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- 2. Universidad Nacional Experimental del Táchira Gámez Valero Blanca Diplomado en Diseño de Ambientes Virtuales de Aprendizaje Universidad Francisco de Miranda MATEMÁTICA II ÁREA DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES
- 3. ÁREA DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES En el caso de coordenadas rectangulares, se consideran la integral sobre un intervalo de la forma 𝑎, 𝑏 En el que varía la variable independiente 𝑥; para el caso de coordenadas polares, se considerará un intervalo 𝛼, 𝛽 en el que varía 𝜃. Siguiendo con la analogía del caso de las coordenadas rectangulares, se considera una aproximación del área de la región limitada por las rectas 𝜃 = 𝛼, 𝜃 = 𝛽 y la curva 𝑟 = 𝑓 𝜃 .
- 4. Definición: Sea 𝑟 = 𝑟(𝜃) la ecuación en coordenadas polares de una curva y supongamos que 𝑟(𝜃) es continua e el intervalo cerrado 𝛼, 𝛽 . Se define el área de la región limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 como la integral 𝐴 = 1 2 𝛼 𝛽 𝑟 𝜃 2 𝑑𝜃 Ahora, vamos a graficar el área calculada, usando Geogebra Ejemplo 1: Calculemos el área que encierra la cardioide definida por la ecuación 𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃. Solución: Comenzamos colocando la fórmula para calcular el área en coordenadas polares
- 5. Ejemplo 2: Hallar el área encerrada por cada una de las siguientes curvas polares a) 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃, caracol convexo b) 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃, Rosa de 4 pétalos Solución a) : Iniciaremos graficando con apoyo de Geogebra la gráfica 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃, por simetría con respecto al eje polar, calculamos el área y multiplicamos por 2 𝑟 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
- 6. b) 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛2𝜃
- 7. Ahora, para calcular el área entre dos curvas definidas por las ecuaciones polares 𝑟 = 𝑟1 𝜃 y 𝑟 = 𝑟2 𝜃 , entre los rayos de ecuaciones 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽, se restan las áreas que encierran cada una de las curvas, observemos La figura siguiente: Entonces aplicamos la siguiente definición. Definición: El área de la región limitada por las curvas de ecuaciones polares 𝑟 = 𝑟1 𝜃 y 𝑟 = 𝑟2 𝜃 , y los rayos de ecuaciones 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 se define como 𝐴 = 1 2 න 𝛼 𝛽 𝑟2 𝜃 2 − 𝑟1 𝜃 2 𝑑𝜃
- 8. Ejemplo 1: Calcular el área encerrada por la circunferencia definida por la ecuación 𝑟 = 1 y que está fuera de la cardioide definida por la ecuación polar 𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃. Solución: Vamos a dibujar el área de las dos curvas para visualizar los límites de integración, y el área a sombrear, para ello es recomendable apoyarse en una calculadora gráfica, por ejemplo Geogebra La variable 𝜃 recorre el intervalo − 𝜋 2 , 𝜋 2 Entonces el área viene dado por:
- 9. A = Ejemplo 2: Hallar el área solicitada dadas dos curvas polares. a) Halle el área que está dentro de la circunferencia 𝑟 = 3𝑠𝑖𝑛𝜃, y fuera de la cardioide 𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃. b) Halle el área de la región exterior al cardioide 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 e interior a la circunferencia definida 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃. Solución a): Graficaremos con apoyo de Geogebra, calcularemos la intersección entre las curvas para calcular los límites de integración.
- 10. 𝑟 = 3𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃
- 11. Solución a): Graficaremos con apoyo de Geogebra, calcularemos la intersección entre las curvas para calcular los límites de integración. 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃
- 13. Ejercicios propuestos 1) Halle el área encerrada por cada curva polar, graficar usando calculadora gráfica y verificar resultados por calculadora de integrales. a) 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠3𝜃 b) 𝑟 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 c) 𝑟 = 3𝑠𝑖𝑛3𝜃 d) 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠3𝜃 e) 𝑟 = 2 − 𝑠𝑖𝑛3𝜃 2) Grafique y halle el área de la región que es común al interior de las dos curvas, emplee calculadora gáfica. a) 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 y 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 b) 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛2𝜃 y 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 c) 𝑟 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑟 = 2