Guia instruccional tópicos de matemática

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
(Código 575)
GUIA INSTRUCCIONAL
(VERSIÓN PRELIMINAR)
Sólo para uso instruccional
Sin valor comercial
Lic. María A. Arocha. S.
EDUCACIÓN
Mención: Matemática
Caracas, Febrero 2006

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
SUBPROGRAMA DISEÑO ACADÉMICO
ÁREA: EDUCACIÓN
CARRERA: EDUCACIÓN – MENCIÓN MATEMÁTICA
TÓPICOS DE MATEMÁTICAS
Código: 575
Semestre: VII
U. C.: 4
Carrera. Educación
Mención: Matemática
Código: 508
Tipo de material: Guía Instruccional (Versión
Preliminar)
Compilador: Lic. María A. Arocha. S
Comité Técnico:
Caracas, Febrero 2006

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TÓPICOS
DE
MATEMÁTICA
ÍNDICE
Introducción……………………………………………………………………………… 5
Modulo I: Tópicos de Matemáticas aplicado al ámbito del
saber………………………
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Unidad I. LECCIÓN 1.
1.1. LA HISTORIA Y LA MATEMÁTICA DISCRETA
1.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS
LECCIÓN 2.
2.1. TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO
2.2. RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN
2.3. ALGORITMOS
8
9
13
14
18
Módulo II. Tópicos de Matemáticas aplicado a la equidad en la toma
de decisiones.
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Unidad II. LECCIÓN 3.
3.1. GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS)
LECCIÓN 4.
4.1. MATRICES
LECCIÓN 5
5.1. OPTIMIZACIÓN Y VIABILIDAD
Unidad III. LECCIÓN 6.
6.1. ECUACIONES EN DIFERENCIA
LECCIÓN 7.
7.1. SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN
LECCIÓN 8
8.1. CLASIFICACIÓN Y PARTICIÓN
20
20
21
23
35
47
Módulo III. Tópicos de Matemáticas aplicado a la vida cotidiana. 50
Unidad IV. LECCIÓN 9.
9.1. CRECIMIENTO
9.2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL CAOS
51
52

4
LECCIÓN 10.
10.1. FRACTALES
10.2. CAOS E INTERACCIÓN
Unidad V. LECCIÓN 11.
11.1. LÓGICA BORROSA – TEORÍA DE CONJUNTOS
BORROSOS
LECCIÓN 12.
12.1. DIAGRAMA DE VORONOY
LECCIÓN 13
13.1. TRABAJOS PRÁCTICOS CON APLICACIONES
EN OTRAS ÁREA
54
58
60
60
61

5
INTRODUCCIÓN
El curso Tópicos de Matemáticas es de carácter obligatoria teórico – práctico,
está ubicado en el diseño curricular de la mención Matemática en el VII semestre.
Esta asignatura se origina con la finalidad de ofrecerle al futuro docente de la
carrera de Educación Mención Matemática una serie de nuevos conceptos y formas de
pensamientos que le permitan:
 Situar la planificación de la instrucción dentro del contexto del proceso
curricular.
 Seleccionar y aplicar estrategias de enseñanza y procedimientos de evaluación,
acordes con su área de especialización.
 Ser capaz de diseñar programa de instrucción y materiales necesarios para
llevarlo a cabo dentro del aula.
 Que articule estos contenidos con otras áreas como son: biología, química,
ingeniería, informática, sociología, economía, etc.
Con este curso el docente podrá concretar aspectos estudiados en otras
materias en su vinculación con temas específicos de la matemática y que le dan
sentido al Currículo Matemático, a la Evaluación Matemática y a los Materiales
Instruccionales diseñados con fines específicos.
Este curso contribuirá a definir el quehacer cotidiano del docente en su actividad
de aula, marcará las pautas fundamentales de su actividad profesional.
Queremos que el futuro docente de la Carrera de Educación Mención
Matemática se conforma a partir de habilidades, actitudes y conocimientos que aluden
a la acción docente en general. Por tal motivo es imprescindible en la discusión de
tópicos de matemáticas sobre cómo abordar los conceptos, principios, operaciones y
aplicaciones que se pongan de manifiesto en los temas como grafos, matrices,
problemas de optimización, sistemas ponderados de votación, técnicas de conteo, etc.
No se puede abordar en una asignatura, o carrera de enseñanza de todos los
conocimientos, destrezas y habilidades que deseamos tenga un docente. El presente es

6
un esfuerzo que pretende suministrar conocimientos y experiencias que le sirva como
futuro docente en el aula.
Para tener éxito en este curso, tome algunas recomendaciones que debes tener
en cuenta:
1. La metodología a seguir es propia de la enseñanza a distancia, por lo
tanto es eminentemente activa y el aprendizaje se fundamenta en las
actividades de lectura, conocimiento y reflexión y elaboración,
referidos a los contenidos del curso. En la medida que estudies cada
aspectos debes comenzar a elaborar tus propias opiniones, reflexiones
y transferir el conocimiento que va adquiriendo a otros contextos.
2. Revisa la unidad que vas a estudiar y el material de lectura disponible
para ello.
3. Debes tener muy presente cuál es el tema de la unidad que vas a
estudiar y la intencionalidad del objetivo.
4. Mientras lees, realiza un análisis e interpretación del material escrito,
bien sea de texto preelaborados, material compilado de diferentes
textos y publicaciones y/o material diseñado y producido en la
mención.
5. Luego debes proceder a desarrollar las actividades establecidas en
esta guía instruccional, para extraer los elementos utilizados en el
material bibliográfico en cuanto a sus aspectos conceptuales,
operatorios y de aplicación, y resolución de problemas.
6. En caso, que presentes alguna dificultad puede acudir al asesor o
comunicarte con el especialista en contenido.

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OBJETIVO DEL MODULO I.
OBJETIVO DE LA UNIDAD I.
CONTENIDO DE LA UNIDAD I.
Aplicar diferentes tópicos
de matemáticas en el
ámbito del saber humano
relacionados con su
origen histórico.
Explicar los distintos
tópicos de matemáticas
en el ámbito del saber
humano.
LECCIÓN 1.
1.1. LA HISTORIA Y LA MATEMÁTICA DISCRETA.
1.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS.
LECCIÓN 2.
2.1. TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO.
2.2. RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN.
2.3. ALGORITMOS.

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UNIDAD I.
LECCIÓN 1.
LA HISTORIA Y LA MATEMÁTICA DISCRETA
La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas
interesantes, unos ya resueltos y otros sin resolver, que ustedes como futuros
docentes podrán utilizar para motivar a nuestros alumnos a estudiarla y desarrollar
actitudes positivas hacia ella.
El uso de la historia de la matemática les permitiría a ustedes como futuros
docentes a acercase a esta ciencia desde un punto de vista humano, con el fin de que
nuestros alumnos comprendan que la matemática es simplemente creada por seres
humanos iguales que ellos.
Por tal motivo, un cierto conocimiento de la historia de la matemática, debería
formar parte indispensable del conocimiento del matemático general y del docente de
cualquier nivel, como lo son la Básica, Media Diversificada y Profesional.
Sin embargo, la historia de la matemática nos proporciona la aparición de
nuevas teorías y nuevas formas de pensamiento, por el intento de resolver una
situación, problemas, etc.
A raíz de la aparición de las computadoras, calculadoras científicas y
graficadoras, con su gran capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, su versatilidad,
potencia de representación gráfica, las posibilidades para la modelización sin pasar por
la formulación matemática clásica, nos ha abierto una multitud de campos diversos,
como lo es la Matemática Discreta.
La Matemática Discreta es la parte de las matemáticas que estudia objetos
discretos. La Matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas
tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos,
aritmética, grafos,...).
 Actividades
1.1.1. Usted deberá leer la Lectura 1: Matemática Discreta. Talleres
divulgativos “matemática en acción” de Francisco Santos que se
encuentra en la selección de lecturas.
1.1.2. Usted deberá hacer un análisis de la lectura realizada, con base a ese
análisis, responda ¿cree usted importante el uso de la matemática
discreta en el aula de Matemática? ¿qué implicaciones tendría el uso de
la matemática discreta si usted como docente debe desarrollar este
contenido?
Explicar los distintos
tópicos de
matemáticas en el
ámbito del saber
humano.

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1.1.3. Extraer los elementos utilizados en el material bibliográfico en cuanto a
sus aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación, y resolución de
problemas.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS.
La Resolución de Problemas Históricos, nos permitiría que nuestros alumnos
usen destrezas para resolver problemas: determinar cómo abordar un problema,
explicar el razonamiento y verificar sus resultados.
La resolución de problemas históricos debería ser una herramienta para
objetivos tales como:
a. Señalar los problemas abiertos en cada época, su evolución, la situación en la
que se encuentra actualmente.
b. Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya
interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.
Observe la siguiente lectura donde se utiliza la historia de la matemática desde un
enfoque de resolución de problemas
Elementos de Euclides: una aplicación de la historia al aula,
enfocada desde la resolución de problemas
Joaquín Fernández Gago
José Gutiérrez Bueno
Franc isc o Hinojosa Onieva
Damián Jiménez Vázquez
Emilio J. Muñoz Velasc o
El artíc ulo se enmarc a en el trabajo del Seminario Permanente de Historia de
las Matemátic as de Málaga. Se presenta aquí lo que fue una c lase en que se les
planteó a los alumnos una ac tividad c onstruida sobre la mediatriz, extraída del
Libro I de los Elementos de Euc lides. Metodológic amente, se enfoc a desde la
resoluc ión de problemas por ser éste el ambiente natural en las c lases del
grupo elegido.
Introduc c ión
La ac c ión del Seminario Permanente
de Historia de las Matemátic as de
Málaga tiene c omo eje el diseño de
ac tividades y su puesta en prác tic a en
las c lases a través del estudio – entre
otros temas – de la influenc ia del
c onoc imiento y de la utilizac ión de la
Historia de las Matemátic as en el
aprendizaje de su lenguaje. El hec ho
de c entrarse en Historia de la
Matemátic a está motivado, tal c omo se
señala en el Diseño Curric ular de la E.
S. O, por la reorganizac ión de
c onc eptos que hac e el alumno al
desenfoc arlos de su c ontexto c ientífico
ac tual.
Por ejemplo, en el c aso c onc reto del
lenguaje matemátic o se pueden
c omprender su arbitrariedad y su
efic ac ia al c omparar los métodos de
los griegos c on los de Fermat.

10
T ambién es de destac ar la importanc ia
de la historia para c ontribuir a que los
estudiantes aprec ien el papel que las
Matemátic as han jugado y siguen
jugando en el desarrollo c ientífico y en
el progreso de la humanidad.
Lo que aquí se presenta es produc to
de una c lase dirigida a los alumnos de
2º de BUP del Instituto de Bac hillerato
Lic inio de la Fuente, en Coín (Málaga).
En ella se promueve una dinámic a
partic ipativa orientada desde
c ontinuas preguntas, inc itando a que
el alumno busque las respuestas para
inc idir sobre la formac ión y
reestruc turación de sus c onoc imientos.
A la vez, se pretende que los alumnos
desarrollen su c apac idad de expresión
oral para obtener mayor prec isión en
el dominio del lenguaje matemátic o.
Esta ac tividad c ontiene muy poc o del
estilo deduc tivo de los Elementos de
Euc lides, ya que la estruc tura natural
de la c lase en que trabajamos es la
típic a de resoluc ión de problemas (en
el sentido que inic ió Polya)
Objetivos
1. Extraer el c onc epto de mediatriz de
su ac tual c ontexto c ientífic o,
enfoc ándolo primero desde un punto
de vista empíric o (previo al método
deduc tivo de los griegos), y después
desde la perspec tiva de la
geometría c lásic a (c onstruc c ión de
Euc lides)
2. Potenc iar el uso del lenguaje
algebraic o y observar sus ventajas e
inc onvenientes.
3. Relac ionar los c onc eptos de
distanc ia, ángulo, bisec triz,
mediatriz, rec ta, triángulo, lugar
geométric o.
4. Inc itar al alumno a entender un
problema por medio de preguntas
tipo: ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuál
es la inc ógnita?, ¿Cuál es la
c ondic ión?
5. Inc itar al alumno a usar y rec onoc er
estrategias para resolver
problemas: hac er más fác il el
problema y busc ar semejanzas c on
c onc eptos o problemas c onoc idos, o
esc oger una notac ión adec uada.
6. Favorec er el gusto por la c erteza,
inc itando a los alumnos a que
fundamenten sus propios
resultados.
7. Ver la matemátic a más c omo un
c onjunto de resultados estátic os.
8. Inc itar a los alumnos a utilizar el
método ensayo – error.
Motivac ión
Se c omienza planteando a los alumnos
el siguiente problema para que lo
intenten resolver c omo quieran.
¿Dónde situarías una fábric a que
equidista de dos pueblos separados
por una c adena montañosa?
 ¿Qué se te oc urre?
 ¿Cuántas posibilidades tienes de
c oloc ar la fábric a?
 ¿T e suena algo a la asignatura de
Dibujo?
Respuestas de los alumnos
En primer lugar observamos, al
pasar por sus banc as, que todos van
respondiendo que sólo hay una. Más
tarde afirman que dos. Ello es
porque anteriormente, c on otra
ac tividad, han c onstruido c on regla
y c ompás un triángulo equilátero.
En este punto pregunto: ¿Sólo hay
dos? Rápidamente responden que
hay infinitas, aunque algunas
todavía no lo tengan c laro. Es el
momento de reorganizar la
informac ión y ver en qué se han
equivoc ado. Pronto surgen
explic ac iones, afirmando que la
distanc ia de la fábric a a los pue blos
no tiene por qué ser la misma que
la distanc ia entre los pueblos.

