Programación lineal

1
1 Programación Lineal
• Programación Lineal (PL): Técnica de optimización muy usada en
entornos económicos en los que hay que gestionar una serie de
recursos para realizar una determinada actividad.
• En este tipo de problemas existen múltiples soluciones, empleándose
un criterio para discriminar entre ellas con el fin de encontrar la mejor
solución. A este proceso de búsqueda se le denomina optimización.
• Los problemas de Programación Lineal son, pues, un caso particular
de problemas de optimización, denominación que engloba un rango
más amplio de problemas (optimización no lineal, optimización
dinámica, optimización combinatoria, optimización multiobjetivo, etc).
• La metodología de optimización consta de dos pasos:
• Modelado del problema
• Resolución del modelo

2
• Los problemas de Programación Lineal se expresan mediante un
conjunto de relaciones matemáticas que se conoce como modelo de
programación lineal.
• El modelo de programación lineal está formado por tres componentes:
• Un conjunto de variables de decisión: incógnitas cuyo valor se quiere
determinar y que corresponden a las decisiones que hay que tomar en la
actividad cuyo funcionamiento se quiere optimizar.
• Un conjunto de restricciones lineales que expresen las relaciones
existentes entre las variables de decisión, relaciones que deben
cumplirse para que una solución sea admisible, esto es, factible (e.g. el
consumo de recursos debe ser inferior a la cantidad disponible de los
mismos, la cantidad a fabricar debe ser superior a la demanda, etc). Se
denomina región de admisibilidad al conjunto de soluciones que son
admisibles, esto es, que satisfacen todas las restricciones del problema.
• La función objetivo lineal que expresa el criterio que se desea optimizar
(e.g. maximizar beneficios, minimizar costes, etc). Se utiliza para medir la
calidad de una solución de forma que lo que se pretende es encontrar la
solución admisible con el mejor valor de esta función objetivo.

3
Un granjero dispone de 110 hectáreas de terreno, que puede cultivar con
cebada o girasol. Cada hectárea cosechada de cebada le supone un beneficio
de 50. Los beneficios de la venta de la cosecha de girasol son de 80 unidades
por hectárea. La cosecha de una hectárea de cebada supone 4 horas de
trabajo por hectárea y la de girasol de 8 horas por hectárea, existiendo un
periodo disponible para sembrar de 720 horas. Finalmente, sólo 80 hectáreas
de terreno son aptas para el cultivo de cebada. ¿Cuantas hectáreas de
cebada y de girasol debe sembrar para maximizar el beneficio?
Ejemplo 1

4
1. Definición del conjunto de variables.
• CEB: Número de hectáreas de tierra destinada a cultivar cebada
• GIR: Número de hectáreas de tierra destinada a cultivar girasol
2. Definición de las restricciones.
• Restricción 1: El granjero no puede cultivar más de 110 hectáreas de
tierra.
• Restricción 2: El granjero solo dispone de 720 horas de trabajo.
• Restricción 3: La cantidad de terreno disponible para sembrar cebada
es de 80 hectáreas.
110 GIRCEB
72084  GIRCEB
80CEB

5
• Restricción 4: No negatividad de las variables
3. Definición de la función objetivo.
• La función objetivo es la maximización de los beneficios
0,0  GIRCEB
GIRCEBZMax 8050 

6
• Los problemas de optimización dependen fundamentalmente para
su resolución del tipo de variables que forman parte del mismo y
del carácter lineal o no lineal de las restricciones.
Problemas
• Lineales
(Función Objetivo y
Restricciones
lineales)
• No Lineales
(Función Objetivo y/o restricciones no lineales)
• Continuos (Vbles. continuas)
• Enteros (Vbles. enteras)
Entera mixta (Vbles. enteras y continuas)
PROGRAMACIÓN LINEAL [CONTINUA]
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
PROGRAMACIÓN LINEAL MIXTA

7
Resolución gráfica
• Pasos a seguir para resolver gráficamente un problema de
programación lineal:
1. Los ejes de abscisa y ordenada son empleados para representar las
variables de decisión (2 variables de decisión).
2. Representación de la región factible a partir de la representación de
cada una de las restricciones.
3. Representación de la función objetivo en el origen.
• Resolución grafica del ejemplo 8.2.1.

8
[MAX] z = 50 CEB + 80 GIR
CEB + GIR ≤ 110
4 CEB + 8 GIR ≤ 720
CEB ≤ 80
CEB ≥ 0 GIR ≥ 0
(1) 4 CEB + 8 GIR ≤ 720
(2) CEB + GIR ≤ 110 (3) CEB ≤ 80
(4) CEB ≥ 0 GIR ≥ 0
Determinar la región de factible.

9
[MAX] z = 50 CEB + 80 GIR
CEB + GIR ≤ 110
4 CEB + 8 GIR ≤ 720
CEB ≤ 80
CEB ≥ 0 GIR ≥ 0
Representar la función objetivo
Solución
óptima
La solución óptima es aquella que encontrándose dentro de la región factible
proporciona el mayor valor posible de la función objetivo.

10
• Solución optima única
 
 
 
 
0,
4152
37
2152
12032
..
23
21
21
1
21
21
21






xx
Rxx
Rx
Rxx
Rxx
as
xxZMáx
x1
x2
2 4 6 8
4
6
8
2
R2 R3
R4
R1
023 21  xx
A
El óptimo se encuentra en el
punto A(7,0), siendo el valor de
la función objetivo 21.

11
Soluciones alternativas: Cuando la solución óptima del problema no es única sino que
existen múltiples soluciones alternativas con el mismo valor (óptimo) de la función objetivo.
Se puede escoger cualquiera de dichas soluciones; todas ellas son igualmente válidas.
 
 
 
0,
35
2962
144
..
21
21
21
21
21





xx
Rxx
Rxx
Rxx
as
xxZMáx
x1
x2
1 2 3 4
2
3
4
1
5
R1
R2
R3
1 2x x 1 

12
Problema infactible: Hay veces en que el problema no tiene ninguna solución admisible,
esto es, la región de admisibilidad es vacía. En ese caso el problema no se puede resolver.
Normalmente eso ocurre debido a una mala especificación del modelo (e.g. restricciones
incompatibles, que es imposible que se puedan cumplir simultáneamente)
 
 
0,
24
162
..
21
21
21
21




xx
Rxx
Rxx
as
xxZMáx
x1
x2
1 2 3 4
2
3
4
1
5
021  xx
R2
R1

13
Problema no acotado: Cuando la solución óptima es no acotada (esto es, alguna de las
variables de decisión toma un valor ±) y por tanto, también es ± el valor óptimo de la función objetivo.
Normalmente eso ocurre debido a una mala especificación del modelo (e.g. se han olvidado imponer
ciertas restricciones del problema real)
 
 
0,
21829
172
..
52
21
21
21
21




xx
Rxx
Rxx
as
xxZMáx
x1
x2
1 2 3 4
2
3
4
1
5
052 21  xx

14
Restricción redundante: Cuando el cumplimiento de una restricción está garantizado si
se cumple otra más restrictiva. En ese caso la restricción redundante puede eliminarse y la
solución óptima del problema no cambia en absoluto (ya que la región de admisibilidad
sigue siendo la misma)
 
 
0,
22874
11243
..
21
21
21
21




xx
Rxx
Rxx
as
xxZMáx
x1
x2
1 2 3 4
2
3
4
1
5
R1
R2
021  xx

15
• Los problemas de optimización se resuelven haciendo uso de
ciertos programas/paquetes de optimización de los cuales los más
conocidos son:
• CPLEX
• LINGO
• Solver (funciona sobre Excel y OpenOffice)

16
Ejercicios adicionales
Ejercicio 1
Un fabricante de mantequilla desea optimizar la producción diaria de su factoría. Fabrica
dos tipos de mantequilla (Estándar y Media Sal). Un Kilo de mantequilla Estándar
proporciona un beneficio de 10 € y uno de Media Sal de 15 €. Para la producción de
mantequillas se usan tres procesos, pasterización, centrifugado, y batido. La capacidad
de pasterización es de 6 horas/día, de centrifugado es de 3 horas/día y de batido es de
3.5 horas/día.
Los tiempos (en minutos) de proceso por cada kilo de mantequilla se recogen en la
siguiente tabla:
Plantear el modelo de programación lineal que maximiza las ganancias diarias del
fabricante, cumpliendo las limitaciones de capacidad. Resolver gráficamente.
Concepto Estándar Media Sal
Pasterización 3 8
Centrifugado 3 2
Batido 3 4

17
• X1: Cantidad de mantequilla Estándar a producir por día (Kg/día).
• X2: Cantidad de mantequilla Media Sal a producir por día (Kg/día).
• Restricción 1: Limitación en las horas de pasterización (6 horas/día,
360 minutos/día).
• Restricción 2: Limitación en las horas de centrifugado (3 horas/día,
180 minutos/día).
• Restricción 3: Limitación en las horas de batido (3.5 horas/día, 210
minutos/día)
36083 21  XX
18023 21  XX
21043 21  XX
Ejercicio 1 (modelado)

18
• La función objetivo es la maximización de los beneficios diarios
0,0 21  XX
21 1510 XXZMax 

19
Ejercicio 1 (solución)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 15010
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
10 15
. .
3 8 360 (R1)
3 2 180 (R2)
3 4 210 (R3)
, 0
M ax x x
s a
x x
x x
x x
x x

 
 
 

x1
x2
R2
R1
R3
Región de
admisibilidad
convexa
2 23 8 360x x 1 23 2 180x x  1 23 4 210x x 

20
20 30 40 50 60 7010
10
20
30
40
50
x1
x2
1 210 15z x x 
z=0
z=100
Dirección de
máxima mejora
Óptimo  Punto interior
Siguiendo la dirección de máxima mejora
desde cualquier punto interior podré ir a otro
punto con mejor valor de la F.O.
Por tanto, el óptimo se encuentra en el
punto A (20, 37.5), siendo el valor de la
función objetivo 762.5 u.m./día.
A (20, 37.5)
Ejercicio 1 (solución)

21
Ejercicio 2
Una empresa cuenta con 1.000 tm. del mineral b1, 2.000 tm. del mineral b2 y 500 tm del
b3. A partir de dichos materiales pueden extraerse y fundirse los productos x1,x2 y x3.
La empresa desea determinar la cantidad de cada producto que debe fabricar para
obtener el máximo provecho de la operación.
A continuación, se detalla la información y el beneficio obtenido por cada tm. De cada
uno de los productos.
Plantear el modelo de programación lineal que maximiza el beneficio de la empresa
Producto b1 b2 b3
Beneficio
(u.m./tm.)
x1 5 10 10 100
x2 5 8 5 200
x3 10 5 0 50

22
• X1: Cantidad de producto x1 a producir (tm).
• Restricción 1: Limitación en la cantidad de material b1 (1.000 tm).
• Restricción 2: Limitación en la cantidad de material b2 (2.000 tm).
10001055 321  XXX
20005810 321  XXX

23
• Restricción 3: Limitación en la cantidad de material b3 (500 tm).
• La función objetivo es la maximización de los beneficios
500510 21  XX
0,0,0 321  XXX
321 50200100 XXXZMax 

24
Ejercicio 3
Un pequeño taller de mecánica general, comprende esencialmente un torno T y dos
fresadoras F1 y F2. El programa de trabajo del taller se establece al principio de cada
trimestre, y comprende un programa principal y un programa de opción. El programa
principal tiene un carácter imperativo y permanente; se establece de una vez por todas y
no presenta ningún problema. Su ejecución deja sobre cada máquina horas disponibles
que se evalúan en: 200 horas para T, 84 horas para F1 y 100 horas para F2. El
programa de opción trata de utilizar al máximo las horas disponibles dejadas por el
programa principal; y es en este programa donde se plantean problemas.
Tres clientes llamados A, B y C se dirigen al taller para la ejecución de sus piezas que
denominaremos igualmente A, B y C.
El jefe de la empresa estudia las ofertas de trabajo que le han sido hechas por cada uno
de los clientes y ha podido determinar que para la ejecución de sus piezas son
necesarias dos operaciones: una sobre T y otra sobre una de las dos fresadoras F1y F2.
Los tiempos de ejecución para estas operaciones son:

25
Ejercicio 3
• Para A: 2 horas en T, 6 horas en F1 ó 5 horas en F2.
• Para B: 1 hora en T, 5 horas en F1 ó 5 horas en F2.
• Para C: 5 horas en T, 3 horas en F1 ó 4 horas en F2.
El beneficio de la fabricación de cada una de las piezas A, B y C es de 60, 40 y 35 u.m.
respectivamente.
Plantear el modelo de programación lineal que maximimiza el beneficio del programa
opcional.

26
• Xij: número de piezas de tipo i que se fabrican en la máquina j,
i={A,B,C} y j={T,F1,F2}
• Restricción 1: Limitación tiempo en el torno (200 horas).
• Restricción 2: Limitación tiempo en fresadora 1(84 horas).
20052  CTBTAT XXX
84356 111  CFBFAF XXX

27
• Restricción 3: Limitación tiempo en fresadora 2 (100 horas).
• Restricción 4: Relación entre piezas que pasan por el torno y las
fresadoras.
• Restricción 5: No negatividad de las variables.
• Función objetivo:
100455 222  CFBFAF XXX
21
21
21
CFCFCT
BFBFBT
AFAFAT
XXX
XXX
XXX



0ijX
CTBTAT XXXZMax  354060

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