Ecuaciones diferenciales de primer orden, resolución de este tipo de ecuaciones a través del factor integrante

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Ecuaciones Diferenciales
TEMA: Ecuaciones Lineales
Integrantes:
Christopher Ortega Alex Gonzaga
Daniel Sócola Jorge Naranjo
José Miguel Maldonado

2. Ecuación Diferencial Lineal de
Primer Orden
Definición de ecuación diferencial:
Una ecuación diferencial de primer orden, de la
forma: dy
 a0 ( x ) y  g ( x )
a1 ( x)
dx
es una ecuación lineal
Cuando g(x)=0, la ecuación lineal es
homogénea, en cualquier otro caso, es no
homogénea.

3. Forma Estándar:

dy
 P ( x) y  f ( x)
dx (a)
Propiedad:

y  yc  y p
y c es una solución de la ecuación homogénea
asociada
dy (b)
 P( x) y  0
dx
yp
es una solución particular de (a) no
homogénea

4. Procedimiento
Definir una solución particular para la ecuación

siguiendo el procedimiento llamado variación de
parámetros
dy
 P( x) y  f ( x)
Ecuación

dx
Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x)

Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x)


5. dy
 P ( x) y  f ( x)
Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:

dx
obtenemos:

d
 uy1   P ( x)uy1  f ( x)
dx
dy1 du
 y1  P ( x )uy1  f ( x )
u
dx dx
 dy1  du
 P ( x ) y1   y1  f ( x)
u
 dx dx

du
y1 f ( x)
dx

6. Separamos variables, integramos y llegamos a:

f ( x)
du  dx
y1 ( x )
f ( x)

u dx
y1 x
De acuerdo con la definición de y1 tenemos:

  p ( x )dx e 
P ( x ) dx
f ( x)dx

yp  uy1  e
y  yc  y p  ce  e   P ( x ) dx f ( x)dx
 P ( x ) dx  P ( x ) dx
 e

7. Método de Solución
Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer
orden:
 1.-Se convierte a la forma Estándar de una ecuación
lineal
dy
 P( x) y  f ( x)
dx
2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante

 P ( x ) dx
e
3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor

integrante
4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida


8. Solución de una Ecuación Diferencial
Lineal
dy
 4 y  x 6e x
x
dx
dy 4
 y  x 5e x
dx x
4
P( x)  
x
 P ( x ) dx
Entonces el factor integrante es e
4  dx / x ln x 4
 e  e  x 4
4 ln| x|
e
dy
4
 4 x 5 y  xe x
x
dx
 
d
x  4 y  xe x
dx
x  4 y  xe x  e x  c

9. Factor Integrante
El factor integrante es una función de una

ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza
para hallar una solución exacta de una
ecuación diferencial lineal y esta dado por la
formula:
 P ( x ) dx
e
Donde a P(x) se la obtiene de la forma

estándar de una ecuación lineal.

10. EJEMPLO
dy
ye 3x
dx
La ecuación es claramente lineal. Podemos
transformarla en una ecuación exacta utilizando
el siguiente factor integrante:
  ex
 dx
ue

11. Constante de Integración
Podemos mencionar que tanto en la descripción general

como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una
constante de integración para evaluar la integral indefinida
en el exponente:
 P ( x ) dx
e
En este caso la constante de integración estaría dada por la

constante (c), utilizando esta constante en el factor
integrante quedaría:
 P ( x ) dx
e
Es muy importante mencionar que no es necesario escribir

el factor integrante con la constante de integración ya que el
factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación
diferencial y el utilizar una constante de integración no
cambia en nada la solución de la ecuación.

12. Solución de una ecuación lineal de
primer orden
Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma
i.
estándar de la ecuación (2).
A partir de la forma estándar, identificar a P(x) y a
ii.
continuación determinar el factor integrante
Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor
iii.
integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es
la derivada del producto del factor integrante por la
variable dependiente, y; esto es,
d   P ( x ) dx   P ( x ) dx f ( x)
y  e
e
dx  
Se integran ambos lados de esta ecuación
vii.

13. Solución General
Es aquella solución de la ecuación que está en

la forma estándar; la cual, está definida en un
intervalo I llegando a ser de esta manera
miembro de la familia de soluciones.
La solución general está conformada por las

constantes paramétricas, dependiendo del
orden de la ecuación el número de éstas.