11
Construc c ión euc lidiana
Ellos leen la que viene a
c ontinuac ión extraída de la
Proposic ión 10 del Libro de los
Elementos de Euc lides.
1) Llamamos AB al segmento que
queremos dividir en dos; a partir de
éste c onstruimos el triángulo
equilátero ABC.
2) Calc ulamos ahora la bisec triz del
ángulo ACB. Esta rec ta es la
busc ada.
(Para dibujar la bisec triz de un
ángulo, te será muy útil la
Proposic ión 9, o c ualquier libro de
Dibujo)
Para los alumnos no presenta
muc ho interés, pues prác tic amente
ellos la habían hec ho ya a partir de
la Motivac ión.
Ejerc ic ios
Les proponemos los siguientes:
1) En el triángulo equilátero ACB, la
altura dividía a la base en dos
partes iguales. ¿Es esto c ierto en
c ualquier triángulo? Intenta
Justific ar.
2) Se llama mediatriz (*) de un
segmento al lugar geométric o de los
puntos del plano que equidistan de
los extremos de dic ho segmento.
Esc ribe en c oordenadas c artesianas
la ec uac ión de la mediatriz de un
segmento: c omienza por ejemplo
c on los puntos A(3,0) y B(0,3).
¿Pasa la mediatriz por el punto
(0,0)? ¿y por (1’5,1’5)?. Responde
de dos formas distintas a esta
pregunta: por el dibujo y por la
ec uac ión de la rec ta. Hazlo ahora de
una forma más general eligiendo
dos puntos (x1,y1) y (x2,y2).
3) Busc a c inc o puntos que estén a la
misma distanc ia de A y que de B.
4) ¿Qué diferenc ia enc uentras entre lo
que hizo Euc lides y lo que has
hec ho tú en el ejerc ic io anterior?
¿Por qué Euc lides no usó
c oordenadas?
Alumnos: Sobre el primero se
observan por las banc as las
siguientes estrategias:
- Usar el teorema de Pitágoras. Su
razonamiento c onsiste en que las
partes en que queda dividido el
segmento son los c atetos de dos
triángulos rec tángulos iguales.
- Usar la trigonometría que ya
c onoc en: las partes en que queda
dividido el segmento c omo el
c oseno de un mismo ángulo.
- Doblando el papel por la altura
ellos ven que son iguales.
Respec to al segundo problema se
establec e un diálogo muy
interesante.
Profesor. Vamos a plantear el
problema: ¿Cuáles son los datos?,
¿c uál es la inc ógnita?, ¿c uál es la
c ondic ión?
Alumnos: Los datos son que distan
de los pueblos igual.
Profesor: ¡Mejor, eso lo ponemos en
la c ondic ión!
Alumnos: Los datos son los dos
puntos o pueblos.
Profesor: ¿Cómo los llamamos?
Alumnos: Por ejemplo A y B. (Surge
la siguiente pregunta) ¿Pero quiénes
son A y B?
Profesor: Como no los c onoc emos
hagámoslo más fác il y supongamos
que son dos puntos c onc retos del
plano, c omo por ejemplo A(3,0) y
B(0,3).
Centrémonos ahora en la c ondic ión.
Alumno: Y o tengo otra c ondic ión, y
es que la rec ta es la perpendic ular
que divide a la distanc ia AB en dos.
Profesor: Está muy bien pero queda
mejor expresado dic iendo que es la
perpendic ular al segmento AB que
pasa por el punto medio AB.
Bueno ¡ya podéis atac ar el
problema! Usemos la estrategia ¿A
qué os suena?
(Sigue a c ontinuac ión un silenc io
que no entiendo muy bien). Si, algo
de lo que tenemos esc rito en la
c ondic ión lo hemos dado en c lase.

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Alumnos: ¿la distanc ia entre
puntos? (lo dic en dudando).
Profesor: Vamos a traduc irlo al
lenguaje algebraic o de Fermat.
Alumnos: (x, y) está en la mediatriz
c uando d((x, y)(3,0)) = d((x,
y)(0,3))
Profesor: Bueno ahora dec idme
c ómo se c alc ula la distanc ia entre
puntos.
Alumnos: Se busc a un triángulo
rec tángulo en los puntos A y B.
Profesor: No hac e falta que lo
deduzc áis, dec idme la fórmula.
Alumnos (a c oro): raíz c uadrada de
x1- x2 al c uadrado más y1- y2 al
c uadrado.
Profesor: ¿Quién es aquí x1? ¿Quién
es aquí x2? ¿Quién es y1? ¿Quién es
y2?.
Después de pensar las variables
esc riben la formula
2222
)3()3(  yxyx
Profesor: Bueno, sólo queda ahora
hac er c álc ulos.
Alumnos: ¿Para quitar las raíc es
elevamos al c uadrado?
Profesor: Sí.
Alumno: ¿Es (x- 3)2 = x2 – 9?
Profesor: No, ¿rec uerdas del año
pasado la fórmula x2+32 - 6x?
Alumno: ¡Ah! ¡Y a rec uerdo!
Profesor: ¿Qué queda después de
los c álc ulos?
Alumnos: - 6x + 6y = 0.
Profesor: Si os da igual y = x, que
es la ec uac ión explic ita de una
rec ta.
¿Es lógic o el resultado que ha
salido?
Alumnos: No entiendo.
Profesor: Si, nos ha salido una recta
que pasa por el (0,0). Pero eso yo
ya lo sabía sin hac er c álc ulos, ¿por
qué?.
Alumnos: Porque (0,0) está
separado de A tres unidades, y
(0,0) está separado de B también
tres unidades.
Profesor: ¡En efec to! ¿y por qué los
puntos tienen la x igual a la y?
(Silenc io que si entiendo)
Por ejemplo, el punto (1’5, 1’5) está
en la mediatriz porque es el punto
medio del segmento Ab. Bueno,
usar ahora la otra estrategia,...
(pero toc a el timbre y pasan de mí),
(*) Es importante ac larar que
Euc lides en ningún momento de la
Proposic ión 10 llama mediatriz la
rec ta que busc amos. Es más, ni
siquiera demuestra que la rec ta
busc ada sea el lugar geométric o de
los puntos del plano que equidistan
de dos puntos fijos.
Bibliografía
 BOY ER, CARL B. (1 986) Historia
de la matemátic a. Ed. Alianza,
Madrid.
 GUZMÁN, Miguel de. (1 986).
Aventuras Matemáticas. Ed.
Labor, Barc elona.
 HEAT H, T HOMAS L. (1 956). T he
T hirteen Books of Euc lid`s
Elements. Dover.
 MASON, J. –BURTON L. –ST ACEY
K. (1 989). Pensar
matemátic amente. Ed. Labor –
MEC, Barc elona.
 Polya, g. (1 965). Como plantear
y resolver problemas. Ed. T rillas.
Méxic o.

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 Actividades
1.2.1. Analicé la lectura realizada anteriormente.
1.2.2. Usted deberá leer la Lectura 2: La historia de la Matemática y de la
ciencia como estrategia en la didáctica de resolución de problemas por
Israel Mazarío Triana y Lectura 3: Recopilación de Problemas Históricos,
que se encuentran en la selección de lecturas.
1.2.3. Con base a esa lectura deberá seleccionar un tema o tópico de
matemática incluido en el currículo de la Tercera Etapa de Educación
Básica o de la Educación Media, Diversificada y Profesional, para diseñar
una actividad utilizando la historia de la matemática, trate de ser
creativo e innovador(a) al momento de realizar la tarea
LECCIÓN 2.
TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO.
Al contar objetos, lo que realmente se hace es tomar a cada uno de los objetos
que ha ser contado y luego se le asocia un número, 1, 2, 3, etc, hasta que ya no hay
objetos. Este método de contar se empleó aun antes de que los números tuvieran
nombres y símbolos. Los hombres después de las cavernas determinaban con piedras
cuántos animales de sus hatos de ganado no regresaban del pastoreo. Por cada vaca
que salía, se colocaba una piedra al lado. Conforme regresaba cada vaca, se eliminaba
una piedra de la pila. Si después de que regresaban las vacas quedaban piedras,
entonces se sabía que se habían perdido algunos animales. Es importante hacer notar
que los cavernícolas hicieron esto sin haber tenido un lenguaje o simbolismo para los
números.
Las técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las
sociedades estudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de
número y a la Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de:
 comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las
colecciones de objetos (cardinal de la colección).
 indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección
ordenada de objetos (ordinal del objeto).
En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectores- se plantea ya,
aunque sea a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay?
o ¿cuántos son?. También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación:
¿qué se hace primero?, ¿quién interviene en segundo lugar?, etc. A partir de esas
necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que han ido
evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza
predominantemente una técnica de conteo con palabras, aun cuando se conservan
vestigios de otras varias técnicas.
Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o
sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean
coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los
números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son
"objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de
hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de
recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades.

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 Actividades
2.1.1. Usted deberá leer la Lectura 4: Enseñar probabilidad en primaria y
secundaria? ¿Para qué y por qué? por Liliana Jiménez M., José Rafael
Jiménez F en la selección de lecturas.
2.1.2. Defina que es Técnica de Conteo, y de qué manera utilizaría usted la
lectura realizada anteriormente en el aula, diga su pro y su contra.
2.1.3. Usted deberá buscar libros de matemática de Educación Básica o
Educación Media, Diversifica y Profesional y describirá la forma como es
dada la técnica de conteo y de qué forma usted como docente impartiría
una actividad de técnica de conteo.
RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN.
Consideremos el problema de las Torres de Hanoi.
Problema 1. El objetivo de este
antiguo acertijo es pasar la
torre de discos a cualesquiera
de la estaca 1 a la estaca 3
con el mínimo posible de
movimientos. Se puede mover
solamente un disco cada vez.
No se puede colocar un disco
sobre otro que sea más
pequeño.
En la tabla 1, n representa el número de discos de la torre, M representa el
menor número de movimientos que toma pasar estos discos a las estacas vacantes.
TABLA 1.
n M
1
2
3
4
5
6
.
.
.
.- ¿Cuál es el mínimo número de movimientos con cuatro discos?.
Si an representa el número de pasos para llevar una torre compuesta por
n discos de la estaca 1 a la 3; entonces ¿cómo encontramos una ecuación recursiva
para hallar an+1?
Como las torres 2 y 3 (que inicialmente están vacías) juegan (o pueden jugar)
un papel simétrico, entonces an también representa el número mínimo de movimientos
necesarios para llevar la torre de la estaca 1 a la 2, usando la estaca 3 como auxiliar.
1 2 3

15
La secuencia gráfica anterior nos permite deducir que an+1, el número mínimo
de movimientos necesarios para trasladar la torre de la estaca 1 a la 3 es igual a 2an
+ 1; esto es an (número mínimo de movimientos requeridos para llevar n discos de la
estaca 1 a la 2); más 1 movimiento para llevar el disco mayor de la estaca 1 a la 3;
más an (número mínimo de movimientos necesarios para llevar n discos de la estaca 2
a la 3).
En consecuencia, obtenemos la relación de recurrencia
an+1= 2an + 1, n 1
a1=1
Rellenemos la tabla 2, para hallar el mínimo número de movimientos con cuatro
discos y veamos qué sucede cuando se toman siete discos.
TABLA 2.
n M
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
7 127
8 255
9 511
.
.
.
2
1
1
1
3
32
21
a
n
3a
n
2
3
1

16
.- ¿Encuentre un patrón que podría dar la solución para 64 discos?
.- ¿Cree que el procedimiento de las diferencias finitas, se puede aplicar a
este problema?
Procedamos a utilizar tabla 2 y restemos los términos consecutivos, entonces
nos quedará:
TABLA 3.
n M
1 1
2
2 3 2
4 2
3 7 4 2
8 4 2
4 15 8 4 2
16 8 4 2
5 31 16 8 4 2
32 16 8 4
6 63 32 16 8
64 32 16
7 127 64 32
128 64
8 255 128
256
9 511
.
.
.
.- ¿Por qué razón no se puede resolver por el método de las diferencias
finitas?
.- ¿Cree poder obtener otro procedimiento, para hallar la solución para 64
discos?
.- ¿Podría utilizar la tabla 3, para hallar este valor a pesar de no poderse
obtener por diferencias finitas?
.- ¿Existe entre ellas una regularidad? ¿Cuál?
.- ¿Cómo aumentan?
.- ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos?
Este problema no se puede resolver por el método de las diferencias finitas, ya
que la observación en la tabla 3, nos permite sugerir que, a medida que se van
restando las diferencias y nos movemos hacia la derecha, siempre termina arribando a
2 , 4, 8, 16, 32, 64,…..(señalados en cursiva y negrita en la tabla 3) y que el término
que permanece constante es sólo el dos, lo que no nos garantiza la permanencia de la
constante.

17
Por la tabla 3, tenemos las siguientes relaciones:
CUADRO 1.
Caso 1. Caso 2
01231
43210
5
3210
4
2102
3
10
2
0
1
2222...........2
.
.
.
22222161531
22228715
222221437
22213
201






n
na
a
a
a
a
a
12
.
.
.
1213231
1211615
12187
12143
12121
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1






n
na
a
a
a
a
a
.- ¿Cuál cree que sea la solución, según el cuadro 1?
.- ¿Cuál es el mínimo número de movimientos con cuatro discos?
.- ¿Cuál es la fórmula para el menor número de movimientos necesarios
para pasar n discos?
.- ¿Qué relación hay entre el caso 1 y el 2?
La solución general, 12 n
, no es un polinomio. Por esta razón, este problema
no se puede resolver por diferencias finitas.
El patrón para el número de movimientos que cada disco hace es:
12 n
=
01231
2222...........2 n
 Actividades
2.2.1. Usted deberá buscar, varios libros de Primero y Segundo año de Media,
Diversificado y Profesional, y analizará de qué forma son manejado los
términos de recursión, iteración e inducción.
2.2.2. Tomando en cuenta la actividad presentada anteriormente, usted deberá
realizar una propuesta de una actividad que aplicaría en el aula de
matemática en la Media Diversificada y Profesional.
Número total
(Mínimo de
movimientos).
Disco más
pequeño
Disco más
grande.

18
ALGORITMOS.
En el curso Didáctica de la Aritmética (código 542) se presenta un algoritmo de
la sustracción no estándar por el profesor Angel Miguez.
 Actividades
2.3.1. Usted deberá leer en la guía instruccional de Didáctica de la Aritmética,
pagina 11 – 17, donde se encuentra un algoritmo.
2.3.2. Cree usted que la matemática debe enseñarse por algoritmo, diga cuales
son los pro y los contra.
2.3.3. Qué diferencia hay entre patrones y algoritmo en matemática. Si no la
hay justifique su respuesta.
 PRIMERA ENTREGA DE ASIGNACIÓN
Debes entregar por escrito todas las actividades propuestas del Módulo I (unidad I)
a más tardar la 5ª semana del semestre a través de la valija de la Universidad, esto
con la finalidad de que tu trabajo sea revisado y en caso de necesitar mejorarlo,
tengas oportunidad de hacerlo. Es necesario que para la entrega de estas
actividades sigas las orientaciones que presentamos a continuación:
 Debes ser conciso y preciso en las respuestas.
 Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una letra tamaño
11 puntos y máximo 12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño
carta. Si no dominas el uso del editor de ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos
y dibujos deja el espacio en blanco en el sitio correspondiente y hazlo a mano
con un bolígrafo o un color de tu agrado.
 Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block
de hojas tamaño carta de una línea. Preferiblemente hazlo en bolígrafo azul
para facilitar su lectura.
 Responde de manera ordenada, secuencial.
 El trabajo debe estar limpio y legible.
 El trabajo a entregar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado
en el orden correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.

19
OBJETIVO DEL MODULO II.
OBJETIVO DE LA UNIDAD II.
CONTENIDO DE LA UNIDAD II.
Investigar los distintos
tópicos de matemáticas en
cuanto sus aspectos
conceptuales, operatorios y
de aplicación que permitan la
compresión e interacción en
la realidad con la toma de
decisiones.
Explicar grafos, matrices
y optimización en cuanto
a sus aspectos
conceptuales, operatorios
y de aplicaciones.
LECCION 3.
3.1. GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS).
LECCION 4.
4.1. MATRICES.
LECCION 5.
5.1. OPTIMIZACIÓN Y VIABILIDAD.

20
UNIDAD II.
LECCIÓN 3
GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS)
En la teoría de grafos, cuyo origen histórico suele situarse en el conocido
problema de “los sietes puentes de Kônisberg” propuesto por Euler (1736), los grafos
son modelos matemáticos de numerosas situaciones reales, por ejemplo: un mapa de
carreteras, un plano de un red de metro de una ciudad, un plano de un circuito
eléctrico, etc., son grafos que representan esquemáticamente situaciones reales.
 Actividades
3.1.1. Usted deberá leer la Lectura 5: Grafos (redes y circuitos) y analizar dicha
lectura.
3.1.2. En caso de ser necesario usted puede buscar otras bibliografías como la
disponible en internet
(http://www.dma.fi.upm.es/gregorio/grafos/CamMin/teoria/te
oria.htm, por Hernández, G.
3.1.3. Extraer los elementos utilizados en el material bibliográfico en cuanto a
sus aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación, y resolución de
problemas.
LECCIÓN 4
MATRICES
Las matrices además de usted verlas como tema obligatorio en la carrera de
educación mención matemática, es dada en la media diversificada y profesional, sin
embargo, nuestros alumnos de aula, tiene una confusión sobre que es una columna y
que es una fila, es decir cuál es la diferencia entre ellas.
Explicar grafos,
matrices y optimización
en cuanto a sus
aspectos conceptuales,
operatorios y de
aplicaciones.

21
 Actividades
4.1.1. Usted deberá leer la Lectura 6: Matrices por María Victoria Veguín Casas,
este es una lectura no muy profunda pues la idea es observar la
importancia de las matrices y su origen.
4.1.2. Usted deberá proponer una actividad sencilla, donde el alumno llegue a
la conclusión de qué es una matriz, tipos de matrices y propiedades de
las matrices en suma y multiplicación.
LECCIÓN 5
OPTIMIZACIÓN Y VIABILIDAD
 Actividades
5.1.1. Usted deberá leer la Lectura 7: La matemáticas de todos los días.
Problemas de optimización, por Emma Castelnuovo.
3.1.2. Usted deberá analizar la lectura y deberá hacer una propuest a de una
actividad para ser evaluada en el aula.

22
OBJETIVO DEL MODULO II.
OBJETIVO DE LA UNIDAD III.
CONTENIDO DE LA UNIDAD III.
tópicos de matemáticas en
cuanto sus aspectos
conceptuales, operatorios y
de aplicación que permitan
la compresión e interacción
en la realidad con la toma
de decisiones
Demostrar ecuaciones en
diferencia, toma de
decisiones, clasificación y
partición.
LECCION 6.
6.1. ECUACIONES EN DIFERENCIA.
LECCION 7.
7.1. SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN
LECCION 8.
8.1. CLASIFICACIÓN Y PARTICIÓN

23
UNIDAD III.
LECCIÓN 6
ECUACIONES EN DIFERENCIA
Capitulo. Ecuaciones en Diferencia con aplicaciones, por Takahashi, T.
1990.
1 LEY DEL CRECIMIENTO
1.1 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Cuando una cantidad se incrementa muy rápidamente en su valor, de una
manera especial que precisaremos en esta sección, se dice que varía en progresión
geométrica. En seguida se considera un problema de progresión geométrica
presentado en un libro de texto de matemáticas titulado “Jinkoki”, que fue
ampliamente utilizado en Japón en el siglo XVII.
"A principios de año nuevo aparece una pareja de ratones, quienes tienen
luego una camada de 12 crías. El número de ratones es ahora 14. En
febrero no solamente la pareja inicial, sino también cada una de las
nuevas parejas, da lugar a 12 crías. El número total de roedores se
convierte en 98. En esta forma, una vez por mes cada pareja de ratones
de cada una de las generaciones tiene una camada de 12 crías. ¿Cuál es el
número total de ratones al final de diciembre?"
La respuesta que aparece en el libro es 27 682 574 402, que equivale a 2
multiplicado por 7 elevado a la potencia 12. Aunque no es muy difícil obtener dicha
respuesta, consideremos el problema con cierto detalle.
Primeramente, las condiciones del problema se resumen como sigue:
(i) Hay dos ratones a principios de enero.
(ii) Cada pareja tiene 12 crías en cada mes, es decir, el incremento del número
de ratones es de 6 por 1.
Demostrar
ecuaciones en
Diferencia, toma de
decisiones,
clasificación y
partición.

24
Si bien debemos encontrar el número de ratones presentes al final de
diciembre, para determinarlo con éxito de acuerdo a las condiciones anteriores,
formulemos ecuaciones cuyas incógnitas sean las cantidades de ratones al finalizar
cada uno de los meses de enero a diciembre.
Denotemos por U(1), U(2), ..., U(12) al número de ratones en enero,
febrero,..., diciembre, respectivamente. Inicialmente hay dos ratones y a fines de
enero el número de ratones llega a ser U(1). Por lo tanto el incremento de dicho
número es U(1) - 2, que es igual a 6 x 2 por la condición (ii). Consecuentemente,
U(1) - 2= 6 x 2. (1.1)
Ahora, como U(1) es también el número de ratones al principio de febrero, el
incremento del número en dicho mes es igual a U(2) - U(1), que es igual a 6U(1) por
la condición (ii);
U(2)- U(1) = 6U(1). (1.2)
Del mismo modo, por la condición (ii), el incremento del número de ratones en
cada uno de los meses restantes está dado por las siguientes ecuaciones
U(3) - U(2) = 6U(2), U(4) - U(3) = 6U(3).
U(5) - U(4) = 6U(4), U(6) - U(5) = 6U(5).
U(7) - U(6) = 6U(6), U(8) - U(7) = 6U(7), (1.3)
U(9) - U(8) = 6U(8), U(10) - U(9) = 6U(9),
U(11) - U(10) = 6U(10), U(12) - U(11) = 6U(11).
Las expresiones (1.1), (1.2) y (1.3) forman un sistema de ecuaciones
simultáneas con doce incógnitas U(1), U(2), ..., U(12). Para resolverlas, primero
transpóngase el segundo término del primer miembro de la ecuación (1.1) al segundo
miembro. Entonces
U(1) = 6 x 2 + 2 = 7 x 2 = 14.
También transpónganse los segundos términos del primer miembro de las
ecuaciones (1.2) y (l.3) al segundo miembro. Entonces la ecuación (1.2) se convierte
en
U(2) = 6U(1) + U(1) = 7U(1).
Sustituyendo el valor de U(1), se tiene
U(2) = 7 X 14 = 98.
De la misma manera, sucesivamente se
obtiene
U(3) – 7U(2) = 7 x 98 = 686, U(4) = 7U(3) = 7 x 686 = 4802, . . .
Para poder observar la regularidad, es mejor representar estos valores en

25
forma de exponentes, esto es,
U(2) = 7 • 7 • 2 = 72 • 2. U(3) = 7 • 72 • 2 = 73 • 2,
U(4) = 7 • 73 • 2 = 74 • 2.
En vista de estas expresiones, es de esperar que los valores de U(5) y los
términos siguientes sean dos veces 7 elevado a la potencia que indica el número del
mes correspondiente. En efecto
U(5) = 7U(4) = 7 • 74 • 2 = 75 • 2, U(6) = 7U(5) = 76 • 2,
U(7) = 7U(6) = 77 • 2, U(8) = 7U(7) = 78 • 2,
U(9) = 7U(8) = 79 • 2, U(10) = 7U(9) = 710 • 2,
U(11) = 7U(10) = 711 • 2, U(12) = 7U(11) = 712 • 2,
como se esperaba. Se puede verificar, mediante sustitución, que estos valores son
soluciones de las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3).
De esta manera el problema queda resuelto. Sin embargo, en el desarrollo
anterior fue necesario escribir muchas fórmulas semejantes. Resumiendo dichas
fórmulas, volvamos a escribirlas como sigue.
Representemos los meses del primero al último mediante la literal t. Es decir, t
es una variable cuyo valor recorre los enteros del 1 al 12. Análogamente, sea U(t) el
símbolo que representa a U(1), U(2),..., U(12). U(t) denota el número de ratones
presentes al final del t-ésimo mes. En primer lugar, si se analizan las ecuaciones
(1.1), (1.2) y (1.3), se observa que las ecuaciones (1.2) y (1.3) representan la
relación que existe entre el número de ratones en un mes determinado y el
correspondiente al mes anterior. Aunque la ecuación (1.1) parece un poco diferente, si
se denota por t = 0 el principio de enero y se establece U(0) = 2, la ecuación (1.1) se
convierte en
U(1) - U(0) = 6U(0),
que es de la misma forma que las ecuaciones (1.2) y (1.3). Puesto que el número de
ratones al principio del t-ésimo mes es U(t - 1), las ecuaciones (1.1)-(1.3) se resumen
en la fórmula
U(t) - U(t - 1) = 6U(t - l), (1.4)
Si se sustituye t = 1 en esta ecuación, resulta U(1) – U(O) = 6U(0) que es
precisamente la nueva expresión de la ecuación (1.1) dada anteriormente para t - 1 =
1 - 1 = 0. De manera semejante, si se sustituye t = 2, 3,..., 12, se obtienen las
ecuaciones (1.2) y (1.3). Es más conveniente escribir los valores que recorre t (t= 1,
2,..., 12) junto con las ecuaciones.

26
Ahora bien, las ecuaciones simultáneas (1.1.) - (1.3) son fórmulas que
representan las condiciones (i) y (ii), pero son expresiones que se obtuvieron
aplicando la condición (ii) a cada uno de los meses de enero a diciembre en lugar de
representar la propia condición (ii). La ecuación (1.4) es la formulación de dicha
condición (ii). En el procedimiento anterior se ha buscado la ecuación (1.4) a partir de
las ecuaciones (1.1) - (1.3). Pero el camino es un poco opuesto. Si se representa la
condición (ii) mediante la ecuación (1.4), se obtienen las ecuaciones (1.1) - (1.3)
sustituyendo t por los valores 1,2,..., 12. Sin embargo, la ecuación (1.4) no implica la
condición (i), es decir, una fórmula que represente el valor de U(t) cuando t = O,
Entonces se requiere una ecuación mas
U(0) = 2. (1.5)
que representa la condición (i). De esta manera las ecuaciones (1.4) y (1.5)
representan las condiciones (ii) y (i) respectivamente.
Si se adopta tal expresión, las soluciones U(l), U(2), ... se resumen en la
fórmula
U(t) = 7t-1 • 2 (1.6)
Si se sustituye t = O en esta ecuación, se obtiene U(0) = 70 • 2 = 2 que es
precisamente la ecuación (1.5). Para verificar que la ecuación (1.6) satisface las
ecuaciones simultáneas, es suficiente introducir la ecuación (1.6) en (1.4). Esto es, si
se reemplaza t por t - 1 en la ecuación (1.6), entonces resulta
U(t - 1) = 7t-1 - 2. (t = 1,2, ....,12).
La ecuación anterior y la (1.6) implican que
U(t) = 7 • 7t-1 • 2 = 7U(t - 1),
o en forma equivalente,
U(t) - U(t - 1) = 6U(t - 1).
De esta manera se puede ver que la ecuación (1.4) es válida para t = 1, 2, ...,
12.
VARIABLES Y FUNCIONES
Un símbolo, tal como la literal t empleada en la discusión anterior, que asume
varios valores en un problema dado, se denomina variable. En cambio, un símbolo que
adquiere un valor definido se llama constante. Si bien U(t) es una variable, su valor es
determinado por el valor de t. Por ejemplo si t es 2, el valor U(2) es 98. A una variable
cuyo valor es determinado por otra variable, se le llama función de esta última. Es
decir, U(t) es una función de t. En este libro se denota por t a una variable que
represente tiempo y comúnmente se denotan por x las demás variables. Las funciones

27
de x se representan por U(x), V(x), u(x), v(x); Y(x) o S(x) dependiendo del problema
particular. Por ejemplo, el valor de U(x) en x = 2 se expresa como U(2). De acuerdo a
estas definiciones, el problema resuelto anteriormente se formula como sigue:
Encontrar una función U(t) definida en t = O, 1, 2,...,12 y que satisfaga las ecuaciones
(1.4) y (1.5).
EJERCICIO 1 En el problema de progresión geométrica de esta sección suponga
que hay 10 ratones al principio del año y obtenga el número de ratones en enero,
febrero y marzo.
EJERCICIO 2 Demuestre que U(t) = 7t • 10, (t = O, 1, 2, ..., 12), satisface la
ecuación (1.4).
Obsérvese que si se reemplaza t - 1 por x en la ecuación (1.4), entonces
U(x + 1) - U(x) = 6U(x) (x = O, 1, 2,..., 11)
para t = x + 1. Puesto que x es sólo un símbolo que representa una variable, se puede
reemplazar x por t y se tiene
U(t + 1) - U(t) = 6U(t), (t = O, 1, 2... 11). (1.4’)
Dado que las ecuaciones (1.4) y (1.4’) son esencialment e iguales, se puede
adoptar la (1.4') en lugar de la (1.4).
1.2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN
Ecuaciones tales como (1.4) y (1.4') que están definidas en cierto dominio de
una variable y que relacionan una función incógnita de la variable x con la función de
la variables x + 1, que difiere en 1 de la primera, por ejemplo U(x) y U(x + 1), se
llaman ecuaciones en diferencias de primer orden. En general, una ecuación que
relacione una función incógnita U(x) con U(x + 1), U(x + 2),... U(x + n) se llama
ecuación en diferencias o ecuación en diferencias finitas de orden n. A menos que se
diga específicamente otra cosa, se supondrá que x y U(x) varían en el conjunto de los
números enteros y el de los reales, respectivamente.
Una solución de una ecuación en diferencias es una función que satisface la
ecuación. En otras palabras, es una función que satisface una ecuación dada (ecuación
en diferencias) para cualquier valor de la variable perteneciente a un dominio en el
que está definida la función.
Se hace notar que dada una ecuación en diferencias, una solución definida en
esta forma no necesariamente es única. Por ejemplo, 7t • 2 y 7t • 10 son soluciones

28
de la ecuación (1.4). En general, si C es una constante elegida arbitrariamente,
entonces
U(t) = 7t • C, (2.1)
es una solución de la ecuación (1.4). Si bien C es una constante, puede tomar valores
arbitrarios y se llama por lo tanto constante arbitraria. El hecho de que una solución
contenga una constante arbitraria significa que hay una cantidad infinita de
soluciones. Aunque este hecho parece extraño, en un problema práctico hay algunas
condiciones adicionales que deben satisfacerse junto con las ecuaciones en diferencias
y así resulta que mediante dichas condiciones, se selecciona una sola solución de
entre una infinidad de ellas. Resulta muy fácil ver que en el problema de la sección
precedente, se debe tomar C = 2 en la ecuación (2.1) para que se satisfaga la
ecuación (1.5).
Una ecuación como la (1.5) que define el valor de una función en el valor inicial
de la variable se llama condición inicial de la ecuación en diferencias de primer orden.
El valor de una función definido por medio de una condición inicial se llama valor
inicial.
Si una solución de una ecuación en diferencias dada (que satisface la condición
de unicidad que será explicada posteriormente) contiene constantes arbitrarias y
satisface condiciones iniciales ajustando apropiadamente dichas constantes, se llama
solución general de la ecuación en diferencias. SÍ se asignan valores particulares a las
constantes arbitrarias de una solución general, la solución obtenida se llama solución
particular. Por ejemplo, la ecuación (2.1) es una solución general de la ecuación (1.4)
y 7t • 2 y 7t • 10 son soluciones particulares.
En un problema práctico de progresiones geométricas, basta con obtener una
solución que satisfaga una condición inicial dada. El método de cálculo empleado en la
sección precedente es como sigue. Primero se hace x = 1 en la ecuación en diferencias
para obtener la ecuación (1.1) y se sustituye el valor inicial de U(0) para encontrar
U(1). En seguida se hace x = 2 en la ecuación en diferencias para obtener la ecuación
(1.2) y se sustituye el valor de U(1), obtenido anteriormente, para encontrar U(2).
Repitiendo este procedimiento, se encuentran U(3), U(4), ... A un método que
empiece con el valor inicial e introduzca valores conocidos en la ecuación en forma
repetida para encontrar la solución sucesivamente, se le llama método de iteración o
iterativo. Este tipo de método se utiliza a menudo para resolver ecuaciones
numéricamente.
Ahora se explica la unicidad de una solución bajo una condición inicial dada.

29
Por su naturaleza, no es posible imaginar que un problema de progresión
geométrica tuviera dos soluciones. Si bien se obtuvo ciertamente una solución única
de una progresión geométrica utilizando un método iterativo, se considera el
procedimiento general para resolver una ecuación en diferencias mediante este
método.
Supongamos ahora que se cumplen las condiciones siguientes.
(i) El valor inicial U(0) es dado.
(ii) Dados valores arbitrarios de la variable x y U(x), U(x + 1) es determinado
de manera única mediante la ecuación en diferencias.
Las dos condiciones anteriores se pueden escribir de nuevo como sigue
(i') El valor U(0) de U(x) en x = 0 es único.
(ii') Si el valor U(k) para x = k está determinado de manera única, entonces el
valor U(k + 1) para x = k + 1 también está determinado de manera única.
Dado que U(0) es único, si se hace k = 0 en (ii'), la condición implica que U(1) es
único. Si U(1) es único, entonces por (ii') U(2) es único. Si se repite este
procedimiento, U(x) resulta determinado de manera única para todo número natural
que pertenezca al dominio donde U(x) está definida. Este método de demostración se
llama inducción matemática. De esta manera, para las ecuaciones en diferencias que
satisfagan la condición (ii), la existencia y unicidad de las soluciones bajo las
condiciones iniciales dadas, quedan probadas. Se hace notar que estas propiedades
son también útiles para resolver algunos problemas prácticamente.
En la presente sección se han explicado ecuaciones en diferencias de primer
orden. Pero casi todos los razonamientos desarrollados anteriormente se pueden
aplicar a ecuaciones en diferencias de orden superior con la diferencia de que
aumentan el número de condiciones iniciales y el de constantes arbitrarias.
Aunque el dominio de una variable se puede elegir arbitrariamente, de ahora
en adelante se elige el dominio que consta de todos los enteros no negativos O,
1,2,..., a menos que se diga específicamente lo contrario.
 Sean a y b números arbitrarios.Si se hace x =a, U(x) =b y U(x +1) = y, entonces la ecuación en diferencia se convierte en una
ecuación con incógnita y. Se supone que esta ecuación tiene una solución real única.
Esta condición es en realidadmuyfuerte. Siel dominio dela variabley la imagende la funciónse limitan,resulta suficiente que U(x
+ 1) sea determinadode maneraúnica endicha imagenlimitada. Desde luego, el valor inicial debe estar contenido en la misma
imagen. Por ejemplo, si U (x + 1) = )(1 xU , se debe tener que U(x)  1 para que la función sea real. Además, si
0 U(x) 1 entonces 0  )(1 xU 1.En este caso, (ii) se satisface bajo la condición 0 U(x) 1. Pero si U (x + 1) =
2+ )(1 xU , no existe un valor real U(x) que implique )(1 xU 1. En este caso, (ii) no se cumple.

30
Incluso si un dominio empieza desde un entero distinto de cero no hay diferencia
esencial, ya que éste último es solamente numerado a part ir de ese entero. Puesto
que la existencia y la unicidad de una solución están probadas, por ejemplo en el caso
de una progresión geométrica, aunque t sea mayor que 12 se puede ver sin tener que
efectuar más cálculos que al cabo de t meses el número de ratones es 2 • 7t, siempre
que la tasa de incremento de ratones sea constante.
Finalmente se hace notar que si la condición de unicidad se satisface, todas las
soluciones están contenidas en una solución general.  Dado que resolver una ecuación
en diferencias es encontrar todas las soluciones, entonces, según sea dada una
condición inicial o no, debemos buscar una solución general o bien una solución
particular que satisfaga la condición inicial, respectivamente.
EJEMPLO 1 Si a es una constante distinta de cero, la ecuación en diferencias
U(x + 1) - aU(x) = O, (x = O, 1, 2,...), (2.2)
se vuelve a escribir
U(x + 1) - U(x) = (a - 1}U(x) (2.3)
Ésta es una forma generalizada de la ecuación (1.4), una ecuación en
diferencias para progresión geométrica. Una solución general de la ecuación (2.2) es
U(x) = Cax (2.4)
Aunque este hecho se deduce fácilmente, se sugiere al lector probarlo de
acuerdo al ejemplo siguiente.
EJEMPLO 2 Sea
U(x + 1) - U(x) = b, (x = O, 1,2,...) (2.5)
Se puede deducir una solución general de la ecuación (2.5),
U(x) = C + bx,
a partir de U(1) = U(0) + b, U(2) = U(1) + b = U(0) + 2b,...
DEMOSTRACION. Se sustituye x por x + 1 en la ecuación (2.6) y se tiene
 A veces se elegirá un dominio que conste de los enteros no positivos x= 0, 1,2,..., satisface una condición
inicial. –x = , entonces y varía sobre el conjunto 0, 1, 2, ...
  Una solución obtenida por el método de iteración para x = 0, 1, 2,..., satisface una condición inicial. Una
solución particular que satisfaga la misma condición inicial se puede obtener a partir de una solución
general. En virtud del teorema de unicidad esas soluciones deben ser iguales.

31
U(x + 1) = C + b(x + 1).
Esta expresión y la ecuación (2.6) implican que
U(x + 1) - U(x) = C + b(x + 1) - (C + bx) = b.
Por lo tanto la ecuación (2.6) es una solución de la ecuación (2.5). Si se hace x
= 0 en la ecuación (2.6),
U(0) = C.
Eligiendo C adecuadamente, se satisface la condición inicial. Obviamente la
ecuación (2.5) cumple la condición de unicidad. Por consiguiente la ecuación (2.6) es
una solución general de la ecuación (2.5).
EJERCICIO 1 Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias.
(a) U(x + 1) - 5U(x) = O, U(0) = 4.
(b) U(x + 1) + 2U(x) - O, U(0) = 1.
(c) 3U(x + 1) - 2U(x) = 0.
(d) U(x + 1) - U(x) == 2, U(0) = 3.
1.3 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
Supongamos que una función U(x) está definida en el dominio de todos los
enteros no negativos. Si la infinidad de valores de U(x) en x = O, 1, 2, ... se ordenan
en la forma
U(0), U(1), U(2), ..., (3.1)
este ordenamiento se llama sucesión y se denota por {U(x)}. Cada uno de los valores
que forman una sucesión se llama término de la sucesión. Dado que la variable x no es
sino un número que representa el orden de los términos, se puede decir que una
sucesión es un acomodo lineal de una infinidad de números ordenados por cierta regla.
Se considera una función como sucesión para poder ver cómo varían los valores
de la función (términos de la sucesión) según varían los valores de la variable x. La
función U(x) es un término de la sucesión {U(x)}.
Ahora bien, las sucesiones más comunes y además importantes son las
aritméticas y las geométricas. Una sucesión aritmética está compuesta de términos
que se obtienen sumando sucesivamente una constante al primer término. La
constante se llama diferencia común. Una sucesión geométrica consta de términos que
se obtienen multiplicando el primer término sucesivamente por una constante que se
llama razón común. Por consecuencia, para evitar casos excepcionales, se permite que
una diferencia común sea cero, pero se supone que toda razón común es diferente de
cero. Resultará obvio que los términos U(x) de estos tipos de sucesiones son

32
soluciones de las siguientes ecuaciones en diferencias, donde la diferencia común y la
razón común se representan por b y a, respectivamente:
Ecuación en diferencias Solución
U(x + 1) = U(x) + b (x = O, 1, 2,...) sucesión aritmética (3.2)
U(x + 1) = aU(x) (a  O, x = 0. 1. 2,...). sucesión geométrica (3.3)
Si se utilizan los resultados de los ejemplos 1 y 2 de la sección precedente, las
sucesiones se representan como sigue
Sucesión aritmética: {C + bx}. (3.4)
Sucesión geométrica: {Cax}. (3.5)
Donde C denota el término inicial U(0).
Para poder ver el comportamiento de estas sucesiones, se dibujan gráficas
sustituyendo la variable por algunos valores. Ejemplos
1. {3 + 2x} 3, 5, 7, 9, 11,...
2. {3 + (-2)x} 3, 1, -1, -3, -5,...
3. {3  2x} 3, 6, 12, 24, 48,...
4. {3  (1)x} y {3 + 0x} 3, 3, 3, 3, 3,...
5.















x
2
1
3 ,...
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3
6.















x
2
1
3 ,...
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3 
7. {3  (-1)x} 3, -3, 3, -3, 3,...
8. {3  (-2)x} 3, -6, 12, -24, 48,...
9. {(-3)  2x} -3, -6, -12, -24, -48,...
10.















x
2
1
)3( ,...
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3 
En general, si los términos de una sucesión {U(x)} aumentan progresivamente
a medida que la variable aumenta, esto es, si se cumple que
U(x + 1) > U(x) (x = 0, 1, 2,...),
la sucesión se llama monótona estrictamente creciente. A la inversa, si los términos
disminuyen cuando la variable aumenta, es decir, se tiene que
U(x + 1) < U(x) (x = 0, 1, 2,...),
la sucesión se llama monótona estrictamente decreciente. Estos dos tipos de
sucesiones se denominan genéricamente sucesiones monótonas.

33
FIGURA 1
Si los términos de una sucesión se mantienen aumentando y disminuyendo (no
necesariamente en forma alternada) a medida que la variable aumenta, esto es, no
existe ningún entero no negativo tal que para todo valor de la variable mayor que
dicho entero se satisfacen siempre las desigualdades U(X + 1) > U(x) o bien U(x + 1)
< U(x), exclusivamente, entonces la sucesión se llama oscilante.
En los ejemplos anteriores, (1), (3) y (10) son sucesiones monótonas
estrictamente crecientes; (2), (5) y (9) son sucesiones monótonas estrictamente
decrecientes; (6), (7) y (8) son sucesiones oscilantes; (4) es una sucesión constante
(todos sus términos U(x) son constantes).
Ahora bien, sin efectuar cálculos numéricos se pueden observar tales
comportamientos a partir de la magnitud y signo de las constantes a, b y c en las
ecuaciones (3.2), (3.3) o (3.4), (3.5) como sigue.
Obsérvese primero que las condiciones para ser monótona estrictamente
creciente y decreciente son U(x + 1) - U(x) > O y U(x + 1) - U(x) < O,
respectivamente. Si una sucesión es aritmética, la ecuación (3.2) implica que el signo
de U(x + 1) - U(x) es igual al de b. Consecuentemente, una sucesión
es estrictamente creciente (como la (1)), si b > O,
es estrictamente decreciente (como la (2)), si b < O,
es constante (como la (4)), si b = 0
Si una sucesión es geométrica, la ecuación (3.5) implica que si C = 0, entonces
U(x) = 0 y si C  0, entonces U(x)  0. Supongamos en lo que sigue que C  0. La
ecuación (3.3) implica que si a > O, U(x + 1) y U(x) tienen signos iguales (si un
número se multiplica por un factor positivo, no cambia su signo). Por lo tanto, si C =
U(0) es positivo, entonces todo valor U(x) es positivo, si C es negativo, entonces todos
los U(x) son negativos. En este caso, el segundo miembro (a - 1)U(x) de la ecuación
(2.3) tiene signo definido siempre que a  1. Según sea el signo, la sucesión es
(i)

34
estrictamente creciente (como (3) y (10)) o estrictamente decreciente (como (5) y
(9)). Si a = 1, la sucesión es constante (como la (4)). Si a < O entonces la ecuación
(3.3) implica que U(x + 1) y U(x) tienen signos opuestos, ya que aU(x) se hace
negativo o positivo según sea U(x) positivo o negativo, respectivamente.
Consecuentemente, en este caso la sucesión es oscilante (como (6), (7) y (8)). Los
resultados anteriores se resumen en la siguiente proposición:
Una sucesión geométrica es monótona o bien constante con signo
definido, si a > 0;
oscilante, si a < 0.
En seguida se examina una sucesión de la forma {| U(x)|} cuyo término general
es el valor absoluto |U(x)| del término general U(x) de una sucesión geométrica. (El
valor absoluto || de un número real  se define como el mismo o bien (-), según
sea  > 0 o bien  < O, respectivamente. Por ejemplo |3| = |—3| = 3). Entonces
|U(x + 1)| = |||U(x)|, (3.6)
o en forma equivalente
|U(x + 1)| - |U(x)| = (|a| - 1) |U(x)|.
|U(x)| > 0, ya que C  0 implica que U(x)  0. Por consiguiente, la sucesión {|U(x)|}
es estrictamente creciente (como en los casos (3), (8) y (9)), si  > 1
( > 1 o  < -1);
es estrictamente decreciente (como en (5) y (6)), si 0 < | | < 1
(0 <  < 1 o -1 <  < 0);
es constante (como en (4) y (7)) si || = 1 ( = 1 o  = -1)
Las tres sucesiones (6), (7) y (8) son oscilantes, pero hay diferencias entre sus
correspondientes sucesiones de valores absolutos. Si los términos U(x) de una
sucesión oscilante cambian de signo alternadamente, | U(x)| se llama amplitud de la
sucesión. Tomando logaritmo en ambos miembros de la ecuación (3.6), se tiene
log |U(x + 1)| -log|U(x)| = log||,
lo cual pone de manifiesto que {log|U(x)|} es una sucesión aritmética con diferencia
común log ||. Ésta es la razón por la que se utiliza convenientemente el eje de las
ordenadas marcado en escala logarítmica cuando se trazan gráficas de sucesiones
geométricas. En la Figura 2, están las gráficas de las sucesiones (3) {3 • (2x)} y (5) {3
•  x
2
1 }
(ii)
(iii)

35
Figura 2
 Actividades
6.1.1. Usted deberá realizar la Lectura anterior.
6.1.2. Usted deberá resolver los ejercicios presentados en la lectura.
6.1.3. Defina que es una Ecuación en Diferencia
LECCIÓN 7
SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN
Tomado del libro Las matemáticas
en la vida cotidiana. Capítulo 12.
Por Steven J. Brams, Universidad
de Nueva York y otros.
En algunas circunstancias electorales, el principio de <<una persona, un
voto>> no vale. Por ejemplo, cuando los accionistas de una empresa pública eligen un
consejo, a cada accionista le corresponde un voto por cada acción que posee. Los
accionistas que poseen cantidades relativamente grandes de acciones normalmente
tienen mayor influencia en las elecciones que los accionistas pequeños.
Un sistema de votación ponderado es un procedimiento de toma de decisiones
en el que los participantes tienen un número diferente de votos. Son ejemplos de este
sistema las elecciones de accionistas y la elección del Presidente de Estados Unidos por
el Colegio Electoral (véase Primer Plano 12.1). Algunos organismos legislativos tienen
una disciplina partidista tan fuerte que los legisladores siempre votan según dicte su
partido. Estos organismos legislativos adoptan sistemas de votación ponderados en los
que los participantes son las organizaciones políticas, cada una de las cuales tiene
derecho a un número de votantes igual al tamaño de su delegación en la legislatura.
El poder de un participante en un sistema de votación ponderado se puede
definir a grandes rasgos como la capacidad del participante de influir en una decisión.
Hay varias formas de medir matemáticamente el poder de un participante, o un bloque
de participantes, en un sistema de votación ponderado. Est udiaremos dos de tales
medidas: el índice de poder de Banzhaf y el índice de poder de Shapley-Shubik. Ambos
índices proporcionan una medida mucho más precisa del poder de un participante que
el número de votos que tiene derecho a emitir.

