El documento resume la teoría de conjuntos infinitos de Georg Cantor. Introduce conceptos como conjuntos numerables e infinitos actuales, y explica cómo Cantor demostró la existencia de diferentes tipos de infinitos a través de la técnica de la diagonalización de Cantor. Finalmente, introduce la jerarquía de números transfinitos y la hipótesis del continuo.

1. TEORÍA DE CONJUNTOS SEGUNDA PARTE

2. EL ALEPH ¿Hasta que punto la poesía puede tener otro sentido a la luz de la matemática intuitiva? El poeta argentino Borges, habiendo tenido conocimiento de estos hallazgos sobre el infinito en la matemática, describe el Aleph con sus propias palabras: “(…) una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego, comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, (…), vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre a mirado: el inconcebible universo.” BORGES, J. El Aleph . Madrid, Alianza Editorial, 1971.

3. INFINITO ACTUAL Y POTENCIAL En la época de Cantor, existía un prejuicio generalizado que consistía en creer que lo infinito solo podía ser en potencia , esto es, según el análisis aristotélico, como algo que crece indefinidamente y, en consecuencia, como algo que no es . Cantor al verse limitado con el infinito potencial , asume el infinito actual asociado al significado de totalidad . Ahora bien, considerando la radical posición de Cantor con respecto a lo infinito se tienen que plantear algunas preguntas con aliento intuicionista: ¿Cómo vamos a poder comparar dos conjuntos infinitos de elementos, si ni siquiera podemos abarcar todos sus elementos y mucho menos contarlos ? Si ambos tienen un número ilimitado de elementos ¿Cómo establecer que los elementos de uno sean más abundantes que los del otro? ¿Se puede contar lo infinito?

4. ¿QUÉ ES CONTAR? Para entender bien el proceso que siguieron los razonamientos de Cantor, tenemos que empezar por contar , operación que deberíamos conocer a fondo. ¿Qué es lo que hacemos cuando contamos los elementos de un conjunto finito, de treinta y dos elementos, por ejemplo? No es bastante decir que señalando a cada uno de los elementos sucesivamente recitamos “uno, dos, tres,…, treinta, treinta y uno, y treinta y dos”. La posibilidad de llevar a cabo esta operación indica un vocabulario muy desarrollado de palabras de numeración. Tenemos que ir más allá de la operación de contar por medio de palabras, si es que, en realidad, queremos llegar al fondo de la cuestión.

5. SABER CONTAR Entendamos por contar aquél proceso inconsciente de coordinación entre los objetos y los Números Enteros Positivos. En la Teoría de Conjuntos al contar los elementos de un determinado conjunto finito, se obtiene un número, dicho número constituye la cardinalidad de tal conjunto. Esta simple operación resulta controversial al aplicarla a los Conjuntos Infinitos. Matemáticamente, la solución no radica en “contar” sus elementos, sino en “emparejarlos”, relacionar un elemento de un conjunto con el del otro.

6. PERSONAS Y ASIENTOS Un ejemplo, en este caso, es más que necesario. Imaginemos un auditorio que tenga una cierta cantidad de asientos, el número es lo de menos, y preguntémonos ¿Cuánta gente ha entrado en el local? Si vemos que TODOS los asientos están ocupados, y no hay nadie de pie, sabremos que el número de personas es igual (=) al de asientos. Si, por el contrario, vemos que algunos de los asientos están vacíos, o sea, que hay asientos a los que no les corresponde ninguna persona, sabremos que el número de personas es menor (<) que el de asientos. Finalmente, si todos los asientos están ocupados y aún queda gente de pie, es decir, si hay personas a las que no les corresponde ningún asiento, sabremos que el número de personas es mayor (>) que el de asientos.

7. EQUIVALENCIA Y CORRESPONDENCIA Esta operación resulta mucho más práctica que la de contar, por una parte, el número de personas, y, por el otro, el número de sillas, pues para determinar el “cardinal” de cada conjunto ha bastado una correlación. De este modo Cantor introdujo la importante definición de equivalencia entre conjuntos: “Dos conjuntos son equivalentes si podemos poner en correspondencia por una determinada ley, los elementos de un conjunto con los del otro”. Esta determinada ley obliga a cada elemento de un primer conjunto a que le corresponda un y solo un elemento del segundo. Esta correspondencia entre los elementos de dos determinados conjuntos se llama de 1 a 1 o, correspondencia biunívoca . Con esta definición se llegarán a conclusiones que antes parecían paradójicas, como el hecho de que hay igual número de números cuadrados perfectos que de números naturales, cuando, como lo dio a entender Galileo , lo “lógico” es que hubiera menos.

8. NUMERABILIDAD: NUMERABLES Cantor llamó numerables a aquellos conjuntos cuyos elementos podían ponerse en correspondencia biunívoca con los elementos del conjunto de los Números Naturales (ejemplos de conjuntos numerables: los Enteros (Z) y los Racionales (Q)) e introdujo el primer Número Transfinito,  (primera letra del alfabeto hebreo, la letra aleph con subíndice cero, léase aleph-cero) para determinar el número de elementos que tiene un Conjunto Infinito Numerable. El siguiente paso fue demostrar la no-numerabilidad del Continuo, es decir, de los Números Reales, con lo que se probaría que el cardinal de los Números Reales era mayor estricto que el de los Conjuntos Numerables. Este Teorema (junto con la técnica empleada en su demostración que recibió el nombre de “Proceso de Diagonalización” ) es uno de los resultados más importantes de Georg Cantor, pues por primera vez reflejaba el hecho de que hay Conjuntos Infinitos con una cardinalidad mayor que la de otros. En este caso, los puntos del intervalo <0,1> de la recta real son más abundantes que los elementos del Conjunto de los Números Naturales.

