investigación de operaciones

1. Investigación de Operaciones

2. El problema
Cada vez es más difícil asignar los
recursos o actividades de forma eficiente
Los recursos
son escasos
Los sistemas son cada
vez más complejos

3. ¿Qué es la Investigación de
Operaciones?
Definición (Lawrence y Pasternak, 1998)
Un enfoque científico para la toma de decisiones
ejecutivas, que consiste en:
– El arte de modelar situaciones complejas,
– La ciencia de desarrollar técnicas de solución para resolver
dichos modelos y
– La capacidad de comunicar efectivamente los resultados.
Objetivo de la Investigación operativa:
Estudiar la asignación óptima de recursos escasos a
determinada actividad.
Evaluar el rendimiento de un sistema con objeto de mejorarlo.

4. Investigación de Operaciones
(I.O.)
• Es la aplicación del método científico para
asignar los recursos o actividades de forma
eficiente, en la gestión y organización de
sistemas complejos
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones
• Requiere un enfoque interdisciplinario

5. Historia de la I.O.
• Se aplica por primera vez en 1780
• Antecedentes:
– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)
– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)
– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann
(años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª
Guerra Mundial para resolver problemas de
organización militar:
- Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo,
colocación de minas,…

6. Historia de la I.O.
• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la
industria, debido a:
– competitividad industrial
– progreso teórico
• RAND, Research ANnd Development Corp. (Dantzig)
• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)
• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)
– gran desarrollo de los computadores:
* aumento de la capacidad de almacenamiento de
datos
* Incremento de la velocidad de resolución de los
problemas.

7. Actualidad de la I.O.
• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos
sectores, con grandes avances sobre todo en el
campo de la Inteligencia Artificial
• Más información:
– Association of European O.R. Societies (EURO)
• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)
• www.informs.org
– International Federation of O.R. Societies (IFORS)
• www.ifors.org
– Instituto Chileno de Investigación Operativa (ICHIO)
• http://www.ind.utfsm.cl/ichio/

8. El método de la I.O.
• Definición del problema
• Formulación del problema y construcción del
modelo
• Resolución
• Verificación, validación, refinamiento
• Interpretación y análisis de resultados
• Implantación y uso extensivo
A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción
constante entre el analista y el cliente

9. Definición del problema
• Consiste en identificar los elementos de
decisión
– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)
– alternativas
– limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los
datos pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las
decisiones sean útiles
• "El Administrador Como un Definidor" del
profesor Oscar Johansen

10. Factores problemáticos
• Datos incompletos, conflictivos, difusos
• Diferencias de opinión
• Presupuestos o tiempos limitados
• Cuestiones políticas
• El “cliente” (tomador de decisiones) no tiene una idea
firme de lo que quiere realmente (SDLC vs “CLDS”)
Plan de trabajo:
Observar
Ser consciente de las realidades políticas
Decidir qué se quiere realmente
Identificar las restricciones
Búsqueda de información permanente

11. Formulación del problema
• Modelo: representación simplificada de la
realidad, que facilita su comprensión y el
estudio de su comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y
capacidad de representación
• Modelo matemático: modelo expresado en
términos matemáticos
– hace más claras la estructura y relaciones
– facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores
– a veces no es aplicable

12. Construcción del modelo
• Traducción del problema a términos
matemáticos
– objetivos: función objetivo
– alternativas: variables de decisión
– limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son
demasiado complejas
– heurísticos
– simulación

13. Modelado matemático
• Paso 1.- Identificar las variables de decisión
¿Sobre qué tengo control?
¿Qué es lo que hay que decidir?
¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?
• Paso 2.- Identificar la función objetivo
¿Qué pretendemos conseguir?
Si yo fuese “el jefe” ¿qué me interesaría más?
(Costo de Agencia y Supuestos de Racionalidad)
• Paso 3.- Identificar las restricciones o factores que limitan la
decisión
Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material)
Fechas límite
Restricciones por la naturaleza de las variables (no
negatividad, enteras, binarias)
Restricciones por la naturaleza del problema
• Paso 4.- Traducción de los elementos básicos a un modelo
matemático.

14. Resolución del modelo
• Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada
– Técnicas existentes, modificación, creación o heurísticos.
• Paso 2.- Generar las soluciones del modelo
– Algoritmos, Programas computacionales, Solvers.
• Paso 3.- Comprobar/validar los resultados
– Probar la solución en el entorno REAL
• Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el
modelo matemático
– Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos, relajar o
endurecer aproximaciones, revisar restricciones
• Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad
– Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente a
posibles cambios (principalmente en PARAMETROS)

15. Tipos de modelos
• Determinísticos
– Programación
matemática
• Programación lineal
• Programación entera
• Programación dinámica
• Programación no lineal
• Programación multiobjetivo
– Modelos de transporte
– Modelos de redes
• Probabilísticos
– Programación
estocástica
– Gestión de inventarios
– Fenómenos de espera
(colas)
– Teoría de juegos
– Simulación

16. “Guía general” para la formulación de modelos
Identificación de los elementos básicos.
Expresar en palabras:
• Datos del problema
– Factores que no son susceptibles de cambio
• Variables de decisión
– Variables sobre las que se tiene control
• Restricciones
– Causas por las que la decisión está limitada
• Función objetivo
– Medida del rendimiento que se quiere optimizar

17. Ejemplo nº1
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y
negra. Su precio de venta es de 0,5 euros/l y 0,3 euros/l,
respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de
3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 euros de materias primas
por cada 10.000 l.
La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y
10.000 euros para materias primas, y desea maximizar su
beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