36
CÓMO FUNCIONA LA VOTACIÓN PONDERADA
En 1958, el Consejo Directivo del Condado de Nassau (Nueva York) estaba
compuesto por seis concejales de cinco municipios. Dos de ellos habían sido elegidos
por la ciudad de Hempstead, que tenía más de la mitad de la población del condado.
Para compensar las poblaciones desiguales de los municipios, a los concejales se les
dieron votos ponderados, como se describe en la tabla 12.1.
El número total de votos asignados a los concejales fueron 30, y hacía falta una
mayoría simple (16 votos) para aprobar una medida. Dado que los dos concejales e
Hempstead juntos controlaban 18 votos, tendrían el poder de aprobar cualquier
medida sin consultar a sus colegas de los municipios más pequeños. Sin embargo, los
Estatutos del Condado de Nassau contenían una disposición que estipulaba que
cualquier medida había de tener el apoyo de los concejales de dos municipios distintos
para ser aprobada. Esta disposición complica el análisis del poder del Consejo
Directivo, de modo que de momento lo ignoraremos, para tratarlo después.
TABLA 12.1 Votación ponderada. Consejo Directivo del Condado de Nassau. 1958.
Municipio Número de
votos
Hempstead 9
Hempstead 9
Nort Hempstead 7
Oyster Bay 3
Glen Cove 1
Long Beach 1
Total 30
Para aprobar una medida, los dos concejales de Hempstead pueden votar lo
mismo, o uno de los concejales de Hempstead puede votar lo mismo que el concejal de
North Hempstead. Si uno de los concejales de Hempstead propone una ley, pronto se
dará cuenta de que no vale la pena buscar el apoyo de los concejales de Oyster Bay, ni
de Glen Cove, ni de Long Beach. Estos concejales juntos sólo disponen de cinco votos,
de manera que incluso si se sumaran sus votos con los del concejal de Hempstead, el
total serían sólo 14 votos, insuficientes para aprobar la medida. Si tres concejales de
los municipios más pequeños se juntaran con el de North Hempstead, sus votos
ascenderían sólo a 12. Ninguna ley puede ser aprobada sin el de al menos dos de los
concejales de Hempstead y North Hempstead, y si tiene el apoyo de dos de ellos, será
aprobada sin la ayuda de los demás.
En esta situación, los tres concejales de Oyster Bay, Glen Cove y Long Beach no
tienen ningún poder electoral. Pueden influir en el proceso de toma de decisiones
trabajando en comités, presentando leyes y participando en los debates, pero
básicamente son privados del derecho al voto por el sistema de votación del Consejo,
Un votante cuyo voto nunca será necesario ni para aprobar una medida ni para
rechazarla se denomina hombre de paja.
El sistema de votación utilizado por el Consejo Directivo del Condado de Nassau
es similar a muchos sistemas utilizados por organismos legislativos en el estado de
Nueva York. Tienen un número de participantes relativamente pequeño, lo que hace
que sean más fáciles de analizar que la mayoría de los demás sistemas. Siguiendo las
variaciones en las poblaciones, el número de votos asignados a los concejales ha
cambiado varias veces. Por ejemplo, en los años sesenta, el representante de Oyster
Bay y los dos de Hempstead tenías el mismo poder, mientras que el de North
Hempstead compartía con Glen Cove y Long Beach su estatus de hombres de paja
(véase la tabla 12.2). En 1965, el sistema de votación fue analizado por John F.
Banzhaf III en un artículo jurídico titulado <<Weighted Voting Doesn´t Work>> (<<La
votación ponderada no funciona>>) (véase las Lecturas Sugeridas al final de este
capítulo), en el que opinaba que este tipo de votación era injusta e inconstitucional.

37
En su artículo, Banzhaf describió un nuevo modelo matemático para la votación
ponderada. El suyo no era el primero; otro modelo había sido desarrollado diez años
antes por Lloyd S. Shapley y Martin Shubik (véase Primer Plano 12.2). Sin embargo, el
modelo de Banzhaf ha captado el interés de los tribunales. Incluso en fechas tan
recientes como en 1992, era una cuestión central en litigios que implicaban al Consejo
Directivo del Condado de Nassau (véase Primer Plano 12.3).
TABLA 12.2 Votación ponderada, Consejo Directivo del Condado de Nassau, 1964
Municipio Número de
votos
Hempstead 31
Hempstead 31
North Hempstead 21
Oyster Bay 28
Glen Cove 2
Long Beach 2
Total 115
La notación de la votación ponderada.
Para describir un sistema de votación ponderado, primero necesitamos
especificar el conjunto de votantes. Si los votantes son A, B, C,..., entonces los pesos
w(A),w(B),W(C),..., que son el número de votos que emite cada uno de estos
votantes, han de especificarse. Finalmente, hay que especificar el número total q de
votos necesarios para aprobar una medida, llamada la cuota. La notación
1 2 nq: w(V ),w(V ),...,w(V )  
describe un sistema de votación ponderado con n votantes V1, V2, ..., Vn, con pesos
1 2 nw(V ),w(V ),...,w(V ) y con cuota q.
Así, el sistema de votación utilizado por el Consejo Directivo del Condado de
Nassau en 1958 se expresa como
1 2q : w(H ),w(H ),w(N),w(B),w(G),w(L)
16 : 9,9,7,3,1,1
  
  
donde H1 y H2 son los dos concejales de Hempstead, N es el de North Hempstead, y b,
G y L son los de Oyster Bay, Glen Cove y Long Beach, respectivamente.
Un conjunto de votantes que se ha unido para votar a favor de una cuestión, o
para oponerse a ella, se llama una coalición. La coalición puede estar compuesta por
todos los votantes o por cualquier subconjunto de ellos. Puede estar compuesta por un
solo votante, o puede incluso se nula. Por ejemplo, si el organismo votante está
unánimemente a favor de una moción, entonces la coalición de oposición es nula.
Una coalición de votantes a favor de una medida es una coalición ganadora si la
suma de sus pesos es igual o excede a la cuota q. Para que el sistema llegue a una
decisión no ambigua, es importante no permitir la existencia de dos coaliciones
ganadoras que se opongan entre sí. Por esto, requeriremos que wq
2
 , donde w es la
suma de los pesos de todos los participantes en el sistema electoral. Por consiguiente,
si una coalición va ganando, con un total de votos t q , tal coalición tiene más de la
mitad de los votos. Los votantes que no formen parte de la coalición tendrán menos de
la mitad de los votos, y no tendrán posibilidad de ganar.
Una coalición de bloqueo es un subconjunto de votantes que se oponen a una
moción y que tienen suficientes votos para derrotarla. En un sistema de votación con
un peso total w y una cuota q, cualquier coalición con un peso superior w – q es una
coalición de bloqueo. De modo que, en el Consejo Directivo del Condado de Nassau de

38
1958, donde w = 30 y q = 16, cualquier coalición con más de 30 – 16 = 14 votos es
una coalición de bloqueo.
En un sistema de votación con cuatro votantes, cada uno con un voto, y con
una cuota de tres votos para aprobar una medida, cualquier coalición de dos votantes
que se oponga a una medida es una coalición del bloqueo, aunque estos votantes no
podrían aprobar ninguna medida que apoyaran sin el apoyo de un tercer votante.
Suponga que un jurado en un juicio criminal tiene 12 miembros. Para aprobar
una medida condenatoria o absolutoria, una coalición ha de incluir a todos los
miembros. Si es imposible formar una coalición ganadora de 12 miembros, el juicio se
declara nulo, y la acusación tiene el derecho a exigir un nuevo juicio. Toda coalición
con al menos un miembro del jurado es una coalición de bloqueo. Dado que cada
miembro puede obstruir una medida por sí solo, decimos que tiene derecho de veto.
EJEMPLOS: Casos de sistemas de votación ponderados
1. Considere una pequeña compañía perteneciente a dos personas, A y B, que
poseen el 60% y el 40% de las acciones, respectivamente. Si las medidas se aprueban
por mayoría simple, expresamos este sistema de votación como
   40,60:51)(),(: BwAwq
La característica destacable de este ejemplo es que el accionista A tiene todo el poder.
Cuando el peso de un individuo es igual o excede a la cuota, dicho individuo puede
aprobar cualquier medida sin consultar con nadie. Denominamos a tal individuo un
dictador. Una coalición a favor de una medida es una coalición ganadora si y sólo si A,
el dictador, pertenece a ella. Asimismo, una coalición en contra de una medida es una
coalición de bloqueo si y sólo si incluye al dictador.
2. Examinemos una segunda empresa, con tres accionistas, A, B, Y C, que poseen el
49%, 48% y 3% de las acciones, respectivamente. Entonces
   3,48,49:51)(),(),(: CwBwAwq
No hay dictador; de hecho, esta empresa es más <<democrática>> de lo que uno
podría pensar. Cualquier coalición de dos o más accionistas tiene una mayoría simple,
así que el poder está dividido por igual entre los tres accionistas. Aunque C posee sólo
3% de las acciones, tiene igual influencia. Su voto ponderado, cuando se suma al voto
ponderado de A o B, formará una mayoría.
3. Una tercera empresa tiene cuatro accionistas A, B, C y D. Los accionistas A, B y C
tienen 26% de las acciones cada uno, mientras que D posee el restante 22%. El
sistema de votación de esta empresa es
 
 27,26,26,26:51
)(),(),(),(:

DwCwBwAwq
Aunque las acciones de la empresa correspondientes a D no son mucho
menores que las acciones de los otros tres accionistas, D es un hombre de paja. Es
imposible que D convierta una coalición perdedora en una ganadora uniéndose a ella.
El poder en esta empresa está dividido de igual manera entre A, B y C.
Estos ejemplos ilustran que el poder no tiene que ser ni siquiera
aproximadamente proporcional al porcentaje de votos que uno tiene. Ahora
examinaremos la relación que existe entre los pesos de los votantes y la cuota, por un
lado, y el poder de cada votante, por otro.
EL INDICE DE PODER DE BANZHAF
Hemos visto en nuestros ejemplos que los participantes en un sistema de
votación ponderado no pueden tomar su fracción del voto total como una indicio
significativo de su porción del poder electoral. El poder es la habilidad de ganar. Un

39
individuo puede estar con frecuencia en el bando de los ganadores sin tener poder. Por
ejemplo, si un equipo deportivo profesional normalmente gana, no quiere decir que
todos los miembros del equipo puedan exigir sueldos altos. Los jugadores con sueldos
son los que resultan cruciales para ganar. De manera similar, la verdadera importancia
de un voto es saber si resulta esencial para la victoria.
Una medida razonable del poder de voto es la frecuencia con la que el voto de
un participante puede hacer pasar a una coalición del bando perdedor al ganador. Esta
medida es un recuento del número de diferentes maneras en las que el participante
por sí solo puede convertir la derrota en victoria, o viceversa. Es decir, nuestra medida
del poder es el número de formas distintas en las que el participante puede unirse a
una coalición perdedora y así convertirla en una coalición ganadora. Esto es idéntico al
número de coaliciones ganadoras distintas a las que pertenece este participante, y que
perderían si desertara. En cualquier coalición ganadora, un miembro capaz de causar
la derrota de la misma al desertar y votar con la oposición se denomina un votante
basculante, porque emite un voto basculante. El votante basculante en una coalición
de bloqueo es un miembro cuyo voto es crucial para el propósito de la misma: si
desertara, la coalición no podría impedir que se aprobara una moción.
El índice de poder de Banzahaf de un participante es el número de diferentes
coaliciones ganadoras en las que el participante es un votante basculante, más el
número de diferentes coaliciones de bloqueo en las que también es un votante
basculante. Ocurre con frecuencia que el mismo conjunto de votantes puede ser a la
vez una coalición ganadora o una coalición de bloqueo, si todos los votantes del
conjunto apoyan o se oponen a una medida. En tales conjuntos, algunos votantes se
pueden contar dos veces como votantes basculantes: una por ser votantes basculantes
en una coalición ganadora, y otra por ser votantes basculantes en una coalición de
bloqueo. En algunas citas al final de este capítulo se utilizan términos como votante
crucial y votante crítico en vez de votante basculante. El indice de poder de Banzhat
de un participante es el número de diferentes coaliciones ganadoras en las que el
participante es un votante basculante, más el número de diferentes coaliciones de
bloqueo en las que también es un votante basculante. Ocurre con frecuencia que el
mismo conjunto de votantes puede ser a la vez una coalición ganadora o una coalición
de bloqueo, si todos los votantes del conjunto apoyan o se oponen a una medida. En
tales conjuntos, algunos votantes se pueden contar dos veces como votantes
basculantes: una por ser votantes basculantes en una coalición ganadora, y otra por
ser votantes basculantes en una coalición de bloqueo. El algunas citas al final de este
capítulo se utilizan términos como votante crucial y votante crítico en vez de votante
basculante.
EJEMPLO: Un comité de tres personas
Un comité tiene un presidente A, con dos votos, y dos miembros más, B y C,
cada uno con un voto. La cuoata para aprobar una medida es de tres votos. Podemos
expresar este sistema de votación ponderado con:
   q:w(A),w(B),w(C) 3:2,1,1
Este sistema de votación es equivalente a uno en el que cada miembro tiene un
voto, pero el presidente tiene poder de veto. Las coaliciones ganadoras son todas las
coaliciones cuyos pesos sumen 3 o 4: {A, B}, {A, C}, y {A, B, C}. Las coaliciones {A
B} y {A, C} son coaliciones ganadoras mínimas; es decir, cada miembro de estas
coaliciones ganadoras ha de contener una de las coaliciones ganadoras mínimas como
subconjunto. Las coaliciones que no son ganadoras son perdedoras: {B,C}, {A}, {B},
{C}, y  (la coalición nula).
El presidente A tiene poder de veto, y por consiguiente es un votante
basculante en cada una de las coaliciones ganadoras. Esto significa que si deserta de

40
una de estas coaliciones, se convierte en coalición perdedora. También es un votante
basculante en tres coaliciones de bloqueo: {A}, {A,B}, y {A, B}, y {A, C}. No es un
votante basculante en la coalición de bloqueo {A, B, C}, dado que {B,C}, con un peso
total de 2, todavía podría bloquear si A desertara. Los miembros B y C tienen igual
poder. Ninguno es un votante basculante en la coalición ganadora {A, B, C}, dado que
tendrían que desertar ambos para convertirla en coalición perdedora. El miembro B es
un votante basculante en {A,B} como coalición ganadora, dado que A por sí solo no
puede aprobar una moción, pero no es un votante basculante en {A,B} como coalición
de bloqueo, dado que A sí solo puede vetar una moción. De forma similar, C es un
votante basculante en {A, C} como coalición ganadora, pero no como coalición de
bloqueo. Finalmente, tanto B como C son votantes basculantes en la coalición del
bloqueo {B, C}. Por consiguiente, A tiene un índice de poder de Banzhaf de 6,
mientras que B y C tienen cada uno un índice de 2. Según el modelo de Banzhaf, A
tiene tres veces el poder que B (o C), aunque su voto sólo tenga el doble de peso.
Para resumir, el índece de Banzhaf para este sistema de votación es (6, 2, 2).
Nótese que en el ejemplo anterior, A era un votante basculante en tres coaliciones
ganadoras en tres coaliciones de bloqueo, mientras que B y C eran cada uno miembros
de una coalición ganadora y una coalición de bloqueo. Esto no es casualidad. Si un
votante basculante deserta de una coalición ganadora para unirse a la coalición de
oposición, ésta se convierte en una coalición de bloqueo, y ahora el mismo votante es
basculante en la coalición en la coalición de bloqueo. Si un votante basculante deserta
de una coalición de bloqueo, ésta ya no tiene suficiente peso para bloquear, y ganaría
la coalición oponente. De modo que cada votante es un votante basculante en el
mismo número de coaliciones de bloqueo que de coaliciones ganadoras. Sabiendo esto,
podríamos determinar el índice de Banzhaf de un participante dado contando
simplemente las coaliciones ganadoras en las que es un votante basculante y
multiplicando el resultado por dos.
CÓMO CALCULAR EL ÍNDE DE PODER DE BANZHAF
En un sistema de votación ponderado con un máximo de cuatro votantes, no es
difícil calcular el índice de poder de Banzhaf por el método de la fuerza bruta.
Simplemente hacemos una relación de todas las posibles maneras teóricas en las que
podrían votar los participantes; es decir, todas las diferentes combinaciones de votos
positivos y negativos. Si hay n votantes, habrá 2n de estas combinaciones (ver
<<Cómo contar las combinaciones>>, en la próxima sección). Así que, con tres
votantes hay ocho combinaciones, y con cuatro votantes, dieciséis. Luego examinamos
cada combinación para ver si es ganadora o de bloqueo, y determinamos los votantes
basculantes de cada combinación ganadora o de bloqueo. Este método no es práctico
cuando hay un gran número de votantes. Por ejemplo, en el Colegio Electoral de
Estados Unidos, donde los participantes son cincuenta estados y un distrito federal,
hay
51
2 2.251.799.813.685.248 combinaciones que examinar. Si pudiéramos examinar
un millón de combinaciones por segundo, terminaríamos el trabajo en 71,4 años. Dado
que los pesos cambian cada diez años con el nuevo reparto de escaños, los cálculos
estarían obsoletos antes de terminarlos. Éste es otro ejemplo de la explosión
combinatoria, que frecuentemente frustra los cálculos de fuerza bruta.
Utilizamos el método de la fuerza bruta para determinar el índice de Banzhat
del sistema de votación
   q:w(A),w(B),w(C) 3:2,1,1
para el comité de tres personas que presentamos anteriormente. La tabla 12.3 expone
las ocho combinaciones de votantes, según voten sí (S) o no (N). Las columnas de
resultados que hau a la derecha de las combinaciones indican si la propuesta será

41
aprobada (A) o derrotada (D). Si se aprueba una propuesta, la coalición que ha votado
S es una coalición ganadora; si es derrotada, los votantes que han votado N forman
una coalición de bloqueo.
TABLA 12.3 Combinaciones de votos en el comité de tres personas
Cada fila de la tabla se examina para ver qué votantes son basculantes. Esto
significa que hay que comprobar cada uno a favor y en contra de cada combinación
para determinar si el cambio de un voto cambiará el resultado.
Por ejemplo, la primera combinación
A B C
S S S A
determina la aprobación de la medida por un voto unánime. Si el votante A cambia su
voto de sí a no
A B C
S S S A

N S S D
entonces el resultado se cambia a <<derrota>>. Indicaremos que A es un votante
basculante en esta combinación Strazando un círculo alrededor de la S que indica su
voto a favor.
A B C
Ⓢ S S A
Por otro lado, si sólo el votante B cambia su voto de sí a no en la primera
combinación, el resultado no cambia: la cuestión es aprobada por 3 a 1:
Por la misma razón, el votante C no es un votante basculante en esta
combinación. Ahora consideremos la segunda combinación:
A B C
S S N A
Si el votante A cambia su voto de sí a no la medida ya no será aprobada:
A B C
Ⓢ S S A

N S S D
Miembro A B C
Peso 2 1 1
Combinaciones Votos Aprobada Derrotada
S S S 4 A
S S N 3 A
S N S 3 A
S N N 2 D
N S S 2 D
N S N 1 D
N N S 1 D
N N N 0 D

42
Además, si el votante B cambia su voto, será derrotada la medida:
A B C
S Ⓢ S A

S N N D
Por consiguiente, A y B con votantes basculantes en la segunda combinación. C
no es un votante basculante, dado que si cambia su voto, el resultado no varía:
A B C
S S N A

S S S D
Seguimos del mismo modo con cada fila de la tabla 12.3, determinando cada
votante basculante y marcando con un círculo la S o N correspondiente. Así, en la
tercera combinación, A y C son votantes basculantes.
A B C
Ⓢ N S

N N S
A B C
S N Ⓢ A

S N N D
En la cuarta fila, los votantes B y C son basculantes en una coalición de
bloqueo:
A B C
S Ⓝ N D

S S N A
A B C
S N Ⓝ D

S N S A
En la fila 5, únicamente A es un votante basculante:
A B C
Ⓝ S S D

S S S A
En las filas 6 y 7, A es el único votante basculante en las coaliciones de
bloqueo:
A B C
Ⓝ S N D

S S N A
A B C
Ⓝ N S D

S N S A

43
No hay votantes basculantes en la fila 8.
La tabla 12.4 resume estos cálculos. Si contamos el número de círculos en la
columna de cada votante, llegamos a un índice de poder de (6, 2, 2).
EJEMPLO: Una sociedad con cuatro accionistas
Considere el sistema de votación ponderado
   q:w(A),w(B),w(C) 51:40,30,20,10
Podrían ser cuatro accionistas, A, B C y D de una sociedad, con el 40%, 30%,
20% y 10% de las acciones, respectivamente. Una mayoría (que aquí se entiende
como el 51% es necesaria para aprobar una medida.
Encontramos el índice de poder de Banzhaf haciendo un listado de las 24 = 16
combinaciones distintas de sí (S) y no (N) para los accionistas. Cada combinación se
ve en una de las filas de la tabla 12.5. El porcentaje total de votos a favor para cada
combinación está indicado a su derecha. La cuestión es aprobada (A) o derrotada (D)
dependiendo de si el porcentaje de votos a favor llega a la cuota del 51% o no. Cada
voto de cada combinación ha de ser examinado para determinar si es un voto
basculante. ¿Variará el resultado si cambia este voto? Si es así, el voto es basculante y
se le pone un círculo. Si contamos el número de votos basculantes en la columna de
cada accionista, encontramos en la columna de cada accionista, encontramos que el
índice de poder de Banzhaf es (10, 6, 6, 2). Nótese que mientras que B y C poseen
distintas cantidades de acciones, tienen el mismo poder electoral.
De nuevo, hemos contado cada votante basculante en las coaliciones ganadoras
y en las de bloqueo. Podíamos haber hecho el proceso más eficaz contando sólo los
votos basculantes en las coaliciones ganadoras y en las de bloqueo. Podíamos haber
hecho el proceso más eficaz contando sólo los votos basculantes en las coaliciones
ganadoras o, alternativamente, podíamos haber contado sólo votos basculantes en las
coaliciones de bloqueo.
Para limitar nuestra atención a las coaliciones ganadoras, considere sólo las filas
que muestren una medida aprobada. Un votante es basculante en una combinación
electoral de una de estas filas si (1) votó a favor (S), y (2) la medida sería derrotada si
cambiara su voto a N. En la tabla 12.5, si contamos, o bien los votos basculantes en
las coaliciones de bloqueo, acabaremos con la mitad del índice de Banzhaf: (5, 3, 3,
1).
CÓMO CONTAR LAS COMBINACIONES
¿Cómo sabemos que si hay n votantes, hay un total de 2n combinaciones de
votos? Para contestar a esta pregunta utilizamos el principio de la multiplicación. Cada
votante tiene dos opciones: votar que sí o que no, y los votantes son independientes
TABLA 12.4 Los votantes basculantes en cada combinación de votos en el
comité de tres personas
Miembro A B C
Peso 2 1 1
Combinaciones Votos Aprobado Derrotado
Ⓢ S S 4 A
Ⓢ Ⓢ N 3 A
Ⓢ N Ⓢ 3 A
S Ⓝ Ⓝ 2 D
Ⓝ S S 2 D
Ⓝ S N 1 D
Ⓝ N S 1 D
N N N 0 D
Número de votaciones
basculantes
6 2 2

44
los unos de los otros. Por consiguiente, el número de formas que tiene n votantes para
emitir sus votos es
n
22222  
n factores
¿Cuántas combinaciones constan de, digamos, 6 votos a favor y n - 6 votos en contra?
(Naturalmente, la respuesta es <<ninguna>> si n 6, así que supondremos que n 6)
Si decidimos mantener un control del orden por el que los seis votantes a favor emiten
sus votos, entonces hay n votantes que podrían emitir el primer voto. El primer
votante no puede votar de nuevo, así que hay n - 1 votantes que podrían emitir el
segundo voto a favor. De modo similar hay n - 2 votantes que podrían emitir el tercer
voto a favor, n - 3 que podrían emitir el cuarto, n - 4 que podrían emitir el quinto, y n
-5 que podrían emitir el sexto. De nuevo, por el principio de la multiplicación, hay
)5()4()3()2()1(  nnnnnn formas que tendrían exactamente seis
votantes con votos a favor, si controlamos el orden en el que votan. Los mismos seis
votantes pueden votar en 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 órdenes distintos, así que si
queremos encontrar el número de formas que tengan seis votos a favor sin referirnos
al orden, tenemos que dividir entre 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, para conseguir
TABLA 12.5 Los votantes basculantes en cada combinación de votos en el
sociedad de cuatro accionistas
Accionista A B C D
Porcentaje 40 30 20 10
Combinaciones Votos Aprobado Derrotado
S S S S 100 A
S S N 90 A
N S 80 A
N N 70 A
N S 70 A
N N 60 A
S S 50 D
S N 40 D
N 60 A
S S 50 D
S S 40 D
S N N 30 D
S S 30 D
N S N 20 D
N N N S 10 D
N N N N 0 D
Número de
votantes
basculantes
10 6 6 2
123456
)5()4()3()2()1(
6



nnnnnn
Cn

45
combinaciones con seis votos a favor. El número 6 no tiene nada de especial; para
encontrar el número de combinaciones con K votos a favor, se forma el cociente
Este cociente se llama el número de combinaciones de n elementos tomados de
k en k. Al hablar, la gente frecuentemente se refiere a
n
kC como <<n sobre k>>.
Otra notación corriente para
n
kC es 





k
n
.
poder en estos dos sistemas electorales tienen igual poder en estos dos sistemas
electorales bajo el modelo de Banzhaf, pero en el sistema de la regla de la mayoría,
cada votante tiene más probabilidad de provocar un cambio de decisión que en el
sistema del consentimiento unánime.
VOCABULARIO
m
kC Un conjunto con m elementos tiene
m
kC subconjuntos con k elementos. Este
número, que se lee <<combinaciones de m elementos tomados de k en k>> o <<m
sobre k>>, viene dado por la fórmula
)!(!
!
kmk
m
Cm
k


que se puede simplificar utilizando la regla de cancelación factorial
1...)1(
)1(...)1(
xxkkx
kmxxmmx
Cm
k



Coalición Conjunto -- compuesto por algunos, todos o ningún participante en un
sistema de votación ---que se ha unido para votar a favor o en contra de una medida.
Coalición de bloqueo Conjunto de participantes en un sistema de votación que puede
prevenir que una medida se apruebe cuando sus miembros votan en su contra.
Coalición de bloqueo mínima Coalición de bloqueo que no podrá bloquear si deserta
cualquier miembro. Cada miembro es un votante basculante.
Coalición ganadora Conjunto de participaciones en un sistema de votación que puede
aprobar una medida votando a favor de ella.
Coalición ganadora mínima Coalición ganadora que se convertirá en perdedora si
deserta cualquier miembro. Cada miembro es un votante basculante.
Coalición perdedora Coalición que no tiene el poder de voto suficiente para aprobar por
sí sola una medida.
Combinación electoral Lista que da el voto de cada participant e para cada cuestión.
Cuando hay n votantes, hay un total de
n
2 combinaciones electorales, de las cuales
habrá
n
kC Combinaciones electorales con exactamente k votos a favor.
Cuota Número mínimo de votos necesarios para aprobar una medida en un sistema
de votación ponderado.
Dictador Participante en un sistema de votación que puede aprobar cualquier asunto
incluso si todos los demás votantes se oponen a él y bloquear cualquier asunto incluso
si todos los demás votantes lo aprueban.
Factorial Si n es un número entero positivo, el factorial de n (que se escribe n!) es el
producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Normalmente es un
número grande: 10! es un número de siete dígitos, 9000! es un número de siete
páginas.

46
Hombre de paja Participante que no tiene poder en un sistema de votación. Un hombre
de paja nunca es un votante basculante en ninguna coalición ganadora o de bloqueo, y
nunca es el pivote en ninguna permutación.
Índice de poder de Banzhaf Medida numérica del poder de los participantes en un
sistema de votación. El índice de Banzhaf de un participante es el número de
coaliciones ganadoras o de bloqueo en las que es un votante basculante.
Índice de poder de Shapley-Shubik Medida numérica del poder de los participantes en
un sistema de votación. El índice de Shapley-Shubik de un participante es el número
de permutaciones de los votantes en las que es el pivote dividido por el número de
permutaciones (n! si hay n participantes). Permutación Ordenación específica del
primero al último de los elementos de un conjunto; por ejemplo, una ordenación de los
participantes en un sistema electoral.
Peso Número de votos asignados a un votante en un sistema de votación ponderado, o
el total de votos de todos los votantes de una coalición.
Pivote Primer votante en una permutación que, con sus predecesores en la
permutación, formará una coalición ganadora. Cada permutación tiene un sólo votante
pivote.
Poder de veto Un votante tiene poder de veto si no se puede aprobar ninguna cuestión
sin su voto. Un votante con poder de veto es una coalición de bloqueo con una sola
persona.
Regla de la cancelación factorial Un cociente que contiene factoriales puede ser
simplificado utilizando la fórmula.
)1(...)1(
1
!
!


kxxnnxn
k
donde k < n.
Sistema de votación ponderado Sistema de votación en el que los participantes pueden
tener diferente número de votos. Se puede representar como [q:w(A1), w(A2), ...,
w(An)], donde A1, ... An son votantes, w(A1), ... , w(An) representan el número de
votos que pertenece a tales votantes y q es la cuota necesaria para ganar.
Sistemas de votación equivalentes Dos sistemas de votación son equivalentes si hay
una manera de que todos los votantes del primer sistema se intercambien con los
votantes del segundo y se conserven a la vez todas las coaliciones ganadoras.
Votante basculante Miembro de una coalición ganadora cuyo voto es esencial para que
gane la misma, o miembro de una coalición de bloqueo cuyo voto es esencial para que
bloquee la misma.
EJERCICIOS
1. a. Haga una lista de las 16 combinaciones posibles que pueden darse cuando
cuatro votantes A,B, C y D tienen que responder con un sí (S) o un no (N) a un
cuestión.
b. Haga una lista de los subconjuntos del conjunto {a, b, c, d}.
c. ¿Hay alguna correspondencia entre las listas de las partes a y b?
d. ¿En cuántas combinaciones de la parte a el voto queda
(1) 4 S y O N?
(2) 3 S y 1 N?
(3) 2 S y 2 N?
2. ¿Se convertirá una coalición de bloqueo en una ganadora si todos los votantes de la
coalición votan SÍ? Considere los siguientes ejemplos:
a. Un comité de 9 miembros, cada uno con un voto, donde rige la mayoría.

47
b. Un comité con 12 miembros, cada uno con un voto, donde rige la
mayoría.
c. Un jurado con 9 miembros en un juicio criminal, donde hace falta una
decisión unánime para condenar o absolver.
3. Para cada uno de los siguientes sistemas de votación ponderados, escriba lo
siguiente:
(1) Todas las coaliciones ganadoras mínimas
(2) Todas las coaliciones ganadoras que contengan al votante A.
(3) Todas las coaliciones de bloqueo mínimas.
(4) Todas las coaliciones de bloqueo que contengan al votante A.
(5) Todas las coaliciones perdedoras que contengan al votante A.
(6) Todos los votantes que sean hombres de paja.
 Actividades
7.1.1. Usted deberá leer la Lectura 8: Sistemas ponderados de votación que se
encuentra en la selección de lecturas.
7.1.2. Usted deberá definir que es un sistema ponderado de votación y cuál es
el utilizado en nuestro país.
7.1.3. Usted deberá resolver los ejercicios que se presentan en la lectura y que
puede observar sobre los sistemas ponderados.
LECCIÓN 8
CLASIFICACION Y PARTICIÓN
Tomado de http://www3.unileon.es/dp/alf/clas.pdf
CLASIFICACION
La clasificación es un procedimiento de construcción conceptual que conduce de
términos (conjuntos) a términos (<sub>conjuntos): es una operación cuyo operando
es un conjunto. Debe distinguirse, por tanto, del diagnóstico, consistente en identificar
a un individuo como miembro de un conjunto en virtud de sus características (en este
sentido se habla de "clasificar" a un individuo).
Recubrimiento de un conjunto A es una familia F de subconjuntos de A cuya
unión es igual a A (agota a A, es exhaustiva).
Rec(A) = F = (A1, A2,..., An), tal que
(1) A1  A2  ...  An = A.
(2)
Cuando se cumple, además, la condición de que los miembros de la familia F son
disyuntos dos a dos:
(2) Ai  Aj =  , (i,j = 1,2,3,...,n),
el recubrimiento se llama partición.
Una aplicación1 f es una correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto A
1 En términos generales “aplicación” y “función” se utilizan como sinónimod. Cuando se desea una mayor
precisión, se reserva “función para designar una correspoondencia que asocia a cada elemento de A a lo
más un elemento de B. Así se da cabida a los casos de funciones en que como, por ejemplo, y= 1/ (1-x),
no se cumple en algunos casos la asignación de un valor definido.

48
(inicial) un y un solo elemento de un conjunto B (final). La aplicación f determina en B
un subconjunto (propio o impropio) de los elementos de B que son imágenes por f de
los elementos de A. En dirección opuesta, en A queda determinada una familia de
subconjuntos de A que satisface las condiciones (1) y (2). Es decir, que f determina en
A una partición.
A B
a1 b1
a2 b2
a3 b3
a4 b4
a5 b5
El axioma de especificación de la teoría de conjuntos establece que, dado un conjunto
A y una propiedad P se puede determinar el conjunto B que contiene los miembros de
A que tienen la propiedad P. Al (restante) conjunto B' de miembros de A que no tienen
la propiedad P, se le llama complementario de B en A. Con este procedimiento se
establece una división de A.
CLASIFICACIONES BORROSAS
Dado un conjunto X y un subconjunto A de X, se dice que A es un subconjunto preciso
o nítido de X cuando para cada miembro de x de X se puede decidir que pertenece (del
todo) o que no pertenece (en absoluto) a A. La forma adecuada de caracterizar esta
pertenencia (o no) enteriza es establecer que la función de pertenencia de x a A, es
decir,  A(x), sólo puede tomar los valores 0 ó 1.
 A(x) = 1, si x pertenece a A
 A(x) = 0, si x no pertenece a A.
La teoría de conjuntos borrosos (fuzzy sets) es una generalización que admite grados
de pertenencia (pertenencias parciales) y, por lo tanto, múltiples valores de dicha
función.
En este marco, el axioma de extensión, formulado clásicamente como: "dos conjuntos
son iguales si tienen los mismos miembros", debe reformularse así: "dos conjuntos son
iguales si tienen los mismos miembros en la misma medida" (el valor de fA(x) es el
mismo en ambos casos para el elemento del mismo nombre).
Por lo que se refiere a las clasificaciones, una clasificación basada en conjuntos
borrosos y formulada por analogía con el modelo de las particiones, tendría que
cumplir con el requisito de la insuperabilidad de la identidad numérica, pues para todo
x miembro del conjunto clasificado X, la suma de los valores de la función de
pertenencia respecto de cada subconjunto no puede superar la unidad.






 
n
i
n xXx
1
1)(
Referencias:
Kosko, B. (1995), Pensamiento borroso, Barcelona: Grijalbo.
Trillas, E. (1980): Conjuntos borrosos, Barcelona: Vicens-Vives.
Zadeh, L. (1987): Fuzzy sets and Applications, selected papers by ---, edited by Yager,
R.B. et al., New York: Wiley.

49
 Actividades
8.1.1. Usted deberá realiza la lectura anterior.
8.1.2. Usted deberá definir que es clasificación y partición.
8.1.3. De su opinión si en la Educación Básica y Educación Media diversificada y
Profesional se debería impartir la teoría de conjunto, y cual sería su
importancia en el aula de matemática.
 SEGUNDA ENTREGA DE ASIGNACIÓN
Debes entregar por escrito todas las actividades propuestas del Módulo II a más
tardar la 11ª semana del semestre a través de la valija de la Universidad, esto con
la finalidad de que tu trabajo sea revisado y en caso de necesitar mejorarlo, tengas
oportunidad de hacerlo. Es necesario que para la entrega de estas actividades sigas
las orientaciones que presentamos a continuación:
 Debes ser conciso y preciso en las respuestas.
 Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una letra tamaño
11 puntos y máximo 12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño
carta. Si no dominas el uso del editor de ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos
y dibujos deja el espacio en blanco en el sitio correspondiente y hazlo a mano
con un bolígrafo o un color de tu agrado.
 Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block
de hojas tamaño carta de una línea. Preferiblemente hazlo en bolígrafo azul
para facilitar su lectura.
 Responde de manera ordenada, secuencial.
 El trabajo debe estar limpio y legible.
 El trabajo a entregar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado
en el orden correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.

50
OBJETIVO DEL MODULO III.
OBJETIVO DE LA UNIDAD IV.
CONTENIDO DE LA UNIDAD III.
tópicos de matemática
que permitan una
compresión e interacción
con los hechos de la vida
cotidiana y con otras
áreas no afines con ella.
Asociar los distintos
tópicos de matemáticas
con la naturaleza y el
arte.
LECCIÓN 9.
9.1. CRECIMIENTO.
9.2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CAOS.
LECCIÓN 10.
10.1. FRACTALES.
10.2. CAOS E ITERACIÓN.

51
UNIDAD IV.
LECCIÓN 9
CRECIMIENTO
SEMEJANZA Y CRECIMIENTO
A pesar de que grandes cambios de escala implican cambios de adaptación en
los materiales o en la forma, dentro de límites pequeños—quizá hasta un factor de
20—las criaturas pueden crecer de acuerdo con una ley de semejanza. Crecen de tal
manera que se forma se conserva. Un sorpréndeme ejemplo de tal crecimiento es el
del nautilo (Nautilus pompilius) Cada cámara nueva que se añade a la concha del
nautilus es más grande, pero de la misma forma que la anterior, y la forma de toda la
concha —una espiral equiangular o logarítmica— permanece igual (véase la figura
16.9).
Muchas de las criaturas vivientes crecen durante el curso de sus vidas hasta más
de 2 veces su tamaño original. Hemos visto con el Dimetrodon que un gran espécimen
no es una versión ampliada de uno pequeño. Tampoco una persona adulta es
simplemente una versión ampliada de un bebé. Con relación a la longitud de su
cuerpo, la cabeza de un bebe es mucho más grande que la de un adulto. Los brazos de
un bebé son desproporcionadamente más cortos que los de un adulto. Durante el
crecimiento desde bebé hasta adulto, e! cuerpo no crece proporcionalmente como un
codo. Las diferentes partes del cuerpo se amplían cada una con un factor de escala
diferente. Por ejemplo, los ojos de un bebé crecen en una proporción que es quizá dos
veces su tamaño original, mientras que los brazos crecen en otra proporción, hasta
aproximadamente 4 veces su tamaño original.
A pesar de que las leyes del crecimiento pueden ser más complicadas que el
crecimiento proporcional (o incluso el crecimiento alométrico que expondremos en la
próxima sección), matemáticas más sofisticadas —por ejemplo, la geometría
diferencial, que es la geometría de las curvas y las superficies— permiten realizar
análisis de escalas más complejas y entrelazadas. Para modelar el procedo que ocurre
cuando la cabeza de un bebé cambia de forma hasta convertirse en la cabeza de un
adulto, podemos usar papel milimetrado; ponemos un dibujo del cráneo de un bebé en
Asociar los distintos
tópicos de
matemática con la
naturaleza y el arte.

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