POLIGONALES CERRADAS Y ABIERTAS Y SU RESPETIVO CALCULO

POLIGONALES
CARRERA: TOPOGRAFIA Y GEODESIA
CURSO: LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
PROFESOR: JHONATAN ALMENARA LUCANA

Pontificia Universidad Católica del Perú
TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
POLIGONALES
• Definición
• Tipos de Poligonales
• Cálculo y Ajuste de Poligonales Cerradas

-
224
- POLIGONALES
Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y
direcciones se determinan a partir de mediciones en campo.
Las poligonales se usan para establecer puntos de control y puntos de
apoyo para el levantamiento de detalles, replanteo de proyectos y para
el control en la ejecución de obras.
PUNTO DE
CONTROL

Profesor: José L. Reyes
VERTICES DE LA POLIGONAL
Los vértices de las poligonales se materializan en campo mediante
hitos de concreto.

VERTICES DE LA POLIGONAL

TIPOS DE POLIGONALES
Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. Sólo las poligonales
cerradas permiten obtener un control sobre la precisión obtenida.
Las poligonales abiertas se usan normalmente para propósitos
exploratorios.
Poligonal cerrada Poligonal abierta

POLIGONALES CERRADAS
• Son aquellas que se inician y finalizan en el mismo vértice o en vértices
diferentes
pero de coordenadas conocidas.
• Proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas.
• Se emplean en levantamientos de control, levantamientos de detalles o
replanteos de obras.
D
B
N
Az
A (1000,1000,100)
Poligonal cerrada

C



Una poligonal cerrada queda definida por:
• Sus lados
• Sus ángulos interiores
• Las coordenadas de un vértice, que pueden
ser arbitrarias o verdaderas
• El azimut del lado de partida.

Caso 1:
• Punto de control (A) con coordenadas arbitrarias.
• Norte magnético obtenido con brújula.
A
D
B
NM
Az


(1000,1000,100)
C


CASOS DE POLIGONALES CERRADAS
Dependiendo de la naturaleza del azimut (magnético o geográfico) y las
coordenadas del vértice de partida (absolutas o relativas) es posible tener los
siguientes casos:
Caso 2:
• Punto de control (A) con coordenadas arbitrarias.
• Norte arbitrario.
A
D
B
N


(1000,1000,100)
C


AB
Azimut = 0

Caso 3: • Conocidos dos puntos de control con coordenadas verdaderas (UTM)
La información de los puntos de control se adquiere en el IGN (Instituto Geográfico
Nacional)
D
NG
Az
A (XA,YA,ZA)

C



(XB,YB,ZB) B
E
N
XA XB
YA
YB
B
Az
A
AzAB = arctan
(x B
(y B  y A )
 xA )

Caso 4:
Con la brújula se ubica el norte magnético. Luego con el valor de la declinación
magnética () se halla el norte geográfico.
• Conocido un punto de control y la declinación magnética
D
B
NG



NM

A(XA,YA,ZA)
C


Previo al trabajo de campo y como guía del mismo deben determinarse los
errores de cierre admisibles tanto para control horizontal como vertical.
Una vez determinadas las estaciones de la poligonal (X,Y,Z) se determinarán
los detalles topográficos.
(x,y,z)
(x,y,z)

CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
Solucionar una poligonal consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de
cada vértice.
Procedimiento:
1. Cálculo y compensación del error de cierre angular.
2. Cálculo de azimutes de los lados de la poligonal.
3. Cálculo de las proyecciones de los lados.
4. Cálculo del error de cierre lineal.
5. Compensación del error lineal.
6. Cálculo de las coordenadas de los vértices.

AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS
1. ERROR DE CIERRE ANGULAR:
Una vez establecidos los vértices de la poligonal se procede a medir sus ángulos
internos y las distancias de cada lado.
Debido a errores instrumentales y operacionales no siempre la suma de los ángulos
medidos coincide con la suma geométrica.
El error angular (ea) esta dado por la diferencia entre el valor medido en campo y el
valor teórico.
ai : ángulo interno poligonal
n : número de vértices o lados de la poligonal
n
eα  αi 180º(n  2)
i1

Tolerancia a n
a: aproximación del equipo
n : número de vértices o lados
1. ERROR DE CIERRE ANGULAR (continuación):
Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular:
La tolerancia se determina a partir de la teoría de propagación de errores:
f= i=1+2+….+n

