Este documento presenta la investigación sobre la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis Matemático en la Formación Inicial de Profesores. Expone el contexto, motivaciones, antecedentes, marco teórico inspirado en los Paradigmas Geométricos y Espacio de Trabajo Geométrico, y objetivos generales de estudiar la necesidad del trabajo en Análisis en las carreras de Pedagogía y aportar a la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis.

1. Hacia la construcción de un Espacio de
Trabajo del Análisis Matemático en la
Formación Inicial de Profesores
Romina Menares Espinoza
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Noviembre de 2012

2. Temas a tratar
I) Contexto y Motivación de la investigación
II) Antecedentes y Alcances
III) Objetivos
IV) Marco Teórico
V) Preguntas de investigación
VI) Algunas ideas
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3. Contexto Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• “Estudio del Espacio de Trabajo del Análisis en la
Formación Inicial de Profesores de Matemáticas”
(Tesis en desarrollo)
Doctorado de la PUCV, en convenio con Université
Denis Diderot Paris-7 y CINVESTAV.
• Proyecto FONDECYT 1110988: “Práctica de los
profesores debutantes: ¿su epistemología es
estable?”
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4. Motivación Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Creemos que los cursos de Análisis alcanzan un gran nivel de
complejidad. Artigue (1998) señala que en Francia, en
carreras donde se dictan estos cursos, existen altos niveles de
fracaso y en algunos casos, la deserción de los estudiantes a
estas carreras.
• Creemos que la realidad chilena no está muy alejada de eso.
• Pusimos, en particular, nuestra preocupación en la formación
inicial de profesores. En algunas universidades
En carreras de llegan a tener cursos
Pedagogía en llamados “Análisis Real”,
Matemáticas, en distintas aunque no existe un
universidades del país, consenso sobre aquellos
los estudiantes pasan conceptos que conforman
por cursos de hasta Creemos que no es un
un curso de Cálculo,
Cálculo en varias simple tema de nombres
digamos, infinitesimal, y
variables, y métodos cuándo pasamos a
numéricos… llamarlo Análisis… 4

5. Qué sucede en el colegio Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Lo que hay en los programas de estudio…
“a lo más se tratan límites, pero algebraicamente…”,
Pero se podría ahondar más: ¿qué sucede con el
tratamiento de los irracionales, de distintos tipos de
funciones, por ejemplo?
• Algunos ejemplos: Inecuaciones (en tercer año
medio, donde nunca antes se ha hablado, por
ejemplo, de función continua).
El tema es tratado con una técnica de resolución,
donde la desigualdad se invisibiliza, y el concepto es,
en instantes, tratado como una ecuación (Borello,
2007) 5

6. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Funciones: Se privilegia el registro algebraico (en el
sentido de Duval). Las operaciones se mecanizan. No
se saca partido al uso de gráficas (aparece solo como
una representación). No existe un trabajo de
gráficas, por ejemplo, mirar la suma de dos
funciones, o la inversa, o mirar su comportamiento al
infinito.
• Hoy los logaritmos no son estudiados como
funciones (aparecen antes). Las funciones
trigonométricas son tratadas solo como
identidades…se pierde el dominio, por ejemplo.
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7. Antecedentes y Alcances
Facultad de Ciencias
Instituto de
Michèlle Artigue (1998) Matemática
• Caracteriza las dificultades que los estudiantes tienen al
introducirse en el campo conceptual del Análisis y aborda el
ambiente general de insatisfacción generado por los cursos de
Cálculo en Francia.
Además se preocupa de examinar los beneficios y las
limitantes de las aproximaciones intuitivas basadas en el uso
de tecnologías informáticas, calculadoras y computadoras
(más privilegiadas)…
Otras investigaciones:
Tall, 1991, Artigue y Ervynck, 1992, Farfán, 1993
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8. Las dificultades ligadas a… Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
1. La complejidad matemática de los objetos básicos
de este campo conceptual: Los número reales, las
funciones y las sucesiones, objetos que, según
Artigue, están siempre en fase de construcción
cuando se empieza la enseñanza del Análisis.
2. La conceptualización de la noción de límite, que es,
según Artigue, la noción central del campo, y a su
dominio técnico.
3. La necesaria ruptura con modos característicos de
pensamiento del funcionamiento algebraico.
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9. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• En los Reales: Cuando se empieza la enseñanza del Análisis,
los estudiantes saben que su orden es denso…
“Existencia de números precedente (antecesor) y sucesor”.
Ejemplo: “ 0,999… antecesor de 1”. Epistemológicamente puede
quedar claro, pero ¿qué sucede a nivel cognitivo?
Más del 40% de estudiantes que ingresan a la universidad en
Francia creen que si dos números A y B satisfacen
∀n > 0, | A − B |< 1 / n , no son necesariamente iguales, sino
“infinitamente próximos”, de cierta manera, sucesores.
9

10. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Elija, entre las siguientes, la alternativa que a
usted le parezca correcta:
a.0,999…> 1
b.0,999…= 1
c. 0,999…< 1
10

11. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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12. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Elija, entre las siguientes, la alternativa que a
usted le parezca correcta:
a.0,999…> 1
b.0,999…= 1
c. 0,999…< 1
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13. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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14. (2) Dificultades ligadas al Facultad de Ciencias
concepto de límite Instituto de
Matemática
Noción de obstáculo epistemológico (Bachelard, 1938) (Cornu
1983, Sierpinska, 1985, Sierpinska, 1988, Scheider, 1991)
Bachelard: “El conocimiento científico no se desarrolla en un
proceso continuo, sino resulta del rechazo de formas previas
de conocimiento que se constituyen en obstáculos
epistemológicos.”
• El sentido común de la palabra límite… “barrera
infranqueable”, “último término de un proceso”. Restringir la
convergencia a la convergencia monótona.
• Sobre-generalización de las propiedades de procesos finitos a
procesos infinitos…sumas infinitas
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15. (3) Dificultades ligadas a la necesaria Facultad de Ciencias
ruptura con el pensamiento algebraico Instituto de
Matemática
La actividad matemática en Análisis se apoya en
competencias algebraicas, pero al mismo tiempo, en
la introducción al pensamiento analítico.
• Enriquecer la noción de igualdad. Desarrollar nuevos
métodos para probar igualdades.
• Idea de “proximidad local infinita”
∀ε > 0, | A − B |< ε
entonces A=B
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16. Marco Teórico Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Inspirado en:
“Paradigmas Geométricos y Espacio de Trabajo
Geométrico” (Houdement y Kuzniak, 1996,
1999,2006)
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17. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Paradigmas Geométricos
y
Espacio de Trabajo Geométrico
Houdement y Kuzniak
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18. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
I) Tres “estrategias” para abordar una propiedad
La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a dos ángulos rectos.
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19. Estrategia 1: Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
En una cartulina, dibuja un triángulo acutángulo, uno
rectángulo y uno obtusángulo. Luego realiza con cada
uno de ellos lo que se observa en la siguiente secuencia.
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20. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• ¿Qué ángulo forma la unión de los tres ángulos?
• ¿Qué puedes concluir acerca de las medidas de los
ángulos interiores de cada triángulo?
• ¿Se cumple esta propiedad en todo tipo de
triángulo?
( Los alumnos formulan conjeturas y verifican que los
ángulos interiores miden 180º.)
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21. Estrategia 2 Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Dibuja un triángulo cualquiera como el que
muestra la figura. Para ello, utiliza regla y
compás.
Contexto de
un software
geométrico
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22. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Copia los ángulos marcados del triángulo
uno al lado del otro de manera que
coincidan los vértices.
a) ¿Qué tipo de ángulo se forma?
b) ¿Cuánto mide ese ángulo?¿Qué puedes
concluir?
(Los alumnos logran darse cuenta que al
copiar y juntar los ángulos se forma un
ángulo de 180º )
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23. Estrategia 3 Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Sea ABC un triángulo cualquiera; <A, <B y <C
son las medidas de sus ángulos interiores, tal
como lo muestra la siguiente figura.
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24. Probaremos que <A+ <B+ < C =180° Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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25. Estrategia 4 Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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26. Paradigma Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Realizaciones científicas universalmente
reconocidas que, durante cierto tiempo,
proporcionan modelos de problemas y soluciones a
una comunidad científica.
Kuhn T., 1971. La estructura de las revoluciones científicas,
BREVIARIOS, p.13.
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27. Los paradigmas geométricos Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Estas geometrías no son jerarquizadas. El
horizonte de trabajo es diferente:
• Geometría Natural (GI)
• Geometría Axiomática Natural (GII)
• Geometría Axiomática Formal (GIII)
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28. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
El juego de ir
y volver entre La intuición, la
GI experiencia y el
el referente
razonamiento
teórico y la deductivo actúan
realidad es sobre los objetos
permanente. materiales, o
materializados,
Se utiliza una parte del debidos a la
referente teórico. Si percepción o al
esta es la geometría uso de los
artefactos.
de Euclides, ella no
está completamente
presente.
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29. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Hay una El razonamiento
mayor de validación se
GII funda sobre las
abstracción a
pesar que leyes hipotéticas
existe relación deductivas del
con la sistema
axiomático puesto
realidad. en juego.
Se utiliza una parte del
referente teórico.
En esta geometría, los
problemas para ser
resueltos no requieren
la “presencia” de todos
los axiomas.
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30. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Los objetos El razonamiento
GIII
geométricos en de validación en
esta geometría este paradigma
provienen de es
una axiomática exclusivamente a
elegida con toda través del sistema
la rigurosidad y El modelo geométrico
formal de
formalismo del proviene de un axiomas del
modelo. sistema formal de modelo
axiomas, donde la geométrico
lógica matemática es subyacente.
el motor.
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31. Espacio de Trabajo Geométrico
Facultad de Ciencias
Instituto de
ETG dinámico y cognitivo Matemática
Visualización Prueba
Espacio de
trabajo
Geométrico
Construcción
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32. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
32

33. ETG Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
Lugar organizado para permitir el trabajo de la
gente que soluciona problemas geométricos
(geómetras). Los individuos pueden ser
expertos (el matemático) o estudiantes de
matemáticas. Los problemas no son parte del
Espacio de Trabajo, pero ellos lo justifican y
motivan.
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34. Entonces… Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Nuestra idea es “guardar” (conservar) algunos
elementos que definen este espacio de
trabajo y adaptarlos a un nuevo espacio: el
Espacio de Trabajo del Análisis…conscientes
de la diferencia que existe en los
tratamientos, la visualización, los artefactos
que pudiesen existir, los medios para validar,
etc…entre la Geometría y el Análisis…
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35. Objetivos de la Facultad de Ciencias
investigación Instituto de
Matemática
• El objetivo general de la investigación es estudiar la
necesidad del trabajo en Análisis en las carreras de
Pedagogía y aportar a la construcción de un Espacio
de Trabajo del Análisis, que incluso se proyecte a la
construcción de un Espacio de Trabajo Matemático.
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36. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Se agregan tres elementos que articulan los dos planos (“en
los cuales el sujeto podrá apoyarse”): la intuición, la
experiencia y la deducción (Houdement y Kuzniak, 1999).
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37. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Esta idea evoluciona a las génesis.
“La apropiación del trabajo geométrico se hace
gradualmente y pasa por la colocación progresiva de
un ETG. La génesis global del ETG supone un
conjunto de génesis que no son independientes y
están en relación con los componentes del espacio
de trabajo geométrico o algunos de los procesos
cognitivos indispensables para su funcionamiento”
(Kuzniak, 2011, p. 8)
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38. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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39. Del ETG al ETM Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Plano epistemológico:
“la componente relacionada con el espacio y
configuraciones geométricas, debe ser cambiada. En
el caso del ETG, este componente está
estrechamente relacionado con la forma visible y
objetos concretos de una geometría específica…
creemos pertinente introducir la noción de signo o
representante, en el sentido de Peirce” (Kuzniak,
2011, p. 10). Por esto, el polo (por ahora) es llamado
“Representante” (o signo)
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40. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Plano cognitivo:
Podemos claramente conservar las nociones de prueba
y de construcción, pero el proceso de visualización
necesita una ré-interpretación. Debe ser asociado
con esquemas y operaciones de uso sobre los signos.
En el Análisis: Desde el principio del siglo XX, por
ejemplo, curvas pudieron ser introducidas para
comprender de manera geométrica ciertos teoremas
en apariencia extraños como el hecho de que una
función podía ser continua por todas partes y no ser
derivable en algún punto. 40

41. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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42. Funciones continuas Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• “Se puede dibujar sin levantar el lápiz”
• ¿Qué pasa con el dominio?
• Definiciones: Lima (Espacios Métricos)
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43. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
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44. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Más topológica…
Munkres (Topología):
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45. Algunas ideas Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• La génesis semiótica apunta a lo que el individuo
“cree” del objeto (la idea que se forma a nivel
mental). Esta puede observarse (y activarse) a través
de distintas representaciones. Por ejemplo, las
definiciones vivirán en el polo “Representante”.
Estas, dependiendo del paradigma, constituyen un
signo o un símbolo. El individuo se hará una idea y la
comunicará bajo la misma u otra representación.
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46. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Creemos también, que en el trabajo de los
matemáticos, este buscará la prueba , pero no
cualquiera, sino la demostración. Privilegiará el
trabajo en la génesis discursiva. Precisamos que
entenderemos por génesis discursiva no solo aquella
que utiliza el lenguaje natural, sino también el uso de
resultados, también expresados de manera
algebraica o de otra forma, para obtener
conclusiones, y en definitiva, una prueba. El tránsito
por las otras solo le servirá de apoyo (ejemplo)
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47. Facultad de Ciencias
Instituto de
Matemática
• Con el primer signo o representación, podemos trabajar con
algunas funciones, y desplazarnos al polo “Prueba”. Sin
embargo, tal vez hay elementos que se pierden, por ejemplo,
considerar el dominio de la función.
• Aparecen problemas cuando consideramos funciones reales
definidas, por ejemplo, por
1
f ( x) =
x
• El problema es peor aún cuando tenemos la función definida
por:
1
f ( x) =
x
• El dominio es el mismo para ambas, pero “visualmente” se
pueden decir cosas distintas…¿Puedo concluir algo circulando
desde la visualización?
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48. Referencias Facultad de Ciencias
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Matemática
• Duval, R. (1995), Sémiosis et pensée humaine. Éditions Peter Lang, coll.
Exploration, Recherches en sciences de l'éducation. Berne, Suisse.
• Houdement C., Kuzniak A. (2006). Paradigmes géométriques et
enseignement de la géométrie. Annales de didactique et de sciences
cognitives. 11. 175-193. IREM de Strasbourg.
• Houdement C., Kuzniak A. (1999). Géométrie et paradigmes
géométriques. Petit x. 51. 5-21. Ed. IREM de Grenoble.
• Houdement, C. Kuzniak A. (1996). Autours des stratégies utilisées pour
former les maîtres du premier degré en mathématiques, Recherches en
didactique des mathématique, 16(3), 289-321.
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49. Facultad de Ciencias
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Matemática
• Kuzniak, A. (2004). Paradigmes et espaces de travail géométriques. Note
pourl’habilitation à diriger des recherches. Paris: IREM Paris 7.
• Kuzniak, A. (2011). L'espace de Travail Mathématique et ses genèses.
Annales de didactique et de sciences cognitives, 16, 9-24.
• Kuzniak, A. (2011). Understanding geometric work through its
development and its transformations. Laboratoire de Didactique André
Revuz, University Paris-Diderot, Paris, France.
• Lima, E. (1978). Espacos métricos. Segunda edición. Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, Brasil.
• Montoya E. (2010). Etude de la transformation des connaissances
géométriques dans la formation universitaire des professeurs de lycée de
mathématiques au Chili. Tesis Doctoral,Université París Diderot-Paris 7.
• Vandebrouck, F. (2011) Points de veuet Domaines de Travail pour l’etude
des Fonctions. En prensa.
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50. Facultad de Ciencias
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Matemática
Gracias….
50