Este documento presenta información sobre expresiones booleanas y mapas de Karnaugh. Explica que un estudiante de ingeniería necesita implementar un circuito lógico con tres variables pero solo conoce la tabla de verdad, y que los mapas de Karnaugh pueden usarse para simplificar la función booleana. Luego resume los conceptos clave como funciones booleanas, tablas de verdad, formas normales, leyes de Morgan y el método de Karnaugh para agrupar unidades y minimizar términos.

1. Departamento de Ciencias
MATEMÁTICA DISCRETA
SESIÓN 10: EXPRESIONES BOOLEANAS – MAPAS K

2. INTRODUCCIÓN
Circuito a compuertas
Un estudiante de ingeniería desea implementar un circuito a compuertas con tres
variables, pero sólo conoce el resultado de la tabla de verdad de su fórmula lógica.
Si la función booleana
resulta extensa. ¿De qué
manera podemos hacerla
más sencilla para su
implementación?
¿De qué forma podremos
expresar dicha fórmula
como una función
booleana?
X Y Z
Resultado
F (x y z)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

3. SABERES PREVIOS
SONDEO – VIDEO CONFERENCIA
1
Leyes del Álgebra de Boole
2
3 Simplificación
Tablas de verdad

4. LOGRO DE SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante
simplifica funciones booleanas
utilizando leyes de equivalencia o
mapas de Karnaugh, identificando las
variables booleanas y su respectiva
tabla de verdad correctamente.

5. CONTENIDOS
1. Funciones booleanas
2. Propiedades de funciones booleanas
3. Mapas de Karnaugh .
4. Aplicaciones: Circuitos lógicos

6. Es un conjunto finito de símbolos, cada uno representa una variable o constante,
conectados mediante las operaciones de (+) o (.) o (´) del álgebra de Boole.
También se le denomina: “ función lógica booleana”
F = A + AB + A’ B
FUNCIÓN BOOLEANA

7. Forma normal disyuntiva (+)(1)
Una función normal disyuntiva es aquella que está escrita como una
suma de términos (SOP), en la cual cada término es un producto que
involucra todas las “n” variables con negación o sin ella; cada término
de denomina miniter o minimal.
f = xyz’+ x’yz + xyz’

8. Forma normal disyuntiva (+)

9. x y z F (x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Expresar en Forma Normal Disyuntiva
Se toman solo los (1)
F =
0
1
2
3
4
5
6
7
x´y´z xy´z
+ xyz´
+
Forma normal disyuntiva (+)

10. Forma normal disyuntiva (+)
Otro método para calcular la forma normal disyuntiva de F (x,y,z) es desarrollando y
simplificando el producto utilizando las propiedades de un Álgebra de Boole luego se
convierte en un polinomio y si faltara alguna variable se multiplica por 1 para aplicar la
propiedad del inverso para el 1.
Ejemplo: Halle la forma normal disyuntiva de la función:
Solución:

11. Una función normal conjuntiva es aquella que está escrita como un
producto de términos (POS), en la cual cada término es una suma que
involucra todas las “n” variables con negación o sin ella; cada término
de denomina maxter o maximal.
f = (x +y + z’) . (x’+ y +z ) . ( x + y + z’)
Forma normal conjuntiva (.)(0)

12. Forma normal conjuntiva (.)(0)
x y z F (x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Expresar en Forma Normal Conjuntiva
Se toman solo los (0)
F = (x + y + z´) . (x´ + y + z´)

13. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

14. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

15. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS
TEOREMAS DE MORGAN

16. Ingeniero de telecomunicaciones. Durante el periodo entre 1952 y 1966 trabajaba en
los laboratorios Bell, y en 1954 inventó el método (tabular) de simplificación de
funciones booleanas que llevan su nombre (método de Karnaugh).
Este método sirve para simplificar funciones de hasta seis variables de entrada.
MAPAS DE KARNAUGH

17. • Es una forma de simplificar funciones.
• Es equivalente a resolver las simplificaciones por teoremas.
• El método de Karnaugh convierte una expresión a otra más
simplificada.
Tiene como características:
• Un mínimo número de términos en la expresión.
• Un mínimo número de variables en cada término de dicha
expresión.
MAPAS DE KARNAUGH

18. Este método es solamente válido para expresiones en las que el número de variables es
como mucho 6.
Los mapas de Karnaugh son diagramas cuadrangulares o rectangulares que tienen 2n
compartimientos o casillas, donde n es el número de variables lógicas consideradas.
El número binario que identifica cada fila de la tabla de verdad se hace corresponder con
las coordenadas binarias que identifican cada casilla del mapa K.
MAPAS DE KARNAUGH

19. MAPAS DE KARNAUGH

20. MAPAS DE KARNAUGH
Mapas K: ADYACENCIA FÍSICA. Solo se dá en forma horizontal y
vertical, no en forma diagonal.

21. MAPAS DE KARNAUGH
ADYACENCIA LÓGICA (adyacencia algebraica) . Esto quiere decir
que entre una casilla y otra solo cambia una variable.

22. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
1. Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede
contener ningún cero.
2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que
las diagonales están prohibidas.

23. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... unos.

24. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.
5. Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a un grupo. Aunque pueden pertenecer a
más de uno.

25. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
6. Pueden existir solapamiento de grupos.

26. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
7. La formación de grupos también se puede producir con las celdas
extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar
con la superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica en el
ejemplo.

27. REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
8. Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre y
cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es el
número de grupos ha de ser minimal.

28. Mapas K

29. Mapas K

30. F ABCD =
EJERCICIO 2:
Una Tabla de verdad resulta en el siguiente MAPA K. Escribe la expresión simplificada de
dicha función booleana

31. Mapas K
Ejemplo : Simplificar la función empleando MAPAS-K
F (x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’+ x y’ z’+ x y z’
Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son:
1 Convertimos la función en una suma de productos (FND) si es necesario.
2 Puede hacerse de dos maneras: Algebraicamente o construyendo la tabla de
verdad de la expresión booleana.
Identificamos cada uno de los miniter
F (x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’ + x y’ z’ + x y z’
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
0 1 2 4 6

32. Mapas K
X Y Z
Resultad
o
F (x y z)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
0
1
5
2
3
7
6
4
F (x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’ + x y’ z’ + x y z’
0 1 2 4 6
Lo llevamos a la tabla de valores
Luego al mapa-k

33. Mapas K
Agrupamos

34. Mapas K
X Y Z
X Y Z
X Y
0
1
X Y Z
X Y Z
X Y Z
X Y Z
Z
2
0
4
6
F (x y z) = X Y + Z

35. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.

36. METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
las dificultades encontradas?
¿Qué forma de simplificación
te parece la más conveniente?
¿Conoces otra manera de
obtener la forma simplificada
de una función booleana?

37. REFERENCIAS
▪ Epp Susana (2011). Matemáticas discretas con aplicaciones.
Cengage Learning Latinoamérica.
▪ Rosen Kenneth. Matemáticas discretas y sus aplicaciones.
▪ Trelles Oscar. Inducción a la Lógica.
▪ Kolman Bernard. Estructuras de matemática discreta para la
computación.

38. GRACIAS