18. Formulación
2
1 000
.
3
000
.
5
z
M x
x
ax 

0
000
10
000
2
000
5
15
5
3
2
1
2
1
2
1





x
,
x
.
x
.
x
.
x
x
.
a
.
s

19. Definir las
Variables de Decisión
x1 , x2 , . . . . xn
Función
Objetivo Maximizar ó min f( x1 , x2 , . . . . xn )
g1( x1 , x2 , . . . . xn )  b1
g2( x1 , x2 , . . . . xn )  b2
gm( x1 , x2 , . . . . xn ) = bm
.
.
.
.
.
.
Restricciones
Sujeto a:
x1 , x2 , . . . . xn  0
Modelo Matemático

20. Cuando la función objetivo y todas
las Restricciones Son “Lineales” tenemos un
“Modelo de Programación Lineal.
Max Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
Sujeto a: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn  b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn  b2
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn  bm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xJ  0 Para J = 1, 2, 3, . . . n
Programación Lineal

21. El modelo de P.L.
z: función objetivo
CT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.
XT (x1,...,xn): vector de variables de decisión
A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos
b (b1,...,bm): vector de demandas
Matricialmente,
Opt CTX
s.a.
AX b
x  0
Forma canónica

22. Modelos de prog. entera
• El modelo matemático es el modelo de P.L.,
pero con algunas variables enteras
– Programación entera mixta (MIP)
• x  R+, y  Z+
– Programación entera pura (IP)
• x  Z+
– Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)
• x  {0,1}: variables de asignación, lógicas
• Son problemas más complicados de resolver
que los de P.L.
• El primer algoritmo de resolución se planteó en
el año 1958 (Gomory)

23. Problemas típicos
• Problema del transporte
• Problema de flujo con coste mínimo en red
• Problema de asignación
• Problema de la mochila (knapsack)
• Problema del emparejamiento (matching)
• Problema del recubrimiento (set-covering)
• Problema del empaquetado (set-packing)
• Problema de partición (set-partitioning)
• Problema del coste fijo (fixed-charge)
• Problema del viajante (TSP)
• Problema de rutas óptimas

24. Planificación de la producción
Product - mix
• Decidir nº de productos a elaborar
• Maximizar los beneficios de modo que:
• No se superen las cantidades de recurso disponibles
• se satisfagan las previsiones de demanda
Max z = ∑ cj . Xj n= nº de productos a elaborar
s.a. ∑ aj . Xj ≤ bj m = nº de recursos disponibles
Xj ≤ Uj ci = beneficio aportado por 1 unidad del producto i.
Xj ≥ Lj bj = cantidad del recurso j disponible.
Xj ≥ 0 aij = unidades del recurso j necesarias par producir 1 del i.
Ui = máxima venta potencial producto i.
Li = cantidad mínima requerida del producto i

25. Planificación de la producción
Product – mix con costes en los recursos
• Decidir nº de productos a elaborar
• Maximizar los beneficios de modo que:
• No se superen las cantidades de recurso disponibles
• se satisfagan las previsiones de demanda
Max z = ∑ cj . Xj ─ ∑ cj . Xj n= nº de productos a elaborar
m = nº de recursos disponibles
s.a. ∑ aj . Xj = Yi
ci = beneficio aportado por 1 unidad del producto i.
bj = cantidad del recurso j disponible.
rj = coste de 1 unidad del recurso j.
Y i ≤ bj
Xj ≤ Uj aij = unidades del recurso j necesarias par producir 1 del i.
Xj ≥ Lj Ui = máxima venta potencial producto i.
Li = cantidad mínima requerida del producto i
Xj ≥ 0

26. Mezclas de materiales
• Encontrar la cantidad de cada producto que va
a intervenir en la mezcla
• Minimizar gastos
• Teniendo en cuenta los requerimientos (de
calidad) exigidos.
Min z = ∑ cj . Xj
s.a. ∑ Xj = T
∑ aij . Xj ≤ cmaxi . T
∑ aij . Xj ≥ cmini . T
0 ≤ Xj ≤ Uj
( ∑ dj . Xj = T)

27. Problema del transporte
• Distribuir un bien desde m orígenes a n
destinos
• Minimizar el coste
• Min z = ∑ ∑ cij . Xij
s.a. ∑ xij ≤ si
∑ xij ≥ di
xij ≥ 0
Oferta total: OT = ∑ Xj
Demanda total: DT = ∑ d j
Problema balanceado:

28. Problema del transporte
balanceado
OT = DT ; ∑ Xj = ∑ dj
Min z = ∑ ∑ cij . X ij
s.a. ∑ xij = si
∑ xij = dj
xij ≥ 0

29. Problema de asignación
 
1
0
1
1
1
1
,
x
m
..
i
,
x
n
..
j
,
x
.
a
.
s
x
c
Min
ij
n
1
j
ij
m
1
i
ij
m
1
i
n
1
j
ij
ij










 
xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j
cij: coste de realizar la tarea i con máquina j
n tareas
m máquinas
Si hay más máquinas que tareas se formula
con desigualdades, y se resuelve con tareas
ficticias
Minimizar el coste total de operación de modo que:
- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina
- cada máquina realice una y sólo una tarea

30. Vívi está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella
sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías,
pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio,
200 mgr. de proteínas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la
tabla formula el modelo PL que la ayudaría
ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KCALORIAS
LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 75 60
HUEVO 2 UNIDADES 75 80 50 15 $ 70 50
ESPINACAS 1 RACION 100 125 78 $ 100
CHULETAS 2 CHULETAS 25 10 55 $400 175
PESCADO 1 PRESA 150 50 100 50 $500 150
TORTA 2 TROZOS 30 5 8 $300 200