Si ea es mayor que la tolerancia se procede a medir nuevamente los ángulos de la
poligonal.
Si ea es menor que la tolerancia se procede al ajuste angular; repartiendo el error
entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud
del ángulo medido.
n
Cα
 eα
Por ejemplo, si el equipo utilizado en la medición angular tiene una precisión de 20”,
se asume que el error repartido en cada vértice es 20”. Por tanto el error admisible
(tolerancia) se considera igual a:
C : corrección angular
e : error angular
n: número de vértices

2. CÁLCULO DE AZIMUTES:
Los azimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un azimut
conocido y de los ángulos medidos.
El azimut de BC   será :
BC
B
    
BC AB
siendo
B
 180  
luego
     180
BC AB
AB
N
B
C
A
AB
BC

B
Datos:
Azimut AB = AB
Angulo en B = 
Azimut BC = BC = ?

2. CÁLCULO DE AZIMUTES (continuación):
Generalizando el cálculo de azimut, tenemos la siguiente ecuación aplicable a
poligonales etiquetadas en sentido anti-horario.
ϕi = ϕi−1 + i ± 180º
ϕi = azimut del lado
ϕi-1 = acimut anterior
i = ángulo interno en el vértice
Aplicando los siguientes criterios:
Si (ϕi−1 + i ) < 180º
Si (ϕi−1 + i ) ≥ 180º
Si (ϕi−1 + i ) ≥ 540º
se suma 180º
se resta 180º
se resta 540º (los azimuts son menores a 360º)

3. CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS:
Las proyecciones de los lados de la poligonal se calculan en función de los azimuts y
distancias de los lados, aplicando las siguientes ecuaciones:
ProyN  Distancx Cos(Az)
ProyE  Distancx Sen(Az)
N
E
B
ProyNAB(+)
D


A

C ProyEBC(-)

NBC
Proy (+)
ProyECD(-)
ProyNCD(-)
ProyNDA(-)
ProyEDA(+)
ProyEAB(+)

Pero esto no se cumple debido
a los errores instrumentales y
operacionales en la medición
de distancias. Por lo tanto se
tendrán errores en las
proyecciones Este y Norte:
n
eEste  ProyEste
i1
n
eNorte  ProyNorte
i1
4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:
La suma de proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero. De manera
similar la suma de proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero.
N
E
D


A

B
ProyNAB(+)
NBC
Proy (+)
CProyEBC(-)

ProyECD(-)
ProyNCD(-)
ProyNDA(-)
ProyEDA(+)
AB
ProyE (+)

e
2
Norte
2
Este
L
 e
e 
Y la precisión lineal de la poligonal estaría dada por:
Perímetro eL
Precisión 1
4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación):
El error de cierre lineal será:
D
A
A’
eEste
eNorte

5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:
Determinado el error lineal se verifica que éste sea menor a la tolerancia
lineal
especificada por las normas, condiciones topográficas y precisión de los equipos.
El método de compensación depende de la precisión lograda por los
instrumentos y procedimientos empleados en la medición.
Algunos de los métodos de compensación utilizados son: el método de la
brújula, el del tránsito, el de Crandall, el de los mínimos cuadrados, etc.
Actualmente los equipos han igualado la precisión obtenida en la medición de
distancias con la precisión obtenida en la medición angular, lo que hace al
método de la brújula el método más adecuado para la compensación del error
lineal, no sólo por asumir esta condición sino por la sencillez de los cálculos
involucrados.

5.COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuacion):
Método de la Brújula:
Método propuesto por Nathaniel Bowditch (1800) y es el más utilizado en los
trabajos normales de topografía. El método asume que :
Los ángulos y distancias se miden con igual precisión.
El error ocurre en proporción directa a la distancia
Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.
Perímetro
) Lado
Norte
Norte
C (e
Perímetro
) Lado
Este
Este
C (e

Lado Distanc. amed acorreg Az ProyN ProyE CNorte CEste
ProyNcorr ProyEcorr X Y
Corr_Poligonal_
UPC.xls
Perim ∑∝ i eNorte eEste
ProyN Distanc xCos(Az)
ProyE Distanc xSen(Az)
ProyNcorr
ProyN CNorte
ProyEcorr
ProyE CEste
Perímetro
CNorte (eNorte) Lado
Perímetro
CEste (eEste ) Lado
6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES:
Las coordenadas de los nuevos vértices se determinan sumando a las coordenadas del vértice
anterior las proyecciones corregidas. Es recomendable trabajar de manera tabulada:

