Rectas y planos en el espacio

1. Semana No. 2: Repaso de rectas y planos en el espacio
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
Agosto 1 de 2017
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2. Rectas
Una recta L del espacio está determinada de manera única por dos puntos distintos
sobre ella o por un punto y un vector paralelo a la recta (vector director (v.d.) de L.
Una ecucación en forma vectorial para la recta L que pasa por el punto
P(x0, y0, z0) con un v.d. d = d1, d2, d3 es
x, y, z = x0 + d1t, y0 + d2t, z0 + d3t , t ∈ R
Una ecucación en forma paramétrica para L es
x = x0 + td1, y = y0 + td2, z = z0 + td3, t ∈ R
Una ecucación en forma simétrica para L es
x − x0
d1
=
y − y0
d2
=
z − z0
z3
, si d1d2, d3 = 0.
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3. Rectas
Una recta L del espacio está determinada de manera única por dos puntos distintos
sobre ella o por un punto y un vector paralelo a la recta (vector director (v.d.) de L.
Una ecucación en forma vectorial para la recta L que pasa por el punto
P(x0, y0, z0) con un v.d. d = d1, d2, d3 es
x, y, z = x0 + d1t, y0 + d2t, z0 + d3t , t ∈ R
Una ecucación en forma paramétrica para L es
x = x0 + td1, y = y0 + td2, z = z0 + td3, t ∈ R
Una ecucación en forma simétrica para L es
x − x0
d1
=
y − y0
d2
=
z − z0
z3
, si d1d2, d3 = 0.
Posición reltaiva entres dos rectas
Sean L1 con un v.d. d1 y L3 con un v.d. d2.
L1//L2 si d1//d2.
L1 ⊥ L2 son paralelas si d1 ⊥ d2.
L1 se cortan L2 si L1 ∩ L2 = ∅.
L1 y L2 se cruzan si L1 no son paralelas L2 y no se cortan.
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4. Planos
Un plano P del espacio está determinado de manera única por un punto sobre él y un
vector perpendicular al plano (vector normal (v.n.) de P.
Una ecucación en forma escalar para el plano P que pasa por el punto P(x0, y0, z0)
con un v.n. n = a, b, c es
ax + by + cz = d,
con d = n · P.
Posición reltaiva entres dos planos
Sean P1 con un v.d. n1 y P3 con un v.d. n2.
P1//P2 si n1//n2.
P1 ⊥ P2 son paralelas si n1 ⊥ n2.
P1 y P2 se cortan P2 si P1 ∩ P2 = ∅.
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5. Taller No. 2: Rectas y planos
Considere las siguientes rectas
L1 : contiene los puntos P(2, 1, −1) y Q(1, 0, 2)
L2 : contiene el punto R(0, 1, 0) y es paralela a L1
L3 : x = 1 + t, y = 2 + t, z = 1 + 2t
L4 :
x − 3
−2
=
y − 3
−1
=
z + 1
2
y los planos
P1 : contiene por los puntos P(2, 1, −1), Q(0, 1, 2) y R(1, 0, 2)
P2 : contiene el punto T(1, 1, 0) y es paralelo a P1
P3 : x − 2y − 4z = 6
1 Hallar unas ecuaciones para L1 y L2.
2 Determine si L1 y L4 son paralelas.
3 Halle la posición relativa entre L3 y L4.
4 Hallar unas ecuaciones para P1 y P2.
5 Halle la posición relativa de P1 y P3. Si no son paralelos, halle la recta de
intesección.
6 Halle la posición relativa entre el plano P2 y la recta L4 . Si no son paralelos,
halle el punto de intersección.
7 Halle unas ecuaciones del plano que contiene a la recta L2 y el punto W(1, 1, 3).
8 Halle una ecuación de la recta que es perpendicular a la recta L3 y al plano P2 y
que pasa por el punto M(−1, 2, 4).
9 Demuestre que L3 y L4 se cortan y halle el plano que las contiene.
10 Halle el plano que contiene las rectas L1 y L2.
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