9. DIAGONAL DE CANTOR Enseguida aclararemos el concepto de diagonalización planteado por George Cantor y tan relacionado con el concepto de numerabilidad. Consideremos los n números reales x en el intervalo  n  N, 0 <x n  1. Cada número real, en este intervalo, está representado, de modo único, por una fracción decimal no-terminativa propia, es decir, una fracción decimal, que tiene su primer dígito significativo (diferente de cero) a la derecha del punto decimal, y un número infinito de dígitos que no son 0. Admitiendo esto aceptemos que toda fracción propia decimal no-terminativa representa un número real único en el intervalo. Llamemos numerables a todos aquellos conjuntos cuyos elementos puede ser puestos en correspondencia uno a uno con los elementos del conjunto de los números naturales. Supongamos ahora que los números: x 0 , x 1 , x 2 , x 3 … x a … conforman una enumerable lista infinita de todos los números reales que pertenecen al intervalo entre 0 y 1. Escribamos una debajo de otra sus respectivas fracciones decimales no-terminativas, aprovechando el esquema matricial fila-columna.

10. MATRIZ DE LOS NÚMEROS DE <0,1>

11. FRACCIÓN DIAGONAL Seleccionemos la “ fracción diagonal ” mostrada por la línea trazada, o sea el decimal 0, x 00 x 11 x 22 x 33 … Cambiemos en ella cada uno de los sucesivos dígitos x nn por un dígito diferente x nn ’ . Así, “ 0, x 00 ’x 11 ’x 22 ’x 33 ’ …” es diferente de cada uno de los números de la tabla anterior, puesto que difiere del primer número en su primer decimal, del segundo en su segundo decimal y, en general, difiere del n -ésimo número en su n -ésimo decimal. Esto prueba que el esquema matricial anterior no contiene todos y cada uno de los números del intervalo (0,1), y por inducción se demuestra implícitamente que ni éste, ni algún otro segmento representativo del conjunto de los números reales son numerables. En conclusión, mientras que los números reales no son numerables, los naturales y hasta los racionales sí lo son. Como hemos podido apreciar la técnica cantoriana de la diagonalización es un método que muestra que hay infinitos conjuntos, considerados en la Matemática, que no pueden ser numerados.

12. JERARQUÍA DE INFINITOS De este modo, Cantor demostró que el cardinal de los Naturales (o numerables) es menor estricto que el de los Reales, es decir:  < c . Una vez establecida la posibilidad de comparar cardinales de Conjuntos Infinitos, aunque pudiera parecer que c fuera el último cardinal transfinito, Cantor logró demostrar que existían cardinales transfinitos aún mayores, basándose en el Teorema del Conjunto Potencia que lleva su nombre, el cual indica que la cardinalidad del conjunto potencia de X es mayor que la del conjunto X. Cantor demostró que al igual que no hay ningún número natural mayor que todos los demás, tampoco hay un Número Transfinito mayor que todos los demás. Porque dos elevado a una potencia transfinita engendra siempre un nuevo Número Transfinito mayor. Así si 2  = c (Hipótesis del Continuo) ; 2 C = UN NÚMERO TRANSFINITO TODAVÍA MAYOR y así sucesivamente.

13. NÚMEROS TRANSFINITOS No contento con el descubrimiento de la naturaleza del “Infinito” de los Numerables y el del Continuo, Cantor propone la creación de una nueva serie de números como una prolongación de los naturales, a los que llamará TRANSFINITOS:  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4 , … . De nuevo, nos encontramos con una dificultad, pues, si bien en el caso de los Números Enteros, y hasta en el caso de los Irracionales podemos encontrar un reflejo de ellos en la naturaleza (recordemos que la existencia de los números irracionales era conocida por los antiguos pitagóricos), los nuevos Números Transfinitos de Cantor escapan al razonamiento lógico y al entendimiento natural, por no tener algún reflejo en la Naturaleza. Sin embargo, la construcción de los Números Transfinitos supone ampliar el campo de la Matemática, permitiendo que éstas no se queden ancladas por ninguna visión cerrada, limitada (y hasta equivocada) del mundo.

14. CANTORISMO O PLATONISMO La Matemática no debe ni puede quedarse en lo lógicamente razonable, sino permitir que el genio vaya mas allá de lo conocido para explorar rincones a primera vista ocultos o prohibidos. Esta libre búsqueda constituye el estadio instintivo de una teoría matemática. En esta etapa, parece como si el matemático fuera un científico empírico que investiga objetos reales concretos. Se los representa en su imaginación o sobre el papel y los busca en la realidad. Y como en la realidad de este mundo no los encuentra, acaba a veces postulando “otro” mundo donde existan esos objetos que él estudia, á la Platón . Tan valioso ha sido el aporte de Cantor, que en la actual filosofía de la matemática se utilizan los términos “Cantorismo” y “Platonismo” como sinónimos.

15. HIPÓTESIS DEL CONTÍNUO Uno de los problemas más graves con los que Cantor se enfrentó fue la denominada “ Hipótesis del Continuo ”. La hipótesis del continuo sostiene que no hay ningún cardinal entre  y c , es decir,  y c se comportan como los dos primeros números naturales, en este caso, como los dos primeros números transfinitos y, además establece que cualquier subconjunto de los números reales es, o bien numerable (que tienen la cardinalidad del conjunto de los números naturales) o no numerable (que tienen la cardinalidad del continuo). La hipótesis parece obvia, pero aun hoy no ha podido ser demostrada. Es más, Kurt Gödel, y, posteriormente, Paul Cohen demostraron que la hipótesis generalizada del continuo no podía ser demostrada ni refutada por los axiomas de la Teoría de Conjuntos. Esto último fortalece la sospecha de que la hipótesis del continuo goza de independencia con respecto a los demás axiomas.