Periodo óptimo de diseño en saneamiento.

1. Diplomado “Formulación y Evaluación de Proyectos de
Inversión Pública – Módulo Saneamiento”
Período óptimo de Diseño para
proyectos de Saneamiento
Arequipa, Octubre 2012
M. Sc Freddy Toledo Quiñones

2. - Vida Útil
N° años de duración económica de los principales
activos del proyecto. Incorpora criterio de
obsolescencia
- Horizonte de Evaluación
N° de años de costos y beneficios a considerar en el
fliujo de evaluación, está asociado a la vida útil.
- Periodo de Diseño
Definiciones
Definiciones
- Periodo de Diseño
N° años en los cuales la capacidad de producción de
un componente de un sistema de agua potable o
alcantarillado, satisface la demanda proyectada

3. Periodo de diseño que minimiza el valor actual de
costos de inversión, operación y mantenimiento
durante el periodo de análisis del proyecto. Supone
múltiples reinversiones en periodos homogéneos y
crecimiento lineal de la demanda.
Definición de Periodo Optimo de Diseño
Definición de Periodo Optimo de Diseño
crecimiento lineal de la demanda.
Se aplica a las obras generales del proyecto
(captación, línea de conducción, plantas de
tratamiento, reservorios, etc)

4. PERIODO OPTIMO DE DISEÑO
Usualmente los periodos de diseño de los
componentes de los sistemas de agua potable y
alcantarillado se establecen asociándolos a la
duración de su vida útil (generalmente 20 años). Este
criterio no toma en cuenta la necesidad de minimizar
Practica actual
Practica actual
criterio no toma en cuenta la necesidad de minimizar
la capacidad ociosa de dichos componentes evitando
inversiones cuantiosas en el presente ni lo
establecido en el Reglamento Nacional de
Edificaciones-Consideraciones Básicas de Diseño
Infraestructura Sanitaria (0S.100-1.2).

5. Fuente: R. M. 559-2006/EF.15 del 04/10/2006

6. Actualización de las Inversiones en el
tiempo
Actualización de las Inversiones en el
tiempo
INV INV INV INV INV
Donde: n = Número de períodos
r = tasa de descuento
Ci = Costo de inversión en el año i
Minimizar 
i = 1
n
Ii
(1 + r) ^ i

7. Alternativas de
Alternativas de Periodicidad
Periodicidad de las
de las
Inversiones
Inversiones
Crecimiento lineal de la demanda en el tiempo
Alternat: una inversión año 0 para cubrir demanda año 20
o 2 inversiones año 0 y año 10
Q (m3)
1000
t (años)
1000
500
20
10
Demanda
0

8. Con supuesto de proporcionalidad de tamaño e inversiones:
Alt 1: Reservorio de 1,000 m3 Inversión año 0 S/. 2000
Alt 2: Reservorio de 500 m3 Inversión año 0 S/. 1000
Reservorio de 500 m3 Inversión año 10 S/. 1000
VAC1 = 2000/(1+TD)0 = 2000
Alternativas de
Alternativas de Periodicidad
Periodicidad de las
de las
Inversiones
Inversiones
VAC1 = 2000/(1+TD)0 = 2000
VAC2 = 1000/(1+TD)0 + 1000/(1+TD)10
Siempre que TD > 0 VAC2 < VAC1
Por lo tanto la actualización de flujos de costos con una TD
conlleva a cubrir la demanda con mayor número de
reinversiones (más periodos o etapas de inversión) si hay
proporcionalidad entre tamaño e inversión

9. ECONOMÍA DE ESCALA
ECONOMÍA DE ESCALA
La siguiente ecuación relaciona tamaños (Ti) e Inversiones (Ii)
La única posibilidad de proporcionalidad entre tamaños e
I t = I 0 T t
T0
a
La única posibilidad de proporcionalidad entre tamaños e
inversiones es cuando el exponente a (Factor de Economía de
Escala es igual a 1).
En la mayoría de proyectos existe desproporcionalidad entre el
tamaño y los costos e inversiones asociados a cada tamaño (A
mayor tamaño menor costo unitario), lo cual implica que el
exponente a es menor que 1.

