Secciones Cónicas

2. SECCIONES C ´ONICAS
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SECCIONES C ´ONICAS
SECCIONES C ´ONICAS
SECCIONES C ´ONICAS
Las secciones c´onicas son las curvas que obtenemos cuando hacemos un corte
recto en un cono, como se ve en la figura. Por ejemplo, si un cono se corta
horizontalmente, la secci´on transversal es una circunferencia. Entonces, una
circunferencia es una secci´on c´onica. Otras formas de cortar un cono
producen par´abolas, elipses e hip´erbolas.

4. SECCIONES C ´ONICAS
PAR ´ABOLAS
DEFINICI ´ON
Una par´abola es el conjunto de puntos del plano que son equidistantes con un
punto fijo F (llamado foco) y una recta fija l (llamada directriz). El v´ertice V
de la par´abola se encuentra a la mitad entre el foco y la directriz, y el eje de
simetr´ıa es la recta que corre por el foco perpendicular a la directriz.

5. SECCIONES C ´ONICAS
ECUACI ´ON DE LA PAR ´ABOLA
La gr´afica de una ecuaci´on de la forma
y = ax2
+ bx + c, a = 0
es una par´abola con eje vertical y las siguientes caracter´ısticas:
V´ERTICE en el punto −b
2a , a −b
2a
2
+ b −b
2a + c
CORTE CON EJE Y en el punto (0, c)
RA´ICES (CORTE(s) CON EJE X) cuando x = −b±
√
b2−4ac
2a
La par´abola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0

6. SECCIONES C ´ONICAS
EJEMPLO
La gr´afica de la ecuaci´on y = x2 − 2x − 3 tiene v´ertice en V (1, −4), corta al
eje y en y − 3 y corta al eje x cuando x = −1, x = 3
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
y
v´ertice
corte y
ra´ıces
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4

7. SECCIONES C ´ONICAS
EJERCICIOS
Para cada uno de los siguientes ecuaciones, determine el v´ertice, cortes con
los ejes (si los tiene) y realice la gr´afica de la par´abola.
y = −1
2x2 + x + 4
y = 4x2 + 4x + 1
y = x2 + 1
x = y2 − 2y − 3

8. SECCIONES C ´ONICAS
CIRCUNFERENCIAS
DEFINICI ´ON
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a una
distancia r de un punto fijo llamado centro.
La ecuaci´on de la circunferencia con centro en el punto h, k y radio r esta
dada por:
(x − h)2
+ (y − k)2
= r2
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
y
(h, k)
r−2
−1
1
2
3
4

9. SECCIONES C ´ONICAS
EJEMPLO
La gr´afica de la ecuaci´on (x − 3)2 + (y + 2)2 = 4 es una circunferencia de
radio r = 2 y centro en el punto C(3, −2)
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
y
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4

10. SECCIONES C ´ONICAS
EJERCICIOS
Realice la gr´afica de cada una de las siguientes circunferencias:
x2 + y2 = 16
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 1
x2 + y − 1
2
2
= 25
x2 + 2x + y2 = 0
Determine en cada caso la ecuaci´on de la citrcunferencia que cumple las
condiciones dadas:
Tiene centro en el punto C(3, −3) y tiene radio r = 4
Tiene centro sobre el eje x y pasa por los puntos A(−5, 0) y B(1, 0)
Tiene centro en el punto C(2, 3) y toca en forma tangencial al eje y

11. SECCIONES C ´ONICAS
ELIPSES
DEFINICI ´ON
Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de
distancias desde dos puntos fijos.
La ecuaci´on de la elipse con centro en el punto h, k, que tiene eje horizontal
de longitud 2a y eje vertical de longitud 2b es:
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
(h, k)
a
b
−2
−1
1
2
3

12. SECCIONES C ´ONICAS
EJEMPLO
La gr´afica de la ecuaci´on (x+1)2
4 + (y+2)2
16 = 1 es una elipse con centro en el
punto C(−1, −2), que se extiende 4 unidades en el eje x y 8 unidades en el
eje y
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2

13. SECCIONES C ´ONICAS
EJERCICIOS
Realice la gr´afica de cada una de las siguientes elipses:
(x−2)2
9 + y2
16 = 1
x2 + (y+3)2
16 = 1
4(x + 1)2 + 25(y − 1)2 = 100

14. SECCIONES C ´ONICAS
HIP ´ERBOLAS
DEFINICI ´ON
Una hip´erbola es el conjunto de todos los puntos del plano, cuya diferencia de
distancias desde dos puntos fijos es una constante.
Las ecuaciones de la hip´erbola con centro en el punto h, k, que tiene eje
horizontal de longitud 2a y eje vertical de longitud 2b son:
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
(h, k)
a
b
−2
−1
1
2
3
(y − k)2
b2
−
(x − h)2
a2
= 1
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
(h, k)
a
b
−2
−1
1
2
3

15. SECCIONES C ´ONICAS
EJERCICIOS
Realice la gr´afica de cada una de las siguientes hip´erbolas:
(x−2)2
9 − y2
16 = 1
(y+3)2
16 − (x+1)2
16 = 1
(x + 1)2 − 9(y − 1)2 = 9