ITEP
Curso: LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
Ubicación:
Levantado por:
Calculado por:
Fecha: Equipo:
Coordenada de A (X,Y) =
Azimut de AB ( º ' " ) =
Wild T1
X=2000 Y=1000
144º 29' 48''
Revisado:
Vertice Lado Distancia (m) Azimut( º ' " ) Vertice
A AB 380.390 B
B BC 326.855 77 º 4 ' 37 '' C
C CD 278.120 D
D DE 252.200 20 347 º 2 ' 54 '' E
E EA 386.262
0 53 º 46 ' 34 ''
0 233 º 46 ' 34 ''
 1623.827 540 0 5 0
Proyecc. Corregidas
ProyNcorr ProyEcorr
-309.691 220.887
73.079 318.555
219.124 -171.273
245.769 -56.542
-228.281 -311.628
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
Perimetro
eLineal = 0.141
Exceso 1
11500
Numero de Vertices = 5
Error Angular ( " ) = 5
Error Admisible ( " ) = +/- 45
Correccion Angular ( " ) = -1 Restar a cada angulo
Restar a cada angulo Area = 14.10 Ha
Precisión =
Angulo Interno (  )
grad min seg
90 43 15
112 34 50
64 54 58
205 3 21
66 43 41
 corregido
grad min seg
90 43 14 144 º 29 ' 48 ''
112 34 49
64 54 57 321 º 59 ' 34 ''
205 3
66 43 40 233 º 46 ' 34 ''
0 0
0 0
540 0
CORRECCION DEPOLIGINAL - ESTACIONES ENSENTIDO ANTI HORARIO
Azimut Proyecciones
ProyN ProyE
-309.669 220.912
73.099 318.576
219.140 -171.255
245.784 -56.525
-228.258 -311.603
0.000 0.000
0.000 0.000
0.095 0.104
e N e E
Correciones
CNORTE CESTE
-0.022 -0.024
-0.019 -0.021
-0.016 -0.018
-0.015 -0.016
-0.023 -0.025
0.000 0.000
0.000 0.000
-0.095 -0.104
Coordenadas Vertice
X Y
2220.887 690.309
2539.442 763.388
2368.169 982.512
2311.628 1228.281
2000.000 1000.000 A
2000.000 1000.000
2000.000 1000.000
2220.887 690.309 B
A
E
D
C
B
N


POLIGONAL ABIERTA
Consiste en un conjunto de líneas consecutivas, en el cual el punto de partida y
llegada son diferentes.
La particularidad de este método radica en que el punto final no posee
coordenadas conocidas; por lo tanto no es posible establecer control de cierre
lineal. Es recomendable medir el azimut de dicho lado, para obtener así, por lo
menos el error angular y ser sometido al ajuste respectivo.

AREAS DE POLIGONALES CERRADAS
Método de Coordenadas:
Conociendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal se puede
calcular su área mediante sumas y restas de figuras conocidas.
N
E
A
B
C
D
E
2
D E
E D
2
E A
A E
2
D C
C D
2
C B
B C
2
B A (x x )
(x x )
(y y )
(x x )
(y y )
(x x )
(y y )
(y y )
x ) 
A 
(yA yB )
(x
i1
i1
i i1
2
n
A 
1
y (x  x )

-
247
-
AREAS DE POLIGONALES CERRADAS
Método de Coordenadas:
También puede usar la fórmula determinante de Gauss:
N
E
A
B
C
D
E
Norte
A YA
B YB
C YC
D YD
E YE
A YA
Este
XA
XB
XC
XD
XE
XA
2A = -  xAyB xByC ...... xEyA

 yAxB yBxC ....... yExA

:
Donde:

RELLENO DE UNA POLIGONAL
Consiste en obtener las coordenadas de puntos pertenecientes
a un terreno o construcción.
Dependiendo de las características de la zona de trabajo las
poligonales pueden ser interiores, exteriores o coincidentes con
los vértices del terreno en estudio.
C
A (1000,1000,100)
D
B
NM
Az
Poligonal exterior

Nos permite determinar el perímetro y
área del terreno.
Se efectúa un relleno interior para
obtener las curvas de nivel.
B
D
NM


A (1000,1000,100)

RELLENO DE UNA POLIGONAL
Poligonal coincidente con los vértices del terreno.
C


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