10. ECONOMÍA DE ESCALA
ECONOMÍA DE ESCALA
I t = I 0 T t
T0
a
It = 1000 ( 1000 )
a
s/It = s/1000(1000 M3 )
a
500 M 3
It = 1000 ( 1000 )
500
a It It / I0
1.0 2000 2.0
0.8 1741 1.7
0.6 1516 1.5
0.4 1320 1.3
0.2 1149 1.1
0.1 1072 1.1
= ( )
500 M 3

11. ECONOMÍA DE ESCALA
ECONOMÍA DE ESCALA
Pueden darse los siguientes casos:
1) a  1
2) a  1
La inversión crece en menor proporción respecto a la
variación del tamaño del componente, existiendo en este
caso economías de escala. Cuando menor sea “a”
existirá mayor economía de escala
La inversión crece en mayor proporción respecto a la
variación del tamaño del componente, existiendo en este
3) a = 1
En los componentes de abastecimiento de agua potable y
alcantarillado existen economías de escala (a 1) lo que
induce a la conveniencia de un solo periodo de inversión.
variación del tamaño del componente, existiendo en este
caso deseconomías de escala
La inversión crece en igual proporción respecto a la
variación del tamaño del componente, no existiendo en
este caso economías ni deseconomías de escala.

12. Q
a 1
a = 1
a  1
Ctotal
Modelo econométrico
de la curva:
Costo total = K Q
a
Cme Cme = Ctotal
Q
COSTOTOTALY COSTO MEDIO
COSTOTOTALY COSTO MEDIO
a < 1 a > 1
a = 1
Q
Q

13. FACTORES DETERMINANTES DEL PERIODO
OPTIMO DE DISEÑO
Bajo el criterio del costo de oportunidad del dinero (tasa
de descuento) es más conveniente postergar las
inversiones lo que significa hacerlas de un tamaño mínimo.
Sin embargo, bajo el criterio de economía a escala,
convendría hacer estructuras más grandes para reducir el
costo unitario.
costo unitario.
La Minimización (primera derivada igual a cero) de
funciones de costos considerando las variables tasa de
descuento y factor de economía de escala han permitido
obtener las fórmulas para calcular el periodo óptimo de
diseño.

14. D
D
Q
(m3/día)
Caso 1:
Caso 1: Estimación del Periodo Optimo de
Diseño Sin Déficit Inicial
x 3x
2x 4x
D
D
t (años)

15. Estimación del Periodo de Diseño Sin
Déficit Inicial
Q en el periodo 1 es 1* D = D
Q en el periodo 2 es 2* D = 2D
Q en el periodo n es n* D = nD
• El costo total de n reposiciones de inversión que se repiten en el
• El costo total de n reposiciones de inversión que se repiten en el
tiempo con una periodicidad igual a x, en términos de valor
presente es el siguiente:
Ct = C (D) + C (xD) * 1 + C (xD) * 1 + ...... ( 1 )
• (1+r) x (1+r) 2x
Donde C = es el costo de inversión de cada período

16. Se puede plantear la siguiente identidad:
C (xD) = K (xD) a (2)
Remplazando (2) en (1)
Ct = k (xD)a + k(xD)a 1 + k (xD) a 1 + ......
(1+r) x (1+r) 2x
Ct = k (xD)a 1 + 1 + 1 +...... 1
(1+r) x (1+r)2x (1+r) t x
Ct = k (xD) a * 1
1-e -rx (3)

17. Derivando la ecuación (3) respecto a x e igualando a 0
obtenemos el valor óptimo de X * que permite obtener la
capacidad óptima Q*.
Dichos valores permiten reducir al mínimo el costo total
del proyecto en términos de valor actual
X* = a * (e –rx –1) (4)
r
Q* = X* D (5)
Derivando la ecuación (3) respecto a x e igualando a 0
obtenemos el valor óptimo de X * que permite obtener la
capacidad óptima Q*.
Dichos valores permiten reducir al mínimo el costo total
del proyecto en términos de valor actual
X* = a * (e –rx –1) (4)
r
Q* = X* D (5)
De donde:
X* = 2.6 (1- a) 1.12
r
X* = período óptimo sin déficit inicial
a = factor escala
r = tasa de descuento
De donde:
X* = 2.6 (1- a) 1.12
r
X* = período óptimo sin déficit inicial
a = factor escala
r = tasa de descuento

18. PERIODOS ÓPTIMOS EN AÑOS CON DIFERENTES
FCTORES DE ECONOMÍA DE ESCALA Y TASAS DE
DESCUENTO SIN DÉFICIT INICIAL
FACTOR DE ECONOMIA
DE ESCALA
TASAS DE DESCUENTO ( r ) %
10 11 12 14 15
DE ESCALA 10 11 12 14 15
PERIODOS OPTIMO DE DISEÑO (AÑOS)
0.3 17 16 15 13 12
0.5 12 11 10 9 8
0.7 7 8 6 5 5

19. D
D
Q
Caso 2:
Caso 2: Estimación del Periodo Optimo de
Diseño Con Déficit Inicial
Q = Q 0 + D t
x
Qi
D
t
x0 x i x
Q0

20. FORMULA DE PERIODO OPTIMO CON DEFICIT
INICIAL
  6
.
0
*
0
9
.
0
0
7
.
0
* 1
x
x
x
r
a
x
xi







 


xi = Período óptimo de ampliación con déficit inicial
X* = Período óptimo de ampliación sin déficit inicial
X0 = Período de déficit inicial
 
0 x
x
r 



21. PERIODOS ÓPTIMOS EN AÑOS CON DIFERENTES
FCTORES DE ECONOMÍA DE ESCALA Y TASAS DE
DESCUENTO CON DÉFICIT INICIAL
FACTOR DE
ECONOMIA DE
ESCALA
DÉFICIT
INICIAL
TASA DE DESCUENTO (r)
10% 11% 12% 14% 15%
PERIODOS OPTIMO DE DISEÑO (AÑOS)
0.3 0 17 16 15 13 12
0.3 5 22 20 19 17 16
0.3 5 22 20 19 17 16
0.3 10 22 21 19 18 16
0.5 0 12 11 10 9 8
0.5 5 16 15 14 12 11
0.5 10 16 15 14 13 12
0.7 0 7 6 6 5 5
0.7 5 10 9 9 8 8
0.7 10 10 10 9 8 8

22. PERIODO ÓPTIMO DE DISEÑO
• Se calcula para cada componente principal del sistema
(planta de tratamiento, reservorio, tuberías, etc)
• Para calcular los periodos óptimos sin déficit inicial
solo se requiere conocer el factor de economía de
escala, de cada componente, la tasa de descuento es
del 10% según el SNIP
Procedimiento de Cálculo
del 10% según el SNIP
• Existen estimaciones de factores de economía de
escala a nivel de dichos componentes.
• Para aplicar la formula con déficit inicial requiere
estimarse el periodo de déficit.

23. PERIODO OPTIMO DE DISEÑO
1. ESTABLECER EL PERIODO DE DÉFICIT
(Continuac.)
Podemos efectuar el análisis extrapolando la
proyección de la demanda en función del tiempo
hacia los años anteriores e interceptándola con el
hacia los años anteriores e interceptándola con el
valor de la oferta actual. El periodo transcurrido
desde el año en que se produce dicha intersección
y el año cero del proyecto, será el periodo de
déficit.
A continuación se muestra un ejemplo gráfico

24. PERIODO OPTIMO DE DISEÑO
PROYECCIÓN DE DEMANDA
AÑO DEMANDA
0 95 50
2 102 50
4 109 50
6 116 50
8 123 50
Determinación de periodo de déficit
95
102
109
116
123
130
70
90
110
130
150
Demanda
(l/s)
12.9 años
10 130 50
-13 50 50
OFERTA 50
m = 3.5 Ecuación obtenida por mínimos cuadrados :
b = 95 Demanda = b + m . año
Xo = -12.9 años Periodo de Déficit
50
30
50
70
-20 -10 0 10 20
Años
Demanda
(l/s)
Oferta actual

25. PERIODO OPTIMO DE DISEÑO
CÁLCULO DEL PERIODO ÓPTIMO DE DISEÑO
PROYECTO : Captación de "Poca agua"
Finalmente se efectúa el cálculo del periodo óptimo de
diseño mediante la aplicación de la respectiva fórmula
dependiendo de que tengamos déficit actual o no.
PROYECTO : Captación de "Poca agua"
ESTRUCTURA : Captación tipo barraje
FACTOR DE ECONOMIA A ESCALA (a): 0.421426094
TASA DE DESCUENTO (r) : 14%
PERIODO DE DÉFICIT (Xo): 13 años
PERIODO DE DISEÑO PARA EXPANSIÓN
SIN DÉFICIT INICIAL (X) 10.1 años
PERIODO DE DISEÑO PARA EXPANSIÓN
CON DÉFICIT INICIAL (Xop) 14.3 años

26. PERIODO OPTIMO DE DISEÑO
Implicancias del periodo optimo de diseño
1. Cada componente del proyecto debe diseñarse para un
tamaño que corresponde a su periodo optimo.
2. La consideración anterior debe tenerse en cuenta para
2. La consideración anterior debe tenerse en cuenta para
la evaluación económica del proyecto,
recomendándose identificar el componente pivot: el de
mayor costo y determinante para atender la demanda
creciente (por ejemplo planta de tratamiento o línea de
conducción de ser el caso), para que todos los demás
componentes con su dimensionamiento original (o
reinversiones de ser el caso) cubran como mínimo el
periodo de diseño del componente pivot.

27. Apéndice 1
Evaluación de un PIP con componentes con
diferentes periodos óptimos de diseño (POD)
Supongamos que un PIP tiene los siguiente s componentes y POD
- Línea de Conducción: 18 años
- Planta de tratamiento de Agua potable (PTAP) :15 años
- Reservorios: 12 años
- Redes de agua: tiene POD?
- Redes de agua: tiene POD?
Pasos:
- Se define el componente pivot (por mayor costo o relevancia en el
proyecto). Los demás componentes deben tener un periodo de
diseño superior o igual al del componente pivot La PTAP lo
cumple
- Si un componente tiene un PD menor al POD del componente
pivot, (Reservorio) incluir en los flujos de costos una reinversión
(en el año 15) para que se cumpla lo anteriormente indicado,
exclusivamente para fines de evaluación económica del PIP

28. Apéndice 2
Origen de las economías de escala
CT = CF + Costo Variable
CT = CF + Costo Variable Unitario * (Q)
Costo Medio = CF/Q + Costo Variable Unitario * (Q)/Q
Costo Medio = CF/Q + Costo Variable
En la medida que el Costo variable es constante, el Costo
En la medida que el Costo variable es constante, el Costo
Medio se reducirá significativamente en el caso que el
peso relativo (y monto) del respectivo costo fijo sea alto.
En consecuencia la mayor economía de escala será en
componentes con altos costos fijos. Componentes con
intensivos costos variables y pocos costos fijos (caso
lagunas de oxidación) tienen bajas economías de escala

29. Apéndice 3
Interpretación de las economías de escala
Costo total = K Q a
Costo Total: Función costo de inversión de un determinado
componente
K: parámetro de la función de costos
K: parámetro de la función de costos
Q: Es el tamaño del componente medido en caudal
a: es el factor de economía de escala
¡a es la elasticidad del costo total respecto al
caudal!