Este documento presenta un ejercicio parcial de matemáticas para una clase de la Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica. Contiene 4 problemas matemáticos que involucran hallar un plano tangente, derivadas parciales, derivadas de funciones implícitas, y aproximaciones usando fórmulas de Taylor.

1. Universidad Nacional de Ingenieria
Facultad de Ingenier´ Geol´gica Minera y Metal´ rgica
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Semestre acad´mico 2012-II
e
[ Curso: Matem´tica III
a ]
EJERCICIOS PARCIAL
1. Hallar el plano tangente a la superficie
(x − 2)2 (y + 2)2
+ + z 2 = 10
4 9
que es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1, −1, 2) y (2, 2, −1) y es perpendicular al
plano x + y − z = 0
2. Sea la funci´n
o
x3 y 2


 si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x4 + 3y 4

0 si (x, y) = (0, 0)
a) Hallar D1 f (0, 0) y D2 f (0, 0), si existen.
b) ¿f es diferenciable en (0, 0)?
3. Las ecuaciones
x2 − ycos(uv) + z 2 = 0
x2 + y 2 − sen(uv) + 2x2 = 2
xy − senucosv + z = 0
definen implicitamente a x,y y z como funciones de u y v. Calcule xu y xv en el punto x = y = 1,
z = 0, u = π/2, v = 0
4. Considere la funci´n z = f (x, y) que, en los alrededores del punto (1, 1, 1), esta definida impli-
o
citamente por
z 3 + 3x2 y − y 3 z + y 2 − 3x − 1 = 0
obtenga la f´rmula de Taylor hasta el segundo orden de tal funci´n en el punto (1, 1, 1), con esta
o o
f´rmula, aproxime f (1,1, 0,9) y f (0,912, 1,087).
o
Lunes, 18 de Octubre del 2012