(Excel, Matlab, Mathcad)
para resolver problemas de
optimización.

4.  La localización de raíces involucra la
búsqueda de raíces de una función o
funciones. En contraste, la optimización
involucra la búsqueda del mínimo o del
máximo. Lo óptimo es el punto donde la
curva es plana. En términos
matemáticos, esto corresponde al valor de x
donde la derivada f´(x) es igual a cero.
Además, la segunda derivada, f´´ (x), indica si
el óptimo es un mínimo o un máximo.

6.  Un problema de optimización trata de tomar
una decisión óptima para maximizar
(ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o
minimizar un criterio determinado (costos,
tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones
significan que no cualquier decisión es
posible. Los métodos de cálculo diferencial
aún están en uso para determinar soluciones
óptimas.

7.  Diseño de aviones para un mínimo peso y
máxima resistencia.
 Trayectorias óptimas de vehículos espaciales.
 Diseño de estructuras en la ingeniería civil a un
mínimo costo
 Diseño de proyectos de abastecimiento de
agua, como en presas, para mitigar el daño por
inundación mientras se obtiene la máxima
potencia de generación.
 Predecir el comportamiento estructural al
minimizar la energía potencial.

8.  Estrategia de corte de materiales para un
costo mínimo.
 Diseño de bombas y equipos de transferencia
 Redes de tubería óptimas.
 Maximizar la potencia de salida de redes
eléctricas y maquinaria mientras se minimiza
el calor generado.
 Ruta más corta de un vendedor que visita
varias ciudades durante un viaje de ventas.

9.  Planeación óptima y calendarizada.
 Análisis estadístico y moderado con un mínimo
error.
 Control de inventario
 Planeación del mantenimiento para minimizar
costos.
 Minimizar tiempos de espera y ociosos.
 Diseñar sistemas de tratamiento de aguas para
cumplir con estándares de calidad del agua a
bajo costo.

10.  Derivar la función
 Igualar a cero la derivada
 Despejar los valores de x
 Reemplazar estos valores en la ecuación original
para obtener f(x)
Ejemplo:
f(x)= x^2*-2
f’(x)=2x
0=2x
x=0
f(x)=-2
f”(x)= 2

11. Un problema de programación matemática u
optimización, se puede establecer de forma
general como.
Determine x, el cual maximiza o minimiza f(x)
sujeto a
di(x) <= ai i = 1, 2,…, m
ei(x) = bi i= 1,2,…, p
f(x) es la función objetivo; di(x) son restricciones de
desigualdad; ei(x) son restricciones de
igualdad, y ai y bi son constantes.

12.  Si f(x) y las restricciones son
lineales, tenemos programación lineal.
 Si f(x) es cuadrática y las restricciones
son lineales, tenemos programación
cuadrática.
 Si f(x) es no lineal o cuadrática y/o las
restricciones son no lineales, tenemos
programación no lineal

13.  Cuando estas dos ecuaciones se
incluyen, tenemos un problema de
optimización restringida; de otra
forma, es un problema de optimización
no restringido:
di(x) <= ai i = 1, 2,…, m
ei(x) = bi i= 1,2,…, p

14.  Se clasifican en unidimensionales y
multidimensionales. Los primeros involucran
funciones que dependen de una sola
variable, la búsqueda consiste entonces en
ascender o descender los picos y valles
unidimensionales. Los problemas
multidimensionales involucran funciones que
dependen de dos o más variables
dependientes.

15. En el mismo sentido, la optimización
bidimensional se puede de nuevo visualizar como
una búsqueda de picos y valles.

16. Para la Optimización Optimización
multidimensional no
optimización restringida restringida
unidimensional • Métodos directos:
no restringida Búsquedas • Representación
aleatorias, búsquedas gráfica
• Búsqueda sección invariables y búsqueda de
dorada patrones • Método
• Interpolación • Métodos gradiente: Paso
ascendente/descendente, g simplex
cuadrática radiente
• Método de Newton conjugado, Newton, Marqu
ardt y métodos cuasi-
Newton

17.  Se desea construir de una plancha rectangular de 70 x 70
cm una bandeja de volumen máximo cortándole
cuadrados en las esquinas. Hallar las dimensiones de la
bandeja.

18. V= B.B.x = B2.x
B + x + x = 70
B = 70 – 2x
x = (70-B)/2
 V = (70 – 2x)2.x
 B = 70 – 2x
 B= 70 – 2(70/6)
 B = 46,667
 Podemos concluir que las dimensiones de la
bandeja son 46,67 cm x 46,67 cm x 11,67 cm.

19.  Usted es un ingeniero que trabaja para una compañía aérea que
lleva abastecimientos a los refugiados de una zona de guerra.
Los abastecimientos se dejarán caer a baja altitud (500 m), de
tal forma que la caída no sea detectada y que los
abastecimientos caigan tan cerca como sea posible del campo
de refugiados. Los paracaídas se abren en forma inmediata casi
al salir del aeroplano. Para reducir el daño, la velocidad vertical
de impacto debe ser menor que un valor crítico de vc= 20 m/s.
 El área transversal del paracaídas es la de una semiesfera
 A = 2πr2
 La longitud de cada una de las 16 cuerdas que sostienen el
paracaídas con la masa está relacionada con el radio del
paracaídas por
 l=

20.  La fuerza de arrastre en el paracaídas, es una función
lineal de su área de sección transversal descrita por la
siguiente fórmula
 c = kcA
 donde c =coeficiente de arrastre (kg/s) y kc =
constante de proporcionalidad parametizando el
efecto del área sobre el arrastre = 3 kg/(s.m2).
 También es posible dividir la carga total en tantos
paquetes como quiera. Es decir, la masa de cada
paquete individual se puede calcular como:
 Donde Mt= carga total que habrá que arrojarse (2000
kg), m= masa de cada paquete individual (kg) y n=
número total de paquetes.

21.  Por último, el costo de cada paracaídas está
relacionado con el tamaño en una forma no lineal,
 Costo por paracaídas = c0 + c1 l + c2A2
 Donde c0, c1 y c2 = coeficientes de costo. El término
constante, c0 es el valor base para el paracaídas
($200), c1 el coeficiente de costo por longitud
($56/m) y c2 el coeficiente de costo por área
($0.1/m2). La relación no lineal se debe a que la
manufactura de los paracaídas de gran tamaño es
más complicada que la de los paracaídas pequeños.
 Determine el tamaño (r) y el número de
paracaídas (n) que pueden obtenerse a un mínimo
costo, y que cumplan al mismo tiempo el
requerimiento de tener una velocidad de impacto
suficientemente pequeña.

22.  Objetivo: determinar la cantidad y el tamaño de
paracaídas que minimicen el costo del
planeador. El problema está restringido, ya que
los paquetes deben tener una velocidad de
impacto menor al valor crítico.
 El costo se puede calcular al multiplicar el valor
de un paracaídas individual por el número de
paracaídas (n).
 Función objetivo:
 Minimizar C = n(c0 + c1l + c2A2)

23.  Restricciones.
 1: la velocidad que debe ser menor o igual a la
velocidad crítica
 v <= vc
 2: el número de paracaídas debe ser un entero mayor
o igual a 1
 n >= 1 donde n es un entero.
 En este punto, el problema se ha formulado. Aunque
el problema se ha formulado de forma amplia, algo
más que debe tomarse en cuenta: ¿Cómo se
determina la velocidad de impacto v? Recordemos
que la velocidad de un objeto en caída se puede
calcular con
 Donde v = velocidad (m/s), g = aceleración de la
gravedad (m/s2), m = masa (kg) y t =tiempo (s).

24.  Aunque esta ecuación provee la relación
entre v y t, se necesita conocer en cuanto
tiempo cae la masa. Por tanto, es necesaria
una relación entre la distancia de caída z y el
tiempo de caída t. La distancia de caída se
puede calcular de la velocidad por
integración:
 Esta integral se puede evaluar para obtener
 Donde z0 = altura inicial (m).

25.  Sin embargo, no se necesita z como una
función de t para resolverla. En lugar de
esto, se debe calcular el tiempo requerido por
el paquete para recorrer en caída la distancia
z0. Así, se reconoce que se ha formulado la
ecuación como un problema de
determinación de raíces. Esto es, se debe
resolver para el tiempo en el cual z se acerca a
cero.
 f(t) = 0 = z0
 Una vez que se calcula el tiempo de
impacto, se puede sustituir en la ecuación de
la velocidad con el fin de resolver la misma.

26. Minimizar C = n(c0 + c1l+ c2A2)
Sujeta a
v <= vc
n >= 1
donde
A = 2πr2
l=
c = kcA
t = raíz