Este documento explica el uso de mapas de Karnaugh para simplificar funciones lógicas obtenidas de tablas de verdad. Describe cómo construir mapas de Karnaugh para 2, 3 y 4 variables y cómo agrupar celdas adyacentes que contengan un 1 para simplificar la expresión lógica. El mapa de Karnaugh es una herramienta gráfica útil para convertir tablas de verdad en circuitos lógicos simplificados de manera ordenada.

1. MAPA DE KARNAUOH
Muy útil para simplificar nuestras ecuaciones lógicas que obtengamos cuando queremos
Diseñar algún circuito lógico
Para un circuito que tenga dos entradas
A
Circuito Digital( AND,OR,NOT)
B
X
Salidas digitales
Entradas digitales
TABLA DE VERDAD
EQUIVALENTE EN
DECIMAL
0
1
2
3
A
B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Algebraicamente tendríamos:
X= Ā B + Ā B +AB (Utilizando álgebra)X= Ā ( B + B )+ AB = Ā+AB
A+ ĀB=A+B
X= Ā +B Resultado simplificando.
Utilizando el Mapa de Karnauoh
Ā
A
X= Ā +B Resultado simplificando.
B
1
0
B
0
1
2
1
3
1
A
B
X

2. Para un circuito que tenga tres entradas
A
B
Circuito Digital ( AND,OR,NOT)
X
C
Salidas digitales
Entradas digitales
EQUIVALENTE EN
DECIMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1

5. ¿Què es un Mapa de Karnaugh?
Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación
de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea
implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.
Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.
Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la
fórmula se incluyen solamente lasvariables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".
Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.
F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C
Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.
Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B,
C)). Ver el diagrama arriba a la derecha.
La
La
La
La
La
La
primera fila corresponde a A = 0
segunda fila corresponde a A = 1
primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)
segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)
tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)
cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)
En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores
de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de
verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

6. Para proceder con la simplificación, se
crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc.
(sólo potencias de 2). Los "1"s deben estar
adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s
tenga el grupo, mejor.
La función mejor simplificada es aquella que
tiene el menor número degrupos con el mayor
número de "1"s en cada grupo
Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas
entre los grupos).
La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh.
- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna)
corresponden a B sin negar)
- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que
corresponde a A sin negar)
Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B
Ejemplo:
Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana:
F = ABC + AB C + A B C + A B C
Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F =
"1"
Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron
hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.
Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa
que hay una casilla que es compartida por los tres grupos.

7. La función simplificada es: F = AB + AC + BC. Grupo en azul: AB, grupo marrón: AC, grupo
verde: BC
Para que se ultiliza la tabla de verdad
La tabla de verdad es un intrumento utilizado para la simplificación de circuitosdigitales a
través de su ecuación booleana.
Todas las tablas de verdad funcionan de la misma manera sin importar la cantidad
decolumnas que tenga y todas tienen siempre una columna de salida (la última columna a la
derecha) que representa el resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas.
El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay +
1 (la columna de la salida).
El número de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden
lograr con las entradas y es igual a 2n, donde n es el número de columnas de la tabla de
verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida)
Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrán:
23 = 8 combinaciones (8 filas)
Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 posibles
combinaciones. Siendo el resultado(la columna salida) determinado por el estado de los
interruptores de entrada.
Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores, conocidos como
"compuertas lógicas" (compuertasAND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lógica
tiene su tabla de verdad.
Si pudiéramos ver con más detalle la construcción de las "compuertas lógicas", veríamos que
son circuitos constituidos por transistores, resistencias, diodos, etc., conectados de manera
que se obtienen salidas específicas para entradas específicas
La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis
de circuitos complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción
de circuitos integrados (ICs) que se componen de miles (o millones)
decompuertas lógicas.

8. Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy común que al final de un diseño se tenga
un circuito con un número de partes (circuitos integrados y otros) mayor al necesario.
Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que
optimizarlo (reducirlo).
Un diseño óptimo causará que:
- El circuito electrónico sea más simple
- El número de componentes sea el menor
- El precio de proyecto sea el más bajo
- La demanda de potencia del circuito sea menor
- El mantenimiento del circuito sea más fácil.
- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la implementación del circuito será
menor.
En consecuencia que el diseño sea el más económico posible.
Una herramienta para reducir las expresiones lógicas de circuitos digitales es la
matemáticas de expresiones lógicas, que fue presentada por George Boole en
1854,herramienta que desde entonces se conoce como álgebra de Boole.
Las reglas del álgebra Booleana son:
Notas:
(punto): significa producto lógico. + (signo de suma): significa suma lógica
Operaciones básicas en el algebra booleana
Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativa

9. Precedencia y Teorema de Morgan
Para asegurarse de que la reducción del circuito electrónico fue exitosa, se puede utilizar
la tabla de verdad que debe dar el mismo resultado para el circuito simplificado y el original.
El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para
convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado.
Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar
para resolver problemas con cualquier numero de variables de entrada, su utilidad practica se limita a
seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas , ya que los
problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un
programa de computadora.
Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para
demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres
ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad
correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:
1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa
K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad
corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

10. Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables.
la condicion A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que
la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En
forma similar, la condicion A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa
K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con
ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.
2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes
so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro
variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la
variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o
en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se
encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente).
Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del
renglon inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglon superior es adyacente al
cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la
parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo
izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna.
3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en
una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B,
AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha:

11. 4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la
salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres
variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo
que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.
Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los
cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se
denomina agrupamiento.
Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con
tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el
primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos términos sólo la
variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen sin cambio). Estos dos
términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que ésta
aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:
Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La
figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar
y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para
dar una resultante de X = A' B.
Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e
inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una
resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

12. La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos
unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son,
asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos
izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la
variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del
par inferior elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a
fin de obtener el resultado final para X.
Para resumir lo anterior:
El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en
forma complementada y no complementada.
Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro
unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios
ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b)
son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un
cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son
adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. los
renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran
adyacentes entre sí.

13. Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de
forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 - 13(a) los cuatro
cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El análisis de estos términos revela
que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no
complementada). De este modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede
demostrar de la siguiente manera:
Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que
contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos términos indica que
sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es
X = AD
Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.
El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las
expresiones indicadas para X. Para resumir:
El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen
en la forma complementada y no complementada.

14. Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se
denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. Cuando
porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados
agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los
ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así,
para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 14.
Para resumir:
El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma
complementada y no complementada.