Este documento resume varios métodos de programación no lineal como la programación cuadrática, dinámica, separable, geométrica y estocástica. Explica que la programación no lineal involucra maximizar o minimizar funciones no lineales sujetas a restricciones, y que los métodos utilizan conceptos como gradientes y condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. También describe brevemente cada tipo de problema no lineal.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULARA PARA LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIGO MARIÑO”
EXTENSION MARACAIBO
REALIZADO POR:
Ing. Wilfred Guillen
MARACAIBO, AGOSTO 2015

2. METODOS DE PROGRAMACION NO LINEAL
Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas
a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales
desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna
de las restricciones o la función objetivo no son lineales.
Analiza la problemática general en la que el objetivo f(x) o las restricciones gj(x)
(o los dos) son funciones no lineales.
La mayoría de los métodos de programación no lineales utilizan el concepto de
gradiente de las funciones f(x) y gj(x) para calcular direcciones de descenso, es
decir de mejora de la función objetivo.
Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y
cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre
puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, proporcionan las condiciones
necesarias para que una solución sea óptima.

3. MÉTODOS PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Cuando las funciones son convexas, caso por ejemplo de la programación lineal
continua, los algoritmos de descensos convergen hacia un óptimo global. En
general, estos algoritmos y los software correspondientes convergen solamente
hacia un óptimo local. Siempre que sea posible, es importante ejecutar estos
algoritmos a partir de varias soluciones iníciales diferentes con el fin de
seleccionar la mejor solución entre todas las encontradas.
Una problemática no lineal con restricciones puede convertirse en un problema
sin restricciones con la ayuda del multiplicador de LaGrange: este método
consiste en efecto en introducir en la función objetivo variables de holgura y un
coste que aumenta cuando disminuye la desviación; es decir, restricción
saturada.

4. TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
- Optimización no restringida.
- Optimización linealmente restringida.
- Programación cuadrática
- Programación convexa.
- Programación separable.
- Programación no convexa.
- Programación geométrica.
- Programación fraccional.
- Problema de complementariedad.

5. PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones
lineales, pero ahora la función objetivo /(x) debe ser cuadrática. Entonces,
la única diferencia entre éstos y un problema de programación lineal es que
algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable
o el producto de dos variables. El uso de aproximaciones cuadráticas para
resolver problemas con funciones no lineales generales se remonta mucho
tiempo atrás. Entre los métodos más destacados, tenemos al método de
Newton y el método de gradiente conjugado. Para la programación
cuadrática se pueden encontrar mínimos locales, mínimos globales, puntos
estacionarios o de KKT, son los que satisfacen las condiciones de KKT del
problema. En problemas convexos de programación cuadrática, todo punto
KKT o mínimo locales un mínimo global.

6. PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Es un método para reducir el tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la
utilización de sub-problemas superpuestos y sub-estructuras óptimas, como se
describe a continuación. Se utiliza para optimizar problemas complejos que pueden
ser discretizados y secuencializados.
La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas
en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones
tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las
situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas
estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro.Conviene resaltar que a
diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de programación
dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario
especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de
programación dinámica.

7. PROGRAMACIÓN SEPARABLE
La programación separable es un caso especial de programación convexa, en
donde la suposición adicional es
Todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables.
Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola
variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de
variables individuales.
Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa,
pues cualquier problema de programación separable se puede aproximar muy de
cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el
eficiente método símplex.

8. PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA
Cuando se aplica programación no lineal a problemas de diseño de ingeniería,
muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma
En tales casos, las ci y a ty representan las constantes físicas y las x} son las
variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni
convexas, por lo que las técnicas de programación convexa no se pueden
aplicar directamente a estos problemas de programación geométrica. Sin
embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar
en un problema de programación convexa equivalente.

9. PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA
Programación Estocástica ofrece soluciones para problemas formulados en conexión
con sistemas estocásticos, en los que el problema numérico resultante a resolver es un
problema de Programación Matemática de tamaño no trivial. Trata problemas en los
que algunos de los parámetros son variables aleatorias, estudiando las propiedades
estadísticas del valor optimo aleatorio o de otras variables aleatorias presentes en el
problema o bien reformulando el problema en otro de decisión en el que se tiene en
cuenta la distribución de probabilidad conjunta de los parámetros aleatorios. Por
tanto, mientras que en un problema determinantico de Programación Matemática, ya
sea de Programación Lineal, Programación No Lineal, Programación Entera,
Programación Mixta Lineal Entera o Programación Mixta No Lineal Entera, todos los
datos (coeficientes) que aparecen en su formulación son números conocidos, en
Programación Estocástica dichos datos son desconocidos, aunque para ellos se
conoce o se puede estimar su distribución de probabilidad.