Este documento contiene 6 problemas de cálculo que incluyen el cálculo de límites, la continuidad de funciones y el cálculo de derivadas parciales. El documento presenta ejercicios para que los estudiantes practiquen y demuestren conceptos fundamentales de cálculo como límites, derivadas y continuidad.

1. UFSCar { C¶lculo 2. Turma C. Terceira lista de exerc¶
a ³cios.
2 o semestre de 2006. Prof. Jo~o C.V. Sampaio
a
1. Mostre que n~o existe cada um dos seguintes limites.
a
x xy
(a) lim p (b) lim 2
x!0 x2 + y 2 x!0 x + y 2
y!0 y!0
xy 2 x+y¡2
(c) lim 2 (d) lim .
x!0 x ¡ y 2 x!1 x¡y
y!0 y!1
sen(x2 + y 2 ) sen(x2 + y 2 )
2. Mostre que lim = 1, mas que n~o existe o limite lim
a .
x!0
y!0
x2 + y 2 x!0
y!0
2x2 + y 2
xy 3 xy 2
3. Mostre que lim = 0, mas que n~o existe o limite lim 2
a .
x!0 x2 + y 4 x!0 x + y 4
y!0 y!0
Sugest~o. Para o segundo limite, considere o caminho °(t) = (t2 ; t) (ou seja, x = y 2 ).
a
4. Veri¯que cada um dos limites enunciados.
x2 1
(a) lim p =0 (b) lim x sen 2 =0
x!0
y!0 x2 + y 2 x!0
y!0
x + y2
x2 y 2 x+y
(c) lim 6 = +1 (d) lim 3 = +1
x!0 x + y 6 x!0 x + y 3
y!0 y!0
5. Determine o conjunto dos pontos em que f (x; y) ¶ cont¶
e ³nua.
8 3 2 8
< x + x y ; se (x; y) 6(0; 0)
= < sen(xy)
; se x 60
=
(a) f (x; y) = x 2 + y2 (b) f(x; y) = x
: : y; se x = 0
1; se (x; y) = (0; 0)
8 xy
< µ ¶
; se (x; y) 6(0; 0)
= x¡y
(c) f (x; y) = jxj + jyj (d) f (x; y) = ln
: 0; se (x; y) = (0; 0) x2 + y 2
( 2 2
e¡1=(x +y ) ; se (x; y) 6(0; 0)
=
(e) f (x; y) =
0; se (x; y) = (0; 0)
Respostas. (a) descont¶
³nua somente em (0; 0); (b) cont¶³nua em R2 ; ³nua em R2 ;
(c) cont¶
³nua nos pontos (x; y) com x > y; (e) cont¶
(d) cont¶ ³nua em R2 .
@f @f
6. Calcule as derivadas parciais @x
e @y
.
x3 +y2
(a) f (x; y) = x3 y 2 ¡ x2 y 3 (b) f(x; y) = cos(xy) (c) f (x; y) = x2 +y2
2 ¡y 2
(d) f(x; y) = e¡x (e) f (x; y) = x2 ¢ ln(1 + x2 + y 2 ) (f) f (x; y) = [(x2 ¡ y 2 )10 + x3 y]2=3
Respostas.
(a) fx = 3x2 y 2 ¡ 2xy 3 , fy = 2x3 y ¡ 3x2 y 2 ; (b) fx = ¡y sen(xy), fy = ¡x sen(xy);
4 2 y 2 ¡2xy 2 2 3
(c) fx = x +3x +y2 )2 , fy = 2x 2y¡2x 2y ; (d) fx = ¡2xe¡x ¡y , fy = ¡2ye¡x ¡y ;
2 2 2 2
(x2 (x +y 2 )
3 2
2x y
2x
(e) fx = 2x ln(1 + x2 + y 2 ) + 1+x2 +y2 , fy = 1+x2 +y2 ;
(f) fx = 2 [(x2 ¡ y 2 )10 + x3 y]¡1=3 [20(x2 ¡ y 2 )9 x + 3x2 y],
3
fy = 2 [(x2 ¡ y 2 )10 + x3 y]¡1=3 [¡20(x2 ¡ y 2 )9 y + x